第09讲 中心对称 （知识清单+10大题型+好题必刷） 核心知识点与常见题型通关讲解练【暑假预习】讲义2025-2026学年九年级上册数学（人教版）

第09讲 中心对称 （知识清单+10大题型+好题必刷） 题型汇聚 题型一 成中心对称 题型二 画已知图形关于某点对称的图形 题型三 画两个图形的对称中心 题型四 根据中心对称的性质求面积、长度、角度 题型五 中心对称图形的识别 题型六 判断中心对称图形的对称中心 题型七 在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 题型八 中心对称图形规律问题 题型九 求关于原点对称的点的坐标 题型十 已知两点关于原点对称求参数 知识清单 知识点1．中心对称 （1）中心对称的定义 把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．． （2）中心对称的性质 ①关于中心对称的两个图形能够完全重合； ②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分． 知识点2．中心对称图形 （1）定义 把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同． （2）常见的中心对称图形 平行四边形、圆形、正方形、长方形等等． 知识点3．关于原点对称的点的坐标 关于原点对称的点的坐标特点 （1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）． （2）关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质．但它主要是用坐标变化确定图形． 注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标． 题型练习 【题型一】成中心对称 【例1】（24-25九年级上·河南商丘·阶段练习）在平面直角坐标系中有点、，则，两点关于（   ）对称． A．原点 B．轴 C．轴 D．直线 【答案】A 【知识点】成中心对称 【分析】此题主要考查了关于原点对称点的坐标特点，根据两点关于原点对称，横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数即可得出结果，关键是掌握点的坐标的变化规律． 【详解】解：根据两点关于原点对称，横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数， 点与点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数， ，两点关于原点对称． 故选：A． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·福建厦门·期末）如图，四边形是正方形，，，，分别为各边的中点，与交于点，下列三角形中，与成中心对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】成中心对称 【分析】本题考查了中心对称，根据正方形的性质和中心对称的定义即可得出答案． 【详解】解：∵绕点O旋转后与重合， ∴与成中心对称的是． 故选：A． 2．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）下列图形中，左边的图形与右边的图形可看成中心对称的有 ． 【答案】B，D 【知识点】成中心对称 【分析】本题考查中心对称，根据中心对称的定义逐个判断即可得到答案；解题的关键是熟练掌握中心对称的定义：将一个图形沿某点旋转得到的新图形与原图形重合的图形叫中心对称图形． 【详解】解：由题意可得， A选项左边的图形与右边的图形不成中心对称，不符合题意， B选项左边的图形与右边的图形可看成中心对称，符合题意， C选项左边的图形与右边的图形不成中心对称，不符合题意， D选项左边的图形与右边的图形可看成中心对称，符合题意． 故答案为：B，D． 3．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，已知是的中线．    (1)画出以点为对称中心，与成中心对称的三角形（点的对称点为点）； (2)如果，，那么长的取值范围为_________． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】三角形三边关系的应用、全等三角形的性质、成中心对称、画已知图形关于某点对称的图形 【分析】（1）根据中心对称图形的性质，延长至点，使，连接、，则为所求作的三角形； （2）根据中心对称图形的性质，得到，进而得到，再利用三角形的三边关系，即可求出长的取值范围． 【详解】（1）解：如图，延长至点，使，连接、，则为所求作的三角形；    （2）解：由（1）可知，和成中心对称， ， 在中，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了画中心对称图形，中心对称图形的性质，全等三角形的性质，三角形的三边关系，灵活运用相关知识解决问题是解题关键． 【题型二】画已知图形关于某点对称的图形 【例2】（九年级上·山西吕梁·期中）△ABO与△在平面直角坐标系中关于原点O成中心对称，点A与点是对应点，其中点A(4,2)，则点的坐标是(   ) A．(4，-2) B．(-4，-2) C．(-2，-3) D．(-2，-4) 【答案】B 【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出点A1的坐标即可． 【详解】解：∵△ABO与△A1B1O关于点O成中心对称，点A（4，2）， ∴点A1的坐标是：（-4，-2）． 故选B． 【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键． 【举一反三】 1．（2023·河北衡水·二模）三个全等的等边三角形按图1所示位置摆放，现添加一个大小相同的等边三角形，使四个等边三角形组成一个中心对称图形（如图2），则添加的等边三角形所放置的位置是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【知识点】画已知图形关于某点对称的图形 【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 【详解】解：依题意，添加的等边三角形④，可得中心对称图形， 故选：D． 【点睛】本题考查了中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键． 2．（九年级上·广西防城港·期中）中心对称的性质：中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分，中心对称的两个图形是 图形． 【答案】全等． 【知识点】画已知图形关于某点对称的图形 【分析】直接利用中心对称图形的性质得出答案． 【详解】中心对称的性质：中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分，中心对称的两个图形是全等图形． 故答案为：全等． 【点睛】此题主要考查了中心对称图形的性质，正确掌握中心对称图形是解题关键． 3．（24-25九年级上·天津·期中）在平面直角坐标系中，已知， (1)在坐标系中画出关于原点的中心对称图形，并直接写出坐标______； (2)以A为旋转中心，将顺时针旋转形成，在图中画出，并直接写出坐标______． 【答案】(1)图见解析， (2)图见解析， 【知识点】画旋转图形、画已知图形关于某点对称的图形 【分析】此题考查了旋转和中心对称的作图，熟练掌握作图方法是关键． （1）找到关于原点的中心对称的对应点顺次连接即可得到，再写出点的坐标即可； （2）找到顺时针旋转的对应点，顺次连接即可得到，再写出点的坐标即可 【详解】（1）解：如图，即为所求，点的坐标为， 故答案为： （2）如图，即为所求，点的坐标为， 故答案为： 【题型三】画两个图形的对称中心 【例3】（九年级上·湖北武汉·期中）如图，点A，B分别是两个半圆的圆心，则该图案的对称中心是（　　） A．点A B．点B C．线段AB的中点 D．无法确定 【答案】C 【知识点】画两个图形的对称中心 【分析】首先根据旋转的性质，找到两组对应点，连接这两组对应点；然后作连接成的两条线段的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为旋转中心，据此解答即可． 【详解】由中心对称图形的性质，对称中心为各对应点连线的中点，故线段AB中点即为对称中心．故选C 【点睛】本题考查了对称中心的确定方法，找到两组对应点，确定对应点连线中点即为对称中心是解决本题的关键． 【举一反三】 1．（23-24九年级上·广东珠海·期中）如图，两个半圆分别以O，为圆心，它们关于某点成中心对称，点A，B，，在同一直线上，则对称中心为（    ）    A．点O B．点B C．线段的中点 D．线段的中点 【答案】D 【知识点】画两个图形的对称中心 【分析】由已知两个图形的位置，判断它们是否中心对称，可以把各对应点连线，看所有连线是否交于同一点． 【详解】解：如图：    作法：1．过点作交于点，过点作交于点， 2．连接交于点， 故点即为所求 证明：，， 是对称点，是对称点， 故的交点为对称中心． 故选：D． 【点睛】本题考查了中心对称，正确的作出图形是解题的关键． 2．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中（坐标系中每个小正方形单位长度为1），画关于点成中心对称的图形时，小明由于紧张对称中心选错，画出的图形是，请你找出此时的对称中心的坐标是 ． 【答案】 【知识点】画两个图形的对称中心 【分析】本题考查了求对称中心，分别求出点的坐标，从而可得的中点坐标是解题关键． 【详解】解：由图可知，， ∴的中点坐标为，即为， 的中点坐标为，即为， 的中点坐标为，即为， ∴的中点坐标均为， ∴与的对称中心是， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·河南许昌·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，将绕点O顺时针旋转得到． (1)请在图中画出； (2)与是否关于某点成中心对称？如果是，请在图中画出这个对称中心，并记作点P． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】画旋转图形、画两个图形的对称中心 【分析】本题主要考查了旋转作图和中心对称的性质，解题的关键熟练掌握旋转的性质和中心对称的性质，并结合相关性质正确的作图． （1）将的三顶点绕原点顺时针旋转，然后顺次连接即可得到； （2）结合与是中心对称图形，连接对应点并确定交点位置，即可得到答案． 【详解】（1）解：如下图，即为所求； ； （2）解：与是中心对称图形， 连接，交点为，如图， 点坐标为． 【题型四】根据中心对称的性质求面积、长度、角度 【例4】（24-25九年级上·浙江台州·期中）如图，与关于点成中心对称．则下列结论不成立的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据中心对称的性质求面积、长度、角度 【分析】本题主要考查了中心对称图形的性质．根据对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：∵与关于点O成中心对称， ∴点A与是一组对称点，，，， ∴选项A，B，C都不符合题意． ∵与不是对应角， ∴不成立． 故选：D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·河南信阳·期中）如图，与关于点O成中心对称，下列结论中，不成立的是（   ）    A． B． C．点A的对称点是点 D． 【答案】B 【知识点】根据中心对称的性质求面积、长度、角度 【分析】本题考查中心对称，解题的关键是掌握中心对称的性质．根据中心对称的性质解决问题即可． 【详解】解：∵与关于O成中心对称， ∴，，点A的对称点是点，， 故A，C，D正确， 故选：B． 2．（24-25九年级上·广东云浮·期中）如图，已知与关于点A中心对称，若，则的长为 ．    【答案】6 【知识点】全等三角形的性质、根据中心对称的性质求面积、长度、角度 【分析】本题主要考查了中心对称的性质和全等三角形的性质，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键．先根据中心对称的性质得到，得到，进而可得出的长． 【详解】解∶∵与关于点A中心对称， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 故答案为∶6． 3．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图，和关于点成中心对称． (1)找出它们的对称中心； (2)若，，，求的周长； (3)连接，，试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)四边形是平行四边形，理由见解析 【知识点】证明四边形是平行四边形、根据中心对称的性质求面积、长度、角度 【分析】本题考查了中心对称的性质．也考查了平行四边形的判定．熟练掌握中心对称的性质和平行四边形的判定方法是解答本题的关键． （1）根据中心对称的性质，对称中心在线段、上，则连接和，它们的交点即为对称中心； （2）根据中心对称的两个三角形全等可得到各边的长，然后计算的周长； （3）根据中心对称的性质得，，则根据平行四边形的判定方法可判断四边形为平行四边形． 【详解】（1）解：如图，连接，点为所求： （2）解：和关于点成中心对称 ， ，，， 的周长为； （3）解：四边形是平行四边形，理由如下： 连接，如图所示： 和关于点成中心对称， ，， 四边形为平行四边形． 【题型五】中心对称图形的识别 【例5】（2025·江苏宿迁·二模）下列哪个是中心对称图形（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】中心对称图形的识别 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，解题的关键是掌握中心对称图形的概念，将图形绕对称中点旋转能重合即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C．不是中心对称图形，不符合题意； D．是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·河南驻马店·期中）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】中心对称图形的识别、轴对称图形的识别 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各选项图形分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：D 2．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）下图中，是中心对称图形的是 ．(填序号) 【答案】②④⑥ 【知识点】中心对称图形的识别 【分析】本题考查中心对称图形的定义，在平面内，一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形；观察哪个图形绕一个点旋转能和它本身重合即可得到答案． 【详解】解：根据中心对称图形的定义可得：正方形、正六边形、正八边形是中心对称图形， 故答案为：②④⑥． 3．（24-25九年级上·山西吕梁·期中）图1和图2都是由边长为1的小菱形构成的网格，已有两个小菱形涂上了阴影，请你在图1中再将1个小菱形涂上色，在图2中再将3个小菱形涂上色，使两个图形中的涂色部分均为中心对称图形．（两个图形中各补出一种情况即可） 【答案】见解析 【知识点】中心对称图形的识别 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别，根据中心对称图形的定义画出图形即可． 【详解】如图所示． 如图所示． 【题型六】判断中心对称图形的对称中心 【例6】（24-25九年级上·广西河池·期中）如图，矩形与矩形关于某点对称，则该点为（  ） A．点C B．点D C．线段的中点 D．线段的中点 【答案】D 【知识点】判断中心对称图形的对称中心 【分析】本题考查了两个图形关于中心对称的知识点，需要根据中心对称的性质进行求解.关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．熟练掌握中心对称的性质是解题的关键． 【详解】∵矩形与矩形关于某点对称， ∴点A的对称点为点F，点B的对称点为点E，点C的对称点为点D, 点D的对称点为点C, ∴对称中心为线段的中点． 故选D． 【举一反三】 1．（九年级上·山东德州·期中）如图，已知图形是中心对称图形，则对称中心是（　　）    A．点 B．点 C．线段的中点 D．线段的中点 【答案】D 【知识点】判断中心对称图形的对称中心 【分析】本题考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义，得出对称中心是线段中点或线段中点，进而得出答案，掌握中心对称图形的定义是解题的关键． 【详解】解：∵此图形是中心对称图形， ∴对称中心是线段的中点． 故选：． 2．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，与成中心对称，则对称中心是 ． 【答案】中点（或中点） 【知识点】判断中心对称图形的对称中心 【分析】本题考查的是对称中心的性质，根据对应点的连线被对称中心平分可得答案． 【详解】解：∵与成中心对称， ∴的中点为对称中心，（的中点为对称中心） 故答案为：中点（或中点）． 3．（2024九年级上·全国·专题练习）画一条直线，你能将下面的图形分割成面积相等的两部分吗？动手画一画．    【答案】见解析 【知识点】矩形性质理解、判断中心对称图形的对称中心 【分析】本题考查的是中心对称的性质，掌握平行四边形的对称中心是对角线的交点是解题的关键． 把所给图形分为两个规则图形即矩形，找到两个规则图形对角线的交点，过交点画直线即可． 【详解】解：如图所示：    【题型七】在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 【例7】（24-25九年级上·安徽芜湖·期中）如图，这是的正方形网格，选择一空白小正方形，其与阴影部分组成的图形是中心对称图形的情况有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】B 【知识点】在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 【分析】此题主要考查了中心对称图形，根据中心对称图形定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析即可． 【详解】解：如图所示： 共有2种方法， 故选：B． 【举一反三】 1．（23-24九年级上·河北沧州·期末）如图是由8个正方形组成的网格，现嘉嘉想再给一个正方形涂上阴影，使四个阴影正方形所组成的图形是中心对称图形，则嘉嘉应该涂的是（    ） A．只有② B．只有③ C．①或③ D．③或④ 【答案】D 【知识点】在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 【分析】本题考查中心对称图形的定义与判断，根据中心对称图形定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心；逐项验证即可得到答案，熟练掌握中心对称图形的定义是解决问题的关键． 【详解】解：再给一个正方形涂上阴影，使四个阴影正方形所组成的图形是中心对称图形， 在③或④涂黑即可满足题意，如图所示： 或 故选：D． 2．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图是3×3正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色，现在要从其余6个白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个涂成黑色的部分成为中心对称图形，这样的白色小方格有 个． 【答案】3 【知识点】在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 【分析】此题考查的是利用中心对称设计图案，根据中心对称图形的概念分别找出各个能成中心对称图形的小方格即可． 【详解】如图所示， ∴这样的白色小方格有3个． 故答案为：3． 3．（24-25九年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)将绕原点O逆时针旋转得到，其中A，B，C分别和，，对应，画出， (2)画出关于点O成中心对称的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】画旋转图形、在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 【分析】本题主要考查了作图，旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）利用网格特点和旋转的性质，画出点A，B，C的对应点，，，即可得到答案； （2）利用关于原点对称的点的坐标特征找到对应点的位置，即可得到图形． 【详解】（1）解：如图所示：为所求； （2）解：如图所示：为所求． 【题型八】中心对称图形规律问题 【例8】（22-23九年级上·河北保定·期末）已知点与点关于对称，则？指的是（    ） A．1 B．3 C．5 D．2 【答案】C 【知识点】中心对称图形规律问题 【分析】根据中心对称的性质：对称中心是对称点连线的中点即可得到答案； 【详解】解：∵点与点关于对称， ∴， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查中心对称的性质，解题的关键是对称中心是对称点连线的中点． 【举一反三】 1．（23-24九年级上·广东汕头·期中）如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】中心对称图形规律问题 【分析】本题考查中心对称的性质，掌握中心对称的性质是求解本题的关键． 根据中心对称的性质判断即可． 【详解】解：与关于点O成中心对称， ，，，故A，B，C选项正确，，故D选项错误． 故选：D． 2．（23-24九年级上·河北·单元测试）如果将点P绕定点M旋转后与点Q重合，那么点P与点Q关于点M对称，定点M叫做对称中心，此时，M是线段的中点．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B，O的坐标分别为，，，点，，，…中的相邻两点都关于的一个顶点对称，点与点关于点A对称，点与点关于点B对称，点与点关于点O对称，点与点关于点A对称，点与点关于点B对称，点与点关于点O对称……且这些对称中心依次循环．已知点的坐标是，则点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】中心对称图形规律问题 【分析】此题主要考查了平面直角坐标系中中心对称的性质，以及找规律问题，根据已知得出点P的坐标每6个一循环是解题关键． 根据中心对称及平面直角坐标系中的有关知识，可以求得点关于点A的对称点坐标，以及点关于点B的对称点坐标，点关于点O的对称点，可以看出，点P的坐标每6个一循环，即可解答． 【详解】解：由题意可得：点，，，，，…… ∴可知6个点一个循环，， ∴点的坐标与点的坐标相同，为． 故答案为：． 3．（九年级上·全国·课后作业）有一组数排成方阵，如图所示，试计算这组数的和．小明想了想，方阵象正方形，正方形是轴对称图形，又是中心对称图形，能否利用轴对称和中心对称的思想来解决方阵的计算问题呢？小明试了试，竞得到了非常巧妙的方法，你能试试看吗？ 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 5 6 7 8 9 【答案】125. 【知识点】中心对称图形规律问题 【分析】表格中一共有25个数，通过观察可发现，以表格中心的5为中心点，其他每个数与其中心对称位置的数之和均为10，,的数一共有12组，再加上表格中心的5，即可巧妙求解. 【详解】解：∵(1+9)+(2+8）+（3+7）+（4+6）+…+（8+2）+（3+7）+（4+6）+（5+5）+（6+4）+5 =10×12+5 =120+5 =125 ∴这组数和为125． 【点睛】本题利用了表格中位置的中心对称关系，发现了数和数之间的关系，从而采取更为巧妙的方式进行了求和. 【题型九】求关于原点对称的点的坐标 【例9】（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）点P关于原点的对称点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求关于原点对称的点的坐标 【分析】本题考查了中心对称，掌握当一点关于原点对称时，其横纵坐标均取相反数是解题的关键．根据关于原点对称的点的坐标变换特点回答即可． 【详解】解：点关于原点的对称点的坐标为， 故选：D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）在平面直角坐标系中，点关于坐标原点O的对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求关于原点对称的点的坐标 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标．理解“两个点关于原点对称，它们的横，纵坐标分别为相反数”是解答本题关键． 两个点关于原点对称，它们的横，纵坐标分别互为相反数． 【详解】解：平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是， 故选：D． 2．（24-25九年级上·广西南宁·期中）已知点与点关于原点对称，则点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】求关于原点对称的点的坐标 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，由两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反特点进行求解即可，解题关键是掌握关于原点对称点的坐标规律． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴点的坐标为， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·广西南宁·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． (1)画出将绕原点O逆时针旋转后得到的，并写出的坐标． (2)写出点关于原点O对称的点的坐标． 【答案】(1)见解析， (2) 【知识点】画旋转图形、求关于原点对称的点的坐标 【分析】本题考查作图-旋转变换，解题的关键是正确旋转变换的性质． （1）利用旋转变换的性质分别作出的对应点即可； （2）作出点关于原点的对称点，写出坐标即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求，的坐标； （2）解：点关于原点对称的点的坐标． 【题型十】已知两点关于原点对称求参数 【例10】（24-25九年级上·广东东莞·期末）已知点与点关于原点对称，则n的值为（   ） A．6 B． C．2 D． 【答案】D 【知识点】已知两点关于原点对称求参数 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，掌握关于原点对称的点的坐标横坐标与纵坐标分别互为相反数是解题的关键． 根据关于原点对称的点的坐标特征，可得，，即可求解． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，， 故选：D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·云南昭通·期中）若点与关于原点对称，则的值为（   ） A．2 B． C． D．8 【答案】B 【知识点】已知两点关于原点对称求参数 【分析】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．首先根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得x、y的值，进而得到答案． 【详解】解：∵点与关于原点对称， ∴ ， ∴ ， 故选：B． 2．（24-25九年级上·四川泸州·期末）点关于原点对称的点的坐标为，那么 ； 【答案】 【知识点】已知两点关于原点对称求参数 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内关于原点对称的点的坐标特点，根据两点关于原点的对称，横纵坐标互为相反数，即可得出的值． 【详解】解：∵点关于原点对称的点的坐标为， ∴． 故答案为：． 3．（23-24九年级上·广东韶关·期中）已知点与关于原点对称，求a，b的值. 【答案】， 【知识点】已知两点关于原点对称求参数 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数．根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数列方程组求解即可． 【详解】解：∵点与关于原点对称， ∴， 解得， 好题必刷 一、单选题 1．在平面直角坐标系中，点P（1，2）关于原点对称的点的坐标是（　　） A．（﹣1，﹣2） B．（﹣1，2） C．（1，﹣2） D．（2，1） 【答案】A 【分析】根据若两点关于坐标原点对称，横纵坐标均互为相反数，即可求解． 【详解】解：∵P（1，2）， ∴点P关于原点对称的点的坐标是：（-1，-2）． 故选：A 【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，解题的关键是掌握两个点关于原点对称时坐标变化特点：横纵坐标均互为相反数． 2．如图：已知点A的坐标为，菱形的对角线交于坐标原点O，则C点的坐标是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查菱形的对称性，菱形即是轴对称图形，又是中心对称图形，通过题目可以发现A点和C点关于原点中心对称，可以直接计算出点C点的坐标． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，， ∵点O为坐标原点， ∴点A和点C关于原点对称，点B和点D关于原点对称， ∵点A的坐标为， ∴C点坐标为， 故选：B． 3．下列图形中，中心对称图形的是（   ）． A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义判断即可，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形称为中心对称图形． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B．不是中心对称图形，故B选项不符合题意； C．是中心对称图形，故C选项符合题意； D．不是中心对称图形，故D选项不符合题意； 故选：C． 4．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】A. 不是中心对称图形，是轴对称图形； B. 是中心对称图形，不是轴对称图形； C. 既是中心对称图形又是轴对称图形； D. 不是中心对称图形，是轴对称图形． 故选：C． 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 5．如图是由5个边长为1的小正方形拼成的图形，P是其中4个小正方形的公共顶点，将该图形沿着过点P的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，根据△AMC≌△QPE≌△BPD，可知PM=AB，利用勾股定理可得答案． 【详解】解：如图，经过点P、Q的直线则把它剪成了面积相等的两部分， 由图形可知△AMC≌△QPE≌△BPD， ∴AM=PB， ∴PM=AB， ∵， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了图形的剪拼，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，正确画出分割线是解题的关键． 6．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点解答． 【详解】解：点P（-3，-5）关于原点对称的点的坐标是（3，5）， 故选：C． 【点睛】本题考查的是关于原点的对称的点的坐标，平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（-x，-y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数． 7．如图，线段AC与BD相交于点O，且△ABO和△CDO关于点O成中心对称，则下列结论，其中正确的个数是（    ） ①OB＝OD；②AB＝CD；③；④AC＝BD． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据成中心对称的两个图形的性质解答． 【详解】解：∵△ABO和△CDO关于点O成中心对称， ∴△ABO≌△CDO， ∴OB＝OD，AB＝CD， 而AC＝BD不一定成立， 故选：B． 【点睛】此题考查成中心对称的两个图形的性质：成中心对称的两个图形全等，熟记性质是解题的关键． 8．已知点经变换后到点B，下面的说法正确的是（    ） A．点A与点B关于x轴对称，则点B的坐标为 B．点A绕原点按顺时针方向旋转90°后到点B，则点B的坐标为 C．点A与点B关于原点中心对称，则点B的坐标为 D．点A先向上平移3个单位，再向右平移4个单位到点B，则点B的坐标为 【答案】D 【分析】根据点坐标的轴对称与平移变换、点坐标的旋转变换与中心对称变换逐项判断即可得． 【详解】解：A、点与点关于轴对称，则点的坐标为，则此项错误，不符合题意； B、点绕原点按顺时针方向旋转后到点，则横、纵坐标互换位置，且纵坐标变为相反数，所以点的坐标为，则此项错误，不符合题意； C、点与点关于原点中心对称，则点的坐标为，则此项错误，不符合题意； D、点先向上平移3个单位，再向右平移4个单位到点，则点的坐标为，即为，则此项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了点坐标的轴对称与平移变换、点坐标的旋转变换与中心对称变换，熟练掌握点坐标的变换规律是解题关键． 9．如图，与成中心对称，ED是的中位线，是的中位线，已知BC=4，则=(    ) A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据成中心对称的两个图形全等可得△ABC≌△A′B′C′，再根据全等三角形对应边相等可得B′C′=BC，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得E′D′=B′C′． 【详解】∵△ABC与△A′B′C′成中心对称， ∴△ABC≌△A′B′C′， ∴B′C′=BC=4， ∵E′D′是△A′B′C′的中位线， ∴E′D′=B′C′=×4=2． 故选A． 【点睛】此题主要考查了中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，还考查了三角形的中位线定理． 10．对于坐标平面内的点，先将该点向右平移1个单位，再向上平移2个单位，这种点的运动称为点的斜平移，如点P（2，3）经1次斜平移后的点的坐标为（3，5）．已知点A的坐标为（2，0），点Q是直线l上的一点，点A关于点Q的对称点为点B，点B关于直线l的对称点为点C，若点B由点A经n次斜平移后得到，且点C的坐标为（8，6），则△ABC的面积是（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】A 【分析】连接CQ，根据中心和轴对称的性质和直角三角形的判定得到∠ACB＝90，延长BC交x轴于点E，过C点作CF⊥AE于点F，根据待定系数法得出直线的解析式进而解答即可． 【详解】解：连接CQ，如图： 由中心对称可知，AQ＝BQ， 由轴对称可知：BQ＝CQ， ∴AQ＝CQ＝BQ， ∴∠QAC＝∠ACQ，∠QBC＝∠QCB， ∵∠QAC+∠ACQ+∠QBC+∠QCB＝180°， ∴∠ACQ+∠QCB＝90°， ∴∠ACB＝90°， ∴△ABC是直角三角形， 延长BC交x轴于点E，过C点作CF⊥AE于点F，如图， ∵A（2，0），C（8，6）， ∴AF＝CF＝6， ∴△ACF是等腰直角三角形， ∵， ∴∠AEC＝45°， ∴E点坐标为（14，0）， 设直线BE的解析式为y＝kx+b， ∵C，E点在直线上， 可得：， 解得：， ∴y＝﹣x+14， ∵点B由点A经n次斜平移得到， ∴点B（n+2，2n），由2n＝﹣n﹣2+14， 解得：n＝4， ∴B（6，8）， ∴△ABC的面积＝S△ABE﹣S△ACE＝×12×8﹣×12×6＝12， 故选：A． 【点睛】本题考查轴对称的性质，中心对称的性质，等腰三角形的判定与性质，求解一次函数的解析式，得到的坐标是解本题的关键． 二、填空题 11．已知点A与B(1，−6)关于y轴对称，则点A关于原点对称的点C的坐标是 ． 【答案】（1，6） 【分析】根据点A和点B（1，-6）关于y轴对称，先求出点A的坐标，继而点A与点C关于原点对称，求出点C的坐标． 【详解】解：∵点A和点B（1，-6）关于y轴对称， ∴点A的坐标为（-1，-6）， 又∵点A与点C关于原点对称， ∴点C的坐标为（1，6）． 故答案为：（1，6）． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系关于坐标轴或原点对称的两点的坐标之间的关系．平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于y轴的对称点的坐标是（-x，y），关于原点的对称点是（-x，-y）． 12．关于某一点成中心对称的两个图形，连接所有对称点的线段经过 ，被 平分，对应线段与对应角都 ． 【答案】 对称中心 对称中心 分别相等 【分析】根据中心对称的性质即可得． 【详解】解：关于某一点成中心对称的两个图形，连接所有对称点的线段经过对称中心，被对称中心平分，对应线段与对应角都分别相等， 故答案为：对称中心，对称中心，分别相等． 【点睛】本题考查了中心对称，熟练掌握中心对称的性质是解题关键． 13．如图，已知点的坐标是，，点的坐标是，，菱形的对角线交于坐标原点，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据菱形具有的平行四边形基本性质，对角线互相平分，且交点为坐标原点，则，关于原点对称， 因此在直角坐标系中两点的坐标关于原点对称，横坐标与横坐标互为相反数，纵坐标与纵坐标互为相反数便可得. 【详解】∵四边形 是菱形，对角线相交于坐标原点 ∴根据平行四边形对角线互相平分的性质，和； 和均关于原点对称 根据直角坐标系上一点 关于原点对称的点为可得 已知点的坐标是 ，则点的坐标是 . 故答案为：. 【点睛】本题旨在考查菱形的基本性质及直角坐标系中关于原点对称点的坐标的知识点，熟练理解掌握该知识点为解题的关键. 14．与在平面直角坐标系中的位置如图所示，它们关于点成中心对称，其中点，则点的坐标是 ． 【答案】（-4，-2） 【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出点A1的坐标即可． 【详解】∵△ABO与△A1B1O关于点O成中心对称，点A（4，2）， ∴点A1的坐标是：（-4，-2）． 故答案为：（-4，-2）． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形的性质，掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键． 15．如图，与关于点成中心对称，为的高，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了中心对称的性质，三角形面积公式，由题意得，，求出即可，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键． 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 16．若△ABC与△DEF关于点O成中心对称，且A、B、C的对称点分别为D、E、F，若AB=5，AC=3，则EF的范围是 ． 【答案】2＜EF＜8 【分析】根据成中心对称的两个图形对应线段长相等可知EF的取值范围等于BC的取值范围； 【详解】解：∵△ABC与△DEF关于点O成中心对称，且A、B、C的对称点分别为D、E、F，AB=5，AC=3， ∴DE=5，DF=3 ∴EF的取值范围为：2＜EF＜8 故答案为2＜EF＜8 【点睛】本题考查关于某点对称的图形之间的关系，解题关键是熟练掌握关于某点对称的图形性质． 17．若点与点关于原点对称，则 ． 【答案】1 【详解】∵点P（m，﹣2）与点Q（3，n）关于原点对称， ∴m=﹣3，n=2， 则（m+n）2018=（﹣3+2）2018=1， 故答案为1． 18．观察下列图形，将其中旋转对称图形和中心对称图形所对应编号填入相应的横线上. 旋转对称图形 ，中心对称图形 . 【答案】 (1)、(2)、(3)、(4)、(6) (1)、(3)、(4)、(6) 【分析】根据旋转对称图形和中心对称图形的定义；仔细观察题中所给的6个图形，即可解答. 【详解】旋转对称图形：(1)、(2)、(3)、(4)、(6)；中心对称图形：(1)、(3)、(4)、(6)， 故答案为(1)、(2)、(3)、(4)、(6)； (1)、(3)、(4)、(6). 【点睛】此题考查中心对称图形，旋转对称图形，解题关键在于掌握其定义. 三、解答题 19．下面扑克牌中，哪些牌的牌面是中心对称图形？ 【答案】“红桃2”“方片J”的牌面图案是中心对称图形 【分析】根据中心对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：“红桃2” 的牌面图案是中心对称图形，符合题意； “黑桃9” 的牌面图案不是中心对称图形，不符合题意； “方片J” 的牌面图案是中心对称图形，符合题意； “黑桃8” 的牌面图案不是中心对称图形，不符合题意； “梅花3” 的牌面图案不是中心对称图形，不符合题意． 综合所述：“红桃2”“方片J”的牌面图案是中心对称图形． 【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是解题关键． 20．如图是由3个同样的正方形所组成，请再补上一个同样的正方形，使得由4个正方形组成的图形成为一个中心对称图形．画出所有情况（给出的图形不一定全用，不够可添加）． 【答案】见解析 【分析】根据中心对称图形的概念求解即可．中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解：如图所示，一共有三种情况： 【点睛】此题考查了画中心对称图形，解题的关键是熟练掌握中心对称图形的概念．中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 21．如图，画出与关于点O成中心对称的图形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了中心对称作图的知识，根据中心对称的性质得到各顶点的对称点是解决问题的关键，再顺次连接即可． 【详解】解：①连接并延长到，使，于是得到点的对称点； ②同样画出点和点的对称点和； ③连接、、． 即为所求的三角形． 22．图中的两个四边形关于某点对称，找出它们的对称中心． 【答案】见解析 【分析】对应点连线的交点，即为旋转中心． 【详解】解：如图，点O即为所求 【点睛】本题考查作图−旋转变换，解题的关键是熟练掌握旋转变换的性质． 23．如图所示，△ABC和△DEF是成中心对称的两个三角形，请找出它的对称中心. 【答案】图形见解析. 【详解】试题分析：连接对应点找出对应点连线的中点就是对称中心. 24．如图，在正方形网格中，的顶点在格点上，请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中，作关于点对称的； （2）在图2中，作绕点顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【分析】（1）分别作出A，B，C三点关于O点对称的点，，，然后顺次连接即可得； （2）计算得出AB=，AC=5，再根据旋转作图即可． 【详解】（1）如图1所示； （2）根据勾股定理可计算出AB=，AC=5，再作图，如图2所示． 【点睛】本题考查复杂-应用与设计，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． 25．已知点，，，根据下列条件分别求a，b的值． (1)A，B两点关于x轴对称； (2)A，B两点关于y轴对称； (3)A，B两点关于坐标原点对称； (4)轴； (5)A，B两点在第二，四象限的角平分线上． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， (5)， 【分析】（1）关于x轴对称的两点的横坐标不变，纵坐标互为相反数，据此结合，两点的坐标可求出，； （2）关于轴对称的两点的纵坐标不变，横坐标互为相反数，据此结合，两点的坐标可求出，； （3）关于原点对称的两点的横坐标和纵坐标都互为相反数，据此结合，两点的坐标可求出，； （4）与轴平行的直线上的点的横坐标相同，纵坐标不同，据此结合，两点的坐标可求出，； （5）在第二、四象限两条坐标轴夹角的平行线上的点的横坐标和纵坐标互为相反数，据此结合，两点的坐标可求出，． 【详解】（1）解： ∵、关于x轴对称，则这两点的横坐标不变，纵坐标互为相反数， 又∵， ∴，． （2）解： ∵、关于轴对称，则这两点的纵坐标不变，横坐标互为相反数， 又∵， ∴，． （3）解：、关于原点对称，则这两点的横、纵坐标均互为相反数， ∵， ∴，． （4）解：直线轴，则、两点的横坐标相等，纵坐标不相等， ∵， ∴，． （5）解：、在第二、四象限两条坐标轴夹角的平分线上，则点、点的横坐标和纵坐标互为相反数， ∵， ∴，． 【点睛】本题考查了关于x轴、轴对称点的坐标，关于原点对称的点的坐标，熟记关于轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，关于轴对称的点的纵坐标相等，横纵标互为相反数；关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，是解题关键． 26．如图，和关于点成中心对称． (1)找出它们的对称中心； (2)若，，，求的周长； (3)连接，，试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)15 (3)平行四边形，理由见解析 【分析】（1）根据中心对称的性质，对称中心在线段AD、CF上，则连接AD和CF，它们的交点即为对称中心O； （2）根据中心对称的两个三角形全等可得到△DEF各边的长，然后计算△DEF的周长； （3）根据中心对称的性质得OA=OD，OC=OF，则根据平行四边形的判定方法可判断四边形ACDF为平行四边形． 【详解】（1）如图，点O为所作： （2）∵△ABC和△DEF关于点O成中心对称， ∴△ABC≌△DEF， ∴DF=AC=6，DE=AB=5，EF=BC=4， ∴△DEF的周长=4+5+6=15； （3）四边形ACDF为平行四边形．理由如下： ∵△ABC和△DEF关于点O成中心对称， ∴OA=OD，OC=OF， ∴四边形ACDF为平行四边形． 【点睛】本题考查了中心对称的性质．也考查了平行四边形的判定．熟练掌握中心对称的性质和平行四边形的判定方法是解答本题的关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 中心对称 （知识清单+10大题型+好题必刷） 题型汇聚 题型一 成中心对称 题型二 画已知图形关于某点对称的图形 题型三 画两个图形的对称中心 题型四 根据中心对称的性质求面积、长度、角度 题型五 中心对称图形的识别 题型六 判断中心对称图形的对称中心 题型七 在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 题型八 中心对称图形规律问题 题型九 求关于原点对称的点的坐标 题型十 已知两点关于原点对称求参数 知识清单 知识点1．中心对称 （1）中心对称的定义 把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．． （2）中心对称的性质 ①关于中心对称的两个图形能够完全重合； ②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分． 知识点2．中心对称图形 （1）定义 把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同． （2）常见的中心对称图形 平行四边形、圆形、正方形、长方形等等． 知识点3．关于原点对称的点的坐标 关于原点对称的点的坐标特点 （1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）． （2）关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质．但它主要是用坐标变化确定图形． 注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标． 题型练习 【题型一】成中心对称 【例1】（24-25九年级上·河南商丘·阶段练习）在平面直角坐标系中有点、，则，两点关于（   ）对称． A．原点 B．轴 C．轴 D．直线 【举一反三】 1．（24-25九年级上·福建厦门·期末）如图，四边形是正方形，，，，分别为各边的中点，与交于点，下列三角形中，与成中心对称的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）下列图形中，左边的图形与右边的图形可看成中心对称的有 ． 3．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，已知是的中线．    (1)画出以点为对称中心，与成中心对称的三角形（点的对称点为点）； (2)如果，，那么长的取值范围为_________． 【题型二】画已知图形关于某点对称的图形 【例2】（九年级上·山西吕梁·期中）△ABO与△在平面直角坐标系中关于原点O成中心对称，点A与点是对应点，其中点A(4,2)，则点的坐标是(   ) A．(4，-2) B．(-4，-2) C．(-2，-3) D．(-2，-4) 【举一反三】 1．（2023·河北衡水·二模）三个全等的等边三角形按图1所示位置摆放，现添加一个大小相同的等边三角形，使四个等边三角形组成一个中心对称图形（如图2），则添加的等边三角形所放置的位置是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 2．（九年级上·广西防城港·期中）中心对称的性质：中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分，中心对称的两个图形是 图形． 3．（24-25九年级上·天津·期中）在平面直角坐标系中，已知， (1)在坐标系中画出关于原点的中心对称图形，并直接写出坐标______； (2)以A为旋转中心，将顺时针旋转形成，在图中画出，并直接写出坐标______． 【题型三】画两个图形的对称中心 【例3】（九年级上·湖北武汉·期中）如图，点A，B分别是两个半圆的圆心，则该图案的对称中心是（　　） A．点A B．点B C．线段AB的中点 D．无法确定 【举一反三】 1．（23-24九年级上·广东珠海·期中）如图，两个半圆分别以O，为圆心，它们关于某点成中心对称，点A，B，，在同一直线上，则对称中心为（    ）    A．点O B．点B C．线段的中点 D．线段的中点 2．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中（坐标系中每个小正方形单位长度为1），画关于点成中心对称的图形时，小明由于紧张对称中心选错，画出的图形是，请你找出此时的对称中心的坐标是 ． 3．（24-25九年级上·河南许昌·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，将绕点O顺时针旋转得到． (1)请在图中画出； (2)与是否关于某点成中心对称？如果是，请在图中画出这个对称中心，并记作点P． 【题型四】根据中心对称的性质求面积、长度、角度 【例4】（24-25九年级上·浙江台州·期中）如图，与关于点成中心对称．则下列结论不成立的是（   ）    A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·河南信阳·期中）如图，与关于点O成中心对称，下列结论中，不成立的是（   ）    A． B． C．点A的对称点是点 D． 2．（24-25九年级上·广东云浮·期中）如图，已知与关于点A中心对称，若，则的长为 ．    3．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图，和关于点成中心对称． (1)找出它们的对称中心； (2)若，，，求的周长； (3)连接，，试判断四边形的形状，并说明理由． 【题型五】中心对称图形的识别 【例5】（2025·江苏宿迁·二模）下列哪个是中心对称图形（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·河南驻马店·期中）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）下图中，是中心对称图形的是 ．(填序号) 3．（24-25九年级上·山西吕梁·期中）图1和图2都是由边长为1的小菱形构成的网格，已有两个小菱形涂上了阴影，请你在图1中再将1个小菱形涂上色，在图2中再将3个小菱形涂上色，使两个图形中的涂色部分均为中心对称图形．（两个图形中各补出一种情况即可） 【题型六】判断中心对称图形的对称中心 【例6】（24-25九年级上·广西河池·期中）如图，矩形与矩形关于某点对称，则该点为（  ） A．点C B．点D C．线段的中点 D．线段的中点 【举一反三】 1．（九年级上·山东德州·期中）如图，已知图形是中心对称图形，则对称中心是（　　）    A．点 B．点 C．线段的中点 D．线段的中点 2．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，与成中心对称，则对称中心是 ． 3．（2024九年级上·全国·专题练习）画一条直线，你能将下面的图形分割成面积相等的两部分吗？动手画一画．    【题型七】在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 【例7】（24-25九年级上·安徽芜湖·期中）如图，这是的正方形网格，选择一空白小正方形，其与阴影部分组成的图形是中心对称图形的情况有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【举一反三】 1．（23-24九年级上·河北沧州·期末）如图是由8个正方形组成的网格，现嘉嘉想再给一个正方形涂上阴影，使四个阴影正方形所组成的图形是中心对称图形，则嘉嘉应该涂的是（    ） A．只有② B．只有③ C．①或③ D．③或④ 2．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图是3×3正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色，现在要从其余6个白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个涂成黑色的部分成为中心对称图形，这样的白色小方格有 个． 3．（24-25九年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)将绕原点O逆时针旋转得到，其中A，B，C分别和，，对应，画出， (2)画出关于点O成中心对称的． 【题型八】中心对称图形规律问题 【例8】（22-23九年级上·河北保定·期末）已知点与点关于对称，则？指的是（    ） A．1 B．3 C．5 D．2 【举一反三】 1．（23-24九年级上·广东汕头·期中）如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·河北·单元测试）如果将点P绕定点M旋转后与点Q重合，那么点P与点Q关于点M对称，定点M叫做对称中心，此时，M是线段的中点．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B，O的坐标分别为，，，点，，，…中的相邻两点都关于的一个顶点对称，点与点关于点A对称，点与点关于点B对称，点与点关于点O对称，点与点关于点A对称，点与点关于点B对称，点与点关于点O对称……且这些对称中心依次循环．已知点的坐标是，则点的坐标为 ． 3．（九年级上·全国·课后作业）有一组数排成方阵，如图所示，试计算这组数的和．小明想了想，方阵象正方形，正方形是轴对称图形，又是中心对称图形，能否利用轴对称和中心对称的思想来解决方阵的计算问题呢？小明试了试，竞得到了非常巧妙的方法，你能试试看吗？ 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 5 6 7 8 9 【题型九】求关于原点对称的点的坐标 【例9】（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）点P关于原点的对称点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）在平面直角坐标系中，点关于坐标原点O的对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·广西南宁·期中）已知点与点关于原点对称，则点的坐标为 ． 3．（24-25九年级上·广西南宁·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． (1)画出将绕原点O逆时针旋转后得到的，并写出的坐标． (2)写出点关于原点O对称的点的坐标． 【题型十】已知两点关于原点对称求参数 【例10】（24-25九年级上·广东东莞·期末）已知点与点关于原点对称，则n的值为（   ） A．6 B． C．2 D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·云南昭通·期中）若点与关于原点对称，则的值为（   ） A．2 B． C． D．8 2．（24-25九年级上·四川泸州·期末）点关于原点对称的点的坐标为，那么 ； 3．（23-24九年级上·广东韶关·期中）已知点与关于原点对称，求a，b的值. 好题必刷 一、单选题 1．在平面直角坐标系中，点P（1，2）关于原点对称的点的坐标是（　　） A．（﹣1，﹣2） B．（﹣1，2） C．（1，﹣2） D．（2，1） 2．如图：已知点A的坐标为，菱形的对角线交于坐标原点O，则C点的坐标是（　　）    A． B． C． D． 3．下列图形中，中心对称图形的是（   ）． A．B． C． D． 4．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 5．如图是由5个边长为1的小正方形拼成的图形，P是其中4个小正方形的公共顶点，将该图形沿着过点P的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（    ） A． B． C． D． 6．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 7．如图，线段AC与BD相交于点O，且△ABO和△CDO关于点O成中心对称，则下列结论，其中正确的个数是（    ） ①OB＝OD；②AB＝CD；③；④AC＝BD． A．4 B．3 C．2 D．1 8．已知点经变换后到点B，下面的说法正确的是（    ） A．点A与点B关于x轴对称，则点B的坐标为 B．点A绕原点按顺时针方向旋转90°后到点B，则点B的坐标为 C．点A与点B关于原点中心对称，则点B的坐标为 D．点A先向上平移3个单位，再向右平移4个单位到点B，则点B的坐标为 9．如图，与成中心对称，ED是的中位线，是的中位线，已知BC=4，则=(    ) A．2 B．3 C．4 D．5 10．对于坐标平面内的点，先将该点向右平移1个单位，再向上平移2个单位，这种点的运动称为点的斜平移，如点P（2，3）经1次斜平移后的点的坐标为（3，5）．已知点A的坐标为（2，0），点Q是直线l上的一点，点A关于点Q的对称点为点B，点B关于直线l的对称点为点C，若点B由点A经n次斜平移后得到，且点C的坐标为（8，6），则△ABC的面积是（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 二、填空题 11．已知点A与B(1，−6)关于y轴对称，则点A关于原点对称的点C的坐标是 ． 12．关于某一点成中心对称的两个图形，连接所有对称点的线段经过 ，被 平分，对应线段与对应角都 ． 13．如图，已知点的坐标是，，点的坐标是，，菱形的对角线交于坐标原点，则点的坐标是 ． 14．与在平面直角坐标系中的位置如图所示，它们关于点成中心对称，其中点，则点的坐标是 ． 15．如图，与关于点成中心对称，为的高，若，，则 ． 16．若△ABC与△DEF关于点O成中心对称，且A、B、C的对称点分别为D、E、F，若AB=5，AC=3，则EF的范围是 ． 17．若点与点关于原点对称，则 ． 18．观察下列图形，将其中旋转对称图形和中心对称图形所对应编号填入相应的横线上. 旋转对称图形 ，中心对称图形 . 三、解答题 19．下面扑克牌中，哪些牌的牌面是中心对称图形？ 20．如图是由3个同样的正方形所组成，请再补上一个同样的正方形，使得由4个正方形组成的图形成为一个中心对称图形．画出所有情况（给出的图形不一定全用，不够可添加）． 21．如图，画出与关于点O成中心对称的图形． 22．图中的两个四边形关于某点对称，找出它们的对称中心． 23．如图所示，△ABC和△DEF是成中心对称的两个三角形，请找出它的对称中心. 24．如图，在正方形网格中，的顶点在格点上，请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中，作关于点对称的； （2）在图2中，作绕点顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的． 25．已知点，，，根据下列条件分别求a，b的值． (1)A，B两点关于x轴对称； (2)A，B两点关于y轴对称； (3)A，B两点关于坐标原点对称； (4)轴； (5)A，B两点在第二，四象限的角平分线上． 26．如图，和关于点成中心对称． (1)找出它们的对称中心； (2)若，，，求的周长； (3)连接，，试判断四边形的形状，并说明理由. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$