10.1.3 空间图形的平面直观图的画法（题型专练）数学沪教版2020高二必修第三册

10.1.3空间图形的平面直观图的画法 题型一 斜二测画法 1．关于斜二测画法的内容和原理，下列说法中错误的是（    ）． A．斜二测画法中，原图形中平行于轴的线段，在直观图中长度为原来的一半 B．斜二测画法中，原图中与轴或轴平行的线段在直观图中与轴或轴平行 C．用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中一定平行 D．斜二测画法中，直观图和原图的面积一定相等 2．下列说法中正确的是（     ） A．相等的角在直观图中对应的角仍然相等 B．相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等 C．互相垂直的线段在直观图中对应的线段仍然垂直 D．线段的中点在直观图中仍然是线段的中点 3．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法不正确的是（    ） A．原来相交的仍相交 B．原来垂直的仍垂直 C．原来平行的仍平行 D．原来共点的仍共点 4.  水平放置的平面图形的直观图用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图的步骤 （1）在平面图形上取互相垂直的轴和轴，作出与之对应的轴和轴，使得它们正方向的夹角为 ． （2）平面图形中与轴平行（或重合）的线段画成与轴平行（或重合）的线段，且长度 ． 平面图形中与轴平行（或重合）的线段画成与轴平行（或重合）的线段，且长度为原来长度的 ． （3）连接有关线段，擦去作图过程中的辅助线． 5．按“斜二测”作图法，平行线段的直观图是 ． 6．利用斜二测画法得到的：①三角形的直观图一定是三角形；②正方形的直观图一定是菱形；③菱形的直观图一定是菱形.以上结论正确的是 . 题型二 空间图形直观图的画法 1．有一张长方形的纸（如图所示），现可任意沿虚线将其剪开或折叠（不将纸剪断），不能得到的图形的直观图是（   ） A． B． C． D． 2．在水平放置的平面上有一个边长为3cm的正三角形，请画出其直观图． 3．用斜二测画法画出图中四边形OBCD的直观图． 4．画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图． 5．我们可以把长方体看成底面沿着与底面垂直的方向平移后形成的几何体，依据这一点，如何作出长方体的直观图呢？ 6．用斜二测画法画长、宽、高分别为5cm、3cm、3cm的长方体的直观图． 题型三 由直观图画实际图形 1．如图所示，是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其还原成平面图形. 题型一 斜二测画法中长度、面积的计算 1．如图为水平放置的三角形的直观图，是中边的中点，且平行于轴，那么，，三条线段对应原图形中线段AB，AD，AC中（    ）． A．最长的是AB，最短的是AC B．最长的是AC，最短的是AB C．最长的是AB，最短的是AD D．最长的是AD，最短的是AC 2.已知某一个图形的直观图如图所示，，求原图形的面积为（    ） A． B． C． D． 3．在中，A为直角，，，若用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积为（    ） A． B． C． D． 4．如图，按斜二测画法所得水平放置的的直观图为，若，则（   ） A． B． C． D． 5．如图所示，表示水平放置的用斜二测画法得到的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则的边上的高为（    ）    A．3 B． C．6 D． 6．如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，则平面图形中对角线的长度为（   ） A． B． C． D．5 7．由斜二测画法得到的一个水平放置的三角形的直观图是等腰三角形，底角为30°，腰长为2，如图，那么它在原平面图形中，顶点B到x轴的距离是（   ）    A． B．2 C． D． 8．如图所示，是水平放置的的斜二测直观图，其中，则以下说法正确的是（   ）    A．是钝角三角形 B．的面积是的面积的2倍 C．是等边三角形 D．的周长是 9．如图所示正方形的边长为2cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（    ） A．12cm B．16cm C． D． 10．如图，一个水平放置的四边形的斜二测画法的直观图是矩形，，是的中点，则原四边形的面积是 . 11．用斜二测画法作出水平放置的正方形的直观图如图所示，则正方形与直观图的周长之比 . 12．在平面直角坐标系中，为直角三角形，直角边长为2和，且三个顶点都在坐标轴上，直角顶点与坐标原点重合，斜边除了端点外在第一象限，则在对应的斜二测坐标系下，的直观图的周长为 ． 13．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示.已知，且. 在平面直角坐标系中作出原平面图形并求面积； 14．（1）已知的直观图是边长为a的正三角形.求原三角形的面积； （2）如图，是水平放置的斜二测画法的直观图，能否判断的形状； （3）若（2）中的边A′C′＝6，B′C′＝4，则AB边的实际长度是多少？ 1．用斜二测画法得到的多边形的直观图为多边形，试探索多边形与多边形的面积之间有无确定的数量关系. 2．如图，一个加盖密封的漏斗的上面部分是一个正方体，下面部分是一个正四棱锥，该几何体所有棱长均为2米.    (1)求该漏斗的表面积； (2)若一只蚂蚁沿漏斗表面从点爬到点，求它爬过的最短路径的长； (3)将图中正方形水平放置，在由斜二测画法得到的水平放置的直观图中，求线段的长. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 10.1.3空间图形的平面直观图的画法 题型一 斜二测画法 1．关于斜二测画法的内容和原理，下列说法中错误的是（    ）． A．斜二测画法中，原图形中平行于轴的线段，在直观图中长度为原来的一半 B．斜二测画法中，原图中与轴或轴平行的线段在直观图中与轴或轴平行 C．用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中一定平行 D．斜二测画法中，直观图和原图的面积一定相等 【答案】D 【详解】斜二测画法中，原图形中平行于轴的线段，在直观图中长度为原来的一半，故A不符合题意； 斜二测画法中，原图中与轴或轴平行的线段在直观图中与轴或轴平行，故B不符合题意； 用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中一定平行，故C不符合题意； 斜二测画法中，直观图和原图的面积不一定相等，故D符合题意． 故选：D． 2．下列说法中正确的是（     ） A．相等的角在直观图中对应的角仍然相等 B．相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等 C．互相垂直的线段在直观图中对应的线段仍然垂直 D．线段的中点在直观图中仍然是线段的中点 【答案】D 【详解】如图，由斜二测画法得到的正方形的直观图是平行四边形，可知ABC均错误，D正确． 故选：D. 3．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法不正确的是（    ） A．原来相交的仍相交 B．原来垂直的仍垂直 C．原来平行的仍平行 D．原来共点的仍共点 【答案】B 【详解】根据斜二测画法可知：平行不变，即原图中的平行，则直观图也平行， 原图的相交，直观图中也相交，但相对应的角度会改变，所以B错误，ACD正确. 故选：B． 4.  水平放置的平面图形的直观图用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图的步骤 （1）在平面图形上取互相垂直的轴和轴，作出与之对应的轴和轴，使得它们正方向的夹角为 ． （2）平面图形中与轴平行（或重合）的线段画成与轴平行（或重合）的线段，且长度 ． 平面图形中与轴平行（或重合）的线段画成与轴平行（或重合）的线段，且长度为原来长度的 ． （3）连接有关线段，擦去作图过程中的辅助线． 【答案】 或 不变 一半 【详解】略 5．按“斜二测”作图法，平行线段的直观图是 ． 【答案】平行线段 【详解】略 6．利用斜二测画法得到的：①三角形的直观图一定是三角形；②正方形的直观图一定是菱形；③菱形的直观图一定是菱形.以上结论正确的是 . 【答案】① 【详解】由斜二测画法规则知，斜二测画法保持平行性不变，因此原相交直线，利用斜二测画法得到的仍是相交直线， 三角形的直观图一定是三角形，①正确； 斜二测画法中只有平行于轴或在轴上的线段，长度保持不变， 因此正方形、菱形的相邻两边，利用斜二测画法得到的线段不等，②③错误. 故答案为：① 题型二 空间图形直观图的画法 1．有一张长方形的纸（如图所示），现可任意沿虚线将其剪开或折叠（不将纸剪断），不能得到的图形的直观图是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 A项沿着和竖线剪开，沿中间线上翻得到. B项和线剪开，和线剪开，沿中间线上翻得到. C项四边形和四边形都被剪了，四边形和四边形位置冲突，所以不可能得到. D项沿和剪开，沿中间线上翻，再沿线剪开，沿中间线下翻得到. 故选：C. 2．在水平放置的平面上有一个边长为3cm的正三角形，请画出其直观图． 【答案】答案见解析 【详解】解：如图①所示，以边所在的直线为轴，以边的高线所在直线为轴，建立平面直角坐标系，    画对应的轴、轴，使， 在轴上截取，在轴上截取， 连接、、，则即为等边的直观图，如图③所示. 3．用斜二测画法画出图中四边形OBCD的直观图． 【答案】答案见解析 【详解】分以下三步进行作图： （1）过点C作轴，垂足为E，如图①所示． （2）画出对应的轴、轴，使， 在轴上取点，，使得，； 在轴上取一点，使得； 过作轴，使，连接，，如图②所示． （3）擦去轴与轴及其他辅助线， 如图③所示，四边形就是所求的直观图． 4．画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图． 【答案】答案见解析 【详解】画法：（1）如图所示，取AB所在直线为x轴，AB的中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系，使． （2）以为中点在轴上取，在轴上取，以为中点画轴，并使． （3）连接，，所得的四边形就是水平放置的等腰梯形的直观图． 5．我们可以把长方体看成底面沿着与底面垂直的方向平移后形成的几何体，依据这一点，如何作出长方体的直观图呢？ 【答案】答案见详解 【详解】先作出底面的直观图，然后找一个与底面垂直的方向，将底面平移，就形成了长方体的直观图. 6．用斜二测画法画长、宽、高分别为5cm、3cm、3cm的长方体的直观图． 【答案】作图见解析 【详解】（1）先建立如图所示的空间直角坐标系，其中； （2）在轴的正半轴上截取线段，在轴的正半轴上截取线段， 过作轴的平行线，过作轴的平行线，交点为，平行四边形为长方体的底面的直观图， （3）在轴的正半轴上截取，过分别作轴的平行线，在这些平行线上分别截取， （4）顺次连接， 由上述4步则可得如图所示的长、宽、高分别为5、3、3的长方体的直观图. 题型三 由直观图画实际图形 1．如图所示，是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其还原成平面图形. 【答案】答案见解析 【详解】（1）画出直角坐标系，在x轴的正方向上取，即， （2）过作轴，交轴于点， 在上取，过D作轴，且使； （3）连接，得， 则即为对应的平面图形，如图所示： 题型一 斜二测画法中长度、面积的计算 1．如图为水平放置的三角形的直观图，是中边的中点，且平行于轴，那么，，三条线段对应原图形中线段AB，AD，AC中（    ）． A．最长的是AB，最短的是AC B．最长的是AC，最短的是AB C．最长的是AB，最短的是AD D．最长的是AD，最短的是AC 【答案】C 【详解】因为轴，所以在中，， 又因为是的中点，所以D是BC中点， 所以为等腰三角形，有． 故选：C． 2.已知某一个图形的直观图如图所示，，求原图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 可得， 原图形是长为，宽为的2倍的长方形，即，， 所以原图形的面积为. 故选：B. 3．在中，A为直角，，，若用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意，中，，，， 由勾股定理得， 在直观图中， ，， 故的面积. 故选：B 4．如图，按斜二测画法所得水平放置的的直观图为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由写二次画法可知，， 在中，由余弦定理， 所以. 故选：A. 5．如图所示，表示水平放置的用斜二测画法得到的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则的边上的高为（    ）    A．3 B． C．6 D． 【答案】D 【详解】如图，作线段轴，交轴于点， 则， 所以边上的高为. 故选：D.    6．如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，则平面图形中对角线的长度为（   ） A． B． C． D．5 【答案】C 【详解】根据斜二测法的规则，平行于轴的线段长度在直观图和原图形中保持不变； 平行于轴的线段长度在原图形中是直观图中的2倍. 所以，且. 所以四边形为直角梯形. 根据勾股定理. 故选：C. 7．由斜二测画法得到的一个水平放置的三角形的直观图是等腰三角形，底角为30°，腰长为2，如图，那么它在原平面图形中，顶点B到x轴的距离是（   ）    A． B．2 C． D． 【答案】A 【详解】    过作的平行线交于M点，则易知， 由正弦定理可知，则， 由斜二测画法知：在原平面图形中，顶点B到x轴的距离是. 故选：A 8．如图所示，是水平放置的的斜二测直观图，其中，则以下说法正确的是（   ）    A．是钝角三角形 B．的面积是的面积的2倍 C．是等边三角形 D．的周长是 【答案】D 【详解】由题意，过作，垂足为，如下图：    则， 根据斜二测画法还原图形，可得下图：    则，，，， 易知为等腰三角形，故A错误；C错误； 由的面积， 的面积，则，故B错误； 的周长，故D正确. 故选：D. 9．如图所示正方形的边长为2cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（    ） A．12cm B．16cm C． D． 【答案】B 【详解】在直观图中，， 则在原图形中，所以， 即原图形的周长为16. 故选：B. 10．如图，一个水平放置的四边形的斜二测画法的直观图是矩形，，是的中点，则原四边形的面积是 . 【答案】 【详解】根据斜二测画法的定义知在直观图中是等腰直角三角形，所以， 根据勾股定理，，又因为是的中点， 所以，可得在原四边形中，，， 故原四边形的面积. 故答案为：. 11．用斜二测画法作出水平放置的正方形的直观图如图所示，则正方形与直观图的周长之比 . 【答案】 【详解】设正方形的边长为，则正方形的周长为， 直观图中,，则其周长为， 所以正方形与直观图的周长之比为. 故答案为：. 12．在平面直角坐标系中，为直角三角形，直角边长为2和，且三个顶点都在坐标轴上，直角顶点与坐标原点重合，斜边除了端点外在第一象限，则在对应的斜二测坐标系下，的直观图的周长为 ． 【答案】或 【详解】若直角边为2与纵轴重合，则对应边长为1，则另一直角边对应边长为， 所以斜边对应边长为，故周长为； 若直角边为与纵轴重合，则对应边长为，则另一直角边对应边长为2， 所以斜边对应边长为，故周长为； 综上，直观图的周长为或. 故答案为：或 13．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示.已知，且. 在平面直角坐标系中作出原平面图形并求面积； 【答案】图形见解析，面积为18 【详解】如图所示：梯形为还原的平面图形， 作交于点， 因为，所以， 所以. 14．（1）已知的直观图是边长为a的正三角形.求原三角形的面积； （2）如图，是水平放置的斜二测画法的直观图，能否判断的形状； （3）若（2）中的边A′C′＝6，B′C′＝4，则AB边的实际长度是多少？ 【答案】（1）（2）能（3）10 【详解】（1）∵直观图的面积S直＝S原，S直＝a2，∴S原＝a2， 即原三角形ABC的面积为a2. （2）由斜二测画法规则知，故为直角三角形. （3）由已知得在直角中，， 故. 1．用斜二测画法得到的多边形的直观图为多边形，试探索多边形与多边形的面积之间有无确定的数量关系. 【答案】有确定的数量关系 【详解】①设在中，为高边平行于轴，用斜二测画法得到其直观图为， 则有，的高为， 所以. ②当的三边都不与轴平行时，可过其中一个顶点作与轴平行的直线与对边相交，不妨设过点作与轴平行的直线交于点，则将分成和， 由①可知. ③对多边形，可连接，，…，，得到()个三角形， 即，，…，， 由①②知 综上：可知多边形与其直观图多边形的面积之间有确定的数量关系. 【点睛】本题考查了斜二测画法得到的直观图与原始图的面积关系，将多边形转化为三角形是解题的关键. 2．如图，一个加盖密封的漏斗的上面部分是一个正方体，下面部分是一个正四棱锥，该几何体所有棱长均为2米.    (1)求该漏斗的表面积； (2)若一只蚂蚁沿漏斗表面从点爬到点，求它爬过的最短路径的长； (3)将图中正方形水平放置，在由斜二测画法得到的水平放置的直观图中，求线段的长. 【答案】(1)（）； (2)（米） (3)米或米 【分析】（1）利用正方体和正四棱锥侧面积公式求漏斗的表面积； （2）将漏斗表面展成平面，在平面中利用两点连线距离最短求解； （3）用斜二测画法作出直观图，然后利用余弦定理求解即可. 【详解】（1）由题意，该漏斗的表面积（）； （2）将漏斗表面展开，如图所示：    由两点间距离最短可得线段为蚂蚁爬行最短路径， 过点作交延长线于点，连接， 则，， 在中，， 所以蚂蚁爬过的最短路径的长为（米）； （3）正方形的斜二测画法有以下两种：    左图情况下，，在中由余弦定理可得： ， 右图情况下，，在中由余弦定理可得： ， 综上所述，米或米. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$