精品解析：江西省南昌市第二中学2024-2025学年高二下学期6月期末考试数学试题

南昌二中2024-2025学年度下学期高二数学期末试卷 审题人：曹玉璋 命题人：唐宇力 一、单项选择题 1. 复数是成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先判断当时，是否等于，以确定充分性是否成立；再判断当时，是否一定等于，以确定必要性是否成立，进而确定条件类型. 【详解】当时， 再计算： ， 所以当时，成立，充分性成立. 由，则：， 即或，所以当时，不一定等于，必要性不成立. 因为充分性成立，必要性不成立，所以复数是成立的充分不必要条件， 故选：A. 2. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别解出集合中的分式不等式和集合中的对数不等式，再利用集合的交集运算即可求解. 【详解】不等式等价于，解得， ； 不等式等价于， ，，， . 故选：D. 3. 在正项等比数列中，是方程的两个根，则（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的性质求解. 【详解】因为是方程的两个根， 所以， 又因为在等比数列中，， 又因为是正项等比数列，所以， 所以， 故选:B. 4. 已知函数的定义域为，，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助赋值法，分别令及，可得求得答案. 【详解】令，得①； 令，得②， 由得. 故选：A. 5. 记数列的前项和为，且，则下列选项错误的是（ ） A. B. 数列是公差为1的等差数列 C. 数列是公比为4的等比数列 D. 数列的前2025项和为 【答案】B 【解析】 【分析】利用给定的前项和求出，再结合等差数列、等比数列定义及并项求和法逐项判断. 【详解】由，时，得，而满足上式， 因此数列的通项公式为， 对于A，，A正确； 对于B，，则，所以数列是公差为的等差数列，B错误； 对于C，，则，所以数列是公比为4的等比数列，C正确； 对于D，令，，数列前2025项和为 ，D正确. 故选：B. 6. 已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可. 【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得， 即a的范围是. 故选：B. 7. 设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】解法一：令，分析可知曲线与恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上，即可得，并代入检验即可；解法二：令，可知为偶函数，根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，即可得，并代入检验即可. 【详解】解法一：令，即，可得， 令， 原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点， 注意到均为偶函数，可知该交点只能在y轴上， 可得，即，解得， 若，令，可得 因为，则，当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时，等号成立， 则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点， 所以符合题意； 综上所述：. 解法二：令， 原题意等价于有且仅有一个零点， 因为， 则为偶函数， 根据偶函数的对称性可知的零点只能为0， 即，解得， 若，则， 又因为当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时，等号成立， 即有且仅有一个零点0，所以符合题意； 故选：D. 8. 已知，，则（ ） A. B. C. D. ，但和的大小关系无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】分别由题意证出且，得出结论即可. 【详解】由于，所以，因此， 又因为，即，故 故选：A. 二、多项选择题 9. 设正实数m，n满足，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为2 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】AB 【解析】 【分析】利用基本不等式结合相关变式即可求解. 【详解】由，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值为，故A正确； 由， 当且仅当时等号成立， 则的最大值为2，故B正确； 由，当且仅当时等号成立， 则的最大值为1，故C错误； 由， 当且仅当时等号成立， 则的最小值为2，故D错误. 故选：AB. 10. 设函数，则（ ） A. 是的极大值点 B. 当时， C. 当时， D. 曲线有且只有一个对称中心，且该对称中心坐标为 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出函数的导数，求出函数的单调区间，再结合极值、对称性逐项判断得解. 【详解】函数的定义域为R，求导得， 当或时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 对于A，是的极大值点，A正确； 对于B，在上单调递减，，则，B错误； 对于C，当时，，，，C正确； 对于D，令，，函数是奇函数， 函数的图象关于原点对称，则函数的图象关于点对称， 若函数的图象还有一个对称中心，则 ，而不为常数， 因此点不是函数图象的对称中心，即函数的图象有且只有一个对称中心， 则曲线有且只有一个对称中心，且该对称中心坐标为，D正确. 故选：ACD 11. 已知关于 的方程:有两个正根，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】把等式分离参数并构造函数，单调探讨性，结合零点的意义判断A；取值判断B；利用不等式的性质判断C；利用不等式性质，结合对数函数性质，作差并利用导数确定正负判断D. 【详解】对于A，，函数在上递增， 因此函数在上递减，在上递增，， 是直线与函数的两个交点，则，A正确； 对于B，取，，则，而， 此时，B错误； 对于C，，而，因此，C正确； 对于D，，则，于是， ，令函数，， 函数在上单调递增，，因此，即，D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：作差构造函数，利用导数探讨单调性是判断选项D的关键. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则曲线在点处切线的倾斜角是___________. 【答案】 【解析】 【分析】对函数求导，求出在点处的切线斜率，进而得出倾斜角. 【详解】因为，所以，则 所以曲线在点处的切线斜率为，所以斜线的倾斜角为：. 故答案为： 13. 已知函数的定义域是，则的定义域是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先由抽象函数的定义域的求法求出的定义域，然后求解即可. 【详解】函数的定义域是， 所以，于是， 所以的定义域为， 由，解得， 故的定义域为， 故答案为： 14. 已知等比数列满足且，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用等比数列，将各项均用表示，然后构造函数，分类讨论和两种情况下的单调性，进而确定为使方程有解，的取值范围. 【详解】因为为等比数列，所以. 令， 则. 因为，所以. 当时，，此时恒成立，在上单调递增， ，所以一定有解，即，使得成立. 当时，，则，此时单调递增；，则，此时单调递减. 为使有解，则， 整理得，解得. 又，所以. 综上，的取值范围是. 故答案为： 四、解答题 15. 已知数列的前项和为，，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列前12项和. 【答案】（1） （2）4095 【解析】 【分析】（1）利用与间的关系求通项公式即可； （2）由等比数列的前项和公式可得结果. 【小问1详解】 数列的前n项和为，，， 当时，，所以， 当时，由，可得， 两式相减得，得到， 又，又， 满足，所以数列是首项为1，公比为的等比数列，所以. 【小问2详解】 由（1）知，所以数列前12项和. 16. 已知函数，. （1）求证：； （2）任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由已知分别求解和的解析式，即可证明； （2）由已知可得，由，不等式等价变形为恒成立，换元令，构造新函数设，求解的取值范围，通过求导判断函数的单调性求解最值即可得到答案. 【小问1详解】 因为，所以， 因为，， 所以， 所以. 【小问2详解】 因为，所以， 由，得. 因为，所以（当且仅当时取等号），故， 所以原不等式等价于恒成立. 因为，，所以，故为偶函数， 所以在上的值域等价于在上的值域. 因为在上恒成立，所以在上单调递增， 所以，即. 令， 则， 设，， 则，所以在上单调递减， 所以， 因为恒成立，所以，即， 所以实数m的取值范围是. 17. 如图，在正三棱柱中，D为棱AC的中点，E为棱中点，. （1）证明：平面； （2）证明：平面BDE； （3）求二面角的正切值. 【答案】（1）证明：设交于点O，连接DO， 在正三棱柱中，且， 所以四边形是平行四边形，则O为的中点， 因为D为AC的中点，故， 因为平面，平面，所以平面； （2）证明：在正三棱柱中，且， 又，，可得正方形，故， 因为D，E分别是AC，的中点，所以，故得； 在正三棱柱中平面ABC，平面ABC，所以， 在正三角形ABC中，D为AC的中点，所以 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，，平面BDE，故平面； （3） 【解析】 【分析】（1）设交BC于点O，连接DO，先证，然后由线面平行的判定定理即可证明； （2）先证明，由线面垂直的判定定理可得平面，即，然后由线面垂直的判定定理即可证明平面； （3）设正三棱柱底边边长为2a，取BC的中点F，连接AF，取CF中点G，连接DG，过G作GH垂直BE于点H，连接DH，由二面角的定义可得即为所求二面角的平面角，通过三角形中的边角关系即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设正三棱柱底边边长为2a， 取BC的中点F，连接AF，取CF中点G，连接DG，过G作GH垂直BE于点H，连接DH， 因为三角形ABC为正三角形，且F为BC中点，所以， 因平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 因为D为AC中点，G为FC中点，所以，所以平面， 又平面，所以， 又，，平面HGD， 所以平面DHG，又平面DHG，所以， 则即为所求二面角的平面角， 因， 在直角三角形BCE中，， 又，所以在中，， 则， . 即二面角的正切值为. 18. 已知曲线和曲线. （1）若曲线上两个不同点A、B的横坐标分别为，求证：直线的方程：； （2）若直线与曲线相切，求证：； （3）若曲线上任意点向曲线引两条切线交于另两点为，求证：直线与曲线相切. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据斜率公式以及点斜式即可求解直线方程； （2）联立直线与曲线方程可得，根据判别式为0即可求解； （3）根据以及（2）中得QR的方程：，验证（2）的结论即可求解. 【小问1详解】 设，，因为A，B在曲线上，所以有： ，易知， 所以直线AB的斜率. 根据点斜式方程，直线AB过点，则直线AB的方程为. 将代入上式得：， 展开可得：, 化简得， 即，得证. 【小问2详解】 将直线：代入曲线，可得：， 展开并整理得：. 因为直线l与曲线相切，所以此一元二次方程的判别式. 则 展开得：， 化简可得，得证. 【小问3详解】 设P，Q，R三点横坐标分别为，，， 结合（1）可知直线PQ的方程：， 直线PQ与曲线相切，再结合（2）中得：. 整理得： 再整理：. 同理可得， 所以直线既过点又过点 即直线QR的方程：. 再次结合（2）可推算： , 所以，直线QR与曲线相切. 19. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）求证：对任意不等式恒成立； （参考数值：，，） （3）无穷数列，，，请探究是否存在，使得？ 【答案】（1）单调递增区间是，单调递减区间是：. （2）证明见解析 （3）存在 【解析】 【分析】(1)对函数求导，利用的正负，即可求得单调区间. （2）将不等式恒成立转化为函数，令，求函数的单调区间进而求出最大值，即可证明结论. （3）根据题干，利用三角恒等式将递推关系转化为角度递增问题，求出，分析数列的有界性即可. 【小问1详解】 求函数的单调区间 对，求导可得： ·当时，，，所以，函数单调递增. ·当时，，，所以，函数单调递减. 综上，的单调递增区间是，单调递减区间是：. 【小问2详解】 证明不等式恒成立 本题可构造函数，结合（1）中函数单调性进行证明. 令，， 将其变形为. 对求导：， 当时，，令，求导得， 所以在上单调递增，，则，在上单调递增，. 由参考数值，，可得. ·当时，，，， 单调递增，，所以， 在上单调递减，， 又. 综上，对任意，不等式恒成立. 【小问3详解】 探究是否存在：，使得？ 由（1）知在上递减，， ，所以. 当时，由二次函数可以计算，，..........，，这与题干矛盾； 当时，可以记，则，，… 以此类推，可得. 因为，不妨设，倒推可得：，⋯， 只要存在使得，且，同时（因为）. 又因为的值域包含的部分区间，所以存在，使得， 进而通过递推关系使得. 所以存在：，使得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌二中2024-2025学年度下学期高二数学期末试卷 审题人：曹玉璋 命题人：唐宇力 一、单项选择题 1. 复数是成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 在正项等比数列中，是方程的两个根，则（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 4. 已知函数的定义域为，，则（ ） A. 1 B. C. D. 5. 记数列的前项和为，且，则下列选项错误的是（ ） A. B. 数列是公差为1的等差数列 C. 数列是公比为4的等比数列 D. 数列的前2025项和为 6. 已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 8. 已知，，则（ ） A. B. C. D. ，但和的大小关系无法确定 二、多项选择题 9. 设正实数m，n满足，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为2 C. 的最大值为 D. 的最小值为 10. 设函数，则（ ） A. 是的极大值点 B. 当时， C. 当时， D. 曲线有且只有一个对称中心，且该对称中心坐标为 11. 已知关于 的方程:有两个正根，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则曲线在点处切线的倾斜角是___________. 13. 已知函数的定义域是，则的定义域是__________． 14. 已知等比数列满足且，则的取值范围是______． 四、解答题 15. 已知数列的前项和为，，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列前12项和. 16. 已知函数，. （1）求证：； （2）任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 17. 如图，在正三棱柱中，D为棱AC的中点，E为棱中点，. （1）证明：平面； （2）证明：平面BDE； （3）求二面角的正切值. 18. 已知曲线和曲线. （1）若曲线上两个不同点A、B的横坐标分别为，求证：直线的方程：； （2）若直线与曲线相切，求证：； （3）若曲线上任意点向曲线引两条切线交于另两点为，求证：直线与曲线相切. 19. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）求证：对任意不等式恒成立； （参考数值：，，） （3）无穷数列，，，请探究是否存在，使得？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $