3.4函数的应用（一） 学后效果检测-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

3.4函数的应用一-学后效果检测 -解析版 一、单选题 1．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为（万元）.一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为（    ） A．18万件 B．20万件 C．16万件 D．8万件 【答案】A 【分析】先求得利润的表达式，然后结合二次函数的性质求得利润取得最大值时对应的生产数量. 【详解】利润 . 所以当时，L(x)有最大值. 故选：A 2．如图，在中，于D，，矩形的顶点E与A点重合，，将矩形沿AB平移，当点E与点B重合时，停止平移，设点E平移的距离为x，矩形与重合部分的面积为y，则y关于x 的函数图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】分类讨论重合部分的形状，然后利用面积公式将y关于x 的函数表示出来即可. 【详解】于D，， ,, 且 故当时，重合部分为三角形， 三角形的高， 面积，函数图像为开口向上的二次函数，故排除A选项； 当时，重合部分为直角梯形， 上底长为， 下底长为，高为4， 故， 函数图像为一条直线，故排除D选项； 当时，重合部分可以看作两个直角梯形， 左边直角梯形的上底长为， 高为 两个梯形下底长均为， 右边直角梯形上底长为， 高为， 故， 图像为开口下的二次函数，且对称轴为，故排除B选项； 故选：C 3．根据统计，一名工人组装第件产品所用的时间（单位：分钟）为（为常数）．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第件产品用时5分钟，那么和的值分别是 A．75，25 B．75，16 C．60，144 D．60，16 【答案】C 【详解】试题分析：由题意可得：，故应选C． 4．某工厂生产某产品x吨所需费用为P元，而卖出x吨的价格为每吨Q元，已知P＝1 000＋5x＋x2，Q＝a＋，若生产出的产品能全部卖出，且当产量为150吨时利润最大．此时每吨的价格为40元，则有(　　) A．a＝45，b＝－30 B．a＝30，b＝－45 C．a＝－30，b＝45 D．a＝－45，b＝－30 【答案】A 【详解】设生产x吨产品全部卖出，获利润为y元， 则y＝xQ－P＝x－＝·x2＋(a－5)x－1 000(x＞0)． 由题意知，当x＝150时，y取最大值，此时Q＝40. 所以解得 答案：A 5．某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量（微克）与时间（小时）之间近似满足如图所示的曲线.据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗疾病有效，则服药一次治疗该疾病有效的时间为（　　） A．4小时 B．小时 C．小时 D．5小时 【答案】C 【分析】根据图像求出函数的解析式，再将函数值0.25代入函数解析式，构造不等式，可以求出每毫升血液中含药量不少于0.25微克的起止时刻，它们之间的差值为服药一次治疗疾病的有效时间. 【详解】由题意，当时，函数图象是一个线段，由于过原点与点，故其解析式为，； 当时，函数的解析式为，此时在曲线上，将此点的坐标代入函数解析式得，解得，故函数的解析式为，. 所以，令，即， 解得，∴.∴服药一次治疗疾病有效的时间为个小时. 故选：C. 6．单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数满足关系，其中为安全距离，为车速.当安全距离取时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（    ） A．135 B．149 C．165 D．195 【答案】B 【分析】把给定函数变形，利用基本不等式即可得解. 【详解】由题意得，，当且仅当，即时取“=”， 所以该道路一小时“道路容量”的最大值约为149. 故选：B 二、多选题 7．几名大学生创业时经过调研选择了一种技术产品，生产此产品获得的月利润p（x）（单位：万元）与每月投入的研发经费x（单位：万元）有关．已知每月投入的研发经费不高于16万元，且p（x）＝－x2＋6x－20，利润率y＝.现在已投入研发经费9万元，则下列判断正确的是（　　） A．此时获得最大利润 B．再投入6万元研发经费才能获得最大利润 C．再投入1万元研发经费可获得最大利润率 D．再投入1万元研发经费才能获得最大利润 【答案】BC 【详解】 解析：当x≤16时，p（x）＝－x2＋6x－20＝－（x－15）2＋25，故当x＝15时，获得最大利润，为p（15）＝25，故B正确，D错误；y＝＝－x＋6－＝－（x＋）＋6≤－2＋6＝2，当且仅当x＝，即x＝10时取等号，此时研发利润率取得最大值2，故C正确，A错误． 8．国庆节期间，甲、乙两商场举行优惠促销活动，甲商场采用购买所有商品一律“打八四折”的促销策略，乙商场采用“购物每满200元送40元”的促销策略．某顾客计划消费元，并且要利用商场的优惠活动，使消费更低一些，则（   ） A．当时，应进甲商场购物 B．当时，应进乙商场购物 C．当时，应进乙商场购物 D．当时，应进甲商场购物 【答案】AC 【分析】分别计算不同选项两个商场的优惠判断即可. 【详解】当时，甲商场的费用为，乙商场的费用为，，故应进甲商场， 所以选项A正确； 当时，甲商场的费用为，乙商场的费用为， ，因为，所以，，进入乙商场，当故应进甲商场，所以选项B错误； 当时，甲商场的费用为，乙商场的费用为 ，因为，所以 故，所以应进乙商场，所以选项C正确； 假设消费了600，则在甲商场的费用为，在乙商场的费用为， 所以乙商场费用低，故在乙商场购物，故选项D错误. 故选：AC 三、填空题 9．某学校研究学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中发现，在40分钟的一节课中，注意力指数与听课时间（单位：分）之间的关系满足如图所示的图象，当时，图象是二次函数图象的一部分，其中顶点，图象过点；当时，图象是线段，其中.根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳.要使得学生学习效果最佳，则教师安排核心内容的时间段为 .（写成区间形式）    【答案】 【分析】分，两种情况求出函数解析式，再结合不等式求解即可. 【详解】当时，设， 将代入得，，解得， 则， 由，解得，即； 当时，设， 将，代入得，则， 由，解得，即. 综上所述，教师在时间段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳. 故答案为：. 10．统计某种水果在一年中四个季度的市场价格及销售情况如下表. 季度 1 2 3 4 每千克售价(单位：元) 19.55 20.05 20.45 19.95 某公司计划按这一年各季度“最佳近似值m”收购这种水果，其中的最佳近似值m这样确定，即m与上表中各售价差的平方和最小时的近似值，那么m的值为 . 【答案】20 【分析】根据题意，求得表中各售价差的平方和的表达式，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由题意，设 ， 由二次函数的性质，可得当时，取得最小值， 即实数的值为. 故答案为：. 四、解答题 11．如图，正方形的边长为2，E为边上的一点，．F为线段上的一点，，垂足为G，，垂足为H．    (1)设，求：矩形的面积关于x的函数解析式及其定义域. (2)求：矩形的面积的最大值． 【答案】(1) (2)当时，，当时， 【分析】（1）利用相似得到矩形边长，再求解面积解析式即可. （2）利用二次函数性质分析解析式，求解最值即可. 【详解】（1）如图，作，交于，交于，    因为，，所以，， 由得到，所以， 所以，故，解得， 所以， （2）设，由二次函数性质得当时， 在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，， 当时，在上单调递减，当时，， 综上当时，，当时，. 12．某地为打造“生态水果庄园”，对某种果树进行调研.经调研发现，施用肥料千克时，这种果树的单株产量（单位：千克），单株施用肥料及其它成本的总投入为元.已知这种水果的市场售价大约为10元/千克，且销路畅通供不应求.记该果树的单株利润为（单位：元）． (1)求的解析式； (2)当施用肥料为多少千克时，该果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)施用肥料为3千克时，该果树的单株利润最大，最大利润是390元 【分析】（1）根据可得的解析式. （2）利用二次函数的性质及基本不等式可求的最大值. 【详解】（1）由已知得，， ∵， ∴， 整理得，. （2）当时，，对称轴为直线， ∴. 当时， ， 当且仅当，即时等号成立，故， ∵，∴的最大值为390， ∴当施用肥料为3千克时，该果树的单株利润最大，最大利润是390元． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.4函数的应用一-学后效果检测 -试题版 【1】检测范围 1.一次函数、二次函数、幂函数、分段函数模型的应用， 2运用函数思想处理现实生活中的简单应用问题． 【2】检测成果（批改一栏可以打”√”或”×”，不会做可以画”O”） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 批改 需重视题目 【3】检测试题 一、单选题 1．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为（万元）.一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为（    ） A．18万件 B．20万件 C．16万件 D．8万件 2．如图，在中，于D，，矩形的顶点E与A点重合，，将矩形沿AB平移，当点E与点B重合时，停止平移，设点E平移的距离为x，矩形与重合部分的面积为y，则y关于x 的函数图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   3．根据统计，一名工人组装第件产品所用的时间（单位：分钟）为（为常数）．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第件产品用时5分钟，那么和的值分别是 A．75，25 B．75，16 C．60，144 D．60，16 4．某工厂生产某产品x吨所需费用为P元，而卖出x吨的价格为每吨Q元，已知P＝1 000＋5x＋x2，Q＝a＋，若生产出的产品能全部卖出，且当产量为150吨时利润最大．此时每吨的价格为40元，则有(　　) A．a＝45，b＝－30 B．a＝30，b＝－45 C．a＝－30，b＝45 D．a＝－45，b＝－30 5．某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量（微克）与时间（小时）之间近似满足如图所示的曲线.据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗疾病有效，则服药一次治疗该疾病有效的时间为（　　） A．4小时 B．小时 C．小时 D．5小时 6．单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数满足关系，其中为安全距离，为车速.当安全距离取时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（    ） A．135 B．149 C．165 D．195 二、多选题 7．几名大学生创业时经过调研选择了一种技术产品，生产此产品获得的月利润p（x）（单位：万元）与每月投入的研发经费x（单位：万元）有关．已知每月投入的研发经费不高于16万元，且p（x）＝－x2＋6x－20，利润率y＝.现在已投入研发经费9万元，则下列判断正确的是（　　） A．此时获得最大利润 B．再投入6万元研发经费才能获得最大利润 C．再投入1万元研发经费可获得最大利润率 D．再投入1万元研发经费才能获得最大利润 8．国庆节期间，甲、乙两商场举行优惠促销活动，甲商场采用购买所有商品一律“打八四折”的促销策略，乙商场采用“购物每满200元送40元”的促销策略．某顾客计划消费元，并且要利用商场的优惠活动，使消费更低一些，则（   ） A．当时，应进甲商场购物 B．当时，应进乙商场购物 C．当时，应进乙商场购物 D．当时，应进甲商场购物 三、填空题 9．某学校研究学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中发现，在40分钟的一节课中，注意力指数与听课时间（单位：分）之间的关系满足如图所示的图象，当时，图象是二次函数图象的一部分，其中顶点，图象过点；当时，图象是线段，其中.根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳.要使得学生学习效果最佳，则教师安排核心内容的时间段为 .（写成区间形式）    10．统计某种水果在一年中四个季度的市场价格及销售情况如下表. 季度 1 2 3 4 每千克售价(单位：元) 19.55 20.05 20.45 19.95 某公司计划按这一年各季度“最佳近似值m”收购这种水果，其中的最佳近似值m这样确定，即m与上表中各售价差的平方和最小时的近似值，那么m的值为 . 四、解答题 11．如图，正方形的边长为2，E为边上的一点，．F为线段上的一点，，垂足为G，，垂足为H．    (1)设，求：矩形的面积关于x的函数解析式及其定义域. (2)求：矩形的面积的最大值． 12．某地为打造“生态水果庄园”，对某种果树进行调研.经调研发现，施用肥料千克时，这种果树的单株产量（单位：千克），单株施用肥料及其它成本的总投入为元.已知这种水果的市场售价大约为10元/千克，且销路畅通供不应求.记该果树的单株利润为（单位：元）． (1)求的解析式； (2)当施用肥料为多少千克时，该果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 【4】备用知识 1.　一次函数模型 形如y＝kx＋b的函数为一次函数模型，其中k≠0.(1)一次函数模型的突出特点是其图象是一条直线．(2)解一次函数模型时，注意待定系数法的应用，主要步骤是：设元、列式、求解． 2.　二次函数模型 ①一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)②顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)．③两点式：y＝a(x－m)(x－n)(a≠0)． (1)方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法利用函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题． (2)注意：取得最值的自变量与实际意义是否相符． 3.　幂函数模型 1．解析式：y＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0)． 2．单调性：其增长情况由xα中的α的取值而定． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$