3.3幂函数 学后效果检测-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

3.3幂函数-学后效果检测 -解析版 一、单选题 1．已知函数是幂函数.则（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】C 【分析】根据函数是幂函数求参数，再求函数值即可. 【详解】因为函数是幂函数，所以，所以， 所以，所以. 故选：C. 2．“或”是“幂函数为偶函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】运用幂函数定义及充要条件的定义判断. 【详解】由为幂函数，可得，解得或， 且时，为偶函数， 当时，也为偶函数 ，故“或”是“幂函数为偶函数”的充要条件． 故选：C． 3．幂函数在上单调递增，则的图象过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用幂函数的定义和性质，求得m的值，再利用指数 函数的图象过定点问题，得出结论. 【详解】幂函数在上单调递增， ，且， 求得， 故， 令， 求得， 可得的图象过定点， 故选：B. 4．下列命题中正确的是（ ） A．当时，函数的图象是一条直线 B．幂函数的图象都经过，两点 C．幂函数图象不可能在第四象限内 D．若幂函数为奇函数，则是定义域内的严格增函数 【答案】C 【分析】由幂函数的图象与性质判断即可. 【详解】对A，当时，函数的图象是一条直线除去点，所以A项不正确； 对B，幂函数的幂指数小于0时，图象不经过，所以B项不正确； 对C，幂函数的图象不可能在第四象限内，所以C项正确； 对D，当时，幂函数为奇函数，但在定义域内不是严格的增函数，所以D项不正确； 故选：C. 5．函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数的奇偶性以及单调性和增长速度判断图象可得结论. 【详解】易知满足，即函数为偶函数； 图象关于轴对称，可排除D， 易知当时，函数单调递增，可排除C， 且当时，函数的增长速度越来越慢，其图象在图象下方，排除A； 故选：B 6．已知幂函数是定义域上的奇函数，则满足的实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义求出的值，再代入解析式中检验，即可得到，从而得到函数的单调性，根据单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可. 【详解】因为为幂函数，所以，解得或， 当时，，此时为偶函数，不符合题意； 当时，，此时为奇函数，符合题意； 所以，则的定义域为，且函数在上单调递减， 则在上单调递减， 所以不等式， 即或或， 解得或无解或， 所以实数的取值范围为. 故选：C 二、多选题 7．下列函数中，为幂函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用幂函数的定义，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】由幂函数的定义知，和是幂函数， 和不是幂函数，分别是二次函数和指数函数， 故选：AC. 8．下列说法正确的是（    ） A．若幂函数的图象经过点，则函数的解析式为 B．若函数，则在区间上单调递减 C．若正实数m，n满足，则 D．若函数，则对任意，，且，有 【答案】ACD 【分析】根据待定系数法求解即可判断A；结合幂函数的单调性性质判断B；根据幂函数的单调性判断C；根据作差法比较大小即可判断D. 【详解】解：对于选项A，设幂函数为，代入点，即，解得，所以幂函数的解析式为，故A正确； 对于选项B，函数是偶函数且在区间上单调递减，所以函数在区间上单调递增，故B错误； 对于选项C，因为函数在上单调递增，，满足， 所以， 因为函数在上单调递减，则，故C正确； 对于选项D，由于，,\ 则，，， 所以 ， 所以，故D正确. 故选：ACD． 三、填空题 9．已知，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据函数的定义域、单调性列不等式组，解不等式组即可得解. 【详解】函数的定义域为， 且为偶函数，在上单调递减，在上单调递增， 所以，等价于， 所以， 即 即且， 故实数a的取值范围是， 故答案为：. 10．不论实数取何值，函数恒过的定点坐标是 ． 【答案】 【分析】根据，即可知恒过定点. 【详解】因为，故当，即时，， 即函数恒过定点. 故答案为：. 四、解答题 11．已知幂函数在定义域上不单调． (1)求函数的解析式； (2)函数是否具有奇偶性？请说明理由； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)奇函数，理由见解析； (3). 【分析】（1）由幂函数的定义可得或，结合函数的单调性验证得解. （2）结合奇函数和偶函数的定义，判断函数的奇偶性； （3）利用奇函数的性质化简不等式，再结合函数的单调性通过讨论化简不等式求其解. 【详解】（1）由幂函数，得，解得或， 若，则在定义域内单调递增，不合题意； 若，则在定义域内单调递减， 但在定义域内不单调，符合题意； 所以函数的解析式为. （2）函数为奇函数，理由如下： 函数的定义域关于原点对称， 且，所以函数为奇函数. （3）由及为奇函数， 得， 即， 而在上递减且恒负，在上递减且恒正， 所以或或，解得或， 所以实数的取值范围. 12．已知函数为幂函数. (1)判断函数的单调性，并加以证明； (2)若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)单调递增，证明见解析 (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义可得出关于的等式，结合可得出函数的解析式，判断出函数在上单调递增，然后利用函数单调性的定义证明即可； （2）由不等式得，，令，由，得，当时，直接验证即可；当时，利用参变量分离法结合基本不等式可求得实数的取值范围. 【详解】（1）函数为幂函数，则，即， 因为，所以，得，则函数在上单调递增， 下面证明： 任取、且， 则， 因为，所以，而， 得，即，故函数在上单调递增. （2）由不等式得，， 令，由，得， 不等式变为：，得， 当时，上式恒成立， 当时，则，而， 当且仅当时，即当时，等号成立，则， 故实数的取值范围为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.3幂函数--学后效果检测 -试题版 【1】检测范围 1. 幂函数的概念.2幂函数的图象与性质.3幂函数在第一象限的分类特征. 【2】检测成果（批改一栏可以打”√”或”×”，不会做可以画”O”） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 批改 需重视题目 【3】检测试题 一、单选题 1．已知函数是幂函数.则（   ） A． B．2 C． D．1 2．“或”是“幂函数为偶函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．幂函数在上单调递增，则的图象过定点（    ） A． B． C． D． 4．下列命题中正确的是（ ） A．当时，函数的图象是一条直线 B．幂函数的图象都经过，两点 C．幂函数图象不可能在第四象限内 D．若幂函数为奇函数，则是定义域内的严格增函数 5．函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 6．已知幂函数是定义域上的奇函数，则满足的实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．下列函数中，为幂函数的是（   ） A． B． C． D． 8．下列说法正确的是（    ） A．若幂函数的图象经过点，则函数的解析式为 B．若函数，则在区间上单调递减 C．若正实数m，n满足，则 D．若函数，则对任意，，且，有 三、填空题 9．已知，则实数的取值范围是 ． 10．不论实数取何值，函数恒过的定点坐标是 ． 四、解答题 11．已知幂函数在定义域上不单调． (1)求函数的解析式； (2)函数是否具有奇偶性？请说明理由； (3)若，求实数的取值范围． 12．已知函数为幂函数. (1)判断函数的单调性，并加以证明； (2)若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围. 【4】备用知识 (1)幂函数的定义 一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数. (2)常见的五种幂函数的图象 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0,+∞)上都有定义; ②当α>0时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)上单调递增; ③当α<0时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,+∞)上单调递减. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$