6.3.1角的概念导学案2024-2025学年人教版数学七年级上册

第六章几何图形初步 6.3 角 6.3.1 角的概念导学案 一、学习目标 1. 理解角的两种定义（静态定义和动态定义），能准确识别生活中的角，会用不同方法表示角。 1. 认识平角、周角的概念，掌握角的度量单位（度、分、秒）及其换算关系。 1. 培养观察能力和空间想象能力，感受数学与生活的紧密联系，增强学习几何的兴趣。 二、学习重难点 重点：角的概念和表示方法；角的度量单位及度、分、秒的换算；平角、周角的概念 。 难点：理解角的动态定义；度、分、秒之间的复杂换算；在复杂图形中准确识别角并正确表示 。 三、知识点自主预习填空 1. 角的静态定义：有公共端点的两条________组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的________，这两条射线叫做角的________ 。 1. 角的动态定义：角也可以看作由一条射线绕着它的________旋转而形成的图形。当终边和始边成一条直线时，形成的角叫做________；当终边和始边重合时，形成的角叫做________ 。 1. 角的表示方法有三种： 0. 用三个大写字母表示，，表示顶点的字母O必须写在________ 。 0. 用一个大写字母表示，，此时以这个字母为顶点的角必须是________ 。 0. 用一个数字或希腊字母表示，如。 6. 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作的角60等分，每一份就是1分的角，记作1'；把1'的角60等分，每一份就是1秒的角，记作1'' 。所以 = ________'' 。 7. = ________平角， = ________周角 。 四、知识点详细讲解与要点讲解 知识点 1：角的概念 详细内容： 1. 静态定义：角是由有公共端点的两条射线组成的图形。例如，剪刀张开的两边、圆规打开的两脚，都可以抽象成角的形象，公共端点是角的顶点，两条射线是角的边 。 1. 动态定义：角可看作一条射线绕着它的端点旋转形成的图形。射线的起始位置是始边，旋转后的位置是终边。比如，钟表的指针转动，指针从一个位置转到另一个位置就形成了角。当终边和始边成一条直线时，形成平角，平角为；当终边和始边重合时，形成周角，周角为 。 常考易错点：混淆角的两边是射线，误认为是直线或线段；对平角和周角的概念理解不透彻，认为平角就是一条直线，周角就是一条射线 。 经典例题 1：下列说法正确的是（ ） A. 两条射线组成的图形叫做角 B. 平角是一条直线 C. 周角是一条射线 D. 角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形 答案：D 解析：A 选项缺少 “有公共端点” 这一条件，错误；B 选项平角是终边和始边成一条直线的角，不是直线，错误；C 选项周角是终边和始边重合的角，不是射线，错误；D 选项符合角的动态定义，正确。 知识点 2：角的表示方法 详细内容： 1. 用三个大写字母表示：如，顶点O必须写在中间，A、B是角两边上的点，这种表示方法适用于任何角 。 1. 用一个大写字母表示：如，但前提是以O为顶点的角只有一个，若以O为顶点有多个角时，不能用这种方法，否则会产生混淆 。 1. 用一个数字或希腊字母表示：在角的内部靠近顶点处画弧线，标上数字或希腊字母，如。 常考易错点：用三个大写字母表示角时，顶点字母位置写错；用一个大写字母表示角时，忽略 “以该字母为顶点的角唯一” 这一条件；在复杂图形中，对同一个角的不同表示方法理解错误 。 知识点 3：角的度量单位及换算 详细内容：角的度量单位有度、分、秒，它们之间的换算关系是，1' = 60''， 。进行换算时，大单位换算成小单位要乘以进率，小单位换算成大单位要除以进率 。例如，将3换算成分，；将180''换算成度，180''=(180÷60)÷6。 常考易错点：记错度、分、秒之间的换算进率；在换算过程中，计算错误；对混合单位的角进行运算时，不会正确处理单位 。 经典例题 3：把换算成度的形式为（ ） A. 2 B. C. D. 答案：B 解析：，选 B。 变式题 3：把、分、秒的形式为________ 。 答案：4 解析：。 五、效果检测（判断题） 1. 由两条射线组成的图形就是角。（ ） 1. 平角是一条直线，周角是一条射线。（ ） 1. 用三个大写字母表示角时，顶点字母可以写在任意位置。（ ） 1. 以某一点为顶点的角只能用一个大写字母表示。（ ） 1. 。（ ） 1. 。（ ） 1. 角可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形。（ ） 1. 是同一个角，则A、O、C三点在同一条直线上。（ ） 1. 一个周角等于两个平角。（ ） 1. 示角时，不需要在角的内部靠近顶点处画弧线标注数字。（ ） 6、 课后作业 一、单选题 1．如图，的边经过的点是（    ）    A． B．B C． D． 2．如图，从点O出发的四条射线．可以组成角的个数为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 3．下列说法： ①画射线； ②如图，可以用表示； ③若，，则； ④植树时栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上，依据的数学原理是两点确定一条直线． 其中正确的个数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．如图，下列说法不正确的是（   ） A．和是同一个角 B．也可以用表示 C．图中有三个角 D．和是同一个角 5．下列说法错误的是（　　） A．角是由两条有公共端点的射线组成的图形 B．周角的一半叫平角 C．可转化为 D．直线是平角 6．学校下午考试，考试时间为90分钟，则考试结束时时针与分针所夹锐角为（    ） A． B． C． D． 7．若点A在点B的南偏西处，则点B在点A的（   ）处 A．南偏西 B．北偏东 C．南偏东 D．北偏西 8．如图，平顶山在M处，与少林寺O处相距，用方向和距离描述少林寺O相对于平顶山M的位置，下列正确的是（ ） A．南偏东， B．东偏南， C．北偏西， D．北偏东， 9．如图，甲、乙两人同时从A地出发，甲沿北偏东方向步行前进，乙沿图示方向步行前进．当甲到达B地，乙到达C地时，甲与乙前进方向的夹角为，则此时乙位于A地的（   ） A．北偏东 B．南偏西 C．南偏东 D．北偏西 10．如图，我国山东号航空母舰行驶在B处，同时测得黄岩岛A、中国海军南昌号驱逐舰C的方向分别为北偏西和西南方向，则的度数是（   ） A． B． C． D． 11．若，，，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 12．如图，在锐角的内部依次作射线、和，则图中共有 个锐角． 13．一个长方形沿某条直线剪去一个角后，剩下的角的个数为 个． 14．比较大小： ．（填“”“”或“”） 15．将化成度、分、秒的形式为 ． 16．将化表示为度 ． 17．比较大小： （填“>”“<”或“=”）． 18．比较大小： （用，或连结） 三、解答题 19．用尺规和量角器，按下列语句作图： （Ⅰ）在圆 O 中， 以圆心 O 为顶点，连续画（即）的角，与圆 O 相交于五个点； （Ⅱ）连接每隔一点的两个点； （Ⅲ）保留作图痕迹与几何图形． 20．作图题：已知：、 求作：，使 试卷第1页，共3页 七、答案与解析 （一）知识点自主预习填空答案 1. 射线；顶点；边 1. 端点；平角；周角 1. 中间；唯一的 1. 60；60；3600 1. （二）效果检测答案与解析 1. 答案：× 解析：由公共端点的两条射线组成的图形才是角，缺少 “公共端点” 条件，该说法错误。 1. 答案：× 解析：平角是终边和始边成一条直线的角，周角是终边和始边重合的角，它们都不是直线或射线，该说法错误。 1. 答案：× 解析：用三个大写字母表示角时，顶点字母必须写在中间，该说法错误。 1. 答案：× 解析：以某一点为顶点的角只有一个时，才能用一个大写字母表示，若有多个角则不行，该说法错误。 1. 答案：× 解析：度、' = 100''，该说法错误。 1. 答案：× 解析：1，该说法错误。 1. 答案：√ 解析：符合角的动态定义，该说法正确。 1. 答案：× 解析： 1. 答案：√ 解析：一个周角，所以一个周角等于两个平角，该说法正确。 1. 答案：× 解析：用需要在角的内部靠近顶点处画弧线标注数字，该说法错误。 （3） 课后作业答案与解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B B B D B B C C C 题号 11 答案 A 1．B 【分析】本题主要考查了角的有关概念，一个角是由有公共顶点的两条射线组成的，因此边经过的点一定在射线上，据此作图求解即可． 【详解】解：如图所示，的边经过的点是B，    故选：B． 2．B 【分析】本题考查了角的概念，熟练掌握知识点是解题的关键．根据角的概念，每一条射线都分别与其它的射线组成一个角，所以从点O出发的n条射线，可以组成角的个数为，据此求出从点O出发的四条射线可以组成角的个数为多少即可． 【详解】解：从点O出发的四条射线，可以组成角的个数为：， 故选：B． 3．B 【分析】本题考查了射线的定义，度分秒的换算，直线的性质，角的表示，理解射线的定义，直线的性质，角的表示，会进行度分秒的换算是解题的关键． 【详解】解：①画射线，射线只有一个端点，无长度，故①不正确； ②如图，表示的角是，不能用表示，故②不正确； ③，，故③不正确； ④植树时栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上，依据的数学原理是两点确定一条直线，故④正确； 故选：B． 4．B 【分析】本题主要考查了角的概念和表示，解题的关键是掌握角的表示方法．根据角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如，，、…）表示，或用阿拉伯数字（，…）表示进行分析即可． 【详解】解：A、和是同一个角，说法正确，不符合题意； B、不能用表示，故原说法错误，符合题意； C、图中有、和三个角，说法正确，不符合题意； D、和是同一个角，说法正确，不符合题意． 故选：B． 5．D 【分析】本题考查了角的相关概念及度分秒的换算，熟练掌握角的相关概念及度分秒的换算是解题的关键．根据角的相关概念及度分秒的换算逐项分析判断，即可判断答案． 【详解】A、角是由有公共端点的两条射线组成的图形，此说法正确，不符合题意； B、周角的一半是平角，此说法正确，不符合题意； C、，所以此说法正确，不符合题意； D、直线不是平角，此说法不正确，符合题意． 故选D． 6．B 【分析】本题考查钟面角的问题，解题的关键是明确钟表上12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为，根据钟表上的角度我们知道一圈有12大格，每个大格的角度为，利用钟表表盘的特征解答． 【详解】解：学校下午考试，考试时间为90分钟， ∴考试结束时为下午3点30分， 3点30分，时针和分针中间相差2.5个大格， ∴钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为， ∴点30分分针与时针的夹角是． 故选：B． 7．B 【分析】此题主要考查了方向角，正确把握方向角的定义是解题关键． 直接利用方向角的定义得出结论． 【详解】解：若点A在点B的南偏西处，则点B在点A的北偏东处， 故选：B． 8．C 【分析】根据方位角的概念，可得答案． 本题考查了坐标确定位置，方向角，解答本题的关键是理解确定一个点的位置需要两个量应该是方向角，一个是距离． 【详解】解：平顶山在M处，与少林寺O处相距， 少林寺O在平顶山M的北偏西，处． 故选：C 9．C 【分析】本题考查了方向角（与方向角有关的计算题），熟练掌握方向角的表示方法是解题的关键：方向角：指正北或指正南方向线与目标方向线所成的小于的角叫做方向角；注：在描述方向角时，一般应先说北或南，再说偏西或偏东多少度，而不说成东偏北（南）多少度或西偏北（南）多少度；当方向角在方向上时，又常常说成东南、东北、西南、西北方向． 由题意得，，，由图可知，，由此即可求出，进而得出乙相对于地的方向角． 【详解】解：如图， 由题意得：，， 则 ， 乙位于地的南偏东， 故选：． 10．C 【分析】本题考查了方向角的定义，熟练掌握方向角的定义是解题的关键．根据方向角的定义计算即可． 【详解】解：如图， 由题意得，，， ． 故选：C． 11．A 【分析】本题主要考查了角度的比较大小，将统一化成“度、分、秒”的形式，即可比较大小． 【详解】解：， ， ， 故答案为：A． 12．10/十 【分析】本题考查了角的分类，掌握锐角的定义是解题关键．根据锐角的定义求解即可． 【详解】解：图中的锐角有、、、、、、、、、，共10个， 故答案为：10． 13．3或4或5 【分析】本题主要考查了角的个数问题，①若剪掉长方形方形相邻两条边的一部分，则剩下的部分是五边形；②若从长方形一个角的顶点，沿直线向对角的邻边剪，且只剪掉一条邻边的一部分，则剩下的部分为四边形；③若沿着长方形的对角线剪，则剩余部分为三边形（三角形）；据此可得答案． 【详解】解：如图所示，当按照①减去一个角时，剩下5个角； 当按照②减去一个角时，剩下4个角； 当按照③减去一个角时，剩下3个角； 综上所述，一个长方形沿某条直线剪去一个角后，剩下的角的个数为3个或4个或5个； 故答案为：3或4或5. 14． 【分析】本题主要考查了角的大小比较，把换成用度表示即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了度分秒的换算．根据度分秒的进制进行计算，即可解答 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 16． 【分析】本题考查了度分秒的换算，根据度分秒的进制进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 17．> 【分析】本题考查了度、分、秒之间的计算，能正确进行度、分、秒之间的换算是解此题的关键，注意：，． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：>． 18． 【分析】此题考查了角度的换算和比较大小，熟练掌握角度的换算是解题得关键．求出，即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为： 19．见解析 【分析】本题主要考查了画角，用量角器以此量出，根据题意连接线段即可． 【详解】解：如图， 20．作图见解析 【分析】本题主要考查了用量角器作角，准确分析作图是解题的关键．利用量角器作，在外以为边作，所以，即为所求作的角． 【详解】如图所示：首先作， 其次在外以为边作， 则即为所求作的角． 学科网（北京）股份有限公司 $$