5.3实际问题与一元一次方程导学案2024-2025学年人教版数学七年级上册

第五章一元一次方程 5.3 实际问题与一元一次方程导学案 一、学习目标 1. 学会分析实际问题中的数量关系，找出等量关系，列出一元一次方程。 1. 掌握列方程解应用题的一般步骤，能熟练运用一元一次方程解决行程、工程、销售等常见实际问题。 1. 提高数学建模能力和解决实际问题的能力，增强应用数学的意识 。 二、学习重难点 重点：分析实际问题中的数量关系，找出等量关系并列出方程；根据不同类型实际问题的特点，建立合适的数学模型 。 难点：从复杂的实际问题中准确提炼出等量关系；正确设未知数并表示出相关的量；对实际问题的结果进行合理检验和解释 。 三、知识点自主预习填空 1. 列方程解应用题的一般步骤为：审（审清题意，找出________和________）、设（设未知数）、列（根据________列出方程）、解（解方程）、检（检验方程的解是否符合________）、答（写出答案）。 1. 行程问题中，基本公式为路程 = 速度 × 时间，相遇问题的等量关系是两者路程之和等于________；追及问题的等量关系是快者路程与慢者路程之差等于________ 。 1. 工程问题中，通常把工作总量看作________，工作效率 = 工作总量 ÷________，各部分工作量之和等于________ 。 1. 销售问题中，利润 = 售价 -________，利润率 =_______÷ 进价 ×100%，售价 = 标价 ×（折扣数为十分数） 。 1. 某商品进价为100元，售价为120元，利润是________元，利润率是________ 。 四、知识点详细讲解与要点讲解 知识点 1：行程问题 详细内容：行程问题主要涉及路程、速度和时间三个量，基本公式为s = vt（s表示路程，v表示速度，t表示时间）。 1. 相遇问题：两人或两车相向而行，相遇时两者所走的路程之和等于总路程。例如，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲的速度是，经过t小时相遇，A、B两地相距s，则有 。 1. 追及问题：两人或两车同向而行，快者追慢者，追及时快者所走的路程与慢者所走的路程之差等于开始时两者的距离。如甲、乙两人同向而行，甲的速度是，乙的速度是。 常考易错点：混淆相遇问题和追及问题的等量关系；单位不统一，如速度单位是千米 / 小时，时间单位是分钟；对运动过程分析不清，导致路程表示错误 。 经典例题 1：甲、乙两车分别从相距360千米的A、B两地同时出发，相向而行，甲车速度为60千米 / 小时，乙车速度为40千米 / 小时，问两车几小时后相遇？ 答案：3.6小时 解析： 设两车x小时后相遇。 根据相遇问题等量关系：甲的路程 + 乙的路程 = 总路程，可列方程60x + 40x = 360； 合并同类项得100x = 360； 系数化为1，解得x = 3.6。 答：两车3.6小时后相遇。 变式题 1：甲、乙两人在环形跑道上练习跑步，已知环形跑道一圈长400米，甲每秒跑6米，乙每秒跑4米。两人同时从同一地点同向出发，问经过多少秒甲第一次追上乙？ 答案：200秒 解析： 设经过x秒甲第一次追上乙。 根据追及问题等量关系：甲的路程 - 乙的路程 = 跑道一圈的长度，可列方程6x - 4x = 400； 合并同类项得2x = 400； 系数化为1，解得x = 200。 答：经过200秒甲第一次追上乙。 知识点 2：工程问题 详细内容：在工程问题中，通常把工作总量看作单位 “1”。工作效率 = 工作总量 ÷ 工作时间，若甲单独完成一项工作需要a天，那么甲的工作效率就是；乙单独完成需要b天，乙的工作效率就是 。合作完成工作时，各部分工作量之和等于工作总量 “1” 。例如，一项工程甲、乙合作完成，甲的工作效率是，设合作x天完成，可列方程。 常考易错点：不能正确表示出工作效率；忽略各部分工作量之和等于工作总量这一关系；计算合作工作效率时出错 。 经典例题 2：一项工程，甲单独做需要10天完成，乙单独做需要15天完成，两人合作需要几天完成？ 答案：6天 解析： 设两人合作需要x天完成。 甲的工作效率为。 根据各部分工作量之和等于工作总量，可列方程； 通分计算括号内得； 系数化为1，。 答：两人合作需要6天完成。 变式题 2：一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成。现在先由甲单独做4小时，剩下的部分由甲、乙合作，还需要几小时完成？ 答案：6小时 解析： 设还需要x小时完成。 甲的工作效率为。 甲先做4小时的工作量为，甲、乙合作x小时的工作量为。 根据各部分工作量之和等于工作总量，可列方程； 化简得； 移项得； 系数化为1，。 答：还需要6小时完成。 知识点 3：销售问题 详细内容：销售问题涉及进价、售价、利润、利润率、标价、折扣等概念。利润 = 售价 - 进价；利润率 = 利润 ÷ 进价 ×100%；售价 = 标价 × 折扣数（折扣数为十分数） 。例如，某商品进价为a元，标价为b元，打8折出售，那么售价就是0.8b元，利润是0.8b - a元，利润率是 。 常考易错点：混淆利润和利润率的计算公式；对折扣的理解错误，如将打8折误认为是乘0.08；计算过程中单位不一致 。 经典例题 3：某商店将某种服装按进价提高40\%后标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的进价是多少元？ 答案：125元 解析： 设这种服装每件的进价是x元。 标价为元，售价为0.8*1.4x = 1.12x元。 根据利润 = 售价 - 进价，可列方程1.12x - x = 15； 合并同类项得0.12x = 15； 系数化为1，解得x = 125。 答：这种服装每件的进价是125元。 变式题 3：某商品的标价为200元，按标价的八折销售时，仍可获利25\%，则该商品的进价为多少元？ 答案：128元 解析： 设该商品的进价为x元。 售价为200*0.8 = 160元。 根据利润率公式，可列方程； 即160 - x = 0.25x； 移项得160 = 0.25x + x； 合并同类项得1.25x = 160； 系数化为1，解得x = 128。 答：该商品的进价为128元。 五、效果检测（判断题） 1. 列方程解应用题时，检验只需验证方程的解是否是方程的根即可。（ ） 1. 甲、乙两人相向而行，相遇时甲走的路程 + 乙走的路程 = 两人最初的距离。（ ） 1. 工程问题中，工作总量不能看作具体的数值，只能看作单位 “1”。（ ） 1. 商品打7折出售，就是按标价的70\%出售。（ ） 1. 追及问题中，快者路程 = 慢者路程 。（ ） 1. 一项工程，甲单独做5天完成，乙单独做6天完成，甲、乙合作的工作效率是。（ ） 1. 利润 = 标价 - 进价。（ ） 1. 甲、乙两车同时从同一地点出发，同向而行，t小时后，甲车比乙车多行驶的路程 =。（ ） 1. 某商品进价80元，售价100元， 。（ ） 1. 解行程问题时，不需要统一速度和时间的单位。（ ） 6、 课后作业 1．（24-25七年级上·广西南宁·期末）一条地下管线由甲工程队单独铺设需要7天，由乙工程队单独铺设需要12天．由这两支工程队合作铺设需要天，根据题意可列方程是（  ） A． B． C． D． 2．（2022·山西·一模）某传统手工坊计划制作一批折扇，如果每人做7把，那么会比计划的多做9把；如果每人做5把，将比计划的少做5把．设计划做x把折扇，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·云南曲靖·期末）由于换季，商场准备对某商品打折出售，如果按原售价的七折出售，将亏损20元，而按原售价的八五折出售，将盈利10元，则该商品的原售价为（　　） A．140元 B．160元 C．180元 D．200元 4．（2024·辽宁·模拟预测）我国古代名著《算学启蒙》中有这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？若设快马x天可追上慢马，则由题意可列方程（    ） A． B． C． D． 5．（21-22六年级上·山东烟台·期末）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有凫起南海，七日至北海．雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起．问：何日相逢？其大意为：野鸭从南海飞到北海用7天，大雁从北海飞到南海用9天．它们从两地同时起飞，几天后相遇？设x天后相遇，根据题意所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）某车间有90名工人生产螺丝与螺母，平均每人每天生产50个螺丝或80个螺母，要使每天生产的螺丝和螺母按配套，如果有m人生产螺丝，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）“和尚分馒头”问题出自明代数学家程大位写的《算法统宗》．书中题目是这样的：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁﹖意思是：100个馒头分给100个和尚，大和尚每个人分三个．小和尚三个人分一个，问大小和尚分别有多少人﹖设有小和尚3x人，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 8．（22-23七年级下·广东河源·开学考试）长方形的周长为厘米，长比宽多厘米，设宽为厘米，依题意列方程，下列正确的是(   ) A． B． C． D． 9．（22-23七年级上·北京丰台·期末）我国元朝数学家朱世杰所著的《算学启蒙》中记载了一道问题，大意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？如果设快马x天可以追上慢马，那么根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 10．（2024·江苏扬州·中考真题）《九章算术》是中国古代的数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，书中第八章内容“方程”里记载了一个有趣的追及问题，可理解为：速度快的人每分钟走米，速度慢的人每分钟走米，现在速度慢的人先走米，速度快的人去追他．问速度快的人追上他需要 分钟． 三、解答题 11．（24-25七年级上·江苏盐城·开学考试）小明的爸爸在工业区办了一个工厂，投产后核算，产品的成本分两部分，一部分是直接生产成本，每个需元，另一部分是管理、宣传、营销等与产品数量无关的费用，全部需元．如果此产品的定价为元，那么要使利润达到营业额的，至少要生产多少个产品？ 12．（2023·安徽·模拟预测）已知张强家到学校的路程为，放学后张爸爸从家出发以的速度开车前往学校，同时张强从学校出发以的速度步行回家，这样张爸爸恰好在途中一处容易掉头的路口接到张强并按原速返回家中．如果张强上车和汽车掉头时间忽略不计，那么张强每次从学校到家需要多长时间？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 七、答案与解析 （一）知识点自主预习填空答案 1. 已知量；未知量；等量关系；实际情况 1. 总路程；开始时两者的距离 1. 单位 “1”；工作时间；工作总量 1. 进价；利润；折扣数 1. 20； （二）效果检测答案与解析 1. 答案：× 解析：列方程解应用题时，检验不仅要验证方程的解是否是方程的根，还要检验方程的解是否符合实际情况，所以该说法错误。 1. 答案：√ 解析：甲、乙两人相向而行，相遇时甲走的路程 + 乙走的路程等于两人最初的距离，该说法正确。 1. 答案：× 解析：工程问题中，工作总量也可以看作具体的数值，并非只能看作单位 “1”，所以该说法错误。 1. 答案：√ 解析：商品打7折出售，就是按标该说法正确。 1. 答案：× 解析：追及问题中，快者路程 - 慢者路程 = 开始时两者的距离，不是快者路程 = 慢者路程，所以该说法错误。 1. 答案：√ 解析：一项工程，甲单独做5天完成，甲的工作效率是，乙单独做6天完成，乙的工作效率是，甲、乙合作的工作效率是，该说法正确。 1. 答案：× 解析：利润 = 售价 - 进价，不是标价 - 进价，所以该说法错误。 1. 答案：√ 解析：甲、乙两车同时从同一地点出发，同向而行，t小时后，甲车比乙车多行驶的路程 = 甲车速度 ，该说法正确。 1. 答案：√ 解析：某商品进价80元，售价100元，根据利润率公式，利润率是，该说法正确。 1. 答案：× 解析：解行程问题时，必须统一速度和时间的单位，否则会导致计算错误，所以该说法错误。 （3） 课后作业答案与解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 9 10 答案 B D D A C B C B A 1．B 【分析】此题主要考查了由实际问题列出一元一次方程，以总工作量为1得出等式是解题关键．利用甲、乙两工程队每天完成的工作量乘以总天数，进而得出答案． 【详解】解：设由这两支工程队合作铺设需要天， 则可列方程：， 故选：B． 2．D 【分析】找准题干中隐含的等量关系“制作这一批折扇的总人数是不变的”，所以利用人数不变建立方程即可． 【详解】解：由题意可知： 故选：D． 【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，能够根据已知信息找准等量关系式建立方程是解决本题的关键． 3．D 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，弄清题中的等量关系是解本题的关键． 设该商品的原售价为x元，根据成本不变列出方程，求出方程的解即可得到结果． 【详解】解：设该商品的原售价为x元， 根据题意得：， 解得：， 则该商品的原售价为200元． 故选：D． 4．A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设快马天可以追上慢马，根据路程速度时间，即可得出关于的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：依题意，得：． 故选：A． 5．C 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 【详解】解：由题意可得，． 故选：C． 6．B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用（配套问题），读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系并列出方程是解题的关键． 设分配m人生产螺丝，则有人生产螺母，根据每天生产的螺丝和螺母按配套，列出方程即可． 【详解】解：设分配m人生产螺丝，则有人生产螺母， 每天生产螺丝个，生产螺母个， 每天生产的螺丝和螺母按配套， ， 故选：． 7．C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键在于能够根据题意找到等量关系列方程．设有小和尚人，则大和尚的人数为人，然后根据三个小和尚一个馒头，一个大和尚三个馒头即可列出方程． 【详解】解：设有小和尚人，则大和尚的人数为人， 由题意得， 故选C． 8．B 【分析】设宽为厘米，则长为厘米，然后根据长方形的周长＝宽×2＋长×2列出方程即可． 【详解】解：设宽为厘米，则长为厘米， 由题意可得：， 故选：B． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 9．A 【分析】快马花x天追上慢马，此时快马走的路程为里，由于慢马先走12天，所以慢马总共走的路程为里．当快马追上慢马时，就是说它们所走的路程相等，即可列出方程． 【详解】快马花x天追上慢马，此时快马走的路程为里，慢马走的路程为里， 由题意得：． 故答案为：A． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意是解题关键． 10． 【分析】本题考查了一元一次方程的运用，理解数量关系，列出方程是解题的关键． 根据题意，设需要分钟追上，则速度快的人的路程等于速度慢的人的路程，由此列式求解即可． 【详解】解：根据题意，设分钟追上， ∴， 解得，， ∴速度快的人追上速度慢的人需要分钟， 故答案为： ． 11． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用（销售盈亏），准确理解题意，列出方程并求解是解题的关键． 设至少生产个产品，则营业额为元，成本就是元，利润为元，然后根据关系式：营业额成本利润，列方程求解即可． 【详解】解：设至少生产个产品，由题意可得： ， 即：， 解得：， 答：至少要生产个产品． 12． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设张强和张爸爸相遇时的时间为，根据两人的路程和为，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设张强和张爸爸相遇时的时间为． 由题意，得， 解得， ． 答：张强每次从学校到家需要． $$