暑假作业1：空间向量与立体几何-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

高二暑假作业1：空间向量与立体几何 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.(2025·江苏省连云港市·月考试卷)给出下列命题： ①零向量的方向是任意的; ②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同; ③若空间向量，满足，则 ④空间中任意两个单位向量必相等. 其中正确命题的个数为(    ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 2.(2025·安徽省六安市·期中考试)空间向量在上的投影向量为(    ) A. B. C. D. 3.(2025·江苏省扬州市·月考试卷)已知，，，若P，A，B，C四点共面，则(    ) A. 3 B. C. 7 D. 4.(2025·湖北省荆州市·期中考试)如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，若，且，则的长为(    ) A. B. C. D. 5.(2025·江西省宜春市·期中考试)已知，，，O为坐标原点，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为(    ) A. B. C. D. 6.(2025·河北省秦皇岛市·模拟题)如图所示，在正方体中，E是棱的中点，点F在棱上，且，若平面，则     A. B. C. D. 7.(2025·河南省·期中考试)在正四棱柱中，，，点O，分别为正方形ABCD与正方形的中心，E为的中点，点M为线段上的动点，则当点M到平面的距离最大时，直线CM与平面夹角的正弦值为(    ) A. B. C. D. 8.(2025·福建省·单元测试)如图是一个棱数为24，棱长为的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若点E为线段BC上的动点，则直线DE与直线AF所成角的余弦值的取值范围是(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.(2024·安徽省六安市·期末考试)下面四个结论正确的是(    ) A. 空间向量，，若，则 B. 若对空间中任意一点O，有，则P、A、B、C四点共面 C. 已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底 D. 任意向量，，满足 10.(2025·河南省·期中考试)已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则    A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则在上的投影向量的坐标为 11.(2025·广西壮族自治区·期末考试)在长方体中，，，E为的中点，动点P在长方体内含表面，且满足，记动点P的轨迹为，则    A. 的面积为 B. 平面与所在平面平行 C. 当时，存在点P，使得 D. 当时，三棱锥的体积为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.(2025·四川省眉山市·模拟题)已知点关于坐标平面Oxy的对称点为，点关于坐标平面Oyz的对称点为，点关于z轴的对称点为，则          . 13.(2025·福建省·单元测试)如图，长方体中，、与底面所成的角分别为和，，点P为线段上一点，则最小值为          .  14.(2025·江苏省扬州市·期中考试)如图，在长方体中，E是的中点，点F是AD上一点，，，，动点P在上底面上，且满足三棱锥的体积等于1，则直线CP与所成角的正切值的最小值为          . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(2025·江西省景德镇市·期末考试)本小题13分 已知 求向量的坐标； 设向量，求； 若，求k的值. 16.(2025·江苏省扬州市·月考试卷)本小题15分 如图，在三棱柱中，，，，点D满足 用表示； 若三棱锥的所有棱长均为2，求及 17.(2025·安徽省·联考题)本小题15分 如图，在四棱锥中，是边长为4的等边三角形，底面ABCD为直角梯形，，，，E为PD的中点． 求证：平面PAB； 当平面平面ABCD时，求直线BE与平面PCD所成角的正弦值． 18.(2025·广西壮族自治区·期末考试)本小题17分 如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，，平面平面ABCD，，， 证明：平面平面 若平面PBC与平面ABCD的夹角为，求点C到平面PAB的距离. 19.(2025·湖北省·模拟题)本小题17分 如图，已知SA垂直于梯形ABCD所在的平面，矩形SADE的对角线交于点F，G为SB的中点，， 求证：平面AEG； 求二面角的余弦值； 在线段EG上是否存在一点H，使得BH与平面SCD所成角的大小为？若存在，求出GH的长；若不存在，说明理由. 1.D  2.C  3.C  4.A  5.C  6.C  7.D  8.C  9.ABC  10.BCD  11.ACD  12.  13.  14.  15.解：由， 得， 由得，而，因此， 所以； 由知，， 由，得 ，所以 16.解：因为， 所以， 所以 因为三棱锥的所有棱长均为 所以，<，，，， ， 所以 ， 17.解：证明：取PA的中点F，连接EF，BF， 为PD的中点，且， 又，，且， 四边形BCEF是平行四边形，， 平面PAB，平面PAB， 平面PAB； 取AD的中点为O，连接OC， ，， 又平面平面ABCD，平面平面，平面PAD， 平面ABCD， ，，，， ，OD，OC两两垂直， 以O为坐标原点，分别以OC，OD，OP所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由是边长为4的等边三角形，得， ，，，，， ，，， 设平面PCD的法向量为， 则， 令，得，， 故平面PCD的一个法向量为， ， 直线BE与平面PCD所成角的正弦值为  18.解：证明：因为平面平面ABCD，且相交于AD，，平面ABCD， 所以平面PAD， 因为平面PAB， 所以平面平面PAD； 取AD的中点O，连接PO， 因为，所以， 因为平面平面ABCD，且相交于AD，平面PAD， 所以平面ABCD， 以O为坐标原点，，的方向分别为x，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 设，平面PBC的法向量为， 因为，， 所以，令，得， 平面ABCD的一个法向量为， 因为平面PBC与平面ABCD的夹角为， 所以⟨⟩，所以， 设平面PAB的法向量为， 因为，， 所以， 令，得， 因为， 所以点C到平面PAB的距离 19.解：证明：连接 FG，在中， F， G分别为 SD， SB的中点， 所以， 又因为平面 AEG，平面 AEG， 所以平面 解：因为平面 ABCD， AB，平面 ABCD， 所以，，又，所以， 以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， ，， 设平面 SCD的法向量为， 则 ，即 令，得，， 所以平面 SCD的一个法向量为， 又平面 ESD的一个法向量为， 所以， 由图形可知，二面角的余弦值为 存在，理由如下： 假设存在点 H，设， 则， 由知，平面 SCD的一个法向量为， 则⟨⟩， 即，所以，则， 故存在满足题意的点 H，此时  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$