期末专题04【高频压轴题】-2024-2025学年八年级数学下册期末高分秘籍（人教版）

编写说明 随着期末考试的脚步日益临近，数学这门既考验逻辑又讲究细节的学科，正呼唤着每一位学子进行系统而高效的复习。为了帮助大家在数学的海洋中稳健航行，我们特此推出了《人教版八年级数学下册期末高分秘籍》，它如同一盏明灯，照亮你的备考之路。本秘籍紧贴新人教版教材精髓，融合历年期末考试真题，精心梳理了选择题、填空题、解答题三大板块的高频考点，不仅揭示了易错陷阱，还配备了高效的解题策略。 一、秘籍概览 选择题：聚焦基础概念与快速判断，通过对比分析，训练你的敏锐洞察力。 填空题：强调解题准确性与步骤规范性，通过技巧点拨，提升你的效率。 解答题：融合生活实际，考验你的数学建模与问题解决能力，培养逻辑思维与创新能力。 二、复习策略 分题型强化： 选择题：每天定时练习，每题限时1-2分钟，锻炼快速准确判断的能力。注意总结错题，分析错误原因，避免重复犯错。 计算题：重视过程书写，每一步都要有理有据。通过专项练习，提高计算的准确性和速度。 解答题：结合生活实际，尝试将问题转化为数学模型。多读题，多思考，多总结解题模板，提升解题灵活性。 模拟考试：定期进行全真模拟考试，严格按照考试时间分配，培养考试感觉。模拟后，认真分析试卷，找出薄弱环节，针对性加强。 错题本：建立个人错题本，记录每次练习或模拟考试中的错题，附上正确解答和错误原因分析。考前重点回顾，确保同类错误不再犯。 三、心态调整 数学之美，在于其逻辑的严密与解题的多样性。面对挑战，保持积极的心态至关重要。记住，每一次错误都是成长的阶梯，每一次努力都是向成功迈进的步伐。相信自己，坚持不懈，你定能在期末考试中大放异彩。 2025.6 2024-2025学年八年级数学下册期末高分秘籍 (专题01选择题) 目录 考点一平行四边形证明题........................................................................................................2 考点二一次函数中的面积问题............................................................................15 考点三一次函数实际问题应用题................................................................................28 考点四动点问题压轴题....................................................................................................35 考点一 平行四边形证明题 1．如图，在四边形中，，，E为边上一点，且，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查特殊四边形的判定和性质，角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键． （1）根据题意可直接得出四边形是平行四边形，结合，即得出平行四边形是矩形； （2）由角平分线的定义，得出，结合平行线的性质得出，即得出，再根据求解即可． 【详解】（1）证明：，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵平分， ∴． ， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 2．如图，在矩形中，点是矩形对角线的中点，过点作交于点，交于点，连结，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、菱形的判定与性质、勾股定理，判定四边形是菱形是解答的关键． （1）先证明，，进而证得四边形是平行四边形，然后根据菱形的判定可得结论； （2）先根据菱形和矩形的性质证得，，，在中，由勾股定理即可求解． 【详解】（1） 证明：四边形是矩形， ， 为对角线的中点， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． （2） 解：四边形是菱形， ， 四边形是矩形，，， ，， 在中，由勾股定理得， 即 解得， 所以的长为． 3．在菱形中，，点和点分别是射线和射线上的点，且． (1)如图1，求之间的数量关系？并说明理由； (2)若，求的长． 【答案】(1)，见解析 (2)或 【分析】（1）连接，可证明为等边三角形，则可得到，再证明，即可得到． （2）分图2和图3两种情况，讨论求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 连接，如图1， 四边形是菱形， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， 又∵， ， ． （2）解：如图2，过点作，垂足为点， 四边形是菱形，， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ，， 在中，， ； 如图3，过点作，垂足为点， 四边形是菱形，， ， 同理可得， ， ， 在中，； 如图所示，连接， 由菱形的性质可得， ∴都是等边三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ． 综上所述，的长为或． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 4．如图，在菱形中，点E，O，F分别为的中点，连接． (1)求证：； (2)当时，请判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)正方形，理由见解析 【分析】本题考查了正方形的判定、菱形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识； （1）由菱形的性质得出，，由已知证出，由证明即可； （2）由三角形中位线定理证出，，，得到，证出四边形是菱形，再证出，进而得四边形是正方形． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵点E，O，F分别为，，的中点， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：当时，四边形是正方形，理由如下： ∵四边形是菱形， ∴，， ∵点E，O，F分别为，，的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是菱形， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． 5．如图，D，E，F分别是的边，的中点． (1)求证：与互相平分． (2)当满足___________时，四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，矩形的判定，三角形中位线定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据三角形的中位线定理，得出，进而得出四边形是平行四边形，即可求证与互相平分； （2）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得当满足时，四边形是矩形． 【详解】（1）证明：∵、、分别是边、、的中点， ∴都是的中位线， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴与互相平分． （2）解：当满足时，四边形是矩形， ∵，四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形． 6．如图，平行四边形的对角线相交于点，过点作，过点作，与交于点，． (1)求证：是菱形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的判定结合已知证得四边形是矩形，再利用的性质和菱形的判定可得结论； （2）根据（1）的结论得到，再利用菱形的性质，含角的直角三角形的性质和勾股定理求解． 【详解】（1）证明：∵，， 四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是矩形， ∴， ∴， ∴是菱形； （2）解：由（1）可知，四边形是矩形， ∴． ∵四边形是菱形， ∴． ∵在中，， ∴． 由勾股定理知：， ∴， 解得， ∴． 【点晴】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定与性质，菱形的判定与性质，含角的直角三角形的性质和勾股定理．理解相关知识是解答关键． 7．如图，四边形是正方形，E为对角线上一点，连接． (1)求证：； (2)当时，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点． （1）证明即可； （2）过作于点，根据勾股定理求出，再根据四边形的面积，结合三角形面积公式求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：过作于点， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴四边形的面积． 8．四边形中，为对角线上二点，连接，，点是延长线上一点，连接，交于点，连接． (1)如图1，若四边形为正方形，且，求证：； (2)如图2，若四边形为菱形，，． ①求证：为等边三角形； ②当时，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）先证明，从而得到，通过等量代换，利用等角对等边得到； （2）①由，根据全等三角形性质得到，，通过等量代换得到，利用含的等腰三角形是等边三角形得到结论； ②计算角度，通过作辅助线构造直角三角形，得到菱形的高，最后利用菱形面积公式计算得出结果． 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形 ∴， 在与中 ∴， ∴ 又， ∴， ∴ ∴ （2）①证明：∵四边形为菱形 ∴， 在与中 ∴， ∴ 又， ∴， 又 ∴为等边三角形 ②解：由①知，， ∴ 又， ∴， ∴ 又， ∴ 又， ∴， 过点作，垂足为 ∴， ∴ ∴． 【点睛】本题考查了菱形、正方形的性质，结合全等三角形的判定，进行求证和计算，结合题目灵活应用性质内容是解题的关键． 考点二 一次函数中的面积问题 9．如图，已知直线与直线交于． (1)求直线的表达式； (2)求直线与两坐标轴围成的三角形面积． 【答案】(1)； (2)4． 【分析】本题考查待定系数法求直线的解析式，点的坐标，直线的交点坐标以及三角形的面积． （1）根据的解析式求出P点的坐标，再代入的解析式，利用待定系数法就可以求出的解析式． （2）当时，设、分别交x轴于点B、C，求出、与x轴的交点坐标，然后根据三角形的面积公式求出的面积． 【详解】（1）解：把代入中，，解得：， ， 把P代入中，， 解得：， ． （2）解：设交x轴，y轴分别于点A，B， 令，则， ， 令，则，解得：． ， ， ． 10．如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点，与y轴交于点B，直线：分别与x轴、y轴交于点C、点D，直线与相交于点P． (1)求点P的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)； (2)6． 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，求一次函数解析式，三角形面积等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求出直线的解析式为，联立两直线解析式得，求解即可； （2）求出点B、D的坐标，得到，再利用三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：∵直线交x轴于点， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， 联立两直线解析式得， 解得：， ∴点P的坐标为； （2）解：∵直线与y轴交于点B， 当时，， ∴点B的坐标为， ∵直线与y轴交于点D， 当时，， ∴点D的坐标为， ∴， ∴． 11．如图，已知函数的图像与y轴交于点A，一次函数的图像经过，与x轴以及的图像分别交于点C，D，且点D的坐标为． (1)求n，k，b的值； (2)若函数的函数值不大于函数的函数值，直接写出x的取值范围 ； (3)求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数的图象与性质，求直线围成的图形面积；熟练掌握待定系数法和函数图象法是解题关键． （1）将点代入函数可得的值，再将点的坐标代入函数求解即可得； （2）结合函数图象，根据点的坐标求解即可得； （3）先求出，再根据求解即可得． 【详解】（1）解：将点代入中得：， ∴， 将点，代入中，得：，解得； （2）解：由函数图象可知，若函数的函数值不大于函数的函数值，则； （3）解：由（1）得直线解析式为， 在中，当时，， ∴， ∴； 在中，当时，， ∴, ∴， ∴ . 12．如图，已知直线经过点、，直线（）． (1)求直线的解析式； (2)若，直线与轴交于点，直线与交于点． ①求点的坐标； ②直接写出面积． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了一次函数的交点问题，求函数解析式，三角形面积公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）直接用待定系数法求解即可； （2）①联立得，求解即可；②设直线与y轴交于点M，求出，，根据三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， ∵直线经过点， ， ， ∴直线的解析式为； （2）解：①当时，直线 联立得：， 解得：， ∴点坐标为， 故答案为：， ②，理由如下： 如图，设直线与y轴交于点M， 在中，当时，，当时，， ，， ，， ， ． 13．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与直线交于点． (1)求的值； (2)请根据图象直接写出时，的取值范围； (3)求的面积． 【答案】(1) (2) (3)4 【分析】本题为一次函数综合题，考查利用待定系数法求函数解析式，一次函数图象与坐标轴的交点问题，利用图象解一元一次不等式，面积问题等．掌握一次函数的图象和性质是解题关键． （1）将代入求解即可； （2）由（1）得，结合函数图象即可得出结果； （3）根据题意确定，得出，结合图象根据求解即可． 【详解】（1）解：将代入， 得， ∴； （2）由（1）得， 根据图象得：当时，的图象在下方，即此时， ∴的取值范围是． （3）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， ∴当时，；当时，； ∴， ∵， ∴， 由（1）得， ∴． 14．如图，一次函数的图象与x轴交于点B，y轴交于点图象交于点，平面的角坐标系内有一动点P在线段和射线上运动． (1)求正比例函数的表达式； (2)求的面积； (3)是否存在点P，使的面积是的面积的？若存在，求此时点P的坐标；若不存在．请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在点P，P的坐标为或或 【分析】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积等知识． （1）用待定系数法可得正比例函数的表达式为； （2）求出，，，即可得； （3）分两种情况：当P在上时，设，，当P在射线上时，设，，解方程可得答案． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得， ∴正比例函数的表达式为； （2）解：把代入得：， 解得， ∴， 令得， ∴， ∴， ∴， 即的面积为12； （3）解：存在点P，使的面积是的面积的， 当P在上时，设， ∵的面积是的面积的， ∴， 解得， ∴； 当P在射线上时，设， ∵的面积是的面积的， ∴， 解得或， ∴或， 综上所述，P的坐标为或或． 15．如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象经过点，与y轴的交点为D，与x轴的交点为C． (1)求一次函数表达式； (2)求D点的坐标； (3)求的面积． (4)不解关于x、y的方程组，直接写出方程组的解． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）把点代入正比例函数求出的值，再代入一次函数即可求解； （2）由（1）可知一次函数图像的解析式，令，即可求解； （3）由一次函数解析式求出点的坐标，根据三角形的面积公式即可求解； （4）根据两直线的交点即为方程组的解，即可求解． 【详解】（1）解：∵正比例函数的图像与一次函数的图像交于点， ∴，解得：， ∴， 把和代入一次函数，得： ，解得， ， ∴ 一次函数解析式是． （2）解：由（1）知一次函数表达式是 ， 令，则， ∴点． （3）解：由（1）知一次函数解析式是， 令，， 解得：，       ∴点， ∴，   ∵， ∴的面积． （4）解：∵正比例函数的图像与一次函数的图像交于点， ∴方程组的解为． 【点睛】本题主要考查两直线的交点问题，掌握待定系数法求解析式，两直线与坐标轴围成图形的面积计算方法，两直线交点坐标与方程组的解的关系等知识是解题的关键． 16．如图，一次函数的图象与x轴相交于点，的图象与x轴相交于点，这两个函数的图象相交于点A． (1)求k，b的值和点A的坐标； (2)结合图象，直接写出时x的取值范围； (3)求的面积． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题考查了两条直线的交点问题，用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，数形结合是解此题的关键． （1）根据待定系数法即可求得k、b的值，然后解析式联立，解方程组即可求得A的坐标； （2）根据图象即可求得； （3）根据三角形面积公式即可得出答案 【详解】（1）解：一次函数的图象与x轴相交于点，的图象与x轴相交于点， ，， ，， 两函数解析式联立，得， 解得：， ； （2）观察图象，时x的取值范围是． （3），，， ，点到轴的距离为， ． 考点三 一次函数实际问题应用题 17．某公园计划在健身区铺设广场砖，现有甲、乙两个工程队参加竞标，甲工程队铺设广场砖的费用（元）与铺设面积，的函数关系如图．乙工程队铺设广场砖的费用（元）与铺设面积；满足函数关系式 （k为常数，且）． (1)求出甲工程队的费用元）与面积的函数关系式，并写明x的取值范围； (2)如果公园铺设广场砖的面积为 ，那么选择哪个工程队施工更合算？ 【答案】(1)； (2)当时，选择甲、乙工程队均可；当时，选择乙工程队施工合算；当时，选择甲工程队施工合算． 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式、根据图象确定出图象经过的两个转折点是解题的关键． （1）分，两段，利用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）由题可得：当时，. ，然后分、、三种情况求解即可． 【详解】（1）解：由题图可知，函数图象过点， 当时，设，则，解得：， ∴， 当时， 设，则 解得； ． 综上，甲工程队的费用元）与面积的函数关系式． （2）解：当时，. . 当时，，解得：； 当时，，解得：； 当时，，解得：． 答：当时，选择甲、乙工程队均可，当时，选择乙工程队施工合算，当时，选择甲工程队施工合算． 18．2023年7月28日至8月8日，第31届世界大学生运动会将在成都举行．大动会场馆共计49个，包括13个新建场馆和36个改造场馆．现计划对面积为的某场馆区域进行绿化．经投标，由甲、乙两个工程队来完成，若甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，并且在独立完成面积为区域的绿化时，甲队比乙队少用2天． (1)求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积； (2)设甲工程队施工x天，乙工程队施工y天，刚好完成绿化任务，求y关于x的函数关系式； (3)在（2）的条件下，若甲队每天绿化费用是2万元，乙队每天绿化费用为0.8万元，且甲乙两队施工的总天数不超过20天，则如何安排甲乙两队施工的天数，使施工总费用最低？并求出最低费用． 【答案】(1)甲工程队每天能完成绿化的面积是，乙工程队每天能完成绿化的面积是 (2) (3)甲队施工10天，乙队施工10天，施工总费用最低，最低费用为28万元 【分析】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是，则甲工程队每天能完成绿化的面积是，可得： ，解方程并检验即得甲工程队每天能完成绿化的面积是，乙工程队每天能完成绿化的面积是； （2）根据题意得：，即； （3）设施工总费用是w万元，由甲乙两队施工的总天数不超过20天，可得，而，根据一次函数性质得甲队施工10天，乙队施工10天，工总费用最低，最低费用为28万元． 【详解】（1）解：设乙工程队每天能完成绿化的面积是，则甲工程队每天能完成绿化的面积是， 根据题意得： ， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， 答：甲工程队每天能完成绿化的面积是，乙工程队每天能完成绿化的面积是； （2）根据题意得：， ∴， 故y关于x的函数关系式为：； （3）设施工总费用是w万元， ∵甲乙两队施工的总天数不超过20天， ∴， 解得， 根据题意得：， ∵， ∴w随x的增大而增大， ∴时，w取最小值，最小值为（万元）， 此时（天）， 答：甲队施工10天，乙队施工10天，施工总费用最低，最低费用为28万元． 【点睛】本题考查了分式方程和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数关系式． 19．为进一步落实“乡村振兴”工程，某村在政府的扶持下建起了大棚基地，准备种植A，B两种蔬菜．若种植30亩A种蔬菜和50亩B种蔬菜，总收入为42万元；若种植50亩A种蔬菜和30亩B种蔬菜，总收入为38万元． (1)求种植A，B两种蔬菜，平均每亩收入各是多少万元？ (2)村里规划种植这两种蔬菜共250亩，且A种蔬菜的种植面积不少于B种蔬菜种植面积的1.5倍，A种蔬菜至少种植多少亩？ (3)在（2）的条件下应如何种植A，B两种蔬菜，总收入最大，最大总收入是多少？ 【答案】(1)0.4万元，0.6万元 (2)150亩 (3)A种种植150亩，B种种植100亩；120万元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用． （1）设种植A种蔬菜每亩收入x万元，B种蔬菜每亩收入y万元，由题意列出二元一次方程组，解方程组可得出答案； （2）设A种蔬菜种植m亩，根据题意列不等式，求解即可； （3）设总收入为w万元，根据题意得：，根据一次函数的性质可得出答案． 【详解】（1）解：设种植A种蔬菜每亩收入x万元，B种蔬菜每亩收入y万元， 根据题意得：， 解得：， 答：种植A种蔬菜每亩收入0.4万元，B种蔬菜每亩收入0.6万元． （2）设A种蔬菜种植m亩， ∴， 解得：， 答：A种蔬菜至少种植150亩． （3）设总收入为w万元， 根据题意得：， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当，w取得最大值，（万元）， ∴A种蔬菜种植150亩时，B种蔬菜种植100亩时，收入最大，最大收入为120万元． 答：A种蔬菜种植150亩时，B种蔬菜种植100亩时，收入最大，最大收入为120万元． 20．某水产品市场管理部门规划建造面积为的集贸大棚，大棚内设种类型和种类型的店面共80间，每间种类型的店面的平均面积为，月租为400元．每间种类型的店面的平均面积为，月租为360元，全部店面的建造面积不低于大棚总面积的，又不能超过大棚总面积的． (1)试确定种类型的店面的数量范围； (2)通过了解业主的租赁意向得知，种类型店面的出租率为，种类型店面的出租率为．为使店面的总月租最高，应建造种类型的店面多少间？并求出最高租金． 【答案】(1)种类型店面的数量为，且为整数 (2)应建造种类型的店面40间，最高租金24960 【分析】本题考查一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式组，及所求量的等量关系．注意本题的不等关系为：建造面积不低于大棚总面积的，又不能超过大棚总面积的；并会根据函数的单调性求最值问题． （1）关键描述语为：全部店面的建造面积不低于大棚总面积的，又不能超过大棚总面积的．关系式为：种类型店面面积种类型店面面积；种类型店面面积种类型店面面积，进而列出不等式组求解即可； （2）店面的月租费种类型店面间数种类型店面间数，然后按取值范围来求解． 【详解】（1）解：设种类型店面的数量为间，则种类型店面的数量为间， 根据题意得， 解之得， 种类型店面的数量为，且为整数； （2）设应建造种类型的店面间，则店面的月租费为 ， 又， ∴时，W最大为． 为使店面的月租费最高，应建造种类型的店面40间，最高租金24960． 21．为改善生活环境，减少污水排放，长青村准备筹集资金，购买甲，乙两种污水处理设备，安装在专门设置的场地，用于处理全村排放的污水．已知每套乙种设备价格比甲种设备少，用360万元单独购买甲种设备比乙种设备要少2套，安装一套甲种设备需占地，一套乙种设备需占地． (1)甲，乙两种污水处理设备每套分别是多少万元？ (2)长青村共筹集到资金500万元，准备购买20套甲，乙两种污水处理设备，经预算，安装设备的前期准备工程的费用不少于总资金的四分之一，求安装这20套污水处理设备占地的最大面积是多少？ 【答案】(1)甲种污水处理设备每套20万元，乙种污水处理设备每套18万元 (2) 【分析】本题考查了分式方程的应用、不等式的应用、一次函数的应用，理解题意正确列出方程和不等式是解题的关键． （1）设甲种污水处理设备每套万元，则乙种污水处理设备每套万元，根据题意列出方程，解出的值即可解答； （2）设购买套甲种污水处理设备，则购买套乙种污水处理设备，根据题意列出不等式，求出的解集，设污水处理设备占地的面积为，根据题意列出与的关系式，再利用一次函数的性质求出的最大值即可解答． 【详解】（1）解：设甲种污水处理设备每套万元，则乙种污水处理设备每套万元， 由题意得，， 解得：， 经检验，是方程的解且符合题意， 则， 答：甲种污水处理设备每套20万元，乙种污水处理设备每套18万元． （2）解：设购买套甲种污水处理设备，则购买套乙种污水处理设备， 由题意得，， 解得：， 是整数， ， 设污水处理设备占地的面积为， 由题意得，， ， 中随着的增大而增大， 当时，有最大值， 答：安装这20套污水处理设备占地的最大面积是． 考点四 动点问题压轴题 22．【问题背景】 （1）如图1，在四边形中，，，，点O是对角线上的动点，连接、，则的最小值为________； 【问题探究】 （2）如图2，在边长为2的等边中，点O是上一点，D，E分别是、边上的动点，且，连接、，求的最小值； 【问题解决】 （3）如图3，正方形是某植物园规划的一个花四，对角线、是其中的两条观赏小路，在、的交点O处有一个凉亭（大小忽略不计），现要在和上分别设立一个游客服务中心E、F，且，再沿和铺设两条石子小路，为节约成本，要求两条石子小路的长度之和最小，已知，请你帮助植物园规划人员求出两条石子小路长度之和的最小值．（即的最小值） 【答案】（1）13；（2）的最小值为2；（3）两条石子小路长度之和的最小值为． 【分析】（1）如图，连接，先求解，结合当三点共线时，最短，从而可得答案； （2）过点B作，且，连接，，交于点G．证明，可得当O、D、F三点共线时，最小，此时点D与点G重合，，从而可得答案； （3）过点A作，且，连接，，交于点H．证明，可得，当点G、E、D三点共线时，最小，此时点E与点H重合，，过点G作交的延长线于点M．再进一步求解即可． 【详解】解：（1）如图，连接， ∵，，， ∴， ∵点O是对角线上的动点， ∴当三点共线时，最短， ∴最小值为13． （2）过点B作，且，连接，，交于点G． ∴四边形是平行四边形，则．     ∵是等边三角形，， ∴．     在和中，，，， ∴， ∴，     ∴， ∴当O、D、F三点共线时，最小，此时点D与点G重合，， ∴的最小值为2．     （3）过点A作，且，连接，，交于点H． ∵四边形是正方形，， ∴．     在和中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴当点G、E、D三点共线时，最小，此时点E与点H重合，．     过点G作交的延长线于点M． ∵四边形是正方形，， ∴，，．     ∵，， ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∴，     在中，， ∴的最小值为，即两条石子小路长度之和的最小值为． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，化为最简二次根式，平行四边形的判定与性质，作出合适的辅助线构建全等三角形是解本题的关键． 23．如图1，平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴、轴于点，，一次函数的图象经过点，并与轴交于点． (1)直线的表达式为_______，直接写出点的坐标________，点的坐标_______； (2)若点为直线上的动点，当时，请求出点的坐标； (3)如图2，已知点，点在直线上运动，连接，直线与直线交于点，当与面积相等时，求出点的坐标． 【答案】(1)，， (2)或 (3) 【分析】本题考查了一次函数的图像和性质，平行线的判定和性质，等角对等边． （1）先求出点坐标为，进而求出直线的解析式为；在中，令可得点坐标为；在中，令可得点坐标为； （2）当在上方时，根据平行线的判定和性质求解即可；当在下方时，设交轴于，设，由勾股定理和等角对等边求出，由，得直线解析式为，联立求解即可； （3）由得到，设，根据等面积法求解即可． 【详解】（1）解：在中，令得， ∴点坐标为， 将点坐标代入得：， ∴直线的解析式为； 在中，令得 ∴点坐标为； 在中，令得， ∴点坐标为， 故答案为：，，； （2）解：当在上方时，如图： ∵， ∴轴， 在中，令得， ∴； 当在下方时，设交轴于，如图： 设， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， 由，得直线解析式为， 联立， 解得， ∴； 综上所述，的坐标为或； （3）解：如图： ∵， ∴， 即， ∵，，， ∴， 设， ∵， ∴， 解得， ∴点的坐标为． 24．在矩形中，P是线段上的一个动点，将沿直线翻折，点B的对应点为E，直线与直线交于点F． (1)如图①，当点F在的延长线上时，求证； (2)若，足够长，当点E到直线的距离等于3时，求的长； (3)若，，当点P、E、D在同一直线上（如图②）时，点P开始向点C运动，到与C重合时停止，则点F运动的路程是　　　　　　． 【答案】(1)证明见解析 (2)或； (3) 【分析】（）由矩形对边平行可得，再由翻折性质可得，则由等量代换及等腰三角形的判定即可得结论； （）分点在矩形内部与外部两种情况，分别画出图形，利用矩形和折叠的性质解答即可求解； （）取，，连接，则四边形是正方形，当点由在同一直线上时的状态运动到与重合时，则点的路程为线段长；当点继续向点运动直到与点重合时，点的路程为的长，为此求出的长即可求得点的路程． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由翻折得，， ∴， ∴； （2）解：当点在矩形内部时，如图，过点作，交于点，交于点，则，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 由折叠可得，，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ； 当点在矩形外部时，如图，过点作于点，过点作于点，则，四边形是矩形， ∴，， 由折叠得，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴，，， ∴， ∴， 解得（负值已舍）， ∴； 综上，的长为或； （3）解：如图，取，，连接， 则四边形是正方形， 当点由在同一直线上时的状态运动到与重合时，则点的路程为线段， 当点继续向点运动直到与点重合时，点的路程为的长，即点的路程为， 由矩形性质得，，， 由翻折的性质得，， 当点与点重合时，由（）知， ∴， 在中，由勾股定理得，， 解得， ∴， ∴点的运动路程为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，折叠的性质，正方形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定，掌握以上知识点是解题的关键． 25．将两个全等的直角三角形如图摆放，其中，，，动点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿射线运动，同时点从点出发以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，点到达终点后点也停止运动，设点运动时间为（秒）： (1)当时，求的长； (2)是否存在的值，使得以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (3)是否存在的值，使得与互相平分？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， (3)不存在，见解析 【分析】（1）先根据勾股定理求出，再根据运动速度，求出，最后求出结果即可； （2）根据菱形的性质，得出，且，然后列出方程，解方程即可； （3）根据与互相平分时，，列出方程，解方程得出答案，然后进行判断即可． 【详解】（1）解：在中 ∵，， ∴由勾股定理得：， ∴， ∵点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿射线运动，点从点出发以每秒个单位长度的速度沿向终点运动， ∴，当时，， ∴． （2）解：存在；理由： 依题意，若以，，，为顶点的四边形是菱形，则满足，且 即， 解得， 当时，， ∴当时，以，，，为顶点的四边形是菱形； （3）解：不存在；理由： 若与互相平分，则在的左侧，且四边形为平行四边形， ∴，即， 解得， 由（1）知， ∴不存在的值，使得与互相平分． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 26．如图，四边形是平行四边形，其中点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是． (1)请直接写出点B的坐标　　　　　　； (2)已知点D是线段上一个动点，若三角形是等腰三角形，请求出所有符合要求的点D的坐标； (3)已知直线：正好将分成面积相等的两部分，请直接写出k与b的函数关系式． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）利用平行四边形的性质和平移的性质即可求解； （2）设，分情况进行讨论，当时，当时，当时，利用勾股定理求解即可； （3）连接，交于，利用中点坐标公式求出中点，再利用待定系数法可表示出和的关系． 【详解】（1）解：点坐标是，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵点坐标是， ∴； （2）解：∵点是线段上一个动点， ∴设， ①当时，三角形是等腰三角形，根据勾股定理得， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ②当时，三角形是等腰三角形， 则点在的垂直平分线上， ∴， ③时，根据勾股定理得， ∴， ∴（不合题意舍去），（不合题意舍去）， 综上所述，或； （3）解：如图，连接，交于， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点坐标是，点坐标是， ∴， ∵正好将平行四边形分成面积相等的两部分， ∴直线过， ∴ ∴， 即与的函数关系式为． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，平移的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，一次函数的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 27．已知梯形，，，点为射线上一动点，联结，过点作，交射线于点，且． (1)①如图1，如果，求的长； ②如图2，点为边上一点，且，求的值； (2)如果，是等腰三角形，求的长． 【答案】(1)①；② (2)或4 【分析】（1）①过E作于F，根据可证，得出，判定是等腰直角三角形，得出，根据勾股定理可求出，即可求解； ②过P作于M，过D作于N，则可证四边形，都是矩形，，，，设，，故，，判定是等腰直角三角形，得出，根据三线合一的性质得出，根据线段和差关系可求出，然后代入计算即可； （2）分P在线段和线段的延长线上讨论，然后根据等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：过E作于F， 则， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴； ②解：过P作于M，过D作于N， ∵， ∴， ∴四边形，都是矩形， ∴，，， 设，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：当P在线段上时，如图，过E作于F， 由（1）可知：，， ∴， ∵是等腰三角形，， ∴； 当P在线段的延长线上时， ①当时，如图， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴； ②当时，如图，过E作于F， 则， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； ③当时，则， ∴， ∴， 又， ∴与在同一直线上，不符合题意，舍去， 综上，的长为或4． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，梯形，全等三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，合理分类讨论是解题的关键． 28．如图，在平面直角坐标系中，直线为，交轴于点，交轴于点，经过点且平行于轴的直线交于点是直线上一动点． (1)求点的坐标； (2)已知的面积为，求点坐标； (3)当时，在第一象限找点，使为等腰直角三角形，直接写出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或或或或或或． 【分析】（1）将代入得，即知，令得； （2）设，根据题意得，，，当点P在直线上方时，可得的面积为，则；当点P在直线下方时，可得的面积为，则，求解即可； （3）分点P在直线上方和下方两种情况，分别求得点P的坐标，设，，而，再运用两点间的距离公式、等腰直角三角形的性质列方程组求解即可． 【详解】（1）解：将代入得：， ， 令得：，解得， ； （2）解：设， 根据题意：， ， ， 当点P在直线上方时， ， 即；解得：， ∴点坐标为； 当点P在直线下方时，可得的面积为， 即，解得：， ∴点坐标为； 综上，点点坐标为或． （3）解：当点P在直线上方时， ， 同理（2）得，解得， ， 设，，而， ，，， ①若、为直角边，则，， ，解得或（舍去）， ， ②若，为直角边，则，， ，解得（舍去）或， ； ③若，为直角边，则，， ，解得或， ∴或； 当点P在直线下方时， ， 同理（2）得，解得， ， 设，，而， ，，， ①若、为直角边，则，， ，解得或（舍去）， ； ②若，为直角边，则，， ，解得或（舍去）， ； ③若，为直角边，则，， ，解得：或（舍弃）， ． 综上所述，的坐标为：或或或或或或． 【点睛】本题主要考查一次函数综合应用、待定系数法求函数解析式、三角形面积、等腰直角三角形、两点间的距离公式、解方程组等知识，掌握分类讨论思想和方程思想的应用是解题的关键． 1 / 58 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明 随着期末考试的脚步日益临近，数学这门既考验逻辑又讲究细节的学科，正呼唤着每一位学子进行系统而高效的复习。为了帮助大家在数学的海洋中稳健航行，我们特此推出了《人教版八年级数学下册期末高分秘籍》，它如同一盏明灯，照亮你的备考之路。本秘籍紧贴新人教版教材精髓，融合历年期末考试真题，精心梳理了选择题、填空题、解答题三大板块的高频考点，不仅揭示了易错陷阱，还配备了高效的解题策略。 一、秘籍概览 选择题：聚焦基础概念与快速判断，通过对比分析，训练你的敏锐洞察力。 填空题：强调解题准确性与步骤规范性，通过技巧点拨，提升你的效率。 解答题：融合生活实际，考验你的数学建模与问题解决能力，培养逻辑思维与创新能力。 二、复习策略 分题型强化： 选择题：每天定时练习，每题限时1-2分钟，锻炼快速准确判断的能力。注意总结错题，分析错误原因，避免重复犯错。 计算题：重视过程书写，每一步都要有理有据。通过专项练习，提高计算的准确性和速度。 解答题：结合生活实际，尝试将问题转化为数学模型。多读题，多思考，多总结解题模板，提升解题灵活性。 模拟考试：定期进行全真模拟考试，严格按照考试时间分配，培养考试感觉。模拟后，认真分析试卷，找出薄弱环节，针对性加强。 错题本：建立个人错题本，记录每次练习或模拟考试中的错题，附上正确解答和错误原因分析。考前重点回顾，确保同类错误不再犯。 三、心态调整 数学之美，在于其逻辑的严密与解题的多样性。面对挑战，保持积极的心态至关重要。记住，每一次错误都是成长的阶梯，每一次努力都是向成功迈进的步伐。相信自己，坚持不懈，你定能在期末考试中大放异彩。 2025.6 2024-2025学年八年级数学下册期末高分秘籍 (专题01选择题) 目录 考点一平行四边形证明题........................................................................................................2 考点二 一次函数中的面积问题.............................................................................6 考点三一次函数实际问题应用题................................................................................11 考点四动点问题压轴题....................................................................................................14 考点一 平行四边形证明题 1．如图，在四边形中，，，E为边上一点，且，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，，，求的长． 2．如图，在矩形中，点是矩形对角线的中点，过点作交于点，交于点，连结，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 3．在菱形中，，点和点分别是射线和射线上的点，且． (1)如图1，求之间的数量关系？并说明理由； (2)若，求的长． 4．如图，在菱形中，点E，O，F分别为的中点，连接． (1)求证：； (2)当时，请判断四边形的形状，并说明理由． 5．如图，D，E，F分别是的边，的中点． (1)求证：与互相平分． (2)当满足___________时，四边形是矩形． 6．如图，平行四边形的对角线相交于点，过点作，过点作，与交于点，． (1)求证：是菱形； (2)若，求的长． 7．如图，四边形是正方形，E为对角线上一点，连接． (1)求证：； (2)当时，求四边形的面积． 8．四边形中，为对角线上二点，连接，，点是延长线上一点，连接，交于点，连接． (1)如图1，若四边形为正方形，且，求证：； (2)如图2，若四边形为菱形，，． ①求证：为等边三角形； ②当时，求菱形的面积． 考点二 一次函数中的面积问题 9．如图，已知直线与直线交于． (1)求直线的表达式； (2)求直线与两坐标轴围成的三角形面积． 10．如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点，与y轴交于点B，直线：分别与x轴、y轴交于点C、点D，直线与相交于点P． (1)求点P的坐标； (2)求的面积． 11．如图，已知函数的图像与y轴交于点A，一次函数的图像经过，与x轴以及的图像分别交于点C，D，且点D的坐标为． (1)求n，k，b的值； (2)若函数的函数值不大于函数的函数值，直接写出x的取值范围 ； (3)求的面积． 12．如图，已知直线经过点、，直线（）． (1)求直线的解析式； (2)若，直线与轴交于点，直线与交于点． ①求点的坐标； ②直接写出面积． 13．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与直线交于点． (1)求的值； (2)请根据图象直接写出时，的取值范围； (3)求的面积． 14．如图，一次函数的图象与x轴交于点B，y轴交于点图象交于点，平面的角坐标系内有一动点P在线段和射线上运动． (1)求正比例函数的表达式； (2)求的面积； (3)是否存在点P，使的面积是的面积的？若存在，求此时点P的坐标；若不存在．请说明理由． 15．如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象经过点，与y轴的交点为D，与x轴的交点为C． (1)求一次函数表达式； (2)求D点的坐标； (3)求的面积． (4)不解关于x、y的方程组，直接写出方程组的解． 16．如图，一次函数的图象与x轴相交于点，的图象与x轴相交于点，这两个函数的图象相交于点A． (1)求k，b的值和点A的坐标； (2)结合图象，直接写出时x的取值范围； (3)求的面积． 考点三 一次函数实际问题应用题 17．某公园计划在健身区铺设广场砖，现有甲、乙两个工程队参加竞标，甲工程队铺设广场砖的费用（元）与铺设面积，的函数关系如图．乙工程队铺设广场砖的费用（元）与铺设面积；满足函数关系式 （k为常数，且）． (1)求出甲工程队的费用元）与面积的函数关系式，并写明x的取值范围； (2)如果公园铺设广场砖的面积为 ，那么选择哪个工程队施工更合算？ 18．2023年7月28日至8月8日，第31届世界大学生运动会将在成都举行．大动会场馆共计49个，包括13个新建场馆和36个改造场馆．现计划对面积为的某场馆区域进行绿化．经投标，由甲、乙两个工程队来完成，若甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，并且在独立完成面积为区域的绿化时，甲队比乙队少用2天． (1)求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积； (2)设甲工程队施工x天，乙工程队施工y天，刚好完成绿化任务，求y关于x的函数关系式； (3)在（2）的条件下，若甲队每天绿化费用是2万元，乙队每天绿化费用为0.8万元，且甲乙两队施工的总天数不超过20天，则如何安排甲乙两队施工的天数，使施工总费用最低？并求出最低费用． 19．为进一步落实“乡村振兴”工程，某村在政府的扶持下建起了大棚基地，准备种植A，B两种蔬菜．若种植30亩A种蔬菜和50亩B种蔬菜，总收入为42万元；若种植50亩A种蔬菜和30亩B种蔬菜，总收入为38万元． (1)求种植A，B两种蔬菜，平均每亩收入各是多少万元？ (2)村里规划种植这两种蔬菜共250亩，且A种蔬菜的种植面积不少于B种蔬菜种植面积的1.5倍，A种蔬菜至少种植多少亩？ (3)在（2）的条件下应如何种植A，B两种蔬菜，总收入最大，最大总收入是多少？ 20．某水产品市场管理部门规划建造面积为的集贸大棚，大棚内设种类型和种类型的店面共80间，每间种类型的店面的平均面积为，月租为400元．每间种类型的店面的平均面积为，月租为360元，全部店面的建造面积不低于大棚总面积的，又不能超过大棚总面积的． (1)试确定种类型的店面的数量范围； (2)通过了解业主的租赁意向得知，种类型店面的出租率为，种类型店面的出租率为．为使店面的总月租最高，应建造种类型的店面多少间？并求出最高租金． 21．为改善生活环境，减少污水排放，长青村准备筹集资金，购买甲，乙两种污水处理设备，安装在专门设置的场地，用于处理全村排放的污水．已知每套乙种设备价格比甲种设备少，用360万元单独购买甲种设备比乙种设备要少2套，安装一套甲种设备需占地，一套乙种设备需占地． (1)甲，乙两种污水处理设备每套分别是多少万元？ (2)长青村共筹集到资金500万元，准备购买20套甲，乙两种污水处理设备，经预算，安装设备的前期准备工程的费用不少于总资金的四分之一，求安装这20套污水处理设备占地的最大面积是多少？ 考点四 动点问题压轴题 22．【问题背景】 （1）如图1，在四边形中，，，，点O是对角线上的动点，连接、，则的最小值为________； 【问题探究】 （2）如图2，在边长为2的等边中，点O是上一点，D，E分别是、边上的动点，且，连接、，求的最小值； 【问题解决】 （3）如图3，正方形是某植物园规划的一个花四，对角线、是其中的两条观赏小路，在、的交点O处有一个凉亭（大小忽略不计），现要在和上分别设立一个游客服务中心E、F，且，再沿和铺设两条石子小路，为节约成本，要求两条石子小路的长度之和最小，已知，请你帮助植物园规划人员求出两条石子小路长度之和的最小值．（即的最小值） 23．如图1，平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴、轴于点，，一次函数的图象经过点，并与轴交于点． (1)直线的表达式为_______，直接写出点的坐标________，点的坐标_______； (2)若点为直线上的动点，当时，请求出点的坐标； (3)如图2，已知点，点在直线上运动，连接，直线与直线交于点，当与面积相等时，求出点的坐标． 24．在矩形中，P是线段上的一个动点，将沿直线翻折，点B的对应点为E，直线与直线交于点F． (1)如图①，当点F在的延长线上时，求证； (2)若，足够长，当点E到直线的距离等于3时，求的长； (3)若，，当点P、E、D在同一直线上（如图②）时，点P开始向点C运动，到与C重合时停止，则点F运动的路程是　　　　　　． 25．将两个全等的直角三角形如图摆放，其中，，，动点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿射线运动，同时点从点出发以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，点到达终点后点也停止运动，设点运动时间为（秒）： (1)当时，求的长； (2)是否存在的值，使得以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (3)是否存在的值，使得与互相平分？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 26．如图，四边形是平行四边形，其中点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是． (1)请直接写出点B的坐标　　　　　　； (2)已知点D是线段上一个动点，若三角形是等腰三角形，请求出所有符合要求的点D的坐标； (3)已知直线：正好将分成面积相等的两部分，请直接写出k与b的函数关系式． 27．已知梯形，，，点为射线上一动点，联结，过点作，交射线于点，且． (1)①如图1，如果，求的长； ②如图2，点为边上一点，且，求的值； (2)如果，是等腰三角形，求的长． 28．如图，在平面直角坐标系中，直线为，交轴于点，交轴于点，经过点且平行于轴的直线交于点是直线上一动点． (1)求点的坐标； (2)已知的面积为，求点坐标； (3)当时，在第一象限找点，使为等腰直角三角形，直接写出所有满足条件的点的坐标． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$