4.2提取公因式法 　课件　2024--2025学年北师大版八年级数学下册　

4.2提公因式法 第四章因式分解 ● 公因式 ● 提公因式法. ● 多项式的变形原则 ●用提公因式法分解因式 (重点、难点) 学习目标 新课导入 一、因式分解的概念 把一个多项式化为几个整式的积的形式， 这种变形叫做把这个多项式分解因式. 二、整式乘法与分解因式之间的关系. 互为逆运算 新课讲解 多项式ab+bc 各项都含有相同的因式吗?多项式 3x²+x 呢?多项式mb²+n b-b 呢?尝试将这几个多项 式分别写成几个因式的乘积，并与同伴交流. 新课讲解 公因式的定义： 一个多项式各项都含有的相同因式，叫做这个 多项式各项的公因式。 新课讲解 怎样确定多项式各项的公因式? 系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公 约 数 ； 字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母； 指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字 母最低次幂； 新课讲解 例 指出下列多项式各项的公因式： (1)3a²y-3ya+6y; (2) (3)a(x-y)³+b(x-y)²+(x-y)³; (4)-27a²b³+36a³b²+9a²b. 新课讲解 解：(1)3,6的最大公约数是3,所以公因式的系数是3; 有相同字母y, 并且y的最低次数是1,所以公因 式是3y. (2)多项式各项的系数是分数，分母的最小公倍数是 27,分子的最大公约数是4,所以公因式的系数 新课讲解 是 ;两项都有x,y, 且x的最低次数是1,y的 最低次数是2,所以公因式是 (3)观察发现三项都含有x-y, 且x-y 的最低次数是2, 所以公因式是(x—y)². (4)此多项式的第一项是“一”号，应将“一”提取变 为一 (27a²b³—36a³b²—9a²b). 多项式27 a²b³—36a³b² —9a²b 各项系数的最大公约数是9;各项都有a,b, 且a的最低次数是2,b的最低次数是1,所以这个多 项式各项的公因式是一9a²b. 1 多项式8x²y²-14x²y+4xy³ 各项的公因式是( B) A.8xy B.2xy C.4xy D.2y 2 式子15a³b³(a-b),5a²b(b- a)的公因式是(C) A.5ab(b-a) B.5a²b²(b-a) C.5a²b(b-a) D. 以上均不正确 新课讲解 练一练 新课讲解 (1)多项式2x²+6x³ 中各项的公因式是什么? (2)你能尝试将多项式2x²+6x³因式分解吗?与同 伴交流. 新课讲解 确定一个多项式的公因式时，要从 数字系数 和 字母及其指数 分别进行考虑. 数字系数 公因式的系数应取各项系数的最大公约数. 字母及其指数 公因式中的字母取各项相同的字母，而且 各项相同字母的指数取其次数最低的. 新课讲解 例 把下列各式因式分解： (1)3x+x³; (2)7x³-21x²; (3)8a³b²-12ab³c+ab; (4)-24x³+12x²-28x. 解：(1)3x+x³=x·3+x·x²=x(3+x²); (2)7x³—21x²=7x²x-7x²·3=7x²(x—3); (3)8a³b²—12ab³c+ab=ab·8a²b—ab·12b²c+ab·1 =ab(8a²b—12b²c+1); 新课讲解 (4)—24x³+12x²—28x =一 (24x³—12x²+28x) 三一 (4x·6x²—4x·3x+4x·7) =-4x(6x²—3x+7). 当多项式第一项的系数是负数时， 通常先提出“一”号，使括号内第 一项的系数成为正数.在提出“一 ” 号时，多项式的各项都要变号. 新课讲解 提公因式法因式分解与单项式乘多项式有什 么关系? 新课讲解 请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“-”, 使等式成立： (1)2-a= (a -2); (2)y-x= (x-y); (3)b+a= (a+b); (4)(b-a)²= (a-b)²; (5)-m-n= (m+n);(6)-s²+t2= (s²-t2). 新课讲解 添括号法则： (1)添上括号和“+”号，括到括号里的各项都不 变 . (2)添上括号和“一”号，括到括号里的各项都改 变符号. 新课讲解 例 把下列各式因式分解： (1)a(x-3)+2b(x-3);(2)y(x+1)+y²(x+1)² . 解：(1)a(x—3)+2b(x—3)=(x-3)(a+2b); (2)y(x+1)+y²(x+1)²=y(x+1)[1+y(x+1] =y(x+1)(xy+y+1). 新课讲解 例 把下列各式因式分解： (1a(x-y)+b(y-x); (2)6(m-n)³-12(n-m)². 解：(1)a(x—y)+b(y—x) (2)6(m—n)³-12(n—m)² =a(x y) 一b(x y) =6(m—n)³—12 [一(m—n)]² =(x—y)(a—b); =6(m—n)³—12(m—n)² =6(m—n)²(m—n—2). 课堂小结 1、确定公因式的方法： (1)定系数(2)定字母(3)定指数 2、提公因式法分解因式步骤(分两步): 第一步，找出公因式；第二步，提取公因式。 3、提公因式法分解因式应注意的问题： (1)公因式要提尽； (2)小心漏掉1; (3)提出负号时，要注意变号. 课堂小结 1、公因式：各项都有的公共因式 2、确定公因式：定系数→定字母→定指数 3、步骤：观察多项式→确定公因式→提取公因式 →确定另外一个因式(找公因式→提公因式) 当堂小练 2.如果多项 的一个因式是 ,那么另一个因式是( A ) A.c-b+5ac B.C+b-5ac 课后练习 1. (1)填空： ①多项式6x²+2x 的公因式是 2x _; ②多项式6x²y-4x³ 的公因式是 2x² _ ; (2)(人教8上P115改编)多项式12ab³c+8a³b 的公因式是( ) A.4ab² B.4abc C.2ab² D.4ab (3)多项式6xy+3xy²-9x²y 的公因式是( ) A.-3x B.3x C.3y D23xy 4.【例2】把下列各式因式分解： (1)8m²n+2mn; 解：原式=2mn·4m+2mn·1=2mn(4m+1). (2)8a³b²-12ab³+2ab; 解：原式=2ab·4a²b-2ab·6b²+2ab·1 =2ab(4a²b-6b²+1). (3)-24x³-12x²+28x. 解：原式=- (24x³+12x²-28x) =-(4x·6x2+4x·3x-4x·7)=-4x(6x2+3x-7). 5.【例3】利用因式分解进行计算：12x³+3xy², 其中x=1,y=2. 解：原式=3x ·4x²+3x ·y²=3x(4x²+y2), 将x=1, y=2代入上式，得 原式=3×1×(4×1²+22)=24. 6. (北师8下P97)(2023深圳)已知ab=7,a+b=6, 求多项式a²b+ab²的值. 解：∵ab=7,a+b=6, ∴a²b+ab²=ab(a+b)=7×6=42 . 7. (1)多项式πr²h+πr³ 的公因式是π² ; (2)(2024成都期中)多项式3a²y-3ay+6y的公因式是 3y 8.把下列各式因式分解： (1)a²x²-ax; 解：原式=ax·ax-ax·1=ax(ax-1). (2)12a²b-18ab²-24a³b³; 解：原式=6ab·2a-6ab·3b-6ab·4a²b² =6ab(2a-3b-4a²b²). (3)-15m³n²+24m²n³-18m²n. 解：原式=-(15m³n²-24m²n³+18m²n) =-(3m²n·5mn-3m²n·8n²+3m²n·6) =-3m²n(5mn-8n²+6). 9.先进行因式分解，再求值：xyz²+xy²z+x²yz, 其中 解：原式=xyz·Z+xyz·y+xyz·X=xyz(Z+y+x), 将 代入上式，得 ★10. 难度系数9.50 已 知a²+a-1=0, 求多项式a2025+a2024-a2023 的值 . 解：∵a²+a-1=0, ∴a2025+a2024-a²023=a2023(a²+a-1)=a2023×0=0. 请完成课本本节对应习题 布置作业 谢 谢 $$