1.第二十一章 一元二次方程（培优）-【零障碍导教导学案】2024-2025学年九年级全一册数学（人教版）

第二十一章 一运用根的定义求值 中考热点(1)整体思想 1.已知m是方程x2+2x-4=0的一个根，求代数 式(m+2)2+(m+3)(m-3)的值. 中考热点2)降次思想 2.若m是方程x2+x-1=0的一个根，求代数式 m3+2m2+2022的值. 二配方的应用 中考热点1)阅读理解 3.“a2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们 需要将代数式配成完全平方式.例如：x2+4x+5 =x2+4x+4+1=(x+2)2+1,(x+2)2≥0， .(x+2)2+1≥1，.x2+4x+5≥1.试用“配方 法”证明：代数式x2-6x+20的最小值是11. 闵盟学堂数学九年级全一册R]版 元二次方程 中考热点(2)配方后根据非负性求值 4.已知等腰△ABC的三边长为a,b,c,其中a,b满 足：a2+b2=6a+12b-45,求△ABC的周长 中考热点(3)配方法+作差法比较大小 5.用“配方法”证明代数式3x2-5x-1的值总大于 2x2-4x-7的值 三根的判别式的应用 中考热点1)利用根的判别式判断根的情况 6.已知函数y=kx+b的图象如图所示，则一元二 次方程2x2-x+k-1=0的根的存在情况是 ( A.没有实数根 +b' B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.无法确定 培优滚动练第二十一章 根据根的情况，求方程的字母系数 中考热点2》 的范围或值 7.等腰三角形的一边长是4，方程x2-6x+m+1= 0的两个根是三角形的两边长，则m为（) A.7 B.8 C.4 D.7或8 中考热点(3)利用根的判别式求代数式的值 8.已知关于x的方程x2-2x+a=0有两个不相等的 实数根，请化简 7+1+√a+1)-4a. a-I+1-a 四可化为一元二次方程的方程解法 中考热点(1)可化为一元二次方程的分式方程 9解分式方程兰总=06 中考热点2)可化为一元二次方程的方程组 10.解方程组 [x+y=5, x2+y2=17. 闵盟学堂数学九年级全一册RJ版 中考热点3)平方法解无理方程 11.解方程：x-5=√x-3. 中考热点4)换元法解方程 12.设a,b是一个直角三角形两条直角边的长，且 (a2+b2)(a2+b2-1)=6,则这个直角三角形 的斜边长为 中考热点5)分类讨论解绝对值方程 13.方程x2-x-1-1=0的解为 五根与系数的关系 中考热点①已知一根，根据韦达定理求另一根 14.已知2-√5是方程x2-4x+c=0的一个根，则 方程另一个根是 ,C= 中考热点2)已知两根代数式的值求系数的值 15.已知x1,x2是关于x的方程(m-2)x2+ (2m+1)x+m=0两个实数根. (1)求m的取值范围； (2)若x|=2,求m的值及方程的根. 培优滚动练第二十一章 16.已知关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+ K2+k=0. (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若△ABC的两边AB,AC的长是这个方程的 两个实数根，第三边BC的长为4，当△ABC 是等腰三角形时，求k的值 六一元二次方程的应用 中考热点(1)靠墙问题 17.如图，有一道长为10m的 墙 墙，计划用总长为54m的篱 D 笆，靠墙围成由六个小长方 形组成的矩形花圃ABCD. 若花圃ABCD面积为72m2, 则AB= m. 中考热点(2)靠墙开门问题 18.剧院演出，工作人员准备利用一边靠墙（墙26 米)的空旷场地为提前到场的观众设立面积为 300平方米的长方形等候区.如图，为了方便观 众进出，在两边空出两个宽各为1米的出入口， 共用去隔栏绳48米.请问，工作人员围成的这 个长方形的相邻两边长分别是多少米？ aludldasliadilasiiliac 出口 进口 闵盟学堂数学九年级全一册RJ版 中考热点3)小路问题 19.某公园准备在一块长为42m、宽为30m的长方 形花园内修建一个底部为正方形的温室花房 (如图)，在温室花房四周修四条宽度相同，且 与温室花房各边垂直的小路，温室花房边长是 小路宽度的6倍，花园内其他的空白地方铺草 坪，设小路宽度为xm (1)用含x的代数式表示花园内温室花房的面 积和小路面积； (2)若草坪面积为1164m2时，求这时小路 宽度. 20.如图，要设计一幅宽20cm、长30cm的图案，其 中有两横彩条、一竖彩条，横、竖彩条的宽度比 为1：3.如果要使彩条所占面积是图案总面积 的19%，求竖彩条的宽度 培优滚动练第二十一章 中考热点(4)利润问题 21.李明在家制作一种工艺品，并通过网络平台进 行线上销售，经过一段时间后发现：当售价是 50元/件时，每天可售出该商品60件，且售价每 降低1元，就会多售出2件，设该商品的售价为 x元/件(20≤x≤50). (1)用含售价x的代数式表示每天能售出该工 艺品的件数为 件； (2)已知每件工艺品需要20元成本，每天销售 该工艺品的纯利润为1000元，求该商品的 售价 22.近年来，区委组织部借助网红直播基地，积极探 索党建引领乡村振兴的新模式.某电商在抖音 上对种植成本为20元/千克的“阳光玫瑰”葡萄 进行直播销售，如果按每千克40元销售，每天 可卖出200千克.通过市场调查发现，如果“阳 光玫瑰”售价每千克降低1元，日销售量将增加 20千克 (1)若日利润保持不变，每千克“阳光玫瑰”售 价可降低多少元？ (2)小明的线下水果店也销售同款葡萄，标价 为每千克50元.为提高市场竞争力，促进线 下销售，小明决定对该商品实行打折销售， 使其销售价格不超过(1)中的售价，则该商 品至少需打几折销售？ 阅盟学堂数学九年级全一册RJ版 中考热点(5)动点问题 23.如图，在矩形ABCD中，AB=6cm,BC=12cm, 点P从点A沿边AB向点B以1cm/s的速度移 动：同时，点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s 的速度移动.问： (1)几秒时，△PBQ的面积等于8cm2? (2)几秒时，△PDQ的面积等于28cm2? (3)几秒时，PQ⊥DQ? 培优滚动练第二十一章培优滚动练参考答案 第二十一章一元二次方程 由①，得y=5-x③， ∴.k=4符合题意 1.解：原式=m2+4m+4+m2-9= 把③代入②，得x2+(5-x) 综上所述，k的值为3或4. =17, 17.1 2m2+4m-5. 整理，得x2-5x+4=0, 18.解：如图，设封闭型长方形等候 :m是方程x2+2x-4=0的一 个根， 解得x1=1,名2=4， 把x1=1,x2=4分别代入③，得 区的熟奶为米 .m2+2m-4=0. A 即m2+2m=4, y=4,2=1. ·原方程组的解为 则原式=2(m2+2m)-5 出口 进口 「x1=1,「x2=4, =2×4-5=3. ly1=4,1y2=1. 2.解：根据题意，得m2+m-1=0, 11.解：(x-5)2=x-3 依题意，得 则m2+m=1,即m(m+1)=1, x(48-2x+2)=300, x-10x+25=x-3 则m3+2m2+2022 整理，得x2-25x+150=0, x2-11x+28=0 =m(m2+m+m)+2022 解得x1=10,x2=15, (x-4)(x-7)=0, 当x=10时，BC=30>26. =m(m+1)+2022 名1=4，x2=7, 当x=15时，BC=20<26, =1+2022=2023. 经检验x=4是原方程的增根， 3.证明：.x2-6x+20=(x-3)2+11, ∴x=10不合题意，应舍去 舍去. 答：长方形等候区的边AB为15 .当x=3时，代数式x2-6x+20 原方程的解为x=7. 米，BC为20米 有最小值， 12.√3 19.解：(1)，温室花房边长是小路 这个最小值为11： 13.x=1或x=-2 宽度的6倍，小路宽度为xm, 4.解：a2+b2=6a+12b-45, 14.2+51 .温室花房边长为6xm, a2-6a+9+b2-12b+36=0, 15.解：(1)依题意， ∴.温室花房的面积为6x·6x= (a-3)2+(b-6)2=0, 得4≥0且m-2≠0， 36x2(m2), (a-3)2≥0，(b-6)2≥0， 即(2m+1)2-4×(m-2)·m≥0， 小路的面积为 ∴a-3=0,b-6=0,解得，a=3, b=6. 解得m≥且m2, (42-6x+30-6x)·x=(72x- 12x2)(m2). △ABC为等腰三角形， (2)依题意，有以下两种情况： 答：温室花房的面积为36x2m2, 当a,c为腰时，即c=a=3,这时 ①当x1=x2,这时A=0, 小路的面积为(72x-12x2)m2; a+c=3+3=6,a+c=b,不构成 三角形；当b,c为腰时，c=b=6, 得m=-12 (2)依题意，得 42×30-36x2-(72x-12x2)= 构成三角形. 2m+111 1164. 三边长分别为3,6,6， 名1=x2=一 m-2×2=5 整理，得x2+3x-4=0. ∴△ABC的周长为3+6+6=15. ②当x1=-名2时， 解得x1=1,x2=-4(不合题意， 5.解：3x2-5x-1-(2x2-4x-7) =-+6=(-+5 1) 这时名+x2=0,得m=一2， 1 舍去). 答：当草坪面积为1164m2时， 4 1 小路的宽度为1m >0, ”m≥~12且m≠2，此时方程 20.解：设横彩条的宽度是xcm,竖彩 :不论x为何值时 无解. 条的宽度是3xcm, 3x2-5x-1-(2x2-4x-7)>0 则(30-3x)(20-2x)=20×30× 总成立， 综上所述，m=- 12' (1-19%), ∴.代数式3x2-5x-1的值总大于 1 解得x1=1,x2=19(舍去)， 2x2-4x-7的值 x1=2=5 所以3x=3. 6.C7.D 16.(1)证明：4=[-(2k+1)]2- 答：竖彩条的宽度是3cm. 8.解：关于x的方程x2-2x+a= 4(k2+k)=1>0, 21.解：(1)：该商品的售价为x元/ 0有两个不相等的实数根， “无论k为何值，方程总有两个 件(20≤x≤50)，且当售价是50 4=(-2)2-4a>0,.a<1. 不相等的实数根. 元/件时，每天可售出该商品60 .a-1<0. (2)解：A=1>0,∴.AB≠AC, 件，且售价每降低1元，就会多 ·原式=a-1 ∴.AB,AC中有一个数为4. 售出2件， “每天能售出该工艺品的件 a-1 +|a-1l= 当x=4时， 数为 a+1-a+1=2. 原方程为16-4(2k+1)+k2+k 60+2(50-x)=(160-2x)件 9.解：方程两边同乘以x(x+3),得 =0 故答案为(160-2x)； 26(x+3)-26x=0.6x(x+3) 即2-7k+12=0, (2)由题意，得(x-20)(160- 78=0.6x(x+3) 解得k1=3,k2=4 2x)=1000. 130=x2+3x 当k=3时，原方程为x2-7x+ 整理，得x2-100x+2100=0. x2+3x-130=0, 12=0, 解得x1=30,x2=70(不合题意， 名1=-13，x2=10, 解得x1=3,x2=4。 舍去). 经检验，x1=-13,x2=10是原方 :3,4,4能围成等腰三角形， 答：该商品的售价为30元 程的解， ·.k=3符合题意； 22.解：(1)设每千克“阳光玫瑰”售 ∴.原方程的解为x1=-13, 当k=4时，原方程为x2-9x+ 价降低x元， 2=10. 20=0, 则每千克的销售利润为 0解作0g 解得x1=4,2=5. (40-x-20)元， :4,4,5能围成等腰三角形， 日销售量为(200+20x)千克.根 阅盟学堂数学九年级全一册U版73参考答案 据题意，得 矩形CDHG面积=GC·CD=(8O 隧道. (40-x-20)(200+20x)=(40- 3x)x=125. (3)不能，理由如下： 20)×200. 依题意，得当x=0.2+2.4时， 整理，得x2-10x=0. 解得x=25或号（舍去）， 1 解得x1=0(不合题意，舍去)， .CD长为25m; y=-4×(26)'+6=431(m), x2=10. (2)设矩形ABCD的面积为5，则 4.31<4.5,∴.货运卡车不能通 答：若日利润保持不变，每千克 s=BC·CD=x(90-3x)= 过隧道 “阳光玫瑰”售价可降低10元； -3x2+90x=-3(x-15)2+675, 8.解：(1)点A和点B在二次函数 (2)设该商品需要打y折销售， -3<0,故抛物线开口向下， y=x2+bx+c图象上， 根据题意，得 而20≤x<30,当x>15时，3随x 50×六≤40-10， 的增大而减小， 则8g+36e 故当x=20(m)时，s取得最大值为 解得y≤6，∴y的最大值为6. -3×(20-15)2+675=600(m2). 舒得：子 答：该商品至少需打六折销售. 答：当CD长为20m时，矩形 故答案为-2，-3； 23.解：(1)设x秒后△PBQ的面积 ABCD的面积最大，最大面积是 (2)如图，连接BC,依题意，得 等于8cm2. 600m2. 则AP=xcm,QB=2xcm, 6.解：(1)设函数的表达式为 .PB=6-x. y=kx+b, 由7×(6-x2x=8, 该一次函数过点(12,74)，（28， 66), 解得x1=2,x2=4, 答：2s或4s后△PBQ的面积等 得k+74解得 128k+b=66, k=-2 于8cm2; b=80, (2)设出发xs时△DPQ的面积 “该函数的表达式为 A(-1,0),B(3,0),C(0,-3), 等于28cm 1 y=x2-2x-3, S知形D -SAAPD-SaBO y=-2*+80; Sam=3ABl0c=7× Sacm0=S△Dr0 (2)根据题意，得 (-0.5x+80)(80+x)=6750. 4×3=6, 12x6- 12- 2 -×2x(6- 解得x1=10,x2=70. SAAMD=2SAABC, 设点D(m,m2-2m-3), 投入成本最低，∴.x2=70不符 x)-2 ×6×(12-2x)=28, 合题意，舍去 ∴.增种桃树10棵时，桃园的总产量 名×AB×,=2x6,即 化简整理得x2-6x+8=0, 解得x1=2,x2=4, 可以达到6750千克： 2×4×m2-2m-3=2x6. 答：2s或4s后△PDQ的面积等 (3)根据题意，得 于28cm2; 10=(-0.5x+80)(80+x) 解得：m=1+√10或1-√10，代入 (3)设xs后PQ⊥DQ,∠DQP为 =-0.5x2+40x+6400 y=x2-2x-3, 直角， =-0.5(x-40)2+7200. 可得，y值都为6， ∴.△BPQ△CQD, .a=-0.5<0 .D点坐标为(1+√10,6) BP BQ ∴.抛物线开口向下，函数有最 CO CD 大值 或(1-10,6)； ,20≤x≤40 (3)设BC交对称轴于点P, 设AP=x,QB=2x, “治装 .当x=20时，0最小值=7000 此时，PA+PC最小，最小值为BC 千克， 的长BC=√32+3=32， 2x2-15x+18=0, ∴.桃园的总产量最少是7000 故PA+PC的最小值为3√2 解得=弓或6， 千克 9.解：(1)将点A,B代入抛物线，得 7.解：(1)设抛物线的解析式为y= -1+b+c=0,① ax'+bx+c. -9-3b+c=0,② 经检验x=号是原分式方程的 依题意，得抛物线经过点E(0, 将①-②，得8+4b=0, ∴.b=-2 根，x=6不是原分式方程的根， 6),D(4,2),A(-4,2), rc=6, 代入①，得c=1-b=3, 当x=6时，点P到达点B、点Q 16a+4b+c=2, 到达点C,此时PQ⊥DQ .y=-x2-2x+3; 16a-4b+c=2, (2)令x=0,∴.y=3,∴.C(0,3), 3 答：2s或6s后PQ1D0 1 解得 [a=-4' ∴.对称轴=-1. 如图1，由抛物线性质可知点A关 第二十二章二次函数 b=0. 于x=-1的对称点为B, 1.A2.C c=6. 3.(1)<<>> > ∴抛物线的解析式为 (2)x>1或x<-3 4.D y=-日+6 5.解：(1)由题意得： (2)能，理由如下： 3x+20+GC=100 由(1)知抛物线的解析式为 解得CC=(80-3x)m, ·BC=BG+GC=10+80-3x= y=-42+6 图1 90-3x, 依题意，得当x=1.2时， ∴.AQ+QC=BQ+QC≥BC(三角 而0<BC≤30， 形两边之和大于第三边，Q在BC 即0<90-3x≤30， y=-4×122+6=5.64(m 上时取等号) 解得20≤x<30, 5.64>4.5,∴.货运卡车能通过 ∴.△QAC周长最小时 阅盟学堂数学九年级全一册J版74参考答案