1.第二十一章 一元二次方程（课堂本）-【零障碍导教导学案】2024-2025学年九年级全一册数学（人教版）

第10课 一元二次方程的应用(3)（增长率问题） 新课学习 1.猪肉一月份每斤10元，若猪肉价格每个月增2.去年某人年薪8万元，若每年年薪增长率为 长10%，则： x,则： (1)今年年薪= 万元； (1)二月份猪肉价格为每斤 元 (2)明年年薪= 万元； (2)三月份猪肉价格为每斤 元 (3)后年年薪= 万元 知识点1两次增长率问题：原量×(1+x)=新量 3.图书馆去年有图书5万册，预计到明年增4.某市2021年底已有绿化面积300亩，经过两 加到7.2万册，求这两年馆藏图书的年平均增 年的绿化，绿化面积逐年增加，到2023年底 长率 增加到363亩，求绿化面积年平均增长率. 知识点2两次下降率问题：原量×(1-x)2=新量 5.网两年前生产1吨甲药品的成本是10006.某商品原价100元，连续两次降价后的价格 元，随着生产技术的进步，现生产1吨甲药品 为64元，若每次降价的百分率相同，求每次 的成本是810元，若每年下降的百分率相同， 降价的百分率 求药品成本年平均下降率 知识点3病毒传染问题 7.(R九上PI9改编)有一台电脑感染了某种8.(2023·东莞期中)春季流感爆发，有一人患 病毒，经过两轮传播后共有25台电脑被感染， 了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感。 (1)求每轮传播中平均一台电脑会感染几台电脑： (1)每轮传染中平均一个人传染几个人？ (2)若病毒得不到控制，四轮感染后，被感染 (2)经过三轮传染后共有多少人患了流感？ 的电脑是否超过600台？ 24 RJSX 总结： (1)连续增长两次问题、病毒传染两轮问题：原量×(1+x)子=新量； (2)连续下降两次问题：原量×(1-x)2=新量. 注意：①增长率问题通常涉及“三个时间，两次变化（增长或下降）”，要分清“原量”和“新量”； ②解方程时用直接开方法； ③有时“原量”和“新量”不直接给出，参看下面的原创题 9.【原创题】某出口公司今年计划每月平均盈利125万元，由于原料成本上升，二月份比计划盈利 减少20%，从三月份开始，公司采用新技术，盈利不断上升，四月份盈利达到121万元 (1)二月份实际盈利 万元； (2)求二月份到四月份盈利的月平均增长率 过天检测脉 基础训缘 色能力调练 10.某公司2021年盈利1500万元，到2023年11.【整体思想】大闸蟹近年产量增加，今年价 盈利2160万元，假设每年盈利的年增长率 相同。 格是两年前的。求这两年价格平均下降 9 (1)求这个增长率： 的百分率.（参考数据：w0.9≈0.95.提示： (2)预计2024年盈利多少万元？ 设两年前价格为单位“1”) {拓最训练 12.【核心素养】某玩具厂今年1月份生产2万13.(2023·中山期末)某种植物的主干长出x 件玩具，今年第一季度共生产7.98万件，设 个支干，每个支干又长出x个小分支，主干 每月的平均增长率为x,则可列方程为 支干和小分支的总数是73，则可列方程为 RJSX 25第2课解一元二次方程（直接开方法） 新课学习 知识点1若x2=a(a≥0)，则x=±@ 1.用直接开方法解一元二次方程： 2.用直接开方法解一元二次方程： (1)x2=9: (2)x2=3. (1)x2=25; (2)x2=12. 3.用直接开方法解一元二次方程： 4.用直接开方法解一元二次方程： a2-9 (2)x2+4=0. (1)2-号=0： 5.用直接开方法解一元二次方程： 6.用直接开方法解一元二次方程： (2)4x2-32=0. (1)2x2=8; (2)-27=0 知识点2若(x+b)2=a(a≥0)，则x+b=±a 7.侧用直接开方法解一元二次方程： 8.用直接开方法解一元二次方程： (1)(x-1)2=2; (2)2(x-3)2=18. (1)(1+x)2=0.81;(2)2(1+x)2=50. 9.解方程：4(2x-1)2-36=0. 10.解一元二次方程：100(1-x)2=81. 4 RJSX 过天输测 凸目德训练 11.方程x2-25=0的解为 ）12.【原创题】下列一元二次方程中无解的方 A.x1=为2=5 B.x1=5,x2=-5 程为 C.x1=x2=-5 D.x1=x2=25 A.x2-1=0 B.x2=0 C.x2+9=0 D.-x2+3=0 13.解方程： 14.(2023·广州白云区期末)解方程： (1)x2-1=0; (2)(9x-1)2=16. (1)9x2-4=0: (2)4(x-1)2-8=0. 色能打训缘 15.已知一元二次方程(x-3)2=4的两个根分 :16.【易错题】若0是关于x的一元二次方程 别是等腰三角形ABC的底边长和腰长，则 (m-2)x2+x+m2-4=0的解，则m= △ABC的周长为 ( A.11 B.11或7C.7 D.8 17.【新题速递】若一元二次方程(x-2)2=9可18.对于实数p,q,我们用符号min{p,q}表示 转化为两个一元一次方程，一个一元一次 p,9两数中较小的数，如min{1,2}=1.若 方程是x-2=3,则另一个是 ( min{(x-1)2,x2}=1,则x= A.x-2=3 B.x-2=-3 C.x+2=3 D.x+2=-3 还拓展训孩 19.当y取何值时，代数式(3y-1)2的值和代20.【原创题】若一元二次方程ax2=b(ab>0) 数式(y+2)2的值相等？ 的两个根分别是m+1与2m-4,求的值 RJSX 5微专题1十字相乘法、解法综合 新课学习 知识点1（※选学）十字相乘法 1.用十字相乘法解方程：x2+7x+12=0. 2.用十字相乘法解方程：x2-4x-12=0. 3.解方程：2x2-5x-3=0. 4.解方程：3x2+2x-1=0 知识点2用适当方法解一元二次方程ax2+bx+c=0 类型1当b=0,用直接开方法 类型2当c=0,用因式分解法 5.解方程：x2-4=0. 6.解方程：x2+x=0. 类型3当a=1,b为偶数，用配方法 类型4十字相乘法或公式法 7.解方程：x2-2x=3. 8.解方程：x2-x-6=0. 总结： 解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的方法选择： (1)当b=0,即ax2+c=0时，用直接开方法； (2)当c=0,即ax2+bx=0时，用因式分解法； (3)当a=1,b为偶数时，用配方法； (4)十字相乘法（很多题不适用）； (5)公式法(“万能法”，可解所有一元二次方程)。 12 RJSX 过天检测 凸县础遭练 9.选择适当的方法解方程： 10.【原创题】解方程：48x-4x2=44. 1000(1+x)2=1440. 11.用配方法解方程x2-6x=-1,得到的方12.等腰三角形的两条边长分别是方程x2-7x+ 程为 ( ) 10=0的两根，则该等腰三角形的周长是 A.(x-3)2=8 B.(x-3)2=-10 C.(x+3)2=8 D.(x+3)2=-10 A.12 B.9 C.13 D.12或9 马能力调缤 13解方程：7(x-1)=15. 14.【易错题】解方程：(8-2x)(6-2x)=24. (马拓最训缘 15.【换元法】(2023·东莞期中)阅读下列材料： 解方程：x-6x2+5=0.这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设x2=y,那么x=y2,于是原方程可变形为y2-6y+5=0, 解这个方程得y=1,y2=5. 当y=1时，x2=1,所以x=±1； 当y=5时，x2=5,所以x=±5. 所以原方程有四个根：x1=1,2=-1,x=√5，x4=-5. 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想。 (1)解方程(x2-x)2-4(x2-x)-12=0时，若设y=x2-x,则原方程可转化为 并求出x; (2)利用族元法解方程：2+4=2 +-4 RJSX 13第7课一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 增知识储备 新课学习 方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式为 一元二次方程根与系数的关系： x=-6±△(4≥0)，根的判别式4=6-4c. 若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠ 2a 0)有两根分别为x1,x2,则 1.探究两根和、两根积与a,b,c的关系： 两根和x+,=-名；两根积x·名=二 (1)x+%=6+6+-b-6。 a 2a 2a 该关系使用的前提条件是 (26=6x24 2a 2.若x1,x2是方程x2+3x=1的两个根，求3.已知x1,x2是一元二次方程x2-4x+3=0的 名1+名2与x1·名2的值. 两个根，求1+x2一xx2的值. 4.圆若x1,x2是方程2x2+4x-3=0的两个根，5.若x1,x2是方程2x2-6x-1=0的两个根，求 求下列各式的值： 下列各式的值： (1)x+x; (1)(x1-3)(x2-3): (2)(x1-x2)2 总结：要熟练掌握以下变形 (1)x+x号=(x1+x2)2-2x2; (4)x1x号+x7x2=x1x2(名1+x2）; (2)(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2; (5)x1-x2=√(x1+x2)2-4xx; (3)1+1=名+名 (6)(x1+a)(x2+a)=xx2+a(x1+x2)+a2. X1 x2 x1X2 16 RJSX 6.(2023·广州越秀区月考)已知关于x的7.已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+ 一元二次方程x2+(2m-1)x+m2=0有两 m=0有实数根 个实数根x1和x2 (1)求m的取值范围； (1)求实数m的取值范围； (2)若该方程的两个实数根分别为x1,x,且 (2)若x1+x2=1-x1x2,求m的值. x2+x=12,求m的值 过天检测 马县础训线 8.(2023·珠海香洲区校级月考)若方程5x+9.【原创题】下列方程中，两个实数根之和等于 x-5=0的两个实数根分别为x1,x2,则x+ 2的方程是 ( x2等于 ( A.x2+2x-3=0 B.x2-2x-3=0 A.- C.2x2-2x-3=0 D.-3x2-6x+1=0 B. C.-1 D.1 5 马能力训线 10.【原创题】已知方程x2-x-3=0的两个根 11.【易错题】已知2+√3是方程x2-4x+c=0的 为x1,x2,若方程两个根互为相反数，则 一个根，则该方程的另一个根为 k= ,方程的根为 C= 还拓展训孩 12.已知关于x的方程x2-4x+k+1=0有两个实数根 (1)求k的取值范围； (2)设方程两实数根分别为1，，且三+3=，名-1，求实数k的值 -+ RJSX 17微专题2 一元二次方程阶段复习 县础练习 (一)一元二次方程的相关概念 1.若x=-1是x2+2x+m=0的一个根，则2.一元二次方程x2-x=6的根是 m= A.2,3 B.2,-3 C.-2,-3 D.-2,3 3.若(a+1)x2+x-9=0是关于x的一元二次4.将方程x(x+4)=-5化成一元二次方程的 方程，则a的取值范围是 一般形式为 (二)一元二次方程的解法 5.用配方法解方程x2-6x=1时，方程两边应6.若-1是关于x的一元二次方程ax2+bx-5=0 同时 ) 的一个根，则3a-3b+1的值为 A.加9 B.减9 C.加36 D.减36 7.选择适当的方法解方程： 8.选择适当的方法解方程： (1)2x2-16=0: (2)2x2-16x=0. (1)2x2+23x+1=0:(2)(2x-1)2=(5-x)2 (三)根的判别式 9.(2023·广州天河区二模)关于x的一元二10.(2023·珠海香洲区校级月考)若关于x的 次方程x2-mx-1=0的根的情况是( 方程x2-2x-1=0有两个不相等的实数 A.有两个不相等的实数根 根，则k的取值范围是 ( :) B.有两个相等的实数根 A.k>-1且k≠0 B.k>-1 C.没有实数根 C.k<-1 D.k<1且k≠0 D.不能确定 (四)韦达定理 11.(2023·广州荔湾区期末)已知x1,2是一12.(2023·广州天河区月考)已知关于x的一 元二次方程x2-2x-3=0的两个根，则 元二次方程x2+bx+c=0的两根分别为 2x1+2x2-x1x2的值为 ( x1=1,x2=2,则b与c的值分别为( A.-1 B.1 C.-7 D.7 A.b=3,c=2 B.b=3,c=-2 C.b=-3,c=2 D.b=-3,c=-2 18 RJSX 提升练习 13.已知关于x的一元二次方程x2-2x+k=0. 14.(2023·珠海金湾区校级月考)已知关于x (1)若方程有一根为3，求方程的另一根； 的一元二次方程x2+mx-3=0. (2)当k为何值时，方程有两个相等的实 (1)求证：该方程总有两个不相等的实 数根？ 数根； (2)已知方程的一个根为x=3,求方程的另 一个根 15.(2023·东莞校级期中)已知关于x的方程16.(2023·广州海珠区校级期中)已知平行四 x2-2(m+1)x+m2+2=0. 边形ABCD的两边AB,BC的长是关于x的 (1)若方程总有两个实数根，求m的取值 范围； 方程子-+受-4=0的两个实数根 (2)若两个实数根x1,x2满足(x1+1)· (1)当m为何值时，四边形ABCD是菱形？ (x2+1)=12,求m的值. 求出这时菱形的边长， (2)若AB的长为2，则平行四边形ABCD的 周长是多少？ RJSX 19第12课 一元二次方程的应用(5)（营销问题） 知识储备 (1)利润=实际售价-成本；(2)总利润=单位利润×销售量. 新课学习多 1.(1)某商品的进价是100元，售价是150元，(2)某件商品的利润为5元/件，销售量为100 则该商品的单件利润为 元 件，则该商品总利润为 元 知识点1直接给出单件（每斤）利润 2.老板发现：如果每斤高档苹果盈利10元，3.某商店热卖某品牌童装，平均每天可售出 每天可售出500斤；若每斤涨价1元，日销售 20件，每件盈利40元.市场反馈每件童装每 量将减少20斤.若每天盈利6000元，则每 降价1元，平均每天就可多售出2件.要想每 斤应涨价多少元？ 天在销售这种童装上盈利1200元，同时又 要使顾客得到实惠，那么每件童装应降价多 少元？ 知识点2间接给出单件利润或变化关系 4.©某商店经销一种商品，若按每件盈利2元5.某商店经销一种销售成本为每千克40元的 销售，每天可售出200件，若每件商品涨价 水产品，据市场分析，若按每千克50元销售， 0.5元，则日销售量就减少10件，问每件商品涨 一个月能售出500kg,销售单价每涨1元，月 价多少元时，才能使每天的利润为640元？ 销售量就减少10kg.要使月销售利润达到 8000元，销售单价应为多少？ 28 RJSX 总结： (1)关系式：（售价-成本）×销售量=总利润； (2)一般都是设涨价（或降价）x元，然后间接求定价或进货量. 过天检测多 凸县础训线 ! 之能力调练 6.某服装店以每件30元的价格购进一批T恤，7.【原创题】某商场将进货价为30元的台灯以 如果以每件40元出售，那么一个月内能售出 40元售出，平均每月能售出600个.调查表 300件，根据以往销售经验，销售单价每提高 明：这种台灯的售价每上涨1元，其月销售量 1元，月销售量就会减少10件，服装店希望 就减少10个.要实现每月10000元的销售 一个月内销售该种T恤能获得利润3360 利润目标，且售价不能低于60元/个，求： 元，并且尽可能减少库存，问T恤的销售单 (1)这种台灯的定价： 价应提高多少元？ (2)商场应进货多少个？ 还拓展训线 8.某单位组织职工到“万绿湖”观光旅游，下面是领队与旅行社就收费标准的一段对话： 领队：组团去万绿湖旅行每人收费是多少？ 旅行社：如果人数不超过25人，人均费用为100元. 领队：超过25人呢？ 旅行社：如果超过25人，每增加1人，人均费用降低2元，但人均旅行费用不得低于70元 该单位组团旅游结束后，共支付2700元，则该单位参加旅游的共有多少人？ RJSX 29核心素养及数学思想 1.(BS九上P53)[动点与面积问题]如图，在3.(BS九上31)[梯子与勾股定理]如图，一 Rt△ACB中，∠C=90°，点P,Q同时分别由 个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端 A,B两点出发沿AC,BC方向向点C匀速移 距地面的垂直距离为8m.如果梯子的顶端 动（到点C为止），它们的速度都是1m/s.经 下滑1m,那么梯子的底端向右滑动多少米？ 过几秒△PCQ的面积为Rt△ACB面积的 一半？ 0 10m om 2.(BS九上P58)[一元二次方程与函数结合] 如图，一次函数y=-2x+3的图象交x轴于 点A,交y轴于点B,点P在线段AB上（不与 点A,B重合)，过点P分别作OA和OB的垂 线，垂足为C,D.当点P在何处时，矩形 OCPD的面积为1？ y=-2x+3 34 RJSX 4.(U九上P17)[多边形对角线问题]一个凸6.（九上23）[小高斯公式]如图是一个三 多边形共有20条对角线，它是几边形？是否 角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一 存在有18条对角线的多边形？如果存在，它 行有1个点，第二行有2个点…第n行有 是几边形？如果不存在，说明得出结论的 n个点… 理由 (1)容易发现，10是三角点阵中前4行的点 数和.你能发现300是前多少行的点数 和吗？ (2)三角点阵中前n行的点数和能是600 吗？如果能，求出；如果不能，试用一 元二次方程说明理由. 5.(J九上P22改编)[平移，集零为整]如图， 要设计一幅宽20cm、长30cm的图案，其中 有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为 3:2.如果要使彩条所占面积是图案面积的 子，设竖彩条的宽度为2xm,则可列方程为 RJSX 35新题型特训一实验、探究与活动 (RJ九上PI8)阅读与思考 黄金分割数 本章引言中有一个关于人体雕塑的问题.要使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的 高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，这个高度比应是多少？ 把上面的问题一般化，如图，在线段AB上找一个点C,C把AB分为AC和CB两段，其 中AC是较小的一段，现要使AC:CB=CB:AB.为简单起见，设AB=1,CB=x,则AC=1-x, 代入AC:CB=CB:AB,即(1-x):x=x:1,也即2+x-1=0.解方程，得x=-1±5 2 根据问题的实际意义，取=5,1-0.618，这个值就是上面问题中所求的高度比 2 人们把5，这个数叫做黄金分制数如果把一条线段分为两部分，使其中较长一段与 整个线段的比是黄金分割数，那么较短一段与较长一段的比也是黄金分割数， 一x 1.【知识应用】(2023·上海嘉定区期末)已知点P是线段AB的一个黄金分割点，且AB=4cm, AP<BP,那么BP= cm 2【知识延伸1(2023·成宁嘉鱼县模拟)人们把5叫做黄金分制数五角星是常见的图案。 如图，在五角星中存在黄金分割数 MN=BN-BM-5,1,若BE=4,则MN= 'NB BM BE 2 3.【跨学科拓展】(2023·辽阳期末)黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜 爱，摄影中有一种拍摄手法叫做黄金构图法，其原理是：如图，在正方形ABCD的底边BC取中 点E,以点E为圆心，线段DE为半径作弧，其与底边BC的延长线相交于点F,这样就把正方 形ABCD延伸为矩形ABFG,称为黄金矩形.若CF=2,则AB= (结果保留根号) E 36 RJSX 4.(U九上P23改编)【数学活动】三角点阵中前n行的点数计算 【实验与探究】 如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二 ● 行有2个点…第n行有n个点…容易发现，10是三角点阵中前4行的点数 ●●● ●●●● 和，你能发现300是前多少行的点数的和吗？ ●●●●●● ●●●●●●● ●●●●●●●● 如果用试验的方法，由上而下地逐行相加其，点数，你能发现1+2+3+4+…+ ●●●●●●●●● 23+24=300,得知300是前24行的点数的和，但是这样寻找答案有些慢.我们 先来探求三角点阵中前n行的点数和与n的数量关系： 前n行的，点数和是1+2+3+…+(n-2)+(n-1)+n,可以发现：2×[1+2+3+…+ (n-2)+(n-1)+n]=[1+2+3+…+(n-2)+(n-1)+n]+[n+(n-1)+(n-2)+…+ 3+2+1]. 把两个中括号中的第一项相加，第二项相加…第n项相加，上式等号的右边变形为这几 个小括号都等于n+1,整个式子等于n(n+1),于是得到1+2+3++(n-2)+(n-1)+ n之(a+1),这就是说，三角点阵中前n行的点鼓和是(a+1)。 下面用一元二次方程解决上逃问题：设三角点阵中前n行的点数和为300，则有2a(n+ 1)=300,整理这个方程，得n2+n-600=0,解方程，得m1=24,n2=-25.根据问题中未知数 的意义确定n=24,即三角，点阵中前24行的点数和是300. 请你根据上述材料解答下列问题： 【初步感知】(1)根据上面的内容，请直接写出21是三角点阵中前 行的点数和；三角点 阵中前8行的点数和为 【知识应用】(2)三角点阵中前n行的点数和能是600吗？如果能，求出n;如果不能，试用一 元二次方程说明道理 【拓展延伸】(3)如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换为2,4,6，…，2，…，你能探究出 前n行的点数和满足什么规律吗？这个三角点阵中前n行的点数和能是600吗？如果能，求 出n:如果不能，试用一元二次方程说明道理 RJSX 37第4课解一元二次方程（公式法） 塔知识储备 一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0(a≠0). 1.将x2+4=5x化为一元二次方程的一般形式为 ,a=,b=,c= 新课学习》 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式为x= (其中4=b2-4ac≥0). 类型14>0曰x,≠x 2.侧用公式法解一元二次方程：x2-3x=4. 3.(2023·广州白云区校级月考)用公式法解 方程：2x2-3x=1-2x 类型24=0=%1==-2a 4.用公式法解方程：x2+1=-2x. 5.用公式法解方程：x2-4x+4=0. 类型3△<0一方程无实数根 6.用公式法解方程：2x(x-1)+1=0. 7.用公式法解方程：x(x-1)+1=0. 8 RJSX 总结： (1)用公式法解一元二次方程的步骤： ①化成一般形式，确定a,b,c:②计算△；③当△≥0时，代入求根公式求解；当4<0时，方程无实数解 (2)公式法也叫做“万能法”，能解所有一元二次方程.方程的根有三种类型： b 4>0≠4=0%=名=204<0→方程无实数根 过天靛测 少县础训练 8.解方程：x2-5x=6. 9.解方程：x2-4x-1=0. 色能打训缘 10.【易错题】解方程：x2+22x-6=0. 11.(1)方程3x2-x=0的根为 (2)【新题速递】(2023·珠海期中)用公式 法解一个一元二次方程，根为x= -5±√1 6 ,则此方程的二次项系数、一 次项系数、常数项分别为 A.6,5,1 B.3,5,-1 C.3,5,1 D.3,-5,1 多拓展训雀 12.先阅读，再解题 解方程(x-1)2-5(x-1)+4=0,可以将(x-1)看成一个整体，设x-1=y,则原方程可化 为y2-5y+4=0,解得y1=1,y2=4.当y=1时，即x-1=1,解得x=2;当y=4时，即x-1= 4,解得x=5,所以原方程的解为x1=2,x2=5. 请利用上述方法解方程：(3x-5)2-4(5-3x)+3=0. RJSX 9第5课解一元二次方程（因式分解法） 知识储备 1.分解因式（和差形式→乘积形式）： 2.若A·B=0,则A= 或B= (1)ax+bx= x2-5x= (2)x(x-1)+2(x-1)= 新课学习 3.@用因式分解法解方程：(x+2)(x-1)=0.4.解方程：x(x+1)=0. 5.@用因式分解法解方程： 6.解方程： (1)x2-5x=0: (2)x(x-1)+2(x-1)=0.(1)x2-25x=0: (2)x(x+1)=3(x+1). 7.@(2023·广州荔湾区校级期中)用因式分8.(2023·广州越秀区校级月考)解方程： 解法解方程：(x-3)2=2x-6. 3x(x-1)=2x-2. 10 RJSX 过天检测 凸县础遭练 9.方程x(x-√2)=0的根是 10.(2023·广州增城区一模)方程x2=2x的解 是 11.解方程：2023x=x2. 12.(2023·广州白云区校级月考)解方程： 2x(x-3)=x-3. 马能力训孩 13.小敏与小霞两位同学解方程3(x-3)= 14.【易错题】解方程：(y+3)(y-3)=1. (x-3)2的过程如下表： 小敏： 小霞： 两边同除以(x-3),得移项，得3(x-3)-(x-3)2=0, 3=x-3, 提取公因式，得(x-3)(3-x-3)=0 则x=6.() 则x-3=0或3-x-3=0, 解得x1=3,x2=0.（) 你认为她们的解法是否正确？若正确，请 在括号内打“V√”；若错误，请在括号内打 “×”,并写出你的解答过程。 15.若分式2的值为0，则：的值为( 16.如果x(x-1)与2(x-1)互为相反数，那么 x的值为 A.2或0 B.2 C.-2或0 D.-2 之拓最训缤 17.(RU九上P17改编)解方程： 18.【原创题】如果x=-2是关于x的一元二 (2x-1)2=(x+1)2. 次方程x2+x+c2-8c-2=0的一个根，求c 及另一个根. RJSX 11第6课 一元二次方程根的判别式 知识储备 新课学习器 1.(1)Wa有意义的条件是a 0: 2.(1)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的 (2)9 意义；0 意义；√-9 求根公式为 意义.（填“有”或“无”） (2)根的判别式为 ,记作4. 探究：一元二次方程根与判别式的关系 方程 公式法解方程 4的值 结论 x2+x-2=0 x1= x2= ①4>0曰方程有 实数根 x2+2x+1=0 ②4 0一方程有 实数根 2x2+x+1=0 ③4 0-方程 实数根 注意：4 0一方程有实数根 知识点1计算判别式的值，判断方程根的情况 3.网不解方程，判断方程x2-2x-5=0根的情况 4不解方程，判断方程2-x+4=0根的情况 解：a= ,b= 4=b2-4ac= 由于A 0 故方程 实数根 5.方程x2-x+2=0根的情况是 )6.(2023·广州越秀区月考)关于x的一元二 A.有实数根 次方程x2+mx-8=0的根的情况是( B.有两个相等的实数根 A.有两个不相等的实数根 C.无实数根 B.有两个相等的实数根 D.有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 知识点2根据方程根的情况，计算字母系数的取值范围 7.若关于x的一元二次方程x2+x+m=0有8.(2023·广州越秀区期中)若关于x的一元 两个不相等的实数根，求m的取值范围. 二次方程kx2-6x+9=0有实数根，求k的 解：a= ,b= ,c=m, 取值范围。 4=b2-4ac=12-4×1×m=1-4m. 由于方程有两个不相等的实数根， 所以△ 0,即 0. 所以 14 RJSX 9.若关于x的一元二次方程3x2-2x-k=0有10.【易错题】已知一元二次方程(k-2)x2- 两个相等的实数根，则k的值为 4x+2=0有两个不相等的实数根，则k的 取值范围为 知识点3计算判别式，证明方程根的情况 11.已知关于x的一元二次方程x2+x-1=12.【原创题】已知关于x的一元二次方程x2+ 0,求证：无论m取何值，方程总有两个不相 mx-2=0,求证：无论m取何值，方程总有 等的实数根 两个不相等的实数根. 13.(R九上P17改编)已知关于x的一元二次14.已知关于x的一元二次方程x2-mx+2m- 方程(x-3)(x-2)-m2=0.求证：无论m 5=0.求证：方程总有两个不相等的实 取何值，方程总有两个不相等的实数根， 数根. (提示：先化为一般形式，c=6-m2)》 (1)△=m2+正数>0一方程有两个不相等的实数根； 总结：常考证明类型 (2)4=m2≥0→方程有两个实数根 RJSX 15第二十一章 一元二次方程 第1课 一元二次方程 新课学习影 知识点1一元二次方程的定义 只含有 个未知数（一元），且未知数的1.④下列是一元二次方程的请打“V”,不是的 最高次数是 (二次)的整式方程 打“X” 例如x2+3x=4. (1)4x2-3x-7=0 (2)4x3-5x-1=0 ( (3)0x2-5x-1=0 ( (4)4x2-5y=0 ( (5)5x-1=0 ( (6)(x+1)(x-1)=0 (7)x(x-3)=x2 2.(2023·广州白云区校级月考)下列属于一3.已知关于x的方程(a-1)x2-2x+1=0是 元二次方程的是 ( 一元二次方程，则a满足的条件是（ A.x2-3x+y=0 1 B.x2+2x= A.a≠0 B.a≠1 x C.a>1 D.a≤2 C.x2+5x=0 D.x(x2-4x)=3 知识点2一元二次方程的一般形式 等号左边按未知数降幂排列，且右边为0的一 4.【原创题】下列符合一元二次方程一般形式 元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，其中： 的是 ( ) 二次项： ,一次项： ,常数项： A.4+3x+x2=0 B.3x+4+x2=0 ,二次项系数： ,一次项系数 C.x2+4+3x=0 D.x2+3x+4=0 5.填空： 6.填空： 一元二次方程 一般形式 c 元二次方程 般形式 二次项 次项 4x2=5-x -3+4x=-7x2 4=x(x-5) x(x+2)=1 (x+2)(x-2)=0 (x+1)2=x 知识点3一元二次方程的根（解）是能使方程左右两边相等的未知数的值 7.④方程x2-x=56的根是 )8.(2023·广州白云区校级月考)一元二次方 A.7,8 B.7,-8 程x(x+2)=0的解为 ( C.-7,8 D.-7,-8 A.x=0 B.x=-2 C.x1=0,x2=2 D.x1=0,x2=-2 2 RJSX 9.©(2023·广州越秀区一模)如果关于x的10.【整体思想】(2023·珠海校级月考)若a是 一元二次方程x2-:-6=0的一个根为3， 一元二次方程2x2=6x-4的根，则代数式 那么k的值是 ( a2-3a+2024的值为 ( A.-1 B.-2 C.1 D.2 A.2021 B.2022 C.2023 D.2024 过天检测 凸县础训孩 11.下列不是一元二次方程一般形式的是( 12.(2023·中山期中)若关于x的一元二次方 A.x2+3x=0 B.x2+3=0 程x2-x+m=0的一个根是2，则m的值是 C.3x2=0 D.x2+3x=4 ( A.-3 B.3 C.-2 D.2 13.将一元二次方程x2=3-2x化为一般形式14.已知(m-2)xm+bx-1=0是关于x的一 为 ,a= ,b= 元二次方程，则m的值为 次项为 二次项为 马能力训缘 15.【易错题】若关于x的一元二次方程(m-3)x+16.(U九上P4改编)一个长方形的面积为 m2x=9x+5化为一般形式后不含一次项， 9m2,并且长比宽多8m,设长方形的宽为 则m的值为 ( xm,则列方程为 ) A.0 B.±3 C.3 D.-3 A.2x(x+8)=9 B.2[x+(x+8)]=9 C.x(x-8)=9 D.x(x+8)=9 17.一元二次方程(a-2)x2-2x+a2-4=0的18.若a是关于x的方程3x2-x-1=0的一个 个根是0，则a= 根，则2024-6a2+2a的值为 还拓最训雀 19.(J九上P4改编)根据下列问题列方程，并将其化成一元二次方程的一般形式： (1)把长为1的木条分成两段，较短一段的长与全长的积等于较长一段的长的平方，求较短 一段的长x: (2)某次聚会中，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加聚会？ RJSX 3第8课一元二次方程的应用(1)（面积问题） 塔知识储备影 长方形的面积= 列方程解应用题步骤：①审；②设；③列；④解；⑤验；⑥答. 新课学习 1.一个长方形的面积为8m2,长是宽的2倍，2.如图，AB=8+2x, 设长方形的宽为xm,由题意，列方程为 BC= S矩形ABCD= 3.④如图，从一块长8m、宽6m的长方形中间4.如图，在一幅长为8dm、宽为6dm的矩形风 截去一个小长方形，使剩下的长方形框四周 景画的四周镶宽度相同的金色纸边，制成一 的宽度一样，且小长方形的面积为24m2,求 幅矩形挂画，使整个挂画的面积是80dm2, 长方形框的宽度 求金色纸边的宽 5.如图，有一块长8m、宽6m的矩形试验6.如图，一个长为30cm、宽为20cm的长方形 田，要开辟3条等宽小路，使种植面积为 礼品盒表面绑有宽度相同的四条丝带，若空 30m2,求小路的宽 白面积为200cm2,则丝带的宽度为多少？ 30cm 20 cm 20 RJSX 7.©如图，在长为8cm、宽为6cm的矩形的四8.如图是一块长方形铁皮，长比宽多2cm,四 个角上截去四个全等的小正方形，折成一个 个角上截去四个边长为1cm的小正方形，折 底面积为24cm2的无盖长方体，求截去的小 ! 成一个底面积为24cm2的无盖长方体，求铁 正方形的边长 皮的宽 过天检测路 山县础训练 马能力训练 9.如图，在一块长方形空地上修建一个面积为10.【易错题】如图，在宽为12m、长为20m的 1200m2的停车场，将停车场四周余下的空 矩形地面上修筑相同宽度的道路，余下的 地修建成相同宽度的通道.已知整个长方形 部分用来种草.要使草坪的面积为180m2, 空地的长为50m,宽为40m.设四周通道的宽 道路的宽应是多少？设路宽为xm,则可列 度为xm,则可列方程为 方程为 道 还拓最训练 11.如图，在长比宽多4cm的矩形的四个角上 12.如图，有一块长为20m、宽为8m的矩形空 截去四个边长为2cm的小正方形，折成 地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地， 个体积为120cm3的无盖长方体，求矩形的 它们的面积之和为56m2,两块绿地之间及 宽.设矩形的宽为xcm,则可列方程为 周边留有宽度相等的人行通道.问人行通 道的宽度是多少？设人行通道的宽度为 xm,则可列方程为 20m RJSX 21第9课 一元二次方程的应用(2)（面积问题） 新课学习 知识点1全封闭矩形问题 1.如图，用长20m的铁线围成一个面积为 2.如图，用长28m的铁线围成一个面积为 24m2的长方形，则长与宽各为多少？ 32m2,形如“日”字的矩形，设AB为xm,则 可列方程为 知识点2靠墙矩形问题 3.如图，用长35m的篱笆靠墙（墙长18m)4.如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段 围成一个面积为150m2的矩形养鸡场，求 MN,再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD AB的长.（靠墙部分不用篱笆） (围墙MN最长可利用25m),现在已备足可 以砌40m长的墙的材料. (1)当AB的长度是多少时，矩形花园的面积 为150m2? (2)能否围成面积为220m2的矩形花园？ 为什么？ 25m 5.(2023·广州期末改编)如图，有一面积为75m26.(2023·东莞期中改编)如图，有一面积为75m2 的长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，另四边用 的长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，另五边用 竹篱笆围成，竹篱笆，总长为30m,设AB为xm, 竹篱笆围成，竹篱笆总长为30m,设AB为xm, 则可列方程为 则可列方程为 22 RJSX 总结： (1)矩形面积=长×宽；(2)正确写出长和宽（用x表达）； (3)全封闭：某条边=周长-另一边； 2 (4)一边靠墙（如题3）：平行于墙的BC=篱笆总长-2AB(AB垂直于墙)；当靠墙用篱笆围矩形 养鸡场时，平行于墙的边要小于墙长， 过天检测影 马县础训缓 召能力训线 7.如图，有一面积为100m2的长方形养鸡场，8.如图，利用足够长的一段围墙，用篱笆围一个 养鸡场的一边靠墙（墙长18m),另三边用竹 长方形的场地，中间用篱笆分割出2个小长方 篱笆围成，但其中一边开了一个小门，门宽 形，与墙平行的一边上各开一扇宽为1m的 1m,如果竹篱笆的长为29m,养鸡场的长与 门，总共用去篱笆34m,为了使这个长方形 宽各为多少？ ABCD的面积为96m,边AB为多长？ D 拓属训练 9.将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每10.现有可建造50m围墙的材料，准备围成如图 一段铁丝的长度为周长做成一个正方形，要 所示的仓库，有一边要开三扇宽均为2m的 使这两个正方形的面积之和等于17cm2,那 门.当围成总面积为80m2的仓库时，AB= 么这条铁丝剪成的两段的长度分别是 RJSX 23第11课 一元二次方程的应用(4)（互赠、握手问题） 新课字习 1.(1)2人互赠礼物，每人要送 份礼物，共2.(1)2人两两握手，每人和他人握手 次， 赠出 份礼物； 共握手 次； (2)3人互赠礼物，每人要送 份礼物，共 (2)3人两两握手，每人和他人握手 次， 赠出 份礼物； 共握手 次 (3)4人互赠礼物，每人要送 份礼物，共 (3)4人两两握手，每人和他人握手次， 赠出 份礼物； 共握手 次； (4)x人互赠礼物，每人要送 份 (4)x人两两握手，每人和他人握手 礼物，共赠出 份礼物。 次，共握手 次 总结： (1)互赠问题（特征：甲乙）：若每两人之间进行2次活动，则x人共进行了x(x-1)次活动； (2)握手问题（特征：甲一乙）：若每两人之间进行1次活动，则x人共进行了2x(x-1)次活动； (3)x人握手总次数=x人互赠总次数×2 知识点1互赠问题 3.毕业晚会上同学们互送照片，每人给每位4.【原创题】有一个交流群，在“三八”妇女节那 同学一张照片，一共送出90张照片，问毕业 天，每两个成员之间都单独互发一条祝福短 晚会上一共有多少位同学？ 信，共发出30条短信，求这个交流群的人数， 知识点2握手问题 5.出席“地球环境保护”会议的代表两两握6.参加毕业典礼的老师见面时两两握手，共握 手，共握手45次，求参加握手的人数. 15次手，求参加毕业典礼的老师的人数。 26 RJSX 知识点3抽象的互赠、握手问题 7.一次商品交易会上，每两家公司之间都签8.学校举行乒乓球友谊赛，采用单循环赛形式 订了两份合同，所有公司共签订了20份合 (即每两个队要比赛一场)，共比赛36场，设 同.问共有多少家公司参加商品交易会？ 有x个队伍参加比赛，求x的值 过天检测 及县础训线 9.(2023·广州白云区月考)在一次新年聚会 10.某次排球邀请赛，参赛的每两个队之间要 中，小朋友们互相赠送礼物，全部小朋友共互 比赛两场，根据场地和时间等条件，赛程计 赠了110件礼物，若假设参加聚会的小朋友有 划安排了7天，每天安排8场比赛，设比赛 x人，则根据题意可列方程为 ( 组织者应邀请x个队，则可列方程为 A.x(x-1)=110 B.x(x+1)=110 C.(x+1)2=110 D.(x-1)2=110 径能打训线 11.【原创题】如图，一条直线上，有2个点就可 12.【易错题】北京与上海的铁路沿线沿途有多 以构成1条线段；有3个点可以构成3条 个火车停靠站（包括北京站、上海站），至少 线段. 能产生30种不同行程的火车票，求共有多 (1)有4个点可以构成 条线段： 少个停靠站. (2)若n个点构成15条线段，求n的值. 多拓展训孩 13.(R!九上PI17改编)探究多边形的对角线条数. (1)四边形有 条对角线，五边形有 条对角线： (2)n边形有 条对角线： (3)若一个多边形有14条对角线，求它的边数. RJSX 27第13课 一元二次方程的应用复习 一元二次方程的应用类型：互赠、握手问题，增长率（病毒传染）问题，面积与数字问题，营销问 题，动点问题，方案设计问题等 县础练习 知识点1互赠、握手问题 1.在小华的某个交流群中，若每人给其他成员2.某次商品交易会上，所有参加会议的商家之 都发一个红包，该交流群共发了90个红包， 间都签订了一份合同，共签订合同55份，则 则这个交流群共有 人 共有 个商家参加了交易会 知识点2增长率（病毒传染）问题 3.某农场一种作物的产量两年内从300千克增4.有一种流感病毒，刚开始有2人患了流感，经 加到363千克.设平均每年增产的百分率为 过两轮传染后共有128人患流感，如果设每 x,则可列方程为 轮传染中平均一个人传染x个人，则可列方 程为 知识点3面积与数字问题 5.一个三角形的底是高的3倍，面积为6cm2.若6.一个梯形的面积为6，上底为x,高比上底多 设高为xcm,则可列方程为 1,下底比上底多4，则可列方程为 7.两个相邻偶数的积是168，则这两个相邻偶8.如图，某小区规划在一个长为24m、宽为 数中较大的数是 10m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽 的小路，使其中两条与AB平行，另一条与 AD平行，其余部分种草.若草坪部分的总面 积为160m2,则小路的宽度为 m. 9.如图，养鸡场一面靠墙，墙长35m,另外三面10.如图，在一幅长80cm、宽50cm的长方形 用69m长的篱笆围成，养鸡场面积为600m2, 风景画的四周镶上一条金色纸边，制成一 其中一边开有一扇1m宽的门（不包括篱 幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是 笆)，则这个养鸡场的长为 5400cm2,那么金色纸边的宽为 80 cm 30 RJSX 知识点4营销问题 知识点5动点及其他问题 11.(2023·广州白云区月考)某电商店铺销售 12.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm, 一种儿童服装，其进价为每件50元，现在的 BC=8cm,点P从点A开始沿AB边向点B 销售单价为每件80元，每周可卖出200件， 以1cm/s的速度移动（到达点B即停止运 某活动期间，商家决定降价让利促销，经过 动)，点Q从点B开始沿BC边向点C以 市场调查发现，单价每件降低1元，每周可 2cm/s的速度移动（到达点C即停止运 多卖出20件 动).如果点P,Q分别从A,B两点同时出 (1)若想使每周销售利润达到7500元，同 发，经过 秒，△PBQ的面积等于 时尽可能让利于顾客，则每件儿童服装 △ABC面积的三分之一 应降价多少元？ (2)该店铺每周可能盈利10000元吗？请 说明理由， B 6 cm- 提升练习 13.(2023·东莞月考)某省2020年公共预算14.某店以每件21元的价格购进一批商品，若 教育经费是200亿元，到2022年公共预算 每件商品售价a元，则可卖出(350-10a) 教育经费达到242亿元 件，但物价局限定每件商品的利润不得超 (1)求2020年到2022年公共预算教育经 过20%，商店计划要盈利400元，需要进货 费的年平均增长率； 多少件？ (2)按照这个增长率，预计2023年公共预 算教育经费能否超过266亿元？ 15.如图，要设计一幅宽20cm、长40cm的图案，其中有两横两竖的彩条， 横、竖彩条的宽度之比为2：5，若要使彩条所占面积是图案面积的号，则 每个横彩条的宽度是 cm. RJSX 31本章教材母题回归 1.(九上P14)解下列方程： 2.(BS九上P51)已知方程5x2+mx-6=0的 (1)4x2-121=0: 一个根是2，求它的另一个根及m的值. 3.(九上PI7)利用判别式判断方程 x2-4√2x+9=0的根的情况. (2)3x(2x+1)=4x+2; 4.(U九上PI7)无论p取何值，方程(x-3)(x- 2)-p2=0总有两个不相等的实数根吗？给 出答案并说明理由. (3)(x-4)2=(5-2x)2; 5.(BS九上P43)一个直角三角形三条边的长 为三个连续偶数，求这个三角形的斜边长 (4)3x2-6x=-3. 32 RJSX 6.(U九上25改编)一个长方体的长与宽的8.（九上P19)两年前生产1t甲种药品的成 比为5：2，高为5cm,表面积为40cm2.求这 本是5000元，生产1t乙种药品的成本是 个长方体的宽. 6000元.随着生产技术的进步，现在生产1t 甲种药品的成本是3000元，生产1【乙种药 品的成本是3600元.哪种药品成本的年平 均下降率较大？ 7.(J九上22)一个菱形两条对角线长的和 是10cm,面积是12cm2,求菱形的周长。 9.(RJ九上P26改编)某银行经过最近的两次 降息，使一年期存款的年利率由2.25%降 至1.98%，平均每次降息的百分率是多少？ 设平均每次降息的百分率为x,则可列方程 为 RJSX 33第3课 解一元二次方程（配方法） 知识储备 1.用直接开方法解方程：(x+3)2=4. 2.根据公式a2±2ab+b2=(a±b)2填空： (1)x2+6x+9=(x+)2; (2)x2-8x+ =(x- )2 (3)x2-10x+ =（x- )2 (4)x2+5x+ =(x+ 新课学习 知识点1“a=1,b为偶数”型一元二次方程的解法 3.④用配方法解方程：x2+6x+5=0 4.(2023·广州黄埔区校级月考)解方程： x2-4x=-3. 5.用配方法解方程：x2-8x+5=0. 6.用配方法解方程：x2-10x+16=0. 知识点2“a=1,b为奇数”型一元二次方程的解法 7.(2023·珠海金湾区月考)用配方法解方8.用配方法解方程：x2+3x+2=0. 程：x2-7x+6=0. 6 RJSX 知识点3“a≠1”型一元二次方程的解法 9.用配方法解方程：2x2+1=3x 10.用配方法解方程：2x2+1=6x-3x2 总结：用配方法解方程的步骤 (1)移项：含未知数的项在左，常数项在右；(2)二次项系数化为1：方程每一项除以；(3)配方： 当a=1时，方程两边同时加上) ;(4)写平方形式：(x+m)2=P;(5)当p<0时，方程无解；当 p≥0时，则x+m=±√p 过天輪测 (基础训像 11.(2023· 东莞校级一模)将一元二次方程12.用配方法解一元二次方程x2+6x-1=0时 x2-2x-3=0化成(x-a)2=b的形式，则b 应左右两端加上 ,方程的解为 的值为 A.-2 B.2 C.3 D.4 马能力训练 13.用配方法解方程： 14.【配方思想】求证：无论x取任何实数，代数 (1)【原创题】x2-2x-99=0; 式x2+8x+18的值总大于0.[提示：用配 方法配成(x+a)2+k的形式] (2)【易错题】3x2-23x=-1. 色拓最训缘 15.【核心素养】已知a,b,c是等腰△ABC的三边长，其中a,b满足a2+=6a+12b-45,则 △ABC的周长= RJSX 7课堂本参考答案 第二十一章一元二次方程 (2)解：4x2=32, 19.解：由(3y-1)2=(y+2)2,得 x2=8, 3-1=y+2或3y-1=-(y+2). 第1课一元二次方程 x=±⑧， 3 x1=22,x1=-2瓦 分别解得1=之水=一4 知识点1一2 1.(1)V(2)× (3)×(4)× 6.(1)解：x2=4, “当y取号或-4时，代数式 (5)×(6)V (7)× t=±④， 2.C3.B (3y-1)2的值和代数式(y+2) x1=2,x2=-2: 知识点2ar2 的值相等。 bx c a b (2)解：x2=81. 4. x=±8I, 20.解：ar2=b,∴x2= 5. 4x2+x-5=0 4 x1=9,1=-9. :m+1与2m-4为一元二次方 x2-5x-4=0 7.(1)解：x-1=±2， 程ax2=b(ab>0)的两个根， 4 x=1±2， m+1+2m-4=0, x2-4=0 0 .m=1. x1=1+2,x2=1-2: .方程的一个根为 6. 7x2+4x-3=0 7x2 学 (2)解：(x-3)2=9, m+1=1+1=2. x-3=±9， x2+2x-1=0 x 2x x=3±3， 2=2=4 a x1=0,1=6. x2+x+1=0 第3课解一元二次方程（配方法）】 8.(1)解：1+x=±0.8T, 7.C8.D9.C10.B1L.D L.解：x+3=±4， 1+x=±0.9. 12.C x+3-±2， x=-1±0.9， 13.x2+2x-3=012-32xx2 x=-3±2， x1=-0.1,2=-1.9: 14.-215.D16.D17.-2 x1=-5,x2=-1. (2)解：(1+x)2=25, 2.(1)3(2)164(3)255 18.2022 19.解：(1)较长的一段长为(1-x), 1+x=±/25， 4蓉 依题意，得1·x=(1-x), 1+x=±5， 化简、整理，得x2-3x+1=0. x=-1±5， 3.解：x2+6.x=-5. (2)设有x个人参加聚会，依题 x1=4,x2=-6. x2+6x+32=-5+32, 9.解：4(2x-1)2=36. (x+3)2=4. 意，得(x-)=10,化简、整 (2x-1)2=9, x+3=士4， 理，得x2-x-20=0. 2x-1=±3， x=-3±2 第2课解一元二次方程 2x=1±3， 即x1=-5,x2=-1. x1=2,x2=-1. 4.解：配方，得 (直接开方法) 10.解：(1-x)2=0.81. 1.(1)解：x=±⑨， 1-x=±10.81， -+-3+( x1=3,x2=-3: 1-x=±0.9， (x-2)2=1. (2)解：x=±3 x=1±0.9. 由此可得x-2=±1， =3,出3=-5. x1=0.1,x2=1.9. x1=3,x2=1. 5.解：x2-8x=-5, 2.(1)解：x=±√25 11.B12.C 13.(1)解：x2=1. x2-8x+42=-5+42, x1=5,x2=-5; x=±1， (x-4)2=11, (2)解：x=±√2 x1=1,x2=-1; x-4=±1， x1=23,x3=-25. (2)解：9x-1=±4， 龙=4±/1Π， /16 3.(1)解：x=±√25 9x=1±4， 5 1 .x1=4+11,x2=4-、1. 4 =96=-3 6.解：x2-10x=-16, 14.(1)解：9x2=4. x2-10.x+25=25-16. (2)解：方程无实数根。 (x-5)2=9 g. x-5=±3， 4.(1)解：x=±√9 x=5±3， 2 x1=8,x2=2. 3 号=子 7.解：移项，得x2-7x=-6. 配方，得 (2)解：x=±√2’ /1 (2)解：4(x-1)2=8, -+3=-6+(3 2 (x-1)2=2, x-1=±2， 5.(1)解：x2=16, x=1±2， 7 5 x=±16， 1=1+2,x2=1-2 由此可得x-2= 2 x1=4,x2=-4: 15.A16.-217.B18.-1或2 x1=1,x3=6. 闯盟学基数学九年级全一册U版1参考答案 8.解：x2+3x=-2. ·方程有两个不相等的实数根 10.解：a=1,b=22,c=-6. +3x+ 3 t=-b±VB-4a 4=b2-4ac 2a =(22)2-4×1×(-6) 31 -(-3)±25.3±5 =32>0. 2×1 2· .方程有两个不相等的实数根 3 x+2=±2 即x,=4,x,=-1. 3.解：方程化为2x2-x-1=0. x=-b±B-4a 2a 3 1 a=2,b=-1,c=-1. 4=b2-4ac =-22±32 2×1 即x1=-2,x3=-1. =(-1)2-4×2×(-1) 9.解：移项，得2x2-3x=-1. =-2±22， =9>0. 二次项系数化为1，得 ,方程有两个不相等的实数根 即x1=2,x1=-32. x2、3 (2)C 2 x=-b±B-4a 11.(1)x1=0,x3=3 配方- 2a 1 12.解：设3x-5=y,则原方程化为 =±91±3 y2+4y+3=0. 2×2 4· 解得为=-1，为2=-3. 两边开方，得x- 3 4 名=1=分 即51=子 当y=-1时， 4.解：方程化为x2+2x+1=0. 3x-5=-1,得x=3 4 10.解：移项，得2x2+3x2-6x=-1, a=1,b=2,c=1. 当y=-3时，3x-5=-3,得 2 即5x2-6x=-1. 4=6-4ac=22-4×1×1=0. x2 二次项系数化为1，得 ·.方程有两个相等的实数根 b x1=x3=-2 2 4 =2×1=-1 “原方程的解为x=36=了 5.解：a=1,b=-4,c=4. 第5课解一元二次方程 配方，得 9 1.9 4=6-40=(-4)2-4×1×4=0. (因式分解法)】 5+25 “.方程有两个相等的实数根 1.(1)(a+b)xx(x-5) b -44 ==-202x12 =2 (2)(x+2)(x-1) 2.00 3 2 6.解：方程化为2x2-2x+1=0. 3.解：x+2=0,或x-1=0, 两边开方，得x一亏= 5 a=2,b=-2,c=1. x1=-2,2=1. A =b*-4ac 4.解：x=0,或x+1=0, 1 1=1,= =(-2)2-4×2×1 .x1=0,2=-1. =-4<0. 5.(1)解：x(x-5)=0, 11.D .方程无实数根 x=0,或x-5=0. 12.101=-3+10,x2=-3-10 7.解：方程化为x2-x+1=0. .x1=0,x2=5: 13.(1)解：x2-2x=99, (2)解：(x+2)(x-1)=0, a=1,b=-1,c=1. x2-2x+1=99+1. x+2=0,或x-1=0, (x-1)2=100,x-1=±10， 4=b-4ac=(-1)）2-4×1×1 x1=-2,x2=1. =-3<0. x=1±10，x1=11,x2=-9: 6.(1)解：提公因式，得 方程无实数根。 (2)解：x_23 8.解：方程化为x2-5x-6=0. x(x-23)=0. 3 a=1,b=-5,c=-6. x1=0,x2=25: 4=b2-4ac (2)解：x(x+1)-3(x+1)=0, =(-5)2-4×1×(-6) (x-3)(x+1)=0, x-3=0,或x+1=0, (-9=0 =49>0. ∴1=3，x2=-1. ·方程有两个不相等的实数根 7.解：移项，得 (x-3)2-2(x-3)=0. x1=为=3 x=-b±VB-4a 2a 因式分解，得(x-3)(x-5)=0. 14.证明：x2+8x+18=x2+8.x+16+ =-(-5)±49_5±7 于是得x-3=0,或x-5=0, 2=(x+4)2+2. 2×1 2 x1=3,x1=5. (x+4)≥0， 即x,=6,x2=-1. 8.解：移项，得 3x(x-1)-2(x-1)=0. .(x+4)2+2>0 9.解：a=1,b=-4,c=-L 即x+8x+18的值总大于0. 4=b2-4ac 因式分解，得(x-1)(3x-2)=0, 15.15 =(-4)2-4×1×(-1) 于是得x-1=0,或3x-2=0, 第4课解一元二次方程（公式法） =20>0. ∴，方程有两个不相等的实数根 1景 1.x2-5x+4=01-54 9.x1=0,1=2 新课学习 x=-b±B-4ac 10.x1=0,x1=2 2a -b±6-4ac 11.解：x2-2023x=0 = -(-4)±20 x(x-2023)=0, ×1 x=0,或x-2023=0, 2.解：方程化为x2-3x-4=0. =4±25 .x1=0,x2=2023. a=1,b=-3,c=-4. △=b2-4a=(-3)2-4×1×(-4) 2 12.解：移项，得 2x(x-3)-(x-3)=0. =25>0. 即x1=2+5,x2=2-5 因式分解，得 闯盟学温数学九年级全一册RJ版2参考答案 (x-3)(2x-1)=0. 等的 于是得x-3=0,或2x-1=0, =-(-1)±25_1±5 2×1 2 4.解：a=1,b=-1,c= x1=3,=2 即x1=3,x2=-2. 4 9.解：(1+x)2=1.44, 13.解：×× 4=6-4ae=(-1)2-4×1×4 移项，得3(x-3)-(x-3)2=0. 1+x=±1.44. 分解因式，得 1+x=±1.2， =0. x=-1±1.2， .方程有两个相等的实数根. (x-3)(3-x+3)=0. 5.C6.A x-3=0,或3-x+3=0. x1=0.2,x2=-2.2. 解得1=3，=6. 10.解：方程化为 7.11>1-4m>m<4 14.解：y2-9=1,y2=10 4x2-48x+44=0. x2-12x+11=0. 8.解：一元二次方程x2-6x+9=0 y=±10. 有实数根， (x-1)(x-11)=0, =10,y=-√/10. .4=(-6)2-4×9%≥0. x-1=0,或x-11=0, 15.D16.-2或1 且k≠0. x1=1,x2=11 17.解：(2x-1)2-(x+1)2=0. 解得k≤1且k≠0 11.A12.A (2x-1+x+1)(2x-1-x-1)=0, 13.解：x(x-1)=30, 10.k<4且k≠2 3x(x-2)=0. x-x=30. 9 3x=0,或x-2=0 11.证明：a=1,b=m,c=-1. x2-x-30=0. .x1=0,x2=2. A =b2-4ac (x+5)(x-6)=0, 18.解：把x=-2代入方程得 =m2-4×1×(-1) x+5=0,或x-6=0 (-2)2-2+c2-8c-2=0 =m+4. x1=-5,x3=6. 即c2-8e=0. 14.解：原方程可化为x2-7x+6=0. m2≥0，∴.4=m2+4>0. c(c-8)=0, ∴无论m取何值，方程总有两个 分解因式，得(x-1)(x-6)=0. c=0,或c-8=0 不相等的实数根。 x-1=0,或x-6=0, C=0,c3=8. 12.证明：a=1,b=m,c=-2 x1=1,x1=6 把c=0或8代入方程得 4=62-4ac=m2-4×1×(-2) 15.解：(1)设y=x2-x,原方程可转 x2+x-2=0. =m°+8. 化为y2-4y-12=0, 4=12-4×(-2)=9, m2≥0，.4=m2+8>0. 解得y1=6,y=-2 x=1±9.-1±3 .无论m取何值，方程总有两个 当x2-x=6时，x1=3,x2=-2, 不相等的实数根 2 21 当x2-x=-2时，方程无解. 13.证明：原方程化为一般形式为 x1=-2.2=1. ∴原方程有两个根： x2-5x+6-m=0. .c的值为0或8，另一个根为1. x1=3,x1=-2. 4=(-5)2-4×1×(6-m2) 微专题1十字相乘法、解法综合 故答案为y2-4y-12=0: =25-24+4m 1.解：(x+3)(x+4)=0, 2x x+3=0,或x+4=0, (2)设y=7-4 =1+4m, m2≥0,4=1+4m2>0. .x=-3,2=-4. ∴无论m取何值，方程总有两个 2.解：(x-6)(x+2)=0, 不相等的实数根. x-6=0,或x+2=0, 14.证明：4=(-m)2-4(2m-5) x1=6,x2=-2. 原方程变形为上+y-2=0. =m-8m+20 3.解：(2x+1)(x-3)=0, 去分母，得y2-2y+1=0, =(m-4)2+4>0 2x+1=0,或x-3=0, 即(y-1)2=0, ∴.方程总有两个不相等的实数根。 1 六x=-2=3. 解得y1=2=1. 第7课一元二次方程根与 经检验，y=1是原分式方程的根。 4.解：(x+1)(3x-1)=0, 系数的关系（韦达定理） 2x x+1=0,或3x-1=0, -4 =1,即x2-2x-4=0, 1.(1)-6(2) x1=-1=3 a 解得x1=1+5,x2=1-5. 新课学习 5.解：x2=4, 经检验，x=1±5是分式方程 4≥0 x=±4， 的根. 2.解：方程化为一般形式，得 .x1=2,x2=-2. “原分式方程的解为 x+3x-1=0, 6.解：x(x+1)=0, x1=1+5,x2=1-5. a=1,b=3,c=-1, x=0,或x+1=0, 第6课一元二次方程根的判别式 =-3. 六x1=0,x3=-1. 1.(1)≥(2)有有无 a 7.解：x2-2x+1=3+1, (x-1)2=4, 2.(1)x= -b±6-4ac x·6=9=-1 2a x-1=±4 3.解：依题意，得a=1,b=-4,c=3, (2)b2-4ac x=1±2， 且，x2是方程的两个根， 探究 .x1=3,x2=-1. ÷+6:-力=4,5=6=3， a 8.解：a=1,b=-1,c=-6. 1-2 9 两个不相等的 4=b2-4ac 则x1+-x1x2=4-3=1. x1=-1,2=-1 0 两个相等的 4.解：(1)：a=2,b=4,c=-3, =(-1)2-4×1×(-6) 无实数根 -7 <无 且x,x,是方程的两个根， =25>0. :,方程有两个不相等的实数根 六+=-=- a 2=-2 x=-b±yB-4a 3.1 -2 -5(-2)2-4×1× 3 2a (-5)24 > 有两个不相 =C =-2 闯盟学盘数学九年级全一册RJ版3参考答案 .x+x号=(x1+x2)2-2x,x 5(x1+x2)5×4 x1+x2=2(m+1), =(-2)2-2× x1·x2 k+] x1书2=m2+2 20 ∴.m+2+2(m+1)+1=12 =7: 整理得m2+2m-7=0, (2)由(1)得x1+2=-2, x1·x2-1=k+1-1=k 解得m=-1-2,2(舍去)或m= 水 六k+=k,即+k-20=0. 20 -1+22. -2 解得k,=4,k2=-5. ∴m的值为-1+22. 3 经检验，k,=4,k=-5都是原方 16.解：(1)，四边形ABCD是菱形. 2 程的根. .'AB=BC. 5.解：(1)x,2是方程 由(1)得k≤3.k=4舍去 .4=0. 2x2-6x-1=0的两个根， k的值为-5. 即m2-4受)=0 且a=2,b=-6,c=-1, 微专题2一元二次方程阶段复习 整理得(m-1)=0, 心名+名=-6」 =3 1.12.D3.a≠-1 4.x2+4x+5=05.A6.16 解得m,=m2=1. 当m=1时， =c 2 7.(1)解：2x2=16, x2=8, 原方程为x2-x+ =0 (,-3)(2-3) x=±8 解得x1=x2=0.5. =x3-3(x1+2)+9 =-2-3×3+9=- x,=22,x2=-22; 故当m=I时，四边形ABCD是菱 2 (2)解：x2-8x=0, 形，菱形的边长是0.5； (2)把x=2代入原方程，得 (2)由(1)得 x(x-8)=0, x=0,或x-8=0 m=2.5, 名+3=3，西=-2 x1=0,2=8. 把m=2.5代人原方程，得 x2-2.5x+1=0, .(x1-x)2=(1+无2)2-42 8.(1)解：a=2.b=25,c=1. 4=6-4ac=(23)2-4×2×1 +2=2.5 .Cowm=2×2.5=5. =4>0. 第8课一元二次方程的 =11. 方程有两个不相等的实数根 6.解：(1)依题意，得 x=-b±B-4c.-23±4 应用(1)（面积问题） 4=(2m-1)2-4m 2a 2×2 知识储备长宽 =-4m+1≥0. 1.2x·x=8 即x,= -5+1 -3-1 :m≤4 2 2； 2.6+2x(8+2x)(6+2x) (2)解：(2x-1)2-(5-x)2=0, 3.解：设长方形框的宽度为xm, (2)依题意，得 (2x-1+5-x)(2x-1-5+x) 列方程得 x1+x=-(2m-1）=1-2m, =0, (8-2x)(6-2x)=24. x13=m2, (x+4)(3x-6)=0,x+4=0,或 解得x,=1,x2=6(舍去). 又x1+名3=1-xx3, 3x-6=0. 答：长方形框的宽度为1m ∴.1-2m=1-m .x1=-4,x2=2 4.解：设金色纸边的宽为xdm. .m2-2m=0. 9.A10.A11.D12.C 列方程得(8+2x)(6+2x)=80; 解得m1=0,m2=2. 13.解：(1)3是关于x的一元二次 解得x,=1,x2=-8(舍去) 又：m≤4心m=0, 方程x2-2x+k=0的一个根， 答：金色纸边的宽度为Idm, ∴.32-2×3+k=0,∴.k=-3. 5.解：设小路的宽为xm,则试验田 7.解：(1)：关于x的方程 解方程x2-2x-3=0,得x1=3, 种植面积可合成长为(8-2x)m」 宽为(6-x)m的矩形， x2+2mx+m2+m=0有实数根， x23=-1. 4=(2m)2-4×1×(m2+m)≥0， ∴方程的另一个根为-1； 依题意，得(8-2x)(6-x)=30. 即-4m≥0..m≤0： (2)若方程有两个相等的实数根， 解得x,=1,2=9(舍去) ∴.x=1 (2)由一元二次方程的根与系数 则4=(-2)2-4×1×k=4-4h 答：小路的宽为1m 的关系，得 =0. 6.解：设丝带的宽度为xcm,则盒子 名+=-2m,出1·名3=m2+m. 这时k=1 表面未被丝带覆盖的部分可合成 x+x号=(x1+x2)2-2xx2= ∴k=1时，方程有两个相等的实 (-2m)2-2(m2+m)=12, 数根 长为(30-2x)cm、宽为(20-2x)cm 的长方形. 即m2-m-6=0. 14.(1)证明：4=m2-4×1×(-3) 依题意，得 解得m1=3,m2=-2. =m2+12>0, (30-2x)(20-2x)=200. 由(1)知m≤0，m=3应舍去. “.该方程有两个不相等的实 整理，得x-25x+100=0. .m的值为-2 数根 解得x1=5,x2=20. 8.A9.B10.0±3 (2)解：设方程的另一个根为x, 当x=5时，20-2x=20-2×5= 则3x,=-3, 11.2-31 10>0,符合题意： x,=-1,即方程的另一个根为 当x=20时.20-2x=20-2×20= 12.解：(1)：关于x的方程x2-4x+ -1. -20<0,不符合题意，舍去 k+1=0有两个实数根， 15.解：(1)4=[-2(m+1)]2- 答：丝带的宽度为5cm. ∴.4=(-4)2-4×1×(k+1)≥0， 4(m2+2)=8m-4, 7.解：设截去的小正方形的边长为 即16-4(k+1)≥0. :方程总有两个实数根， x cm. ∴.h≤3. 8m-4≥0.m≥2 依题意，得(8-2x)(6-2x)=24. (2)方程两实数根分别为x,2, 解得x,=1,=6(不合题意，舍去) 由一元二次方程的根与系数的关 (2)由(x1+1)(x2+1)=x13 ,x=1. 系得x1+x2=4,x,·=k+1 (x1+x2)+1=12, 答：截去的小正方形的边长为1cm 闯盟学温数学九年级全一册版4参考答案 8.解：设铁皮的宽为xcm,则长为 (29-2x+1)m, 整理，得x2+2x-80=0 (x+2)cm. 列方程，得x(29-2x+1)=100 解得x,=8,x2=-10(不合题意， 依题意，得 ∴.(x-5)(x-10)=0. 舍去). [(x+2)-2](x-2)=24. 解得x1=5,x2=10. 答：每轮传染中平均一个人传染 即x(x-2)=24, 当x=5时， 8个人 整理得x2-2x-24=0. 29-2x+1=30-10=20(m), (2)81+81×8=729(人) 即(x+4)(x-6)=0, 20>18,故不符合实际，舍去. 答：经过三轮传染后共有729人患 解得x,=-4(不合题意，舍去)， 当x=10时， 了流感 x,=6. 29-2.x+1=30-20=10(m), 9.解：(1)100 答：铁皮的宽为6cm 10<18,符合实际 (2)设二月份到四月份盈利的月 9.(50-2x)(40-2x)=1200 即养鸡场的长为10m,宽为10m 平均增长率为x,依题意，得 10.(12-x)(20-x)=180 8.解：设AB的长为xm, 100(1+x)=121. 11.2x(x-4)=120 依题意，得x(34+2-3x)=96, 解得x,=0.1,x=-2.1(不合题 12.(20-3x)(8-2x)=56 解得x1=4,x3=8. 意，舍去) 第9课一元二次方程的 答：当AB为4m或8m时，长方形 所以二月份到四月份盈利的月平 ABCD的面积为96m 应用(2)（面积问题） 均增长率为10%. 9.4cm,16cm10.4m或10m 10.解：(1)设这个增长率为x,依题 1.解：设长为xm,则宽为(10-x)m 第10课一元二次方程的 依题意，得x(10-x)=24. 意，得1500(1+x)2=2160. 即10x-x2=24. 应用(3)（增长率问题】 解得x1=0.2,x2=-2.2(不合题 意，舍去). 整理得x2-10x+24=0 1.(1)11(2)12.1 2.(1)8(1+x)(2)8(1+x) 所以这个增长率为20%， 即(x-6)(x-4)=0, (2)2160×(1+20%）= 解得x,=6,x2=4(不合题意， (3)8(1+x) 2592(万元). 舍去). 3.解：设这两年馆藏图书的年平均增 山.解：设两年前价格为单位“1”，这 10-6=4(m) 长率为x,则5(1+x)2=7.2. 两年价格平均下降的百分率为 所以长为6m,宽为4m. 解得x1=0.2,2=-2.2(不合题 2.x.28,3=32 意，舍去) 三，依题意，得1-户=品 2 所以这两年馆藏图书的年平均增 即1-x≈±0.95」 3.解：设AB=xm,则BC=(35-2x)m, 长率为20% 则x,≈0.05，x≈1.95（不合题 依题意，得(35-2x)·x=150. 4.解：设绿化面积年平均增长率为 意，舍去) 即35x-2x2=150, x,依题意，得 所以这两年价格平均下降的百分 -》x-10)=0. 300(1+x)2=363 率为5%. 即(1+x)2=1.21, 12.2+2(1+x)+2(1+x)2=7.98 解得名=受出=10 1+x=±1.2I, 13.1+x+x2=73 1+x=±1.1， 当5时。 则x,=01,=-21(不合题意，舍 第11课一元二次方程的 应用(4)（互赠、握手问题） AD=BC=35-2×5 所以绿化面积年平均增长率为10%. 1.(1)12(2)26(3)312 =20>18, 5.解：设药品成本年平均下降率为 (4)(x-1)x(x-1) 所以应舍去： x,依题意，得 2.(1)11(2)23(3)36 当x=10时. 1000(1-x)2=810 AD=BC=35-2×10=15<18, 即(1-x)2=0.81, (4)(x-1)2x(x-1) 所以AB的长为10m 1-x=±0.8I, 3.解：设毕业晚会上一共有x位同 4.解：(1)设AB=xm,则 1-x=±0.9， 学，依题意，得x(x-1)=90. BC=(40-2x)m. x=0.1,x=1.9(不合题意，舍去) 即x2-x-90=0, 依题意，得x(40-2x)=150, 所以药品成本年平均下降率为10%. 解得x,=10,:2=-9(不合题意，舍 整理，得x2-20x+75=0 6.解：设每次降价的百分率为x,依 去) 解得x1=5,x2=15. 当x=5时，40-2x=30>25,不合 题意，得100(1-x)2=64. 所以毕业晚会上一共有10位 即(1-x)2=0.64,1-x=±0.8， 同学 题意，舍去； 当x=15时，40-2x=10<25,符 则x,=0.2,x2=1.8(不合题意，舍 4.解：设这个交流群的人数为x,依 题意，得x(x-1)=30. 合题意 去) 答：当AB的长度是15m时，矩形 所以每次降价的百分率为20%， 解得x=6,=-5(不合题意，舍去). 7.解：(1)设每轮传播中平均一台电 所以这个交流群的人数为6. 花园的面积为150m'; 脑会感染x台电脑，依题意，得 5.解：设参加握手的人数为x,依题 (2)不能.理由如下： 1+x+x(x+1)=25. 设AB=ym,则BC=(40-2y)m, 解得x=4,x2=-6(不合题意，舍去). 意，得2(x-1)=45. 依题意，得y(40-2y)=220, 答：每轮传播中平均一台电脑会感 解得x,=10,x2=-9(不合题意， 整理，得y2-20y+110=0. 染4台电脑 舍去) 4=(-20)2-4×1×110 (2)第三轮感染总数： 所以参加握手的人数为10. =-40<0. 25+25×4=125(台). 6.解：设参加毕业典礼的老师有 .该方程无实数根 第四轮感染总数： ∴.不能围成面积为220m2的矩形 125+125×4=625(台). x人，依题意，得 2x(x-1)=15. 花园. 所以四轮感染后，被感染的电脑会 解得，=6,1=-5（不合题意 5.x(30-3x)=75 超过600台. 舍去). 6.x(30-4x)=75 8.解：(1)设每轮传染中平均一个人 所以参加毕业典礼的老师有6人 7.解：设垂直于墙的一边为xm,则 传染x个人， 7.解：设有x家公司参加商品交易 平行于墙的一边为 依题意，得1+x+x(x+1)=81 会，依题意，得x(x-1)=20. 闯盟学是数学九年级全一册J版5参考答案 解得x=5,x2=-4(不合题意， 解得x,=50,x,=80 21 舍去) ·售价不能低于60元/个 x=±4 所以共有5家公司参加商品交 ∴.x=50,不合题意，舍去. .11 易会 :定价为80元/个： 1=2西=2： 8.解：依题意列方程，得 (2)600-10×(80-40)=200(个). (2)解：6.x2+3x=4x+2. 2x(x-1)=36. ∴.商场应进货200个. 8.解：设在25人的基础上超过x人， 6x2-x-2=0. 解得x,=9,x2=-8(不合题意， 则(100-2x)(25+x)=2700. (3x-2)(2x+1)=0, 舍去). 解得x1=5,x2=20. 3x-2=0,或2x+1=0. 9.A10.x(x-1)=7×8 当x=5时，100-2×5=90>70： =号 11.解：(1)6 当x=20时，100-2×20=60< (3)解：(x-4)2-(5-2x)2=0 (2)2(n-1)=15,n=6, 70,舍去 .∴25+5=30（人） (x-4+5-2x)(x-4-5+2x) 12.解：设共有x个停靠站，依题意， 答：该单位参加旅游的有30人 =0. 得x(x-1)=30. 第13课一元二次方程的应用复习 (-x+1)(3.x-9)=0. 解得x,=6,x2=-5(不合题意， -x+1=0.或3x-9=0 舍去). 1.102.113.300(1+x)2=363 x1=1,x2=3: ∴共有6个停靠站 4.2+2x+(2+2x)x=128 (4)解：方程化为x2-2x+1=0. 13.解：(1)25(2)"-3) 57×3xg=6 (x-1)2=0. 2 =x2=1. (3)设这个多边形有n条边，则 2.解：设它的另一根为x,依题意，得 n(n-3】=14, 6.2(x+x+4)(x+1)=6 +2=-m 6 2 7.148.29.30m10.5cm x×2=-9 解得n1=7,n2=-4(不合题意， 11.解：(1)设每件儿童服装应降价x 舍去). 元，依题意，得 解得x,=,m=二7 .它的边数为7. (80-50-x)(200+20x)=7500, 整理，得x2-20x+75=0 3.解：：4=(-42)2-4×1×9= 第12课一元二次方程的 -4<0. 解得x1=5,x=15. 应用(5)（营销问题） 尽可能让利于顾客，x=15 .方程没有实数根. 1.(1)50(2)500 答：每件儿童服装应降价15元； 4.解：将(x-3)(x-2)-p2=0变 2.解：设每斤价格上涨x元，则 (2)该店铺每周不可能盈利 形，得 (10+x)(500-20x)=6000. 10000元，理由如下： x2-5x+6-p2=0. 解得x1=5,x2=10. 设该店铺每周可能盈利10000 4=b62-4ac=(-5)2-4(6-p2) 答：每斤价格应上涨5元或10元. 元，则(80-50-x)(200+20x)= =1+4p2≥1. 3.解：设每件童装应降价x元，则(40 10000. 故方程(x-3)(x-2)-p2=0总 -x)(20+2x)=1200. 整理，得x2-20x+200=0. 有两个不相等的实数根。 解得x1=10,x2=20. :4=(-20)2-4×200=-400 5.解：设该直角三角形的三边长分别 要使顾客得到实惠， <0 为x-2,x,x+2,依题意，得 ∴.x=10要舍去 ∴所列方程没有实数根。 (x+2)=x+(x-2). 答：每件童装应降价20元. 故该店铺每周不能盈利10000元， 解得x,=0(不合题意，舍去)， 4.解：设每件商品价格上涨x元，则 12.2或4 x2=8. (2+x)(200-20x)=640. 13.解：(1)设2020年到2022年公共 所以这个三角形的斜边长为x+2 解得x,=2,x=6. 预算教育经费的年平均增长率为 =10. 答：每件商品价格上涨2元或6元 x,依题意，得200(1+x)2=242, 6.解：设这个长方体的宽为2xcm,则 5.解：设销售单价定为每千克x元 解得x,=0.1=10%, 长为5xcm,依题意，得 时，则月销售量为 2=-2.1(不合题意，舍去) 2(5x·2x+5X5x+5×2x)=40. 500-(x-50)×10= 答：2020年到2022年公共预算教 整理，得2x2+7x-4=0. (1000-10x)(千克)， 育经费的年平均增长率为10%； 每千克的销售利润是(x-40)元， (2)依题意，得2023年公共预算 解得=)，x2=-4(不合题意， 则(x-40)(1000-10x)=8000. 教育经费为 舍去). 解得x1=60,x2=80. 242×(1+10%)=266.2(亿元). ∴.2x=1. 答：要使月销售利润达到8000元， .·266.2>266 答：这个长方体的宽为1cm 销售单价应为60元或80元. ,∴，按照这个增长率，预计2023年公 7.解：如图，四边形ABCD是菱形，设 6.解：设每件T恤的销售单价应提高 共预算教育经费能超过266亿元. BD的长为xcm,则AC的长为 x元，则每件的销售单价为(40+x) 14.解：依题意，得 (10-x)cm 元，销售利润为(40+x-30)元， (a-21)(350-10a)=400. 个月内能售出(300-10x)件. 依题意，得 整理，得a2-56a+775=0. (40+x-30)(300-10.x)=3360. 解得a1=25,42=31. 整理.得x2-20x+36=0. 21×(1+20%)=25.2. 解得x=2,:=18(不合题意，舍去). ∴a=31时，不合题意，应舍去 .T恤的销售单价应提高2元 .∴.30-10a=350-10×25=100 依题意，得(10-)=12 7.解：(1)设这种台灯的定价为x元/个 答：需要进货100件 15.2 整理得x2-10x+24=0 则每月销售量为 即(x-4)(x-6)=0. [600-10(x-40)], 本章教材母题回归 ·=4,x,=6(不合题意，舍去) 依题意，得 1.(1)解：4x2=121. .'BD=4 cm,AC =6 cm. (x-30)[600-10(x-40)]=10000 x2=12 :四边形ABCD为菱形， 整理得x2-130x+4000=0. .∠A0B=90°， 闯盟学是数学九年级全一册RJ版6参考答案 OA-AC3(cm). OB=√AB-AO (3)能，理由如下： 依题意，得前n行的点数和为 0B=80=2(m). =√10-82=6(m), 2+4+6+…+(2n-4)+(2n- 在△C0OD中，∠COD=90° .AB=√32+2=/13(cm). CD=10m,C0=8-1=7(m), 2)+2n-2[1+2+3+…+ 由勾股定理得 (n-2)+(n-1)+n]=2× “这个菱形的周长为 00=√102-7=5I(m). n(n+1)=n(n+1): 4×￥13=4√13(cm) 2 8.解：设甲种药品成本的年平均下降 .BD=0D-0B=(√5I-6)(m), 令n(n+1)=600 率为x,依题意得 ∴.梯子的底端滑动(5红-6)m 解得n1=24,n2=-25(舍去). 5000(1-x)2=3000. 4.解：设这个凸多边形的边数为x, n=24. 解得x1≈1.775（不合题意，舍 依题意列方程，得，3】=20. 第二十二章二次函数 去)，x2=0.225=22.5%. 2 所以甲种药品成本的年平均下降 整理，得x2-3x-40=0. 第1课二次函数的相关概念 率约为22.5%. 解得x,=8,x=-5(不合题意，舍 L.(1)2.D3.(1)2(2)m≠3 设乙种药品成本的年平均下降率 去 4.-2 为y, 所以这个凸多边形为八边形. 依题意，得6000(1-y)2=3600. 设有18条对角线的多边形的边数 5.解：1)y=2(16-x(0<x<16): 解得y=1.775(不合题意，舍去)， 为n, (2)当x=2时， 3=0.225=22.5%. 则有2(n,3》=18 所以乙种药品成本的年平均下降 2 y=2×2×(16-2)=14. 率约为22.5%. 整理，得n2-3n-36=0. 6.解：(1)y=x(8-x)(0<x<8): 答：甲、乙两种药品成本的年平均 解得n=3±53 (2)当x=2时， 下降率一样大. 2 y=2×(8-2)=12. 9.2.25%(1-x)2=1.98% 因为所得n值不是大于或等于3 7.(1)x≥3(2)x≠±1 核心素养及数学思想 的整数，所以不存在有18条对角 8.(1)x>3(2)x可取任意实数 1.解：设经过x秒后△PCQ的面积是 线的多边形， 9.B10.x>-111.≠-112.2 Rt△ACB面积的一半，则 5.(30-4x)(20-6x)=20×30×4 13.y=20(1+x)2 ⑧-6--× 14.y=(80-x)(60-x) 2 -×6×8. 6.解：(1)由探索可知 15.(1)≠1(2)=1 解得x,=12(不合题意，舍去)， 2×[1+2+3+…+(n-2)+ x2=2. (n-1)+n=n(n+1), 16y= 答：经过2秒△PCQ的面积是 假设能，设三角点阵中前n行的点 17.解：(1)y=(20-2x+1)x Rt△ACB面积的一半. 数的和为300，则有 =-2x2+21x, 2.解：令y=0,得 -2x+3=0 2n(n+1)=300. 由20-2x>0且20-2x+1≤11， 解得x= 3 得5≤x<10: 整理得n2+n-600=0. (2)当y=55时， 4点坐标为子，小 解得m1=24,n2=-25. 55=-2x2+21x, 根据问题中未知数的意义确定 解得x1=5,x1=5.5. 设点P的横坐标为a, n=24. 故答案为5或5.5. :点P在线段AB上（不与点A,B 即三角点阵中前24行的点数的和 第2课二次函数y=ar 重合)， 是300. 点P的纵坐标为 (2)假设能，设三角点阵中前n行 的图象与性质 的点数的和为600，则有 2.解： 2a+30<a< 41014 2n(n+1)=600. 1 1 :矩形面积为1， 2 2 ∴.a(-2a+3)=1 整理，得n2+n-1200=0. 2 整理得2a2-3a+1=0. 因式分解，得(a-1)(2a-1)=0. 解得n,=-1-4801 函数图象如图所示 2 解得a,=1,4=2 m2=-1+4801 2 点P坐标为1,1)或(2,2 ,n1,1均不为整数， ∴假设不成立，即三角点阵中前n 即当点P坐标1，)或(32时， 行的点数的和不能是600. 新题型特训一实验、 3.解： 矩形OCPD的面积为1. 3.解：如图，在△AOB中， 探究与活动 1.(25-2)2.45-83.5+1 4.解：(1)636 函数图象如图所示 (2)不能.理由如下： 依题意，得mn,+山=600. 0 2 ∠A0B=90° 即n2+n-1200=0, AB=10m,A0=8m, △=√480I,不是整数，故三角点 由勾股定理得 阵中前n行的点数和不能是600. 闯盟学温数学九年级全一册RU版7参考答案