4.7 相似三角形的性质 第2课时 课件 2025--2026学年北师大版九年级数学上册

北师大版九年级上册 4.7 相似三角形的性质 第四章 图形的相似 第2课时 相似三角形中的周长和面积之比 1.理解并初步掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方.（重点） 2.掌握相似三角形的周长比、面积比在实际中的应用.（难点） 学习目标 如果两个三角形相似，它们的周长之间有什么关系？两个相似多边形呢？ A B C A1 B1 C1 导入新课 知识点1 相似三角形的周长比 (1)如图，如果△ABC∽△A'B'C' ，相似比为2，△ABC与 △A'B'C' 的周长比是多少？ (2)如果△ABC∽△A'B'C' ，相似比为k，△ABC与△A'B'C' 的周长比是多少？ A B C A′ B′ C′ 知识讲解 A B C A′ B′ C′ 如图，由已知，得 相似三角形的周长比等于相似比． 知识点2 相似三角形的面积比 (1)如果△ABC∽△A'B'C' ，相似比为2，△ABC与 △A'B'C' 的面积比是多少？ (2)如果△ABC∽△A'B'C' ，相似比为k，△ABC与△A'B'C' 的面积比是多少？ A B C A′ B′ C′ A B C A′ B′ C′ 相似三角形的面积比等于相似比的平方． 分别作△ABC和△A ′B ′C ′的高CD，C ′D ′. ∵ △ABC∽△A ′B ′C ′， ∴ (相似三角形对应高的比等于相似比). D D′ 议一议 两个相似四边形的周长比等于相似比吗？面积比等于相似比的平方吗？ 两个相似五边形的周长比及面积比怎样呢？ 两个相似的n边形呢？ A B D C A′ B′ D′ C′ 连接BD和B′D′. ∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′， 相似多边形周长的比等于相似比， 面积比等于相似比的平方。 类比四边形，你能继续求五边形的周长比及面积比吗？ 例 如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF， △ABC与 △DEF 重叠部分（图中阴影部分）的面积是△ABC的面积的一半.已知BC=2，求△ABC平移的距离. 解：根据题意，可知EG∥AB. ∴ ∠GEC=∠B，∠EGC=∠A. ∴ △GEC∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似）， ∴ （相似三角形的面积比等于相似比的平方）， 即 . ∴ EC2=2， ∴ EC= （负值舍去） . ∴BE=BC–EC= ， 即 △ABC平移的距离为 . 相似三角形周长之比等于相似比 相似三角形的性质 相似三角形面积之比等于相似比的平方 课堂小结 知识点一 相似三角形的周长比 1.若两个相似三角形周长的比为 ，则这两个三角形对应边的比是( ) B A. B. C. D. 2.的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的 ，其最长边为12， 则 的周长是( ) C A.54 B.36 C.27 D.21 当堂练习 14 3.如图，在中，，分别是边，的中点，则 与 的周长之比等于______. 4.如图，是内任意一点，， ， ，求与 的周长比. 解：，， ， ， 且相似比是 ， 与的周长比为 . 15 知识点二 相似三角形的面积比 5. 已知与相似，且相似比为，则与 的面积比为( ) D A. B. C. D. 5.1.如图，在中，，， ，则 的值是( ) B A. B. C. D. 6.若两个相似三角形的相似比为 ，较小三角形的面积为16，则较大三角形的面 积是____. 25 7.已知，且与的面积比为，若 ，则 ______. 16 知识点三 相似三角形的周长比和面积比的综合 第8题图 8.已知与相似，且周长比为，则 与 的面积比为( ) D A. B. C. D. 9. 混淆相似三角形的面积比和周长比 把一个三角形改成和它相似的三角形， 如果面积扩大到原来的100倍，那么周长扩大到原来的( ) A A.10倍 B.100倍 C.1 000倍 D.10 000倍 17 第10题图 10.如图，在中，， ， 则 ( ) C A. B. C. D. 11.在比例尺为的地图上，一个周长为，面积为 的图形，所表 示的实际周长是，面积是________ . 40 000 18 12.如图所示，在中，，连接交于点 . 19 （1）求与 的周长比； 解： ， . 四边形 是平行四边形， ， ， ， ， ，且相似比为 ， 与的周长比为 . 20 （2）如果，求与 . 解：由（1）得， ， . ， . ， ， ， ， ， . 21 13.两个相似三角形的最短边分别为和，它们的周长之差为 ，那么大 三角形的周长为( ) D A. B. C. D. 14.（教材P111习题变式）已知制作一块 的长方形广告牌的成本是120 元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍， 则扩大后的长方形广告牌的成本是( ) C A.360元 B.720元 C.1 080元 D.2 160元 22 第15题图 15.如图，在平行四边形中，为 上一点， ，连接，交于点，若 的面 积为4，则四边形 的面积等于( ) C A.50 B.35 C.31 D.20 第16题图 16.如图，为边上的一点，，分别是边 ， 的中点，，，的面积分别为， ， ，若，则 ___. 8 23 17.边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分的面积为____. 15 18.分类讨论思想 如图，在中，，，，，点 在上（与，不重合），点在 上. （1）当的面积与四边形的面积相等时， 的长等于_____； （2）当的周长与四边形的周长相等时， 的长等于___； 25 （3）试问：在上是否存在一点，使得 为等腰直角三角形？若不存在， 请说明理由；若存在，请求出 的长. 解：存在. ，， ， ， 是直角三角形，且 ， 中边上的高为 . 26 图1 ①如图1，当 ，且 时， ， ， ， ； ②当 时与①相同； 27 图2 ③如图2，当 ，且 时， 过点作于点，则 . ， ， ， . 综上所述，存在一点，使得 为等腰直角三角 形，的长为或 . 28 $$