4.7 相似三角形的性质 第1课时　课件2024—2025学年北师大版九年级数学上册

北师大版九年级上册 4.7 相似三角形的性质 第四章 图形的相似 第1课时 相似三角形中的对应线段之比 1.明确相似三角形中对应线段与相似比的关系.（重点） 2.能熟练运用相似三角形的性质解决实际问题．（难点） 学习目标 （1） △ACD与△A′C′D′ 相似吗？为什么？如果相似，指出它们的相似比. 如图，小王依据图纸上的△ABC,以1︰2的比例建造了模型房的 房梁△ A′B′C′，CD和C′D′分别是它们的立柱. （2）如果CD =1.5 cm，那么模型房的房梁立柱有多高？ 导入新课 知识点 相似三角形中对应线段的性质 做一做 已知△ABC∽△A′B′C′， △ABC与△A′B′C′的相似比为k，它们对应高的比是多少？对应角平分线的比是多少？对应中线的比呢？请证明你的结论. A B C A′ B′ C′ 知识讲解 A B C A′ B′ C′ ∵△ABC∽△A′B′C′ ∴∠B=∠B′ 又∠AHB=∠A′H′B′=90°， △AHB∽∠A′H′B′ 同样可以证明其余两组对应边上的高的比也等于相似比. 相似三角形对应高的比等于相似比 H H′ A B C A′ B′ C′ 同样可以证明其余两组对应边上的角平分线的比也等于相似比. 相似三角形对应角平分线的比等于相似比 ∵ △ABC∽△A′B′C′, ∴∠B=∠B′ ,∠BAC=∠B′A′C′. 又AT，A′T′分别为对应角∠BAC， ∠B′A′C′的角平分线， ∴∠BAT= ∠BAC= ∠B′A′C′=∠B′A′T′, ∴△ABT∽△A′B′T′, T T′ A B C A′ B′ C′ 同样可以证明其余两组对应边上的中线的比也等于相似比. 相似三角形对应中线的比等于相似比 D D′ ∵ △ABC∽△A′B′C′， ∴∠B=∠B′， ∵ D，D′分别是BC和B′C′的中点 ∵∠B=∠B′， ∴△ABD∽△A′B′D′ 性质定理 相似三角形对应高的比，对应角平分线的比，对应中线的比都等于相似比. 议一议 如图，已知△ABC∽△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′的相似比为k；点D，E在BC边上，点D′，E′在B′C′边上. （1）若∠BAD=∠BAC，∠B′A′D′=∠B′A′C′，则等于多少？ 解：∵ △ABC∽△A′B′C′， ∴∠B=∠B′，∠BAC=∠B′A′C′. ∴△ABD∽△A′B′D′， ∵∠BAD=∠BAC，∠B′A′D′=∠B′A′C′， ∴∠BAD=∠B′A′D′， 议一议 （2）若BE= BC， B′E′= B′C′，则 等于多少？ 解：∵ △ABC∽△A′B′C′， ∴∠B=∠B′ ， ∴△ABE∽△A′B′E′ ∵BE=BC，B′E′=B′C′， 议一议 （3）你还能提出哪些问题？与同伴交流. 相似三角形对应角的n等分线的比，对应边的n等分线的比都等于相似比. 例 如图，AD是△ABC的高，AD=h，点R在AC 边上，点S在AB边上，SR⊥AD，垂足为E. 当 SR= BC时，求DE的长.如果SR= BC呢？ 解：∵SR⊥AD，BC⊥AD，∴SR∥BC. ∴∠ASR=∠B，∠ARS=∠C. ∴△ASR∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似）. ∴ （相似三角形对应高的比等于相似比）， 即 当SR= BC时，得 .解得DE= . 当SR= BC时，得 .解得DE= . 相似三角形对应角平分线的比等于相似比 相似三角形对应高的比等于相似比 相似三角形的性质 相似三角形对应中线的比等于相似比 课堂小结 知识点 对应高、对应角平分线、对应中线的比 1.已知，且相似比为，则与 的对应高之比为 ( ) A A. B. C. D. 2.两个相似三角形对应高之比为 ，那么它们的对应角平分线之比为( ) A A. B. C. D. 当堂练习 15 第3题图 3. 物理 （教材P108习题T2改编）大约在两千四五百 年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验.如 图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为 ， 蜡烛火焰倒立的像的高度是 ，则蜡烛火焰的高度是 ( ) C A. B. C. D. 第4题图 4.如图，已知点，分别是， 边上的点，且 ，相似比为，交于点 ，则 ( ) A A. B. C. D. 16 5.（教材P107例1改编）如图，在中，，交于点 ， ，，，则 ___. 6.已知，和是它们的对应角平分线，若， ， 则与 对应高之比为______. 17 7.如图，， ， ，与分别是 和 的中线，与的和为，求 和 的长． 解：，， ， 与的相似比为 . 又与分别是和 的中线， . ， ， . 18 8.如图，与相似， ， 是的高，，是 的高，求证： . 证明： ， . 和分别是和 的高， ， ， . 同理可得 ， . 19 9.已知，和是它们的对应中线，若， ， 则 的长是( ) C A. B. C.6 D.8 10.如图，光源在横杆的正上方， 在灯光下的影子为 ，，，，点到 的距离是 ，则与间的距离是____ . 1.8 20 11.求证：相似三角形对应角平分线之比等于相似比. 要求： ①分别在给出的与 中用尺规作出一组对 应角的平分线，不写作法，保留作图痕迹； 解：如图所示，，分别是与 的角平分线. 21 ②在完成作图的基础上，写出已知、求证，并加以证明. 解：已知：如图，，，，分别是 与 的角平分线. 求证： . 证明：，分别是与 的角平分线， ， . ， ， ， ， ， . 22 12.一块锐角三角形材料如图所示，边 ，高 ，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在 上，其余两个顶点分别在， 上，这个正方形零件的边长 是多少？ 23 解： 四边形 是正方形， ， ， ， . 设正方形零件的边长是，则， . ， ， ，解得 . 答：这个正方形零件的边长是 . 24 13.如图，为一盏路灯的灯杆，为一根木棒，木棒的一端 固定在灯杆上，地面上的点处有一根标杆 ，眼睛贴着地面 观察发现，地面上的点、木棒的端点、路灯灯杆的顶端 恰好 在一条直线上，地面上的点、标杆的顶端 、路灯灯杆的顶 端也恰好在一条直线上，经测量，，， ， ，已知，，，在同一水平直线上，， ， ，图中所有的点都在同一平面内，请求出木棒 的长度. 25 解：， ， ， ， . ，， ， ， ， . ，， ， ， . ，， ， ， . 答：木棒的长度为 . 26 $$