第13章 专题1 三角形中角度的计算——与角平分线、高结合 -【勤径学升】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步练测配套课件PPT（人教版2024）

八年级数学 上册 第十三章 三角形 专题1 三角形中角度的计算——与角平分线、高结合 不同顶点处的角平分线与高结合求角度　 如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，AE平分∠BAC，交BD于点F，∠ABC＝90°，求证：∠BEF＝∠BFE. 1题图 证明：∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE. ∵BD⊥AC，∠ABC＝90°， ∴∠BAE＋∠BEF＝∠CAE＋∠AFD＝90°， ∴∠BEF＝∠AFD． ∵∠BFE＝∠AFD，∴∠BEF＝∠BFE. 如图，AD是△ABC的边BC上的高，BE平分∠ABC交AD于点E，若∠C＝65°，∠BED＝68°，求∠ABC 和∠BAC的度数． 2题图 解：∵AD是BC边上的高， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∴∠BED＋∠EBD＝90°. ∵∠BED＝68°， ∴∠EBD＝22°. ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABC＝2∠EBD＝44°. ∵∠ABC＋∠BAC＋∠C＝180°，∠C＝65°， ∴∠BAC＝71°. 同一顶点处的角平分线与高结合求角度　 在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AE是BC边上的高． (1)如图①，若∠B＝40°，∠C＝62°，求∠DAE的度数； (2)如图①，若∠B<∠C，试说明∠DAE，∠B，∠C的数量关系； (3)如图②，延长AC到点F，∠CAE和∠BCF的平分线交于点G，求∠G的度数． 3题图① 3题图② 解：(1)因为∠B＝40°，∠C＝62°， 所以∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－40°－62°＝78°. 因为AD是∠BAC的平分线， 所以∠DAC＝ eq \f(1,2)∠BAC＝39°. 因为AE是BC边上的高， 所以∠AEC＝90°， 所以∠EAC＝90°－∠C＝90°－62°＝28°， 所以∠DAE＝∠DAC－∠EAC＝39°－28°＝11°. (2)数量关系：∠DAE＝ eq \f(1,2)(∠C－∠B). 因为∠BAC＝180°－∠B－∠C，AD是∠BAC的平分线， 所以∠DAC＝ eq \f(1,2)∠BAC＝90°－ eq \f(1,2)(∠B＋∠C). 因为AE是BC边上的高，所以∠AEC＝90°， 所以∠EAC＝90°－∠C， 所以∠DAE＝∠DAC－∠EAC＝90°－ eq \f(1,2)(∠B＋∠C)－(90°－∠C)＝ eq \f(1,2)(∠C－∠B). (3)设∠ACB＝α，则∠BCF＝180°－α. 因为AE是BC边上的高，所以∠AEC＝90°， 所以∠EAC＝90°－α. 因为∠CAE和∠BCF的平分线交于点G， 所以∠CAG＝ eq \f(1,2)∠EAC＝ eq \f(1,2)(90°－α)＝45°－ eq \f(1,2)α， ∠BCG＝ eq \f(1,2)∠BCF＝ eq \f(1,2)(180°－α)＝90°－ eq \f(1,2)α， 所以∠G＝180°－∠GAC－∠ACG＝180°－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(45°－\f(1,2)α))－α－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(90°－\f(1,2)α))＝45°. $$