专题7 等腰三角形的常用作辅助线的方法-【勤径学升】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步练测（华东师大版2024）

同步练测·八年级数学·上册·华师版 [答案 P23]专题7 等腰三角形的常用作辅助线的方法 类型③)构造“三线合一”图形 1如图，在△ABC中，∠A=90°,AB=AC,D为BC 的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且BE=AF. 求证：(1)ED=DF;(2)ED⊥DF. A F E B D C 1题图 2 如图，△ABC是边长为4的等边三角形，D是BC 的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且∠EDF =120°.求证：DE=DF. B E D A F C 2题图 类型②作平行线构造等腰三角形 3 如图，在△ABC中，CA=CB,点D在AC延长线 上，点E在BC上，且CD=CE.求证：DE⊥AB. D C E A B 3题图 58 见此图标眼抖音/微信扫码领取配套资源 稳步提升成绩成绩 4 如图，△ABC是等边三角形，D是AC边上一点， DE//AB,交BC于点E. (1)求证：△CDE是等边三角形； (2)连结BD,延长BC至点F,使得FD=BD.求 证：AD=CF. A D B E C F 4题图 5 如图，AB//CD,∠1=∠2,AD=AB+CD. (1)求证：BE=CE; (2)求证：AE⊥DE; (3)求证：AE平分∠DAB. D 2 C /1 E A B 5题图 第12章 全等三角形 类型③倍长中线法构造等腰三角形 6 如图，在△ABC中，AD为中线，E为AB上一点，点， AD、CE交于点F,且AE=EF.求证：AB=CF. A E F B D C 6题图 类型④截长补短法构造等腰三角形 7如图，在△ABC中，∠BAC=120°,AD⊥BC于点于点 D,且AB+BD=DC,求∠C. A B D C 7题图 类型⑤转化倍角构造等腰三角形 8 徐老师给爱好学习的小敏和小洁提出这样一个 问题： 如图①,在△ABC中，∠B=2∠C,AD是∠BAC 的平分线.求证：AB+BD=AC. 小敏的证明思路：如图②,在AC上截取AE = AB,连结DE. 小洁的证明思路：如图③,延长CB至点E,使BE =AB,连结AE. 请你任意选择一种思路完成证明. A B D C A E B D C A E B D C 8题图① 8题图② 8题图③ 类型⑥角平分线+平行线构造等腰三角形 9 如图，在△ABC中.∠ABC=2∠C,BD平分 ∠ABC,交AC于点D,AE⊥BD,垂足为点E.求 证：AC=2BE. A D E B C 9题图 59见此图标眼抖音/微信扫码 领取配套资源稳步提升成绩 参考答案及解析 9.①②④ [解析]∵∠ACB=90°,∠A=30°,∴∠B=60°. ①当DC=DB时，由“有一个角是60°的等腰三角形是等边 三角形”可判定△BCD为等边三角形；②当AD=CD时， ∠ACD= ∠A = 30°, ∠BCD = ∠B= ∠BDC =60°, ∴△BCD为等边三角形；③当△ACD是等腰三角形，且∠A 为顶角时，△BCD不是等边三角形；④当△BCD是等腰三 角形时，∵∠B=60°,∴△BCD为等边三角形，∴∠BCD= 60°,∴∠ACD=30°,∴△ACD为等腰三角形.综上，正确的 说法是①②④. 10.证明：∵AB=AC,∴∠B=∠C. ∵D为AC的中点，DE⊥AB,DF⊥BC, ∴AD=CD,∠AED=∠CFD=90°. 在Rt△AED和Rt△CFD中，AD=CD,DE=DF, ∴ Rt△AED≌Rt△CFD,∴ ∠A=∠C, ∴∠A=∠B=∠C,∴△ABC是等边三角形. 【能力提升练】 1.D 2.C [解析]由题意，得t=2t-6,解得t=6,∴当P、Q运动 的时间是6s时，△POQ是等边三角形. 3.D 4.5 [解析]∵在△ABC中，AB=AC,∴△ABC是等腰三角形， 又∵∠A=60°,∴△ABC是等边三角形，∴AC=BC=5cm. 5.②⑤ 6.证明：(1)∵AB=AC,∴∠B=∠C. ∵ED⊥BC,∴∠D+∠C=90°,∠B+∠BFE=90°, ∴∠D=∠BFE. ∵∠AFD=∠BFE,∴∠D=∠AFD, ∴AD=AF,∴△ADF是等腰三角形. (2)过点A作AG⊥DE于点G. ∵AD=AF,∴.GF=—DF ∵AG⊥DE,BE⊥DE,∴∠AGF=∠BEF. ∵F为AB的中点，∴AF=BF. 在△AGF和△BEF中， ∴△AGF≌△BEF(AAS),∴EF=FG, ∴DF=2FE. 7.(1)证明：∵△ABC为等边三角形， ∴AC=BC,∠ABC=∠ACB=60°. ∵CQ//AB,PQ//AC, ∴∠PCQ=∠ABC=60°,∠QPC=∠ACB=60°, ∴△PQC为等边三角形，∴PC=QC, ∴△APC≌△BQC,∴AP=BQ. 4 (2)解：存在确定关系，关系为AD=BD+CD. 证明如下： ∴∠PAC=∠QBC. 如答图，在AD上截取DE=BD,连结BE. E B P C D Q 由(1)得△APC≌BQC, ∵∠APC=∠BPD, ∴∠ACP=∠BDP=60°. 7题答图 ∵DE=BD,∴ △BDE为等边三角形， ∴BE=BD,∠DBE=60°. ∵∠ABC=60°,∴∠ABE=∠CBD, ∴△ABE≌△CBD,∴AE=CD. ∵AD=DE+AE,∴ AD=BD+CD. 专题7 等腰三角形的常用作辅助线的方法 1.证明：(1)如答图，连结AD. ∵AB=AC,D为BC的中点， ∴AD⊥BC,∠BAD=∠CAD,∠B=∠C. 又∵∠BAC=90°, ∴∠B=∠C=∠BAD=∠CAD=45°, ∴AD=BD. A6 在△BED和△AFD中，n ∴△BED≌△AFD(SAS), F E B D C 1题答图 ∴ED=DF. (2)∵△BED≌△AFD, ∴∠BDE=∠ADF, ∴∠BDE+∠EDA=∠ADF+∠EDA=90°, ∴∠EDF=90°,∴ED⊥DF. 2.证明：连结AD,过点D作DM⊥AB交AB于点M,再作DN1 AC交AC于点N. ∵△ABC是等边三角形，D为BC的中点， ∴AD是∠BAC的平分线，∠BAC=∠B=∠C=60°, ∴∠MDN=120°. 又∵∠EDF=120°,∴∠MDN=∠EDF, ∴∠MDE=∠NDF. 在△ADM和△ADN中，2 ∴△ADM≌△ADN(AAS),∴DM=DN. 在△MDE与△NDF中， ∴△MDE≌△NDF(ASA),∴DE=DF. 3.证明：如答图，过点D作DM//AB,交BC的延长线于点M, ∴∠MDC=∠A,∠M=∠B. M- D ∵AC=BC,∴∠A=∠B, C ∴∠M=∠MDC. E ∵CD=CE, ∴∠CDE=∠CED. A B ∵∠M+∠MDE+∠CED=180°, 3题答图 ∴∠M+∠MDC+∠CDE+∠CED=180°, ∴∠MDC+∠CDE=90°, 即∠MDE=90°,DE⊥DM. ∵MD//AB,∴DE⊥AB. 4.证明：(1)∵△ABC是等边三角形， ∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°. ∵DE//AB,∴∠CDE=∠A=60°,∠DEC=∠ABC=60°, ∴∠CDE=∠DEC=∠DCE=60°, ∴△CDE是等边三角形. ·23· 同步练测·八年级数学·上册·华师版 (2)如答图，过点D作DG//BC, A 交AB于点G. 同(1)可以证明△ADG是等边三 Gf D 角形， 则AG=AD=GD. B E C F ∵△ABC是等边三角形， 4题答图 ∴∠ACB=∠ABC=60°,AB=AC=BC, ∴∠CDF+∠DFB=60°,BG=CD. ∵FD=BD,∠DBF=∠DFB. 又∵∠DBF+∠GBD=∠ABC=60°, ∴∠CDF=∠GBD. 在comrnAcm+ ∴△CDF≌△GBD(SAS),∴CF=GD,∴. AD=CF. 5.证明：(1)如答图，延长AB、DE交于点F. ∵AB//CD,∴∠F=∠2. D 1 2 C ∵∠1=∠2,∴∠1=∠F,∴. AD=AF. ∵AD=AB+CD,AF=AB+BF,∴DC=FB. E 又∵∠DEC=∠FEB, ∴△DCE≌△FBE,∴BE=CE. A“ B F 5题答图(2)由(1)知△DCE≌△FBE,AD=AF, ∴DE=EF,∴AE⊥DE. (3)∵DE=EF,AD=AF,∴AE平分∠DAB. 6.证明：如答图，延长AD到点G,使DG=AD,连结CG. A ∵AD为中线，∴ BD=CD. 又∵∠ADB=∠CDG,AD=DG, E ∴△ADB≌△GDC(SAS), F ∴AB=CG,∠EAF=∠G. B- D C ∵AE=EF,∴∠EAF=∠EFA. ∵∠EFA=∠CFG,∴∠G=∠CFG, G ∴CF=CG,∴. AB=CF. 6题答图 7.解：如答图，在DC上截取DE=BD,连结AE. ∵AD⊥BC,∴ ∠ADB=∠ADE=90°. 在△ABD和△AED中，AD=AD,∠ADB=∠ADE,DB=DE, ∴△ABD≌△AED,∴AB=AE,∴∠B=∠AEB. 又∵AB+BD=CD,DE=BD,CD=DE+EC, ∴AB+DE=DE+EC,∴.AB=EC,∴AE=EC. 设∠EAC=∠C=x, ∵∠AEB为△AEC的外角， ∴∠AEB=∠EAC+∠C=2x,∴∠B=2x. 在△ABC中，∠B+∠BAC+∠C=180°, 即2x+120°+x=180°,解得x=20°, ∴∠C=20°. A B D E C 7题答图 8.解：小敏的证明思路： 如题图②,在AC上截取AE=AB,连结DE. ∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠EAD. 在△ABD和△AED中，2n,6b ∴△ABD≌△AED(SAS), ∴BD=DE,∠ABD=∠AED. ∵∠AED=∠EDC+∠C,∠B=2∠C, ∴∠EDC=∠C,∴DE=EC, ∴AB+BD=AE+DE=AE+CE=AC. 小洁的证明思路： 如题图③,延长CB至点E,使BE=AB,连结AE,则∠E= ∠BAE. ∵∠ABC=∠E+∠BAE,∴∠ABC=2∠E. ∵∠ABC=2∠C,∴∠E=∠C,∴AE=AC. ∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠DAC. ∵∠ADE=∠DAC+∠C,∠DAE=∠BAD+∠BAE,∠BAE =∠E=∠C, ∴∠ADE=∠DAE,∴ AE=DE=AC, ∴AB+BD=BE+BD=DE=AC. 9.证明：如答图，过点A作AF//BC,交BD的延长线于点F, ∴∠F=∠DBC,∠FAD=∠C. ∵∠ABC=2∠C,BD平分∠ABC, ∴∠ABD=∠DBC=∠C, ∴∠F=∠FAD=∠ABD,BD=CD, ∴AD=DF,AB=AF. ∵AE⊥BD,∴BE=EF=—BF. ∵AC=AD+CD=DF+BD=BF,∴AC=2BE. A -F D. E B C 9题答图 12.4 逆命题和逆定理 1.互逆命题和互逆定理 【基础巩固练】 1.D 2.C 3.如果两直线平行，那么这两条直线被第三条直线所截得的 内错角相等 4.同位角相等，两直线平行 5.① 6.解：已知：如答图，在△ABC中，AB=AC,AD是BC边上的 中线. A BL D C 求证：AD平分∠BAC. 证明：∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD. 在△ABD和△ACD中， ∴△ABD≌△ACD(SSS), 6题答图 ∴∠BAD=∠CAD,∴AD平分∠BAC, ∴等腰三角形底边上的中线和顶角的平分线重合. 它的逆命题是“一边上的中线和该边所对角的平分线重合 的三角形是等腰三角形”,逆命题成立. ·24·