第14章 专题4 构造全等三角形的常用方法-【勤径学升】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步练测（人教版2024 辽宁专版）

同步练测·八年级数学(上册) 5.解：(1)BD=CD (2)成立. 证明：如答图①,过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥AC交AC 的延长线于点F, F C D A E 5题答图① B ∴∠DEB=∠F=90°. ∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF. ∵∠B+∠ACD=180°,∠ACD+∠FCD=180°,∴∠B=∠FCD. ∵∠DEB=∠F,∠B=∠FCD,DE=DF, ∴△DEB≌△DFC,∴.DB=DC. (3)AB=AC+2BE.理由如下： 如答图②,连接AD,过点D作DF⊥AC交AC的延长线于 点F. F C D A E B 5题答图② ∵∠B+∠ACD=180°,∠ACD+∠FCD=180°, ∴∠B=∠FCD. 在△DFC和△DEB中， ∴△DFC≌△DEB(AAS),∴DF=DE,CF=BE. 在Rt△ADE和Rt△ADF中，{DE=DP, ∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL), ∴AE=AF, ∴AB=AE+BE=AC+CF+BE=AC+2BE. 课时2 角的平分线的判定 【基础巩固练】 1.A 2.B 3.5 4.证明：(1)连接AP. ∵PE⊥AB,PF⊥AC, ∴△AEP和△AFP都是直角三角形. ∵AE=AF,AP=AP, ∴Rt△AEP≌Rt△AFP, ∴PE=PF. (2)∵PE⊥AB,PF⊥AC,且PE=PF, ∴点P在∠BAC的平分线上. 5.B 6.B 7.4:3:5 8.解：如答图，作∠AOB的平分线交AB于点M,则点M即为 水厂的位置. AL 0 M B 8题答图 【能力提升练】 1.C 2.D 3.150° 4.(1)解：作PQ⊥BE于Q,如答图. ∵BP平分∠ABC,∴PQ=PH=8cm, 即点P到直线BC的距离为8cm. (2)证明：∵CP平分∠ACE,PQ⊥BE,PD⊥AC, ∴PD=PQ. 而PH=PQ,∴PD=PH. ∵PD⊥AC,PH⊥BA, ∴点P在∠HAC的平分线上. H A P D B C QE 4题答图 微专题3 与角平分线有关的面积计算 【例】6:7:5 【变式训练】1.6cm 2.2 专题4 构造全等三角形的常用方法 1.解：如答图，延长AD到点E,使DE=AD,连接CE. ∵AD为BC边上的中线， A ∴BD=CD. 在△ABD和△ECD中，-- B D C ∴△ABD≌△ECD(SAS), ∴AB=EC=5. E1题答图 在△ACE中，由三边关系定理可知 EC-AC<AE<EC+AC. ∵AE=2AD,∴5-3<2AD<5+3,∴1<AD<4. 2.证明：如答图，延长AE至F,使EF=AE,连接DF. ∵E为BD的中点， ∴BE=DE. 又∵∠BEA=∠DEF,AE=FE, ∴△ABE≌△FDE, ∴AB=FD,∠B=∠BDF,∠BAE=∠F. ∵CD=AB,∴DF=DC. ∵∠ADC=∠B+∠BAD,∠ADF=∠BDA+∠BDF, ∠BAD=∠BDA,∠B=∠BDF, ∴∠ADC=∠ADF. 又∵DF=DC,AD=AD, ∴△ADF≌△ADC,∴∠C=∠F. 又∵∠BAE=∠F,∴∠C=∠BAE. A B? E! D C F 2题答图 3.解：BC=BE+CD. 证明：在BC上取一点G,使CG=CD,连接OG,如答图. ∵BD,CE分别平分∠ABC和∠ACB, ∴∠ABD=∠CBD,∠ACE=∠BCE. ·8· 参考答案及解析 ∵∠A=60°,∴.∠ABC+∠ACB=120°, ∴∠OBC+∠OCB=60°, ∴∠BOE=∠COD=∠OBC+∠OCB=60°, A E D0 B G C 3题答图 在△CDO和△CGO中，25oc ∴△CDO≌△CGO(SAS), ∴∠COD=∠COG=60°, ∴∠BOG=180°-∠BOE-∠COG=60°, ∴∠EOB=∠GOB. 在△BOE和△BOG中，- ∴△BOE≌△BOG(ASA),∴ BE=BG, ∴BC=BG+CG=BE+CD. 4.解：DE+BF=EF. 证明：延长CB至点G,作∠5=∠1,如答图所示. A 5432 D E G B F C 4题答图 ∵将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC, LEAF=—∠DAB, ∴AB=AD,∠ABC=∠ADE,∠2+∠3=∠1+∠4. ∵∠5=∠1,∴ ∠2+∠3=∠4+∠5,∴∠GAF=∠EAF. 在△AGB和△AED中， ∴△AGB≌△AED(ASA),∴ AG=AE,BG=DE. 在△AGF和△AEF中，5m ∴△AGF≌△AEF(SAS),∴GF=EF, ∴BG+BF=EF,∴DE+BF=EF. 5.证明：如答图，过点P分别作PM⊥AB于点M,PN⊥BC于 点N. 4 MD P B NEC 5题答图 ∵BP平分∠ABC, ∴PM=PN. 在Rt△DPM和Rt△EPN中，{PM=PN, ∴Rt△DPM≌Rt△EPN(HL), ∴∠PDM=∠PEN,即∠ADP=∠BEP. ∵∠BDP+∠ADP=180°, ∴∠BDP+∠BEP=180°. 6.证明：过点P作PE⊥0A于点E, PF⊥OB于点F,如答图. ∴∠PEO=∠PFO=90°, ∴∠EPF+∠AOB=180°. ∵∠MPN+∠AOB=180°, ∴∠EPF=∠MPN, ∴∠EPM=∠FPN. ∵OP平分∠AOB, PE⊥OA,PF⊥OB, ∴PE=PF. 在△PEM和△PFN中， A ME P 0 NF B 6题答图 ∴△PEM≌△PFN(ASA), ∴PM=PN. 7.证明：如答图，延长AD交BC于点F. ∵AD⊥BE, ∴∠ADB=∠FDB=90°. ∵BE是角平分线， ∴∠ABD=∠FBD. 在△ABD和△FBD中， r∠ABD=∠FBD, 20=B= FDB, A E 2 D C F B 7题答图 ∴△ABD≌△FBD(ASA), ∴∠2=∠AFB. 又∵∠AFB=∠1+∠C, ∴∠2=∠1+∠C. 8.证明：如答图，延长CE,BA交于点F. ∵CE⊥BD,∠BAC=90°, ∴∠ABD=∠ACF,∠BAD=∠CAF=90°. 在△ABD和△ACF中， ∴△ABD≌△ACF(ASA), C DE B A 下 8题答图 ∴BD=CF. ∵BD平分∠ABC, ∴∠CBE=∠FBE. 在△BCE和△BFE中， 0c B ∴△BCE≌△BFE(ASA), ∴CE=FE,即CE= —CF, CE= BD. 数学活动 1.解：如答图①、②、③.(答案不唯一) 1题答图① 1题答图② 1题答图③ ·9· 同步练测·八年级数学(上册) [答案 P8]专题4 构造全等三角形的常用方法 类型①“倍长中线法”构造全等三角形 ①如图，已知在△ABC中，AD为BC边上的中线， AB=5,AC=3,求AD的取值范围. A B D C 1题图 2如图，在△ABC中，点E,D在BC边上，CD=AB, ∠BAD= ∠BDA,E是BD的中点.求证：∠C =∠BAE. A B E D C 2题图 36 见此图标眼微信扫码难题轻松解练出好 成绩 类型②“截长补短法”构造全等三角形 3 如图，在△ABC中，∠A=60°,BD,CE分别平分 ∠ABC和∠ACB,BD,CE交于点0,试判断BE, CD,BC的数量关系，并加以证明. A E D0 B C 3题图 4如图，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC,E,F分 别为DC,BC边上的点，且∠EAF=2∠DAB.试 猜想DE,BF,EF之间的数量关系，并证明你的 猜想. A D E B F C 4题图 第十四章 全等三角形 类型③利用“角平分线”构造全等三角形 5 如图，P为∠ABC的平分线上的一点，点D和点 E分别在AB和BC上，且BD<BE,PD=PE,求 证：∠BDP+∠BEP=180°. A D P B E C 5题图 6如图，P为定角∠AOB的平分线上的一个定点， 且∠MPN与∠AOB互补.若∠MPN在绕点P旋 转的过程中，其两边分别与OA,OB相交于M,N 两点，求证：PM=PN. A M P 0 N B 6题图 见此 图标眼微信扫码|难题轻松解练出好成绩 7 如图，在△ABC中，BE是角平分线，AD⊥BE,垂 足为D,求证：∠2=∠1+∠C. A E ① 2 D C B 7题图 8 如图，在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC,D为 AC上一动点，过点C作CE⊥BD的延长线于点 E.若BD平分∠ABC,求证：:CE= BD. C D E □ B A 8题图 37