周周清二 矩形的性质与判定-【超级考卷】2025-2026学年九年级全一册数学学业质量评估（北师大版 江西专版）

周周清二 矩形的性质与判定 (建议用时：60分钟 满分：100分) 一、选择题（每小题6分，共30分） B落在矩形内点F处，连接CF,则CF的长 1.要检验一个四边形画框是不是矩形，可行的 为 () 测量方法是 ( 号 B号c9 D. A.测量四边形画框的两个角是不是90° 二、填空题（每小题6分，共30分）】 B.测量四边形画框的对角线是否相等且互 6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB 相平分 于点D,E是边AB的中点.若∠A=25°，则 C.测量四边形画框的一组对边是否平行且 ∠DCE的度数为 相等 D.测量四边形画框的四边是否相等 2.如图，矩形ABCD的周长为18cm,M为CD 的中点，且AM⊥BM,则矩形ABCD的两邻 边的边长分别为 第6题图 第7题图 A.3cm和6cm B.6cm和12cm 7.如图，线段BC为等腰三角形ABC的底边， C.4cm和5cm D.以上都不对 矩形ADBE的对角线AB与DE交于点O. 若OD=2,则AC= 8.如图，折叠矩形ABCD,使点A落在BC边上 的点E处，DF为折痕.已知AB=8cm,BC= 10cm,则BE的长为 cm. 第2题图 第3题图 3.如图，在矩形COED中，点D的坐标是(1， 3),则CE的长是 A.3 B.22 C.10D.4 第8题图 第9题图 4.如图，在矩形ABCD中，AB=3,对角线AC. 9.如图，在矩形ABCD中，AB=5,AD=12,点 BD相交于点O,AE垂直平分OB交OB于 P在对角线BD上，且BP=BA,连接AP并 点E,则BD的长为 ) 延长，交DC的延长线于点Q,连接BQ,则 A.3 B.4 C.6 D.9 BQ的长为 10.如图，O为坐标原点，四边 形OABC为矩形，点A的 坐标为(5,0)，点C的坐标 第4题图 第5题图 第10题图 为(0,2)，D是OA的中点， 5.如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,E 为BC的中点.将△ABE沿AE折叠，使点 点P在边BC上运动.当△ODP是腰长为号 全一册·周周清 43 的等腰三角形时，点P的坐标为 (2)当AP=2,AD=6时，求AQ的长. 三、解答题（第11小题10分，第12,13小题各 15分，共40分) 11.如右图，E是矩形ABCD 的边BC延长线上一点， 连接AE,交CD于点F,G B 是AF的中点，连接DG,DE,且DE=DG (1)求证：∠DEA=2∠AEB: (2)若∠BAE=65°，求∠GDF的度数. 13.如右图，在四边形ABCD 中，AB=CD=6,BC=10, AC=8,∠ABC=∠BCD. 过点D作DE⊥BC,垂足 为E,延长DE至点F,使EF=DE,连接 BF,CF. (1)求证：四边形ABFC是矩形； (2)求DE的长. 12.如右图，在□ABCD中，P 是AB边上的一点（不与点 A,B重合)，且CP=CD. A P 过点P作PQ⊥CP,交AD边于点Q, ∠BPC=∠AQP,连接CQ (1)求证：四边形ABCD是矩形： 44 数学·9年级(BS版)在菱形ABCD中，∠DAB=40°， ÷∠DAC=号∠DAB=20 在等腰三角形AEC中，AC=AE ·∠AEC=∠ACE=18O'=∠DAG =80°， 同理，在等腰三角形AEC中， ∠E,AC=180°-∠DAC=160, ·∠AE,C=∠ACE,=18g-∠EAC 2 =10. 综上所述，∠AEC的度数为80 或10°. E 11.43或2√3【解析】四边形ABCD 是菱形， ..AC BD.OA=OC.OB=OD.AB =AD=6. ∠BAD=60°， .△ABD是等边三角形. .BD=AB=AD=6. .0B=0D=3. 在R1△AOD中，AO=√6-3= 3月， ,OC=33 根据题意，分戒以下两种情况进行 讨论： ①当点E在OA上时，如图① :OE=3, ∴.CE=OE+(OC=43: 图① 图2 ②当点E在OC上时，如图②. *0E=3, ∴.CE=OC-0E=33-√3=23 综上所述，CE的长为4√或23. 12.证明：，在等腰三角形ABC中，AD 平分∠BAC, .AH⊥BC,BH=CH, BE=CE.BD-CD. .BE=BD. ..BE=CE=BD-CD. ,四边形BDCE是菱形 13.解：(1)证明：，AE∥BC.CE∥AD 四边形ADCE是平行四边形. ,AD=BD,D是BC的中点， ..AD=BD=CD. ,口ADCE是菱形 (2)由(1)，得BC=2AD=6 ,∠BAC=90°， ∴AC=√BC-AB=6-2 42. ,四边形ADCE是菱形，D是BC的 中点， 122 数学·9年级(BS版) ∴S0ueE=2S6m=SC=7AB 在Rt△BCQ中，根据勾股定理，得BQ =√BC+CQ=I53=3√17. Ac=×2x4E=4E 10.(号2）或1.2)或4,2) 14.解：(1)证明：：四边形ABCD是平行 四边形， 【解析】：D是OA中点，∴.OD= ,.AD∥BC,AO=CO. 0A- ∴.∠AEF=∠CFE. 在△AOE和△COF中. 根据题意，分成以下4种情况进行 ∠AEO=∠CFO, 讨论： ∠AOE=∠COF, ①若OP=PD=号，过点P作 AO=CO. PH⊥ODD,交(OD于点H,如图. .△AOE≌△COF(AAS),∴OE OP=P D. =OF. 又，AO=CO 0H,=0D=号 .四边形AFCE是平行四边形 “EF平分∠AEC, 又on,= .∠AEF=∠CEF ,.∠CFE=∠CEF,∴.CE=CF, nH=5≠0C ∴.□AFCE是菱形」 .OP=PD不成立： (2)由(1).得四边形AFCE是菱形. .∠DAC=60°. ②若OP,=OD=号，过点P作 ,△ACE是等边三角形 P,H,⊥OD,交OD于点H,,如图. ..AE=AC=2. .P2H:=OC=2, .菱形AFCE的周长=2×4=8. 周周清二矩形的性质与判定 .OH2=OPI-P丽 1.B2.A3.C4.C -√)-2=2 5.D【解析】如图，连接BF交AE于 点H. P(22 ③若RD=OD=号，过点P作 P,H,⊥OD,交OD于点H,如图. ,P2H2=2, .HD=PD-P.H :四边形ABCD是矩形， ,.∠ABE=90 √-- BC=6,E为BC的中点+ ,.BE=EC=3. 0H,=OD-HD=音-是=1， 又AB=4,∠ABE=90', P(1,2): ..AE=VAB:+BE=5. ①若PD=OD=号，过点P,作 由折叠的性质知，BF⊥AE,BF =2BH. PH:⊥OA,交OA于点H:,如图 P,H=2, 1 又”SAE=立AB·BE=立AE ∴DH=√/DP-PH ·BH, “BH=AB,BE_12 =√)-2= AE 5 ∴BF=2BH= ∴OH,=OD+DH,=号+2=4， P(42). FE=BE=EC. ,.∠BFC=90, 综上所述，点P的坐标为（号，2）或 cF=√6-(= (1,2)或(4,2) 6.40°7.48.4 9.3√7【解析】：在矩形ABCD中， AB=5,AD=12,∠BAD=∠BCD 90°，.BD=/AB+AD=√+12 O H:HH:D H.A =13. BP=BA=5, 11.解：(1)证明：，四边形ABCD是 PD=BD-BP=13-5=8./BAP 矩形， =∠BPA=∠DPQ. .∠ADF=90°，AD∥BC AB∥CD. R1△ADF中，G是AF的中点， ∠BAP=∠DQP, .GA=GD,.∠DGF=2∠DAE .∠DPQ=∠DQP. AD∥BE,∴.∠AEB=∠DAE ..DQ-DP=8. .∠DGF=2∠AEB. ..CQ=DQ-CD=DQ-AB=8-5 DG=DE. =3. ∠DEA=∠DGF, ∴.∠DEA=2∠AEB ..AD=AB=BE,+h:=AB. (2),∠B=90°. .∠AEB=90°-∠BAE=25" S=ADh,S=BE·, 由(1)可得∠DGF=∠DEA 2∠AEB=50 S+S=ADA十BE: 在R△ADF中，G是AF的中点， .GF-GD. ABh,+h:)=号AB ∠GDF=∠GFD=180°-50 .AB=/2(S+S)=/2S+2S:. 5.C【解析】连接BE,交FG于点O =65. 如图 12.解：(1)证明：PQ⊥CP, ∴.∠CPQ=90, ∴.∠APQ+∠BPC=90 :∠BPC=∠AQP, ∴.∠APQ+∠AQP=90°， ∴.∠A=180°-∠APQ -∠AQP =90° 又四边形ABCD是平行四边形， 四边形ABCD为正方形， .口ABCD是矩形. .∠ABC=90 (2):四边形ABCD是矩形. ,EFLAB,EG⊥BC, ,.∠D=∠CPQ=90°， .∠EFB=∠EGB=90° 在Rt△CDQ和R:△CPQ中， .四边形EFBG为矩形， CQ=CQ. ∴.FG=BE,OB=OF=OE=OG CD=CP, ,四边形ABCD为正方形， ,.R△CDQ≌R△CPQ(HL), AB=AD,∠BAC=∠DAC=45 ..DQ=PQ. 在△ABE和△ADE中， 设AQ=x,则PQ=DQ=AD-AQ= (AE-AE. 6-x, ∠BAE=∠DAE. 在R△APQ中，AQ+AP:=PQ, AB=AD. 十2=6-，解得=景 .△ABE≌△ADE(SAS). ..BE=DE. 枚AQ的长是 .DE=FG. 故结论①正确： 13.解：(1)证明：DE⊥BC 延长DE,交FG于点M,交FB于点 ,.∠DEC=∠FEC=90 H,如图. 在△DEC和△FEC中， △ABE≌△ADE DE=FE. ∴.∠ABE=∠ADE. ∠DEC=∠FEC. 由①可知，OF=OB CE=CE. ∴·∠OFB=∠ABE ∴.△DEC≌△FEC(SAS), .∠DCE=∠FCE,CD=CF 29B-品ADE AB=CD. .∠ADE+∠AHD=90°， .CF=AB. ·∠OFB+∠AHD=90, :∠ABC=∠BCD,∠DCE= .∠FMH=90. ∠FCE, .DE⊥FG .∠ABC=∠FCE,.AB∥CF, 故结论②正确： ∴四边形ABFC是平行四边形。 由②可知，∠OFB=∠ADE AB=6,BC=10,AC=8, ·∠BFG=∠ADE ∴.AB+AC=BC, 故结论③正确： .∠BAC=90', E为AC边上一动点， .口ABFC是矩形. .根据垂线段最短可知，当DE⊥AC (2)四边形ABFC是矩形. 时，DE最小 SAIC=SAC ,AD=CD=4,∠ADC=90° ∴.BC·EF=AB·AC=48, ..AC=VAD+CD=42. .DE=EF=4.8. 周周清三正方形的性质与判定 ∴DE=号AC=2E. 1.A2.C3.A 由①可知，FG=DE, 4.B【解析】如图，过点C分别作DA .FG的最小值为2√2 EB延长线的垂线，垂足分别为F,G, 故结论④错误. 设CF=h1,CG=h: 综上所述，正确的结论为①②③，有 h-aG 3个， 6.V27.80°8./41 9.625【解析】最初的正方形ABCD的 边长为1，面积为1：延长一次后正方 形AB,CD,的边长为5，面积为5 =5:再延长后正方形AB2C:D,的边 长为5，面积为5=25，下一次延长后 :四边形ADEB为正方形， 边长为5/5，面积为5=125.以此类 推，延长四次后正方形A:B,C,D,的 面积为5=625. 10.8或4【解析】当△AEF是直角三角 形时，可分以下两种情况进行讨论： ①当∠AFE=90°时，∠AFD十 ∠CFE=90°.如图①. :四边形ABCD为正方形， ·∠BAD=∠D=∠B=∠BCD =90°， ∴.∠ECF=90°， ∴.在Rt△CEF中，∠CEF+∠CFE =180°-∠ECF=90, .∠AFD=∠CEE ∠AFE=90°，∠EAF=45, ∴∠AEF=∠EAF=45°， .AF=EF. 在△ADE和△FCE中 ∠D=∠ECF, ∠AFD=∠FEC AF=FE. .△ADE≌△FCE(AAS), .FC=AD=4,.CE=DF=CD十 FC=8, ∴，CE=8: 图① 用2 ②当∠AEF=90°时，∠AEB十 ∠CEF=90°，如图②. :四边形ABCD是正方形，点F在 DC的延长线上， ∠B=∠BCD=∠ECF=90°， .∠CFE+∠CEF=180°-∠ECF 90..∠AEB=∠CFE. .∠AEF=90°，∠EAF=45*, .∠EAF=∠EFA=45°， .AE=FE. 在△ABE和△ECF中， I∠AEB=∠EFC, ∠B=∠FCE, AE=EF, .△ABE≌△ECF(AAS). ..AB=EC=4. 综上，CE的长为8或4. 11.解：(1)BF=DE. 证明：，四边形ABCD是正方形， .AB=AD,∠DAC=∠BAC=45 AF⊥AC, ∴∠BAF=∠BAC=∠DAC=45. 在△AFB和△AED中， (AB=AD, ∠BAF=∠DAE=45', AF-AE. .△AFB≌△AED(SAS) :.BF-DE. (2)四边形AFBE是正方形。 证明：四边形ABCD是正方形，E 是AC的中点， ..AE-BE. 在△ABF和△ABE中， (AF-AE. ∠FAB=∠EAB=45', AB=AB. △ABF≌△ABE(SAS), 123 全一册·参考答案