1.1 探索勾股定理-暑假预习专练--2025-2026学年北师大版数学八年级上册

1.1 探索勾股定理-北师大版（新版）数学八年级上册 一、选择题 1．（2024八上·深圳期中） 一直角三角形的两直角边长为6和8，则斜边长为 （　　） A．8 B．9 C．10 D．11 2．（2024八上·余杭期中）在锐角中，，，高，则BC的长度为（　　） A．16 B．15 C．14 D．13 3．（2024八上·济南期末）如图，在平面直角坐标系中，，，连接，以点为圆心为半径作弧，交轴于点，则点的横坐标为（　　） A．3 B． C． D． 4．（2023八上·北碚月考）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D在BC上，BD＝6，CD＝2，点P'是AB上的动点，则PC+PD的最小值是（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 5．（2023八上·德惠月考）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时， 梯子底端到左墙角的距离BC为0.7m，梯子顶端到地面的距离AC为2.4m．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A'D为1.5m，则小巷的宽为（　　）． A．2.4m B．2m C．2.5m D．2.7m 6．（云南省文山壮族苗族自治州马关县2023-2024学年八年级上学期期末数学试题）在中，斜边 ，则 的值为 （　　） A．30 B．100 C．200 D．无法计算 7．（2025八上·射洪期末）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形．连接，相交于点O、与相交于点P．若，则的值是（　　） A． B． C． D． 8．（2024八上·香洲开学考）如图，在中，平分，下列说法： ①若，则； ②若，则； ③若，，，则； ④若，，，则． 其中正确的是（　　） A．①② B．②③ C．①③④ D．②③④ 二、填空题 9．（2023八上·菏泽经济技术开发月考）在Rt△ABC中，有两边的长分别为2和4，则第三边的长是　 　． 10．（2025八上·鄞州期末）如图，在中，，，，为的角平分线，则的面积为　 　． 11．（2024八上·朝阳期末）如图，分别以直角三角形三边为边长作正方形，它们的面积分别为、、．若，，则　 　． 12．（2024八上·丹阳期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC的垂直平分线分别交BC、AC于点D，E，若AB＝5cm，AC＝12cm，则△ABD的周长为　 　cm. 13．（2024八上·平湖期末）如图，等腰三角形的底边的长为6，周长为，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段上的一个动点，则的周长的最小值为　 　． 14．（2024八上·无锡期中）如图，在四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，则BD的长为　 　. 三、作图题 15．（2024八上·南宁开学考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，两直角边AC＝8cm，BC＝6cm． （1）作∠BAC的平分线AD交BC于点D；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）计算△ABD的面积． 四、解答题 16．（2024八上·余杭期中）如图，在中，.求： （1）BC边上的中线AD的长 （2）求△ABC的面积. 17．（2024八上·榆阳期末）如图，一棵竖直的大杉树在一次台风中被刮断，树顶落在离树根处，工作人员要查看断痕处的情况，在离树根有的处架起一个长的梯子，点在同一条直线上，求这棵树原来的总高度． 18．（2025八上·慈溪期末）如图，在等腰RtΔABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为BC边上一点，连结AD，过点A作 AD的垂线，过点B作BC的垂线，两条垂线交于点E。 （1）证明： ΔAEB≌ΔADC； （2）若CD=3BD=3，求 AD 的长。 19．（2025八上·贵州期末）如图四边形中，，，，，，求四边形的面积． 20．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC.三角形的顶点在互相平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1与l2的间距为2，l3与l2的间距为3，求AC的长. 五、实践探究题 21．如图 （1）我国著名的数学家赵爽，早在公元3世纪，就把一个长方形分成四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形（如图1），这个图形称为赵爽弦图，验证了一个非常重要的结论：在直角三角形中两条直角边a，b与斜边满足关系式，称为勾股定理. 证明：大正方形的面积可表示为，又可表示为， ， 　 　. 即直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. （2）爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图2），也能验证这个结论，请你帮助小明完成验证的过程. 22．（2025八上·西湖期末）综合与实践 【建立模型】 （1）如图（1），为等边三角形，点D在的延长线上，在的同侧以为边构造等边三角形，连接，交于点F． 求证：，并直接写出的度数． 【应用模型】 （2）①如图（2），在中，平分，且，点E在的延长线上，且，连接，，求证：． ②如图（3），和都是等腰三角形，，点C恰好在延长线上，连接，若，，求的面积． 答案解析部分 1．【答案】C 【知识点】勾股定理 【解析】【解答】解：由勾股定理可得， 斜边长为：， 故答案为：C． 【分析】利用勾股定理列出算式分析求解即可. 2．【答案】C 【知识点】三角形的角平分线、中线和高；勾股定理 【解析】【解答】解：如图， AD是锐角△ABC的高， ，， 在中， 在中， 故答案为：C. 【分析】在Rt△ABD中，由勾股定理求出BD长，在Rt△ACD中，由勾股定理求出CD长，然后根据线段的和差关系求BC长即可. 3．【答案】B 【知识点】勾股定理 【解析】【解答】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的横坐标为， 故答案为：B. 【分析】先由A、B的坐标得到，进而利用勾股定理求出的长，则可得到的长，再求出的长即可得到答案. 4．【答案】D 【知识点】两点之间线段最短；三角形全等及其性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS 【解析】【解答】解：如图，过点B作D'B⊥BC，使BD'＝6，连接CD'交AB于点P ∵AC＝BC，∠ACB＝90°， ∴∠ABC＝45°，且BD'⊥BC ∴∠D'BP＝∠DBP＝45°，且BD＝6＝BD'，BP＝BP ∴△BPD≌△BPD'（SAS） ∴DP＝D'P ∴CP+DP＝CP+D'P ∴PC+PD的最小值为D'C， ∵BD＝6，CD＝2 ∴BC＝8， ∴D'C＝ ∴PC+PD的最小值为10 故答案为：D． 【分析】过点B作D'B⊥BC，且BD'＝6，连接CD'交AB于点P，根据全等三角形判定定理可得△BPD≌△BPD'（SAS），则DP＝D'P，再根据边之间的关系可得PC+PD的最小值为D'C，再根据勾股定理即可求出答案. 5．【答案】D 【知识点】勾股定理 【解析】【解答】解：由题意可得： ∴ ∴CD=CB+BD=0.7+2=2.7m 则小巷的宽为2.7m 故答案为：D 【分析】根据直角三角形中勾股定理可得，则，则小巷的宽CD=CB+BD，即可求出答案. 6．【答案】C 【知识点】勾股定理 【解析】【解答】解：∵在中，斜边， ∴， ∴， 故选；C． 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，在直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，在中，得到，进而求得的值，得到答案. 7．【答案】C 【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定-ASA；“赵爽弦图”模型；全等三角形中对应边的关系 【解析】【解答】解：四边形、为正方形， ，，，， ，， ， ， ， 又， ， ， ，， ， ， ，， ， ， 故答案为：C． 【分析】根据等腰直角三角形可得出，，，，，即可得到，利用得到，即可得到，再根据勾股定理得到解题即可． 8．【答案】D 【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；角平分线的性质；勾股定理 【解析】【解答】解：①设BC边上的高为h，则， 若，则，故①错误； ②过D作，， ∵平分， ∴， ∵ ∴ ∴若，则，故②正确； ③若，过D作， ∵平分， ∴， ∴，故③正确； ④若，，， ∴设，则由勾股定理得： ∴，解得， ∴ ∵， ∴，即 解得，故④正确， 综上，正确的有②③④. 故答案为：D. 【分析】①设BC边上的高为h，由同高三角形的面积之比等于底之比可判断此小题；②过点D作DE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AC于点F，由角平分线上的点到角两边的距离相等得DE=DF，由等高三角形的面积之比等于底之比可判断此小题；③过点D作DE⊥AB于点E，由角平分线上的点到角两边的距离相等得DE=CD=3，然后根据S△ABC=S△ACD+S△ABD，列式计算即可判断此小题；④根据勾股定理建立方程可求出AC、AB的长，然后根据S△ABC=S△ACD+S△ABD建立方程可求出CD的长，从而可判断此小题. 9．【答案】或 【知识点】勾股定理 【解析】【解答】解：当4为直角边时，第三边长为=2， 当4为斜边时，第三边长为=2， ∴ 第三边的长是或； 故答案为： 或 . 【分析】分两种情况：当4为直角边和4为斜边时，然后利用勾股定理分别计算即可. 10．【答案】 【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；勾股定理 【解析】【解答】解：如图所示，过点作于点， 在中，，， ∴， ∵为的角平分线，，DE⊥AB， ∴ ∵ 设， ∴ ∴ 解得： ∴ 故答案为：． 【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理算出AB的长；根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得DE=DC，设DE=DC=x，由等面积法，根据S△ABC=S△ABD+S△BDC，列出方程，求出x的值，进而再根据三角形面积计算公式列式计算即可. 11．【答案】7 【知识点】勾股定理 【解析】【解答】解：如图所示， 由勾股定理可得， ∵， ∴． 故答案为：7． 【分析】利用勾股定理求出，再计算求解即可。 12．【答案】18 【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理 【解析】【解答】解：由勾股定理得，BC＝ ， ∵DE是AC的垂直平分线， ∴DA＝DC， ∴△ABD的周长＝AB+BD+AD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝18（cm）， 故答案为：18. 【分析】根据勾股定理求出BC，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，根据三角形的周长公式计算，得到答案. 13．【答案】7 【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理 【解析】【解答】解：是的垂直平分线， ∴连接，即可得到的最小值，最小值等于， ∵等腰三角形的底边的长为6，周长为， ∴， ∵点D为边的中点， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：7． 【分析】根等腰三角形的性质与底边的长为6，周长为可得，根据线段的垂直平分线性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可得CM+DM的最小值就是线段AD的值，于是连接即可得到的最小值等于，在Rt△ACD中，用勾股定理求得AD的值，则△CDM的周长等于CM+DM+CD=AD=CD即可求解. 14．【答案】 【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-SAS 【解析】【解答】作AD′⊥AD，AD′=AD，连接CD′，DD′，如图： ∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD， 即∠BAD=∠CAD′， 在△BAD与△CAD′中， ， ∴△BAD≌△CAD′(SAS)， ∴BD=CD′. ∠DAD′=90° 由勾股定理得DD′= ， ∠D′DA+∠ADC=90° 由勾股定理得CD′= ∴BD=CD′= ， 故答案为 . 【分析】作AD′⊥AD，AD′=AD，连接CD′，DD′，用边角边可证得△BAD≌△CAD′，于是可得BD=CD′. ∠DAD′=90°，用由勾股定理可求得DD′和CD′的值，于是同样可用勾股定理可求得CD′的值，再根据BD=CD′可求解. 15．【答案】（1）解：如图，射线AD即为所求； （2）解：∵ ∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm， ∴AB==10cm， 过点D作DE⊥AB于点E， ∵AD平分∠BAC，∠ACB＝90° ∴CD=DE， ∵∠ACB＝∠DEA＝90°，AD=AD， ∴Rt△ADC≌Rt△ADE（HL） ∴AE=AC =8cm， ∴BE=AB-AE=10-8=2， 设CD=DE=x，则BD=6-x， 在Rt△BDE中，DE2+BE2=BD2， ∴x2+22=（6-x）2， 解得x= ∴ △ABD的面积=AB·DE=×10×=． 【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；勾股定理；尺规作图-作角的平分线 【解析】【分析】（1）根据尺规作图，作出∠BAC的平分线即可； （2）过点D作DE⊥AB于点E，由勾股定理求出AB=10，证明Rt△ADC≌Rt△ADE（HL）可得AE=AC =8cm，BE=2，设CD=DE=x，则BD=6-x，在Rt△BDE中，利用勾股定理建立关于x方程并解之，即得DE的长，再利用△ABD的面积=AB·DE进行计算即可. 16．【答案】（1）解：在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的中线， ∴AD⊥BC， ∴BD＝CDBC30＝15， 在Rt△ABD中，AB＝17，AD2＋BD2＝AB2， ∴AD （2）解：∵BC＝30，AD＝8， ∴△ABC的面积120 【知识点】三角形的面积；勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一 【解析】【分析】（1）根据等腰三角形中的三线合一求出BD的长度，最后在Rt△ABD中利用勾股定理计算即可； （2）根据三角形面积计算公式计算即可. 17．【答案】解：， ， ，， ， ， ， 这棵树原来的总高度为：． 【知识点】勾股定理 【解析】【分析】在中根据勾股定理求出，由勾股定理求出，最后由这棵树原来的总高度为，计算求解即可. 18．【答案】（1）证明： ∵AB = AC， ∠BAC=90°， ∴∠ABC=∠C =45°， ∵BE⊥BC， AD⊥AE， ∴∠EAD=∠EBD=90°=∠BAC， ∴∠ABE=∠ACB=45° E ， ∠BAE=∠CAD， ∴△AEB≌△ADC(ASA)； （2）解：如图， 过点A作AF⊥BC B于F， ∵CD=3BD=3， ∴BD=1， ∴BC=4， ∵AB=AC， ∠BAC=90°， AF⊥BC， ∴BF=AF=2， ∴DF =1， ∴AD= (负值舍去)。 【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系 【解析】【分析】(1)由ASA可证△AEB≌△ADC； (2)由等腰直角三角形的性质可得BF=AF =2，由勾股定理可求解. 19．【答案】解：∵，，∴， ∵， ∴根据勾股定理得：， 又， ∴根据勾股定理得：， 则． 【知识点】勾股定理 【解析】【分析】在直角三角形中，根据勾股定理得到长，然后根据勾股定理得到长，然后利用解答即可． 20．【答案】解：如图，过点A，C分别作l3的垂线， 作AD⊥I3于D，作CE⊥I3于E， ∵∠ABC=90°， ∴∠ABD+∠CBE =90°， 又∵∠DAB+∠ABD=90°， ∴∠BAD=∠CBE， 在△ABD和△BCE中， ， ∴△ABD≌△BCE（ASA）， ∴BE=AD=3，AB=AC， 在Rt△BCE中，根据勾股定理，得， 在Rt△ABC中，根据勾股定理，得. 【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系 【解析】【分析】作AD⊥I3于D，CE⊥l3于E，利用AAS定理证明 △ABD≌△BCE，根据全等三角形的性质得到BD=CE=5，根据勾股定理计算即可. 21．【答案】（1） （2）证明：由图得，大正方形面积，由可以表示为， ∴， 整理得， 即. 【知识点】勾股定理的证明 【解析】【分析】（1）由图1可得大正方形的面积可表示为S＝c2，也可以表示为，根据两个式子相等建立等式，再变形即可得出答案； （2）因为图二中正方形面积可以看做四个三角形的面积加一个小正方形面积，同理也可以看作边长为（a+b）的正方形，运用二者面积相等列恒等式可证明. 22．【答案】解：(1)如图1， ∵△ABC和△CDE是等边三角形， ∴AC=BC，∠DCE=∠ACB=60°，CD=CE， ∴∠BCE=∠ACD， ∴△BCE≌△ACD(SAS)， ∴∠CBE=∠CAD，BE=AD， ∵∠BOC=∠AOF， ∴∠AFB=∠ACB=60°； (2)∵AD平分∠BAC， ∴∠BAE=∠CAE， ∵AB=AE，AD=AC， ∴△ABD≌△AEC(SAS)， ∴BD=CE， ∵AB=AE，AD=AC，∠BAE=∠CAE， ∴∠ABE=∠AEB=∠ADC=∠ACD， ∵∠ADC=∠BDE， ∴∠BDE=∠BED， ∴BD=BE， ∴BE=CE； ②如图3，设CD=x， ∵△ADE是等腰三角形，∠DAE=90°，AE=2， ∴， 由①同理得：△ABD≌△ACE(SAS)， ∴，∠ABO=∠ACE， ∵∠AOB=∠COD， ∴∠CDO=∠BAO=90°， ∴BD2+CD2=BC2， ∴， ， ∴. 【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的性质-等边对等角 【解析】【分析】(1)如图1，先根据SAS证明△BCE≌△ACD，即可解答； (2)①证明△ABD≌△AEC(SAS)，得BD=CE，再根据等边对等角和三角形的内角和定理即可解答； ②设CD=x，由①同理得：△ABD≌△ACE(SAS)，根据勾股定理和三角形的面积即可解答. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1 探索勾股定理-北师大版数学八年级上册 一、选择题 1．（2024八上·深圳期中） 一直角三角形的两直角边长为6和8，则斜边长为 （　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【知识点】勾股定理 【解析】【解答】解：由勾股定理可得， 斜边长为：， 故答案为：C． 【分析】利用勾股定理列出算式分析求解即可. 2．（2024八上·余杭期中）在锐角中，，，高，则BC的长度为（　　） A．16 B．15 C．14 D．13 【答案】C 【知识点】三角形的角平分线、中线和高；勾股定理 【解析】【解答】解：如图， AD是锐角△ABC的高， ，， 在中， 在中， 故答案为：C. 【分析】在Rt△ABD中，由勾股定理求出BD长，在Rt△ACD中，由勾股定理求出CD长，然后根据线段的和差关系求BC长即可. 3．（2024八上·济南期末）如图，在平面直角坐标系中，，，连接，以点为圆心为半径作弧，交轴于点，则点的横坐标为（　　） A．3 B． C． D． 【答案】B 【知识点】勾股定理 【解析】【解答】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的横坐标为， 故答案为：B. 【分析】先由A、B的坐标得到，进而利用勾股定理求出的长，则可得到的长，再求出的长即可得到答案. 4．（2023八上·北碚月考）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D在BC上，BD＝6，CD＝2，点P'是AB上的动点，则PC+PD的最小值是（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【知识点】两点之间线段最短；三角形全等及其性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS 【解析】【解答】解：如图，过点B作D'B⊥BC，使BD'＝6，连接CD'交AB于点P ∵AC＝BC，∠ACB＝90°， ∴∠ABC＝45°，且BD'⊥BC ∴∠D'BP＝∠DBP＝45°，且BD＝6＝BD'，BP＝BP ∴△BPD≌△BPD'（SAS） ∴DP＝D'P ∴CP+DP＝CP+D'P ∴PC+PD的最小值为D'C， ∵BD＝6，CD＝2 ∴BC＝8， ∴D'C＝ ∴PC+PD的最小值为10 故答案为：D． 【分析】过点B作D'B⊥BC，且BD'＝6，连接CD'交AB于点P，根据全等三角形判定定理可得△BPD≌△BPD'（SAS），则DP＝D'P，再根据边之间的关系可得PC+PD的最小值为D'C，再根据勾股定理即可求出答案. 5．（2023八上·德惠月考）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时， 梯子底端到左墙角的距离BC为0.7m，梯子顶端到地面的距离AC为2.4m．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A'D为1.5m，则小巷的宽为（　　）． A．2.4m B．2m C．2.5m D．2.7m 【答案】D 【知识点】勾股定理 【解析】【解答】解：由题意可得： ∴ ∴CD=CB+BD=0.7+2=2.7m 则小巷的宽为2.7m 故答案为：D 【分析】根据直角三角形中勾股定理可得，则，则小巷的宽CD=CB+BD，即可求出答案. 6．（云南省文山壮族苗族自治州马关县2023-2024学年八年级上学期期末数学试题）在中，斜边 ，则 的值为 （　　） A．30 B．100 C．200 D．无法计算 【答案】C 【知识点】勾股定理 【解析】【解答】解：∵在中，斜边， ∴， ∴， 故选；C． 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，在直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，在中，得到，进而求得的值，得到答案. 7．（2025八上·射洪期末）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形．连接，相交于点O、与相交于点P．若，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定-ASA；“赵爽弦图”模型；全等三角形中对应边的关系 【解析】【解答】解：四边形、为正方形， ，，，， ，， ， ， ， 又， ， ， ，， ， ， ，， ， ， 故答案为：C． 【分析】根据等腰直角三角形可得出，，，，，即可得到，利用得到，即可得到，再根据勾股定理得到解题即可． 8．（2024八上·香洲开学考）如图，在中，平分，下列说法： ①若，则； ②若，则； ③若，，，则； ④若，，，则． 其中正确的是（　　） A．①② B．②③ C．①③④ D．②③④ 【答案】D 【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；角平分线的性质；勾股定理 【解析】【解答】解：①设BC边上的高为h，则， 若，则，故①错误； ②过D作，， ∵平分， ∴， ∵ ∴ ∴若，则，故②正确； ③若，过D作， ∵平分， ∴， ∴，故③正确； ④若，，， ∴设，则由勾股定理得： ∴，解得， ∴ ∵， ∴，即 解得，故④正确， 综上，正确的有②③④. 故答案为：D. 【分析】①设BC边上的高为h，由同高三角形的面积之比等于底之比可判断此小题；②过点D作DE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AC于点F，由角平分线上的点到角两边的距离相等得DE=DF，由等高三角形的面积之比等于底之比可判断此小题；③过点D作DE⊥AB于点E，由角平分线上的点到角两边的距离相等得DE=CD=3，然后根据S△ABC=S△ACD+S△ABD，列式计算即可判断此小题；④根据勾股定理建立方程可求出AC、AB的长，然后根据S△ABC=S△ACD+S△ABD建立方程可求出CD的长，从而可判断此小题. 二、填空题 9．（2023八上·菏泽经济技术开发月考）在Rt△ABC中，有两边的长分别为2和4，则第三边的长是　 　． 【答案】或 【知识点】勾股定理 【解析】【解答】解：当4为直角边时，第三边长为=2， 当4为斜边时，第三边长为=2， ∴ 第三边的长是或； 故答案为： 或 . 【分析】分两种情况：当4为直角边和4为斜边时，然后利用勾股定理分别计算即可. 10．（2025八上·鄞州期末）如图，在中，，，，为的角平分线，则的面积为　 　． 【答案】 【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；勾股定理 【解析】【解答】解：如图所示，过点作于点， 在中，，， ∴， ∵为的角平分线，，DE⊥AB， ∴ ∵ 设， ∴ ∴ 解得： ∴ 故答案为：． 【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理算出AB的长；根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得DE=DC，设DE=DC=x，由等面积法，根据S△ABC=S△ABD+S△BDC，列出方程，求出x的值，进而再根据三角形面积计算公式列式计算即可. 11．（2024八上·朝阳期末）如图，分别以直角三角形三边为边长作正方形，它们的面积分别为、、．若，，则　 　． 【答案】7 【知识点】勾股定理 【解析】【解答】解：如图所示， 由勾股定理可得， ∵， ∴． 故答案为：7． 【分析】利用勾股定理求出，再计算求解即可。 12．（2024八上·丹阳期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC的垂直平分线分别交BC、AC于点D，E，若AB＝5cm，AC＝12cm，则△ABD的周长为　 　cm. 【答案】18 【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理 【解析】【解答】解：由勾股定理得，BC＝ ， ∵DE是AC的垂直平分线， ∴DA＝DC， ∴△ABD的周长＝AB+BD+AD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝18（cm）， 故答案为：18. 【分析】根据勾股定理求出BC，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，根据三角形的周长公式计算，得到答案. 13．（2024八上·平湖期末）如图，等腰三角形的底边的长为6，周长为，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段上的一个动点，则的周长的最小值为　 　． 【答案】7 【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理 【解析】【解答】解：是的垂直平分线， ∴连接，即可得到的最小值，最小值等于， ∵等腰三角形的底边的长为6，周长为， ∴， ∵点D为边的中点， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：7． 【分析】根等腰三角形的性质与底边的长为6，周长为可得，根据线段的垂直平分线性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可得CM+DM的最小值就是线段AD的值，于是连接即可得到的最小值等于，在Rt△ACD中，用勾股定理求得AD的值，则△CDM的周长等于CM+DM+CD=AD=CD即可求解. 14．（2024八上·无锡期中）如图，在四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，则BD的长为　 　. 【答案】 【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-SAS 【解析】【解答】作AD′⊥AD，AD′=AD，连接CD′，DD′，如图： ∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD， 即∠BAD=∠CAD′， 在△BAD与△CAD′中， ， ∴△BAD≌△CAD′(SAS)， ∴BD=CD′. ∠DAD′=90° 由勾股定理得DD′= ， ∠D′DA+∠ADC=90° 由勾股定理得CD′= ∴BD=CD′= ， 故答案为 . 【分析】作AD′⊥AD，AD′=AD，连接CD′，DD′，用边角边可证得△BAD≌△CAD′，于是可得BD=CD′. ∠DAD′=90°，用由勾股定理可求得DD′和CD′的值，于是同样可用勾股定理可求得CD′的值，再根据BD=CD′可求解. 三、作图题 15．（2024八上·南宁开学考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，两直角边AC＝8cm，BC＝6cm． （1）作∠BAC的平分线AD交BC于点D；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）计算△ABD的面积． 【答案】（1）解：如图，射线AD即为所求； （2）解：∵ ∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm， ∴AB==10cm， 过点D作DE⊥AB于点E， ∵AD平分∠BAC，∠ACB＝90° ∴CD=DE， ∵∠ACB＝∠DEA＝90°，AD=AD， ∴Rt△ADC≌Rt△ADE（HL） ∴AE=AC =8cm， ∴BE=AB-AE=10-8=2， 设CD=DE=x，则BD=6-x， 在Rt△BDE中，DE2+BE2=BD2， ∴x2+22=（6-x）2， 解得x= ∴ △ABD的面积=AB·DE=×10×=． 【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；勾股定理；尺规作图-作角的平分线 【解析】【分析】（1）根据尺规作图，作出∠BAC的平分线即可； （2）过点D作DE⊥AB于点E，由勾股定理求出AB=10，证明Rt△ADC≌Rt△ADE（HL）可得AE=AC =8cm，BE=2，设CD=DE=x，则BD=6-x，在Rt△BDE中，利用勾股定理建立关于x方程并解之，即得DE的长，再利用△ABD的面积=AB·DE进行计算即可. 四、解答题 16．（2024八上·余杭期中）如图，在中，.求： （1）BC边上的中线AD的长 （2）求△ABC的面积. 【答案】（1）解：在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的中线， ∴AD⊥BC， ∴BD＝CDBC30＝15， 在Rt△ABD中，AB＝17，AD2＋BD2＝AB2， ∴AD （2）解：∵BC＝30，AD＝8， ∴△ABC的面积120 【知识点】三角形的面积；勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一 【解析】【分析】（1）根据等腰三角形中的三线合一求出BD的长度，最后在Rt△ABD中利用勾股定理计算即可； （2）根据三角形面积计算公式计算即可. 17．（2024八上·榆阳期末）如图，一棵竖直的大杉树在一次台风中被刮断，树顶落在离树根处，工作人员要查看断痕处的情况，在离树根有的处架起一个长的梯子，点在同一条直线上，求这棵树原来的总高度． 【答案】解：， ， ，， ， ， ， 这棵树原来的总高度为：． 【知识点】勾股定理 【解析】【分析】在中根据勾股定理求出，由勾股定理求出，最后由这棵树原来的总高度为，计算求解即可. 18．（2025八上·慈溪期末）如图，在等腰RtΔABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为BC边上一点，连结AD，过点A作 AD的垂线，过点B作BC的垂线，两条垂线交于点E。 （1）证明： ΔAEB≌ΔADC； （2）若CD=3BD=3，求 AD 的长。 【答案】（1）证明： ∵AB = AC， ∠BAC=90°， ∴∠ABC=∠C =45°， ∵BE⊥BC， AD⊥AE， ∴∠EAD=∠EBD=90°=∠BAC， ∴∠ABE=∠ACB=45° E ， ∠BAE=∠CAD， ∴△AEB≌△ADC(ASA)； （2）解：如图， 过点A作AF⊥BC B于F， ∵CD=3BD=3， ∴BD=1， ∴BC=4， ∵AB=AC， ∠BAC=90°， AF⊥BC， ∴BF=AF=2， ∴DF =1， ∴AD= (负值舍去)。 【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系 【解析】【分析】(1)由ASA可证△AEB≌△ADC； (2)由等腰直角三角形的性质可得BF=AF =2，由勾股定理可求解. 19．（2025八上·贵州期末）如图四边形中，，，，，，求四边形的面积． 【答案】解：∵，，∴， ∵， ∴根据勾股定理得：， 又， ∴根据勾股定理得：， 则． 【知识点】勾股定理 【解析】【分析】在直角三角形中，根据勾股定理得到长，然后根据勾股定理得到长，然后利用解答即可． 20．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC.三角形的顶点在互相平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1与l2的间距为2，l3与l2的间距为3，求AC的长. 【答案】解：如图，过点A，C分别作l3的垂线， 作AD⊥I3于D，作CE⊥I3于E， ∵∠ABC=90°， ∴∠ABD+∠CBE =90°， 又∵∠DAB+∠ABD=90°， ∴∠BAD=∠CBE， 在△ABD和△BCE中， ， ∴△ABD≌△BCE（ASA）， ∴BE=AD=3，AB=AC， 在Rt△BCE中，根据勾股定理，得， 在Rt△ABC中，根据勾股定理，得. 【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系 【解析】【分析】作AD⊥I3于D，CE⊥l3于E，利用AAS定理证明 △ABD≌△BCE，根据全等三角形的性质得到BD=CE=5，根据勾股定理计算即可. 五、实践探究题 21．如图 （1）我国著名的数学家赵爽，早在公元3世纪，就把一个长方形分成四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形（如图1），这个图形称为赵爽弦图，验证了一个非常重要的结论：在直角三角形中两条直角边a，b与斜边满足关系式，称为勾股定理. 证明：大正方形的面积可表示为，又可表示为， ， 　 　. 即直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. （2）爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图2），也能验证这个结论，请你帮助小明完成验证的过程. 【答案】（1） （2）证明：由图得，大正方形面积，由可以表示为， ∴， 整理得， 即. 【知识点】勾股定理的证明 【解析】【分析】（1）由图1可得大正方形的面积可表示为S＝c2，也可以表示为，根据两个式子相等建立等式，再变形即可得出答案； （2）因为图二中正方形面积可以看做四个三角形的面积加一个小正方形面积，同理也可以看作边长为（a+b）的正方形，运用二者面积相等列恒等式可证明. 22．（2025八上·西湖期末）综合与实践 【建立模型】 （1）如图（1），为等边三角形，点D在的延长线上，在的同侧以为边构造等边三角形，连接，交于点F． 求证：，并直接写出的度数． 【应用模型】 （2）①如图（2），在中，平分，且，点E在的延长线上，且，连接，，求证：． ②如图（3），和都是等腰三角形，，点C恰好在延长线上，连接，若，，求的面积． 【答案】解：(1)如图1， ∵△ABC和△CDE是等边三角形， ∴AC=BC，∠DCE=∠ACB=60°，CD=CE， ∴∠BCE=∠ACD， ∴△BCE≌△ACD(SAS)， ∴∠CBE=∠CAD，BE=AD， ∵∠BOC=∠AOF， ∴∠AFB=∠ACB=60°； (2)∵AD平分∠BAC， ∴∠BAE=∠CAE， ∵AB=AE，AD=AC， ∴△ABD≌△AEC(SAS)， ∴BD=CE， ∵AB=AE，AD=AC，∠BAE=∠CAE， ∴∠ABE=∠AEB=∠ADC=∠ACD， ∵∠ADC=∠BDE， ∴∠BDE=∠BED， ∴BD=BE， ∴BE=CE； ②如图3，设CD=x， ∵△ADE是等腰三角形，∠DAE=90°，AE=2， ∴， 由①同理得：△ABD≌△ACE(SAS)， ∴，∠ABO=∠ACE， ∵∠AOB=∠COD， ∴∠CDO=∠BAO=90°， ∴BD2+CD2=BC2， ∴， ， ∴. 【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的性质-等边对等角 【解析】【分析】(1)如图1，先根据SAS证明△BCE≌△ACD，即可解答； (2)①证明△ABD≌△AEC(SAS)，得BD=CE，再根据等边对等角和三角形的内角和定理即可解答； ②设CD=x，由①同理得：△ABD≌△ACE(SAS)，根据勾股定理和三角形的面积即可解答. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$