08 解三角形中的判断三角形形状问题-2024-2025学年高一下学期数学暑假作业（巩固篇）

2024—2025学年高一年级暑假作业——巩固篇 08 解三角形中的判断三角形形状问题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（24-25高一下·贵州毕节·阶段练习）已知在中，，则的形状是（   ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 2．（24-25高一下·天津武清·阶段练习）在中，，，则一定是（    ） A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不确定 3．（24-25高一下·山东·阶段练习）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，则△ABC是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 4．（24-25高一下·广东广州·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，C.已知，则的形状一定是（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 5．（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）在中，三个角所对的边分别为，若，则边的大小为（    ） A．2 B． C．3 D． 6．（24-25高一下·江苏盐城·期中）在中，角A、B、C所对边分别为a、b、c.若，则该三角形一定是（    ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 7．（24-25高一下·广东·阶段练习）记的内角的对边分别为．已知，则为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 8．（24-25高一下·广东广州·阶段练习）在中，已知，且，则的形状（    ） A．等腰且非等边三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（24-25高一下·广东深圳·阶段练习）的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，对于，有如下命题，其中正确的有（    ） A．sin(B+C)=sinA B．cos(B+C)=cosA C．若，则为直角三角形 D．若，则为锐角三角形 10．（24-25高一下·河南·阶段练习）已知的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列命题中正确的是（    ） A．若,则是等边三角形 B．若,则是等腰三角形 C．若,则是等腰直角三角形 D．若,则是锐角三角形 11．（24-25高一下·浙江宁波·期中）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，以下说法正确的是（    ） A．若，，，则有两解 B．若，则为等腰三角形 C．若为锐角三角形，则 D．若，则为钝角三角形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（24-25高一下·北京朝阳·期中）在中，，则一定为 三角形.（选填“锐角”、“直角”、“钝角”、“等腰”） 13．（24-25高一下·江苏·阶段练习）在中，角的对边分别为，若，，则的形状是 ． 14．（24-25高一下·江苏南京·期末）在中，满足，则的形状为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（24-25高一下·天津·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知． (1)求C的大小； (2)设，，且，判断的形状． 16．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）记的内角的对边分别为，且． (1)求； (2)若的面积为，求的周长； (3)若为中点，当的值最大时，判断的形状． 17．（24-25高一下·山西·期中）在面积为S的中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)若，试判断的形状，并说明理由； (2)若，则的面积为，求，的值； (3)若为锐角三角形，求的取值范围. 18．（24-25高一下·四川成都·期中）在①，是锐角；②；③三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若______， (1)求证：； (2)求的取值范围； (3)若，则是否为等边三角形？若是，写出证明；若不是，说明理由． 19．（24-25高一下·浙江台州·期末）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．给出如下三个条件： ①；②；③； 从这三个条件中任选一个作为满足的条件，完成以下问题： (1)求角A的大小； (2)若的面积为．角A的内角平分线交边BC于D，且，试判断的形状并证明. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年高一年级暑假作业——巩固篇 08 解三角形中的判断三角形形状问题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（24-25高一下·贵州毕节·阶段练习）已知在中，，则的形状是（   ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】先求出，再利用余弦定理可得，从而可得答案. 【详解】因为，所以，则，即， 所以，所以，所以为等腰三角形，又，所以为等边三角形．故选：C． 2．（24-25高一下·天津武清·阶段练习）在中，，，则一定是（    ） A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不确定 【答案】A 【分析】由余弦定理结合题意化简即可判断的形状. 【详解】在中，因为，，所以由余弦定理可得，所以，即，所以，结合，可得一定是等边三角形．故选：A. 3．（24-25高一下·山东·阶段练习）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，则△ABC是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【分析】先利用余弦定理求出，继而利用余弦定理求出，即可判断出三角形形状. 【详解】由余弦定理可知，．因为，所以，得，即，则，则，从而△ABC是钝角三角形．故选：C 4．（24-25高一下·广东广州·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，C.已知，则的形状一定是（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】利用余弦定理变形，再结合余弦函数的性质判断即可. 【详解】在中，由余弦定理得，整理得，而，函数在上单调递减，因此，所以是等腰三角形.故选：C 5．（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）在中，三个角所对的边分别为，若，则边的大小为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】利用余弦定理求解即可. 【详解】在△ABC中，已知角B的余弦值为边，边，要求边的大小.首先，使用余弦定理，代入已知数据得， ，得到两个解：或（舍），故选：C. 6．（24-25高一下·江苏盐城·期中）在中，角A、B、C所对边分别为a、b、c.若，则该三角形一定是（    ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】应用二倍角余弦公式及余弦边角关系得到，即可得. 【详解】由，则，所以，可得，不能确定是否成立，所以一定是直角三角形.故选：B 7．（24-25高一下·广东·阶段练习）记的内角的对边分别为．已知，则为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】利用二倍角公式和余弦定理化简给定条件，最后利用勾股定理逆定理求解即可. 【详解】因为，所以， 则，即， 得到，即，则，即，由勾股定理逆定理得为直角三角形，故B正确.故选：B 8．（24-25高一下·广东广州·阶段练习）在中，已知，且，则的形状（    ） A．等腰且非等边三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】先根据余弦定理求角C，再根据结合三角形内角和定理探索角的关系，可判定三角形的形状. 【详解】由. 所以，又，所以. 由，所以,又为三角形内角，所以，故，即.综上可知：为等边三角形.故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（24-25高一下·广东深圳·阶段练习）的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，对于，有如下命题，其中正确的有（    ） A．sin(B+C)=sinA B．cos(B+C)=cosA C．若，则为直角三角形 D．若，则为锐角三角形 【答案】AC 【分析】利用三角形内角和定理与诱导公式判断A，B；利用余弦定理计算判断C，D作答. 【详解】依题意，中，，，A正确； ，B不正确；因，则由余弦定理得：，而，即有，为直角三角形，C正确；因，则，而，即有，为钝角三角形，D不正确. 故选：AC 10．（24-25高一下·河南·阶段练习）已知的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列命题中正确的是（    ） A．若,则是等边三角形 B．若,则是等腰三角形 C．若,则是等腰直角三角形 D．若,则是锐角三角形 【答案】AC 【分析】根据正弦定理,余弦定理逐个进行边角互化即可. 【详解】对于A,由正弦定理得,所以,即,所以是等边三角形,故A正确；对于B,由正弦定理得,又,所以,所以或者,则或者,则是等腰三角形或者直角三角形,故B错误；对于C,由正弦定理得,当且仅当，即时等号成立,所以,又,所以,即,此时,是等腰直角三角形,故C正确；对于D,因为 ,所以或者,即A或者B为钝角,所以是钝角三角形,故D错误．故选:AC． 11．（24-25高一下·浙江宁波·期中）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，以下说法正确的是（    ） A．若，，，则有两解 B．若，则为等腰三角形 C．若为锐角三角形，则 D．若，则为钝角三角形 【答案】ACD 【分析】利用正弦定理解三角形判断A，利用正弦定理结合二倍角公式判断B，利用余弦函数的单调性判断C，利用余弦定理结合同角三角函数的基本关系判断D即可 【详解】对于A,若,由正弦定理得，解得，又，易知在内由两个符合题意的，所以该三角形有两解，故A正确； 对于B，若，则由正弦定理可得,所以，即而所以有或,即或, 所以为等腰三角形或直角三角形，故B错误;对于C，若为锐角三角形， 则因为在为减函数，所以，故C正确；对于D，由题意可得，由正弦定理可得,由余弦定理可得，所以B为钝角，即该三角形为钝角三角形，故D正确.故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（24-25高一下·北京朝阳·期中）在中，，则一定为 三角形.（选填“锐角”、“直角”、“钝角”、“等腰”） 【答案】直角 【分析】由正弦定理边化角得，由此即可判断. 【详解】因为，所以，所以，因为，所以，又，所以，所以一定为直角三角形. 13．（24-25高一下·江苏·阶段练习）在中，角的对边分别为，若，，则的形状是 ． 【答案】等边三角形 【分析】由正弦定理边化角得到，再结合即可求解. 【详解】由，可得：，即，又， 所以，即，又，所以，所以的形状是等边三角形， 14．（24-25高一下·江苏南京·期末）在中，满足，则的形状为 . 【答案】等腰或直角三角形 【分析】利用正弦定理边化角得，再利用二倍角公式化简即可得解. 【详解】根据题意，，即，利用正弦定理，得，则，，所以或， 即或，则的形状为等腰或直角三角形. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（24-25高一下·天津·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知． (1)求C的大小； (2)设，，且，判断的形状． 【答案】(1) (2)等腰三角形 【分析】（1）由余弦定理结合已知即可求解； （2）由平面向量数量积的运算及正弦定理得出，再由三角形内角和即可求解． 【详解】（1）由余弦定理：，又C为三角形内角，所以． （2）由知，由正弦定理，得， 又，从而，因为，所以，，则， 所以为等腰三角形． 16．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）记的内角的对边分别为，且． (1)求； (2)若的面积为，求的周长； (3)若为中点，当的值最大时，判断的形状． 【答案】(1) (2) (3)等边三角形 【分析】(1)根据正弦定理实现边角互化，再结合三角形内角和定理和两角和的正弦公式可求角； (2)由三角形面积公式和角可求的值，再结合余弦定理可求即可得三角形的周长； (3)利用向量的知识得出，结合余弦定理及基本不等式求出何时取最值. 【详解】（1）由，又得，其中 化简得，又得, 即,因为A是三角形的内角，所以． （2）由，得，由余弦定理，得，得，得， 所以的周长为 （3）所以， 由（1）知，又．由余弦定理得，得， 所以，又因为，即，当是取等号， 所以，所以,此时三角形为等边三角形. 17．（24-25高一下·山西·期中）在面积为S的中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)若，试判断的形状，并说明理由； (2)若，则的面积为，求，的值； (3)若为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】(1)直角三角形，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用面积公式和正弦定理，余弦定理可求答案； （2）利用面积公式和余弦定理可求答案； （3）先化简目标式，结合角的范围可得答案. 【详解】（1）因为，所以 因为，故得，由余弦定理可得，又因为，所以； 若，即，且，可得，，所以为直角三角形. （2）因为，则，解得，由余弦定理可得，即，可得，所以. （3）因为 . 因为，且三角形是锐角三角形，则，解得， 则，可得，则， 所以的取值范围为. 18．（24-25高一下·四川成都·期中）在①，是锐角；②；③三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若______， (1)求证：； (2)求的取值范围； (3)若，则是否为等边三角形？若是，写出证明；若不是，说明理由． 【答案】(1)证明见详解 (2) (3)是正三角形，证明见详解 【分析】（1）选①，利用二倍角降幂公式求出，进而求解；选②，由正弦定理边化角，再根据三角恒等变换化简求得得解；选③，由正弦定理边化角，再根据三角恒等变换化简求解. （2）由（1），可得，代入消去角，利用三角恒等变换化简，根据三角函数求值域得解； （3）由结合，利用余弦定理求得，得证. 【详解】（1）若选①，，则， ，解得或（舍），又是锐角，则. 若选②，，由正弦定理，得， ，化简整理得，又，，故，又，所以. 若选③，，则由正弦定理，得，，， 上式化简得，即，，，故. （2）由（1），，则，， 因为，则，，所以. （3）由，，由余弦定理，，即，，化简得，得，又，所以是正三角形. 19．（24-25高一下·浙江台州·期末）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．给出如下三个条件： ①；②；③； 从这三个条件中任选一个作为满足的条件，完成以下问题： (1)求角A的大小； (2)若的面积为．角A的内角平分线交边BC于D，且，试判断的形状并证明. 【答案】(1) (2)正三角形，证明见解析 【分析】（1）条件①利用正弦定理和二倍角公式化简得到，再结合两角和的正弦公式化简得到，进而求解角度，条件②利用正弦定理得到，再利用余弦定理求解角度，条件③利用两角和的正弦公式化简得到，再利用辅助角公式求解角度即可. （2）利用三角形面积公式建立方程，求出，，再求出，最后判断三角形形状即可. 【详解】（1）选①由，得，即，故，则,化简得，因为，所以，故，则解得 选②由已知得，由正弦定理可得，即，由余弦定理得，解得． 选③由已知得，即， 所以， 化简得，则， 因为，所以，化简得，即， 得，又，所以，解得． （2）因为，故解得，又因为，故解得．所以解得，所以是正三角形. 学科网（北京）股份有限公司 $$