精品解析：云南省部分校2024-2025学年高二下学期6月期末联考数学试题

高二数学考试 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若为虚数单位，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 4. 子贡曾曰：夫子温､良､恭､俭､让以得之.“温､良､恭､俭､让”指五种品德：温和､善良､恭敬､节俭､谦让.现有分别印着这5个字的卡片各1张，将这5张卡片排成一行，其中印着“温”的卡片排在最中间，则总的排法共有（ ） A. 30种 B. 96种 C. 24种 D. 4种 5. 已知函数的图象关于点对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 在数列中，若，则666是的（ ） A. 第111项 B. 第222项 C. 第333项 D. 第666项 7. 已知椭圆的左､右焦点分别是是坐标原点，是上第一象限的点.若的角平分线上一点满足，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 在体积为的正四棱锥中，为底面内的任意两点，则直线与直线所成角的余弦值的最大值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数满足对任意的恒成立，则下列结论正确的是（ ） A. B. 为奇函数 C. 若，则 D. 若，则100是的一个周期 11. 若是上的连续函数，且，则.从几何上看，若定义在上的函数连续且恒有，则定积分表示由直线和曲线所围成的图形的面积.已知花瓣曲线，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线上恰好存在8个点到原点的距离为 B. 圆与曲线共有8个公共点 C. D. 曲线围成的封闭区域的面积为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知单位向量满足，则__________，__________. 13. 已知函数在处取得极小值，则__________. 14. 小珠上午去游泳的概率为，下午去游泳的概率为.记小珠在上午不去游泳的条件下，下午去游泳的概率为；小珠在上午去游泳的条件下，下午去游泳的概率为，若，则__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角所对的边分别为，且. （1）求角的大小； （2）已知为边上一点，若，求的长. 16. 如图，在三棱锥中，. （1）证明：平面. （2）求平面与平面夹角的余弦值. 17. 某杂志社为了解杂志订阅者对某杂志冷色调与暖色调的封面设计偏好是否与他们的性别有关，随机调查并收集了100名该杂志订阅者对该杂志封面设计的色调偏好数据，同时记录了他们的性别，得到如下所示的列联表. 单位：人 性别 封面设计的色调 合计 冷色调 暖色调 男性 28 女性 32 合计 46 （1）请完成以上表格，并根据小概率值的独立性检验，分析该杂志订阅者对该杂志封面设计的色调偏好是否与性别有关联； （2）从这100名该杂志订阅者中随机抽取2名订阅者参加某读书会，用表示这2名订阅者中女性的人数，求的分布列和数学期望； （3）用频率估计概率，从全国各地该杂志的所有订阅者中随机抽取部分订阅者参加书籍捐赠活动，从数学期望的角度考虑，若要使得被抽取的订阅者中偏好暖色调封面设计的人数至少为189，则至少应抽取多少名该杂志订阅者？ 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 18. 已知双曲线的离心率为为坐标原点，过点的直线交于，两点，其中点在第一象限. （1）求的标准方程. （2）设. ①求直线的方程. ②过点作斜率分别为的两条直线，且直线与交于另一点，直线与交于另一点.若，证明直线过定点，并求该定点坐标. 19. 设，函数在处的阶帕德逼近定义为，且.其中.已知函数，记为在处的阶帕德逼近. （1）求的解析式. （2）证明：当时，. （3）设正项数列的前项和为，且，，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学考试 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据对数函数定义域得出集合A，再应用交集定义计算求解. 【详解】由题意可得，所以. 故选：A. 2. 若为虚数单位，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据模长公式计算求解，再结合必要不充分条件判断即可. 【详解】由，得，所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：C. 3. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复合函数的单调性判断方法可得结果. 【详解】令，得或. 因为函数在上单调递减， 函数在上单调递增，在上单调递减， 则的单调递减区间为. 故选：B. 4. 子贡曾曰：夫子温､良､恭､俭､让以得之.“温､良､恭､俭､让”指五种品德：温和､善良､恭敬､节俭､谦让.现有分别印着这5个字的卡片各1张，将这5张卡片排成一行，其中印着“温”的卡片排在最中间，则总的排法共有（ ） A. 30种 B. 96种 C. 24种 D. 4种 【答案】C 【解析】 【分析】应用排列数计算求解. 【详解】根据题意可得总的排法共有种. 故选：C. 5. 已知函数的图象关于点对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据点对称代入计算求解. 【详解】由题意可得， 则，解得. 因为，所以时，取得最小值. 故选：D. 6. 在数列中，若，则666是的（ ） A. 第111项 B. 第222项 C. 第333项 D. 第666项 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知递推公式计算构造常数列，再代入计算求解. 【详解】因为，所以，所以，所以是常数列， 所以，则. 由，解得. 故选：B. 7. 已知椭圆的左､右焦点分别是是坐标原点，是上第一象限的点.若的角平分线上一点满足，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得，延长与交于点，根据几何关系求出，结合离心率公式即可进一步求解. 【详解】 根据题意可得，延长与交于点，由等腰三角形三线合一可知， 由椭圆的定义可得，所以， 所以，由是的中位线， 可得，所以，解得， 所以的离心率为. 故选：B. 8. 在体积为的正四棱锥中，为底面内的任意两点，则直线与直线所成角的余弦值的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用直线与面内直线所成角的最小值是直线和面上射影所成角，再结合边长计算求解. 【详解】设正四棱锥的高为，则，解得， 所以. 由已知，，， 设，且，又， 所以， 所以，当且仅当时等号成立， 设直线与直线所成角为， 所以当直线与直线平行或重合时，取得最大值，最大值为. 故选：A. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据已知条件，结合两角差的余弦公式，两角和的余弦公式，同角三角函数关系，两角差的正切公式依次判断每个选项的正误即可. 【详解】由，得，A正确；，B正确；，C正确；因为，所以，D错误. 故选：ABC. 10. 已知函数满足对任意的恒成立，则下列结论正确的是（ ） A. B. 为奇函数 C. 若，则 D. 若，则100是的一个周期 【答案】ABD 【解析】 【分析】令可判断A；令，结合奇函数的定义可判断B；令可判断C；令可判断D. 【详解】A.令，则，所以， 故，故A正确. B.令，则， 所以，又函数的定义域为， 所以为奇函数，故B正确. C.令，则， 因为，所以， 解得或，故C错误. D.若，令，得， 所以100是的一个周期，故D正确. 故选：ABD. 11. 若是上的连续函数，且，则.从几何上看，若定义在上的函数连续且恒有，则定积分表示由直线和曲线所围成的图形的面积.已知花瓣曲线，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线上恰好存在8个点到原点的距离为 B. 圆与曲线共有8个公共点 C. D. 曲线围成的封闭区域的面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由，解得或或或，可知曲线是由4个抛物线组成，画出曲线的图象，利用数形结合法结合两点间的距离公式、圆的标准方程及定积分的定义逐一分析即可. 【详解】由，得， 所以或，即或或或， 画出曲线，如图所示. 由，解得或，设， 对于： 所以曲线上恰好存在4个点到原点的距离为，故错误； 对于：由，得圆与曲线共有8个公共点，故正确. 对于：因为（为常数）， 所以，故正确； 对于：曲线在第一象限围成的封闭区域的面积为： ， 根据曲线的对称性可得曲线围成的封闭区域的面积为，故正确. 故选：BCD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知单位向量满足，则__________，__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据单位向量的定义及公式可求出，再根据公式即可求解. 【详解】因为， 所以，解得， 所以. 故答案为：；. 13. 已知函数在处取得极小值，则__________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据题意可得，即可求得的值，进而进行验证即可. 【详解】由，，得， 因为函数在处取得极小值， 所以，解得， 此时， ， 令，得或；令，得， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 即在处取极小值，符合题意，则. 故答案为：1. 14. 小珠上午去游泳的概率为，下午去游泳的概率为.记小珠在上午不去游泳的条件下，下午去游泳的概率为；小珠在上午去游泳的条件下，下午去游泳的概率为，若，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用全概率公式即可求得结果. 【详解】设事件A为“小珠上午去游泳”，事件为“小珠下午去游泳”，则，， 所以，解得. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角所对的边分别为，且. （1）求角的大小； （2）已知为边上一点，若，求的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理可得，再结合余弦定理可得，继而即可求解； （2）利用等面积法，结合面积公式即可求解. 【小问1详解】 因为，所以， 又， 所以， 即， 由余弦定理得，， 所以， 因为，所以； 【小问2详解】 由， 得， 因为，，所以， 所以， 解得. 16. 如图，在三棱锥中，. （1）证明：平面. （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 证明：因为， 所以，所以. 又平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）应用勾股定理得出，再结合线面垂直判定定理证明即可； （2）应用线面垂直判定定理得出平面，再分别求出平面与平面的法向量，最后应用二面角余弦公式计算求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接，则易得. 因为平面平面，所以， 又，平面， 所以平面. 以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴，平行于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系. 根据题意易得，则. 设平面的法向量为，则， 取，则. 设平面的法向量为，则， 取，则. 设平面与平面的夹角为， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为. 17. 某杂志社为了解杂志订阅者对某杂志冷色调与暖色调的封面设计偏好是否与他们的性别有关，随机调查并收集了100名该杂志订阅者对该杂志封面设计的色调偏好数据，同时记录了他们的性别，得到如下所示的列联表. 单位：人 性别 封面设计的色调 合计 冷色调 暖色调 男性 28 女性 32 合计 46 （1）请完成以上表格，并根据小概率值的独立性检验，分析该杂志订阅者对该杂志封面设计的色调偏好是否与性别有关联； （2）从这100名该杂志订阅者中随机抽取2名订阅者参加某读书会，用表示这2名订阅者中女性的人数，求的分布列和数学期望； （3）用频率估计概率，从全国各地该杂志的所有订阅者中随机抽取部分订阅者参加书籍捐赠活动，从数学期望的角度考虑，若要使得被抽取的订阅者中偏好暖色调封面设计的人数至少为189，则至少应抽取多少名该杂志订阅者？ 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 【答案】（1）有关联 （2）分布列： 0 1 2 （3）350名 【解析】 【分析】（1）利用已知行列合计数，通过简单减法运算得出各单元格数据，将列联表数据代入公式计算，与临界值比较，判断关联即可； （2）明确的所有可能取值，用超几何分布公式算对应概率，按格式列出取值和概率，用期望公式计算即可； （3）由列联表得暖色调频率，设抽取人数，依据二项分布期望公式建立关系，求解不等式得抽取人数最小值即可. 【小问1详解】 列联表如下： 单位：人 性别 封面设计的色调 合计 冷色调 暖色调 男性 28 22 50 女性 18 32 50 合计 46 54 100 零假设为：该杂志订阅者对该杂志封面设计的色调偏好与性别没有关联. 根据列联表中的数据，得， 所以根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为该杂志订阅者对该杂志封面设计的色调偏好与性别有关联. 【小问2详解】 由题意得的所有可能取值为， 则， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 所以. 【小问3详解】 用频率估计概率，从该杂志订阅者中随机抽取1名订阅者，则该订阅者偏好暖色调封面设计的概率为， 设从该杂志订阅者中随机抽取名订阅者参加书籍捐赠活动，记被抽取的订阅者中偏好暖色调封面设计的人数为，则， 根据题意易得， 解得，故至少应抽取350名该杂志订阅者. 18. 已知双曲线的离心率为为坐标原点，过点的直线交于，两点，其中点在第一象限. （1）求的标准方程. （2）设. ①求直线的方程. ②过点作斜率分别为的两条直线，且直线与交于另一点，直线与交于另一点.若，证明直线过定点，并求该定点坐标. 【答案】（1） （2）①；②证明见解析， 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的离心率可得结果. （2）①根据条件可知点在以为圆心，5为半径的圆上，联立圆方程与双曲线方程可得结果. ②设直线，与双曲线方程联立，借助韦达定理得到的关系式可得结果. 【小问1详解】 因为的离心率为，所以，解得， 所以的标准方程为. 【小问2详解】 ①由，得点在以为圆心，5为半径的圆上. 设，则解得即， 所以直线的斜率为，直线的方程为，即. ②当直线的斜率不存在时，点关于轴对称，设， 由，得，即，解得，不符合题意， 所以直线的斜率存在. 设直线，由得， 则，即. 设，则， 因为，所以，即， 得， 所以，即， 所以或. 当时，直线的方程为，经过定点，不符合题意； 当时，直线的方程为，经过定点. 综上，直线过定点，且定点坐标为. 19. 设，函数在处的阶帕德逼近定义为，且.其中.已知函数，记为在处的阶帕德逼近. （1）求的解析式. （2）证明：当时，. （3）设正项数列的前项和为，且，，证明：. 【答案】（1） （2）证明：方法一：当时，要证，即证，也就是证. 令，则，所以在上单调递增， 则，即，所以. 方法二：当时，要证，即证，也就是证， 令，则， 令，则， 因为，所以单调递增，， 即，所以单调递增，所以，则，所以. （3）证明：由，得， 因为，所以. 因为，所以，则. 令函数，则， 所以在上单调递减，所以， 所以，即， 因为，所以. 由（2）得， 设函数. 当时，在上单调递增；当时，在上单调递减， 所以，即，当且仅当时，等号成立， 所以，即，即， 所以，即，所以. 令，则， 所以在上单调递增，故， 所以，则，所以， 所以，即，所以，则， 所以， 所以，即. 【解析】 【分析】（1）由题意得，根据求出的值即可得解. （2）构造函数，利用导数分析函数的单调性可证明结论. （3）根据题目条件得到，结合等比数列求和公式可证明结论. 【小问1详解】 由题意得， 则. 由，得， 所以，则，由，得， 所以，由，得， 解得， 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $