2025-2026学年初升高衔接第6讲 指数与指数函数教案

初升高精品教案 教学课题 第6讲 指数与指数函数 教学目标 1. 使学生了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系； 2. 理解指数函数的的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性和特殊点； 3.在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法，如具体到一般的过程、数形结合的方法等． 教学 重难点 指数的计算，指数函数的图像与性质 第一节 指数 引入课题 1． 以折纸问题引入，激发学生的求知欲望和学习指数概念的积极性 2． 由实例引入，了解指数指数概念提出的背景，体会引入指数的必要性； 3． 复习初中整数指数幂的运算性质； 4． 初中根式的概念； 如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根； 新课教学 一．指数与指数幂的运算 1．根式的概念 一般地，如果，那么叫做的次方根（n th root），其中>1，且∈*． 当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数．此时，的次方根用符号表示．式子叫做根式（radical），这里叫做根指数（radical exponent），叫做被开方数（radicand）． 当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数．此时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号－表示．正的次方根与负的次方根可以合并成±（>0）． 由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作． 思考： =一定成立吗？．（学生活动） 结论：当是奇数时， 当是偶数时， 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义 规定： 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂． 3．有理指数幂的运算性质 （1）· ； （2） ； （3） ． 4． 无理指数幂 结合实例利用逼近的思想理解无理指数幂的意义． 指出：一般地，无理数指数幂是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 精讲精练 例1.从盛满1升纯酒精的容器中倒出升，然后用水填满，再倒出升，又用水填满，这样进行5次，则容器中剩下的纯酒精的升数为多少？ 例2求值：；； ；. 例3 用分数指数幂的形式表示下列各式： （1）； （2）； （3）. 例4 计算（式中字母均正）： （1）； （2）. 当堂检测（时量：3分钟 满分：15分）计分： 1. 若，且为整数，则下列各式中正确的是（ ）. A. B. C. D. 2. 化简的结果是（ ）. A. 5 B. 15 C. 25 D. 125 3. 计算的结果是（ ）. A． B． Ｃ． D． 4 第二讲 指数函数及其性质 引入课题 （备选引例） 1人口问题是全球性问题，由于全球人口迅猛增加，已引起全世界关注．世界人口2000年大约是60亿，而且以每年1.3%的增长率增长，按照这种增长速度，到2050年世界人口将达到100多亿，大有“人口爆炸”的趋势．为此，全球范围内敲起了人口警钟，并把每年的7月11日定为“世界人口日”，呼吁各国要控制人口增长．我国人口问题更为突出，在耕地面积只占世界7%的国土上，却养育着22%的世界人口．因此，中国的人口问题是公认的社会问题．2000年第五次人口普查，中国人口已达到13亿，年增长率约为1%．为了有效地控制人口过快增长，实行计划生育成为我国一项基本国策． 按照上述材料中的1%的增长率，从2000年起，x年后我国的人口将达到2000年的多少倍？ 到2050年我国的人口将达到多少？ 2. 一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的84%，那么以时间x年为自变量，残留量y的函数关系式是什么？ 3. 细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，第3次由4个分裂成8个，如此下去，如果第x次分裂得到y个细胞，那么细胞个数y与次数x的函数关系式是什么？ 4.上面的3个函数有什么共同特征？ 新课教学 一．指数函数的概念 一般地，函数叫做指数函数（exponential function），其中x是自变量，函数的定义域为R． 注意： 指数函数的定义是一个形式定义，要引导学生辨析； 注意指数函数的底数的取值范围，引导学生分析底数为什么不能是负数、零和1． 二．指数函数的图象和性质 问题：你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？ 研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质． 研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性． 1．在同一坐标系中画出下列函数的图象： （1） （2） （3） （4） （5） 2．从画出的图象中你能发现函数的图象和函数的图象有什么关系？可否利用的图象画出的图象？ 3．从画出的图象（、和）中，你能发现函数的图象与其底数之间有什么样的规律？ 4．你能根据指数函数的图象的特征归纳出指数函数的性质吗？ 图象特征 函数性质 向x、y轴正负方向无限延伸 函数的定义域为R 图象关于原点和y轴不对称 非奇非偶函数 函数图象都在x轴上方 函数的值域为R+ 函数图象都过定点（0，1） 自左向右看， 图象逐渐上升 自左向右看， 图象逐渐下降 增函数 减函数 在第一象限内的图象纵坐标都大于1 在第一象限内的图象纵坐标都小于1 在第二象限内的图象纵坐标都小于1 在第二象限内的图象纵坐标都大于1 图象上升趋势是越来越陡 图象上升趋势是越来越缓 函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度极快； 函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢； 5． 利用函数的单调性，结合图象还可以看出： （1）在[a，b]上，值域是或； （2）若，则；取遍所有正数当且仅当； （3）对于指数函数，总有； （4）当时，若，则； 典型例题 例1函数（）的图象过点，求,,的值. 小结：①确定指数函数重要要素是 ； ② 待定系数法. 例2比较下列各组中两个值的大小： （1）； （2） ； （3） ； （4）. 小结：利用单调性比大小；或间接利用中间数. 变式1. 已知下列不等式，试比较m、n的大小： （1）； （2） . 变式2比较大小： （1）； （2）,. 例3 求下列函数的定义域、值域： （1）; （2）; （3）. 小结：单调法、基本函数法、图象法、观察法. 例4. 求指数函数的定义域和值域，并讨论其单调性. 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 函数是指数函数，则的值为（ ）. A. 1 B. 2 C. 1或2 D. 任意值 2. 函数f(x)= (a>0,a≠1)的图象恒过定点（ ）. A. B. C. D. 3. 指数函数①，②满足不等式 ，则它们的图象是（ ）. 4. 比较大小： . 5. 函数的定义域为 . 6. 如果函数y=ax (a>0,a≠1)的图象与函数y=bx (b>0,b≠1)的图象关于y轴对称，则有（ ）. A. a>b B. a<b C. ab=1 D. a与b无确定关系 7. 函数f(x)=3－x－1的定义域、值域分别是（ ）. A. R， R B. R， C. R， D.以上都不对 8. 设a、b均为大于零且不等于1的常数，则下列说法错误的是（ ）. A. y=ax的图象与y=a－x的图象关于y轴对称B. 函数f(x)=a1－x (a>1)在R上递减 C. 若a>a，则a>1 D. 若>1，则 9 比较下列各组数的大小： ； . 10. 在同一坐标系下，函数y=ax, y=bx, y=cx, y=dx的图象如右图，则a、b、c、d、1之间从小到大的顺序是 . 课后作业 1． 选择题： 1．某种细菌在培养过程中，每分钟分裂一次（一个分裂为两个）。经过个小时，这种细菌由个可繁殖成（ ） 个 个 个 个 2．在统一平面直角坐标系中，函数与的图像可能是（ ） 3．设都是不等于的正数，在同一坐标系中的图像如图所示，则的大小顺序是（ ） 4.若，那么下列各不等式成立的是（ ） 5函数在上是减函数，则的取值范围是（ ） 6．函数的值域是（ ） 7．当时，函数是（ ） 奇函数 偶函数 既奇又偶函数 非奇非偶函数 8．函数且的图像必经过点（ ） 2． 填空题： 1． 已知是指数函数，且，则 2． 设，使不等式 成立的的集合是 3． （挑战）若方程有正数解，则实数的取值范围是 4． 函数的定义域为 5． 函数的单调递增区间为 三、解答题： 1.函数且在区间上的最大值比最小值大，求的值。 2．设，试确定的值，使为奇函数。 3．已知函数 （1）求函数的定义域； （2）讨论函数的奇偶性； （3）证明： 总结： 课堂收获: 关键点： 作业评价： ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$