专题21.11 实际问题与一元二次方程（知识梳理与题型分类讲解）基础知识专项突破讲与练-2025-2026学年九年级数学上册（人教版）

专题21.11 实际问题与一元二次方程（知识梳理与题型分类讲解） 一、【学习目标】 1.知识掌握：学会将实际问题转化为一元二次方程，熟练运用多种方法求解，并得出符合实际的答案；​2.能力培养：提升逻辑思维与数学建模能力，在解题过程中增强自主探索与合作交流能力； 3.情感塑造：感受数学实用性，激发学习兴趣，培养克服困难的意志与严谨学习态度. 二、【题型目录】 【题型一】传播问题...................................................................1 【题型二】增长率问题.................................................................1 【题型三】图形面积问题...............................................................2 【题型四】数字问题...................................................................3 【题型五】商品销售问题...............................................................4 【题型六】动点运动问题...............................................................5 【题型七】工程问题+行程问题..........................................................6 【题型八】握手+循环赛问题............................................................6 【题型九】解可化为一元二次方程的分式方程问题.........................................7 【题型十】其他问题...................................................................7 【题型一】传播问题 【知识储备1】传播问题：传染源+第一轮传染+第二轮传染=两轮传染总数； 【例题1】（24-25九年级上·辽宁大连·期中）某小区有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81个人患了流感． （1）每轮传染中平均一个人传染了几个人？ （2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后，累计患流感的人数能否超过800？ 【变式1】（24-25九年级上·云南昭通·期中）电脑病毒传播快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有台电脑被感染，若每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·辽宁鞍山·期中）年德尔塔（）是一种全球流行的新冠病毒变异毒株，其传染性极强．某地有人感染了德尔塔，因为没有及时隔离治疗，经过两轮传染后，一共有人感染了德尔塔病毒，那每轮传染中平均一个人传染了 个人；如果不及时控制，照这样的传染速度，经过三轮传染后，一共有 人感染德尔塔病毒． 【题型二】增长率问题 【知识储备2】增长（降低）率问题： 平均增长率公式；（起始量，是终止量，是平均增长率，增长次数） 平均降低率公式：（a起始量，b是终止量，x是平均降低率，n降低次数） 【例题2】（2025·四川泸州·中考真题）某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元． （1）求乙种商品每件进价的年平均下降率； （2）2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品． 【变式1】（2025·山西阳泉·二模）为了迎接清明小长假，某月季大观园准备分三个阶段扩大月季新品种种植面积，第一阶段已实现新品种的种植目标，三个阶段共实现的种植目标．设第二、三阶段月季新品种种植面积的平均增长率为，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是324万元．假设该公司2，3，4月每个月生产成本的下降率都相同．则每个月生产成本的下降率为 ；预测4月份该公司的生产成本为 万元． 【题型三】图形面积问题 【知识储备3】 1.依据图形的面积公式，结合题目中的等量关系列出一元二次方程； 2.若图形不规则，可通过割补法将其转化为规则图形，再根据规则图形面积之间的关系列方程； 3.求解方程，得到方程的解； 4.检验解的合理性，舍去不符合实际情况的解. 【例题3】（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）如图是一个用28米长的篱笆围成的矩形菜园，一边靠墙（墙长米），并在边上开一道米宽的门（门不使用篱笆），若设为x米． （1）的长为 米（用含x的代数式表示） （2）当菜园的面积为时，求的长 （3）菜园的面积能为吗？若能，求出的长，若不能，说明理由． 【变式1】（24-25八年级下·浙江杭州·期中）一份摄影作品【七寸照片（长7英寸，宽5英寸）】，现将照片贴在一张矩形衬纸的正中央，照片四周外露衬纸的宽度相同（如图），矩形衬纸的面积为照片面积的2倍，设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸，下面所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·安徽滁州·期中）如图，在长为32米、宽为12米的矩形地面上修建如图所示的道路（图中的阴影部分）余下部分铺设草坪，要使得草坪的面积为300平方米，则可列方程为 ． 【题型四】数字问题 【知识储备4】 数字问题：主要与数字与位数的关系；比如：两位数= 十位数字10+个位数字； 【例题4】（24-25九年级上·吉林松原·期中）《念奴娇·赤壁怀古》，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文朵风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝，欣赏下面改编的诗歌，“大江东去浪淘尽，千古风流数人物． 而立之年督东吴，早逝英年两位数． 十位恰小个位三，个位平方与寿符． ”请你求周瑜去世的年龄．（友情提示：周瑜去世的年龄大于二十七岁．） 【变式1】（24-25八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）已知相邻的两个偶数之积为360，若设较小的偶数为x，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·湖北恩施·期中）在年月的日历表上用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为，则这个最小数为 ． 【题型五】商品销售问题 【知识储备5】 商品销售问题：利润=售价-进价；售价=进价（1+利润率）；总利润=总售价-总成本=单件利润总销量等等 【例题5】（2025·辽宁葫芦岛·二模）商场出售某种商品，每件的进价为40元，经市场调查发现，平均日销售量（件）与每件售价（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示： 每件售价元 90 80 70 日销售量件 10 20 30 （1）求与之间的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围） （2）该商品日销售利润能否达到1000元？如果能，求出每件售价；如果不能，请说明理由． 【变式1】（2023九年级下·重庆北碚·学业考试）水果店花元进了一批水果，按的利润定价，无人购买，决定打折出售，但仍无人购买，结果又一次打折后才售完．经结算，这批水果共盈利元．若两次打折的折扣相同，设每次打折，根据题意，下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级下·重庆南岸·自主招生）某文具店销售一种每个进价是12元的口风琴．经调查发现，当每个口风琴的售价为20元时，平均每天能够售出8个；售价每降低0.5元，平均每天能多售出4个．现在，该文具店希望这种口风琴每天的销售利润为144元，并且要尽可能多地让利给消费者，那么每个口风琴的定价应该是 元． 【题型六】动点运动问题 【知识储备6】基本解题思路 1.分析运动过程：明确动点的起始位置、运动方向、运动速度以及运动的终止条件； 2.寻找等量关系：若动态图形是规则图形，直接用公式找等量关系列方程；若图形不规则，通过割补法将不规则图形转化为规则图形后再找关系； 3.建立方程求解：根据等量关系列出一元二次方程，求解方程后，要结合实际情况对解进行检验，舍去不符合题意的解. 【例题6】（24-25九年级上·江苏盐城·期末）在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒（）． （1）当为何值时，的长度等于？ （2）是否存在的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【变式1】（24-25八年级下·安徽安庆·阶段练习）如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿边向点匀速运动，同时另一点从点出发，以的速度沿射线匀速运动，当的面积为时，运动时间为（   ） A．5s B．20s C．5s或20s D．5s或10s 【变式2】（2025·广东深圳·二模）如图，是一条射线，，一只蚂蚁由点以的速度向点 爬行，同时另一只蚂蚁由点以的速度沿方向爬行，则经过 后，两只蚂蚁与点 组成的三角形的面积为． 【题型七】工程问题+行程问题 【知识储备7】基本解题思路 1. 行程问题核心公式 路程 = 速度 × 时间（基本公式，用于表示各量关系）。 2. 工程问题核心公式 工作量 = 工作效率 × 工作时间（基本公式，通常将总工作量设为 “1”）。 【例题7】（23-24九年级上·全国·单元测试）一辆汽车以30米/秒的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行30米后停车． （1）则在这段时间内的平均车速为多少？从刹车到停车用了多长时间？ （2）从刹车到停车平均每秒车速减少多少？ （3）汽车滑行20米时用了多长时间？ 【变式1】（22-23九年级上·湖北荆州·期中）《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，甲、乙各走了多少步？”请问乙走的步数是（    ） A．36 B．26 C．24 D．10 【变式2】（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）小新同学在《九章算术》“勾股”章中看到一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何．”他查阅资料了解到大意是说：已知甲、乙二人从同一地点同时出发，在单位时间内甲的速度为步，乙的速度为步．乙一直向东走，甲先向南走步，然后向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？小新同学通过计算，算出了甲走了 步． 【题型八】握手+循环赛问题 【知识储备8】基本解题思路 1. 确定问题类型，设参与对象数量为； 【例题8】（24-25九年级上·湖南永州·期中）年“奔跑吧·少年”道县青少年篮球赛正如火如荼的在道县文体公园体育馆进行，若初中组采用单循环赛制（每两个球队之间都要进行一场比赛），则共要比赛场．试求初中组共有多少支球队参加比赛． 【变式1】（2025·黑龙江佳木斯·二模）2024年法国巴黎奥运会，男子篮球比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，一共进行66场比赛，则参加比赛的队伍共有（    ） A．10支 B．11支 C．12支 D．8支 【变式2】（2025·吉林·二模）小川一家春节期间团圆相聚，他和兄弟姐妹们约定了互赠一份礼物，若他们一共赠送了90份礼物，则小川及兄弟姐妹一共多少人？若设小川及兄弟姐妹一共有人，则可列方程为 ． 【题型九】解可化为一元二次方程的分式方程问题 【知识储备8】通过 “转化思想” 将分式方程化为一元二次方程求解，核心在于熟练掌握去分母和换元技巧，并始终牢记验根的重要性，避免因增根导致错误。 【例题9】（24-25八年级下·上海嘉定·期末）解方程：． 【变式1】（2025·海南省直辖县级单位·一模）分式方程的解是（  ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·上海嘉定·期末）解方程时，可以设，那么原方程可转化为整式方程： ． 【题型十】其他问题 【例题10】（24-25九年级上·广西南宁·期中）社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为米的道路．已知铺花砖的面积为． （1）求道路的宽是多少米？ （2）该停车场共有车位个，据调查分析，当每个车位的月租金为元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨元，就会少租出个车位．当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为元？ 【变式1】（24-25八年级下·安徽安庆·期中）小明将一个100毫升的容器盛满纯酒精，第一次倒出一部分纯酒精后，再用水加满；第二次又倒出同样多的酒精溶液，若此时容器内剩下的纯酒精是81毫升，则小明每次倒出的体积是 毫升． 【变式2】（24-25九年级上·河北保定·期末）《九章算术》中有这样一道题：“今有二人同所立．甲行率六，乙行率四．乙东行，甲南行十步而邪东北与乙会．问：甲、乙行各几何？”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲走了多少步（   ） A．26 B．30 C．32 D．36 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题21.11 实际问题与一元二次方程（知识梳理与题型分类讲解） 一、【学习目标】 1.知识掌握：学会将实际问题转化为一元二次方程，熟练运用多种方法求解，并得出符合实际的答案；​2.能力培养：提升逻辑思维与数学建模能力，在解题过程中增强自主探索与合作交流能力； 3.情感塑造：感受数学实用性，激发学习兴趣，培养克服困难的意志与严谨学习态度. 二、【题型目录】 【题型一】传播问题....................................................................1 【题型二】增长率问题..................................................................3 【题型三】图形面积问题................................................................5 【题型四】数字问题....................................................................7 【题型五】商品销售问题................................................................9 【题型六】动点运动问题...............................................................10 【题型七】工程问题+行程问题..........................................................14 【题型八】握手+循环赛问题............................................................16 【题型九】解可化为一元二次方程的分式方程问题.........................................18 【题型十】其他问题...................................................................19 【题型一】传播问题 【知识储备1】传播问题：传染源+第一轮传染+第二轮传染=两轮传染总数； 【例题1】（24-25九年级上·辽宁大连·期中）某小区有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81个人患了流感． （1）每轮传染中平均一个人传染了几个人？ （2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后，累计患流感的人数能否超过800？ 【答案】（1）每轮传染中平均一个人传染8个人；（2）经过三轮传染后，累计患流感的人数不能超过800 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用： （1）设每轮传染中平均一个人传染x个人，根据两轮传染后共有81个人患了流感，列出方程进行求解即可； （2）用81加上第三轮传染的人数，求出总人数，进行判断即可． 解：（1）设每轮传染中平均一个人传染x个人．根据题意得， ， 解得（不合题意，舍去）． 答：每轮传染中平均一个人传染8个人； （2）人， ， ∴经过三轮传染后，累计患流感的人数不能超过800． 【变式1】（24-25九年级上·云南昭通·期中）电脑病毒传播快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有台电脑被感染，若每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，能够正确表示每轮感染中，有多少台电脑被感染是解决此题的关键． 首先设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑，则经过一轮感染，台电脑感染给了台电脑，这台电脑又感染给了台电脑．利用等量关系：经过两轮感染后就会有台电脑被感染得出即可． 解：设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑， 根据题意，得， 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·辽宁鞍山·期中）年德尔塔（）是一种全球流行的新冠病毒变异毒株，其传染性极强．某地有人感染了德尔塔，因为没有及时隔离治疗，经过两轮传染后，一共有人感染了德尔塔病毒，那每轮传染中平均一个人传染了 个人；如果不及时控制，照这样的传染速度，经过三轮传染后，一共有 人感染德尔塔病毒． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用传播问题． 设每轮传染中平均一个人可以传染个人，第一轮传染后共有个人被传染，则两轮传染后一共传染了人，根据两轮传染后共有人被传染，可列一元二次方程求解； 根据每轮传染中平均一个人传染了个人，则三轮传染后共有人被传染． 解：设每轮传染中平均一个人可以传染个人，第一轮传染后共有个人被传染， 则两轮传染后一共传染了人， 根据题意可得：， 解得：，（舍去）， 答：每轮传染中平均一个人传染了个人； 经过三轮传染后，一共可以传染的人数为（人）， 答：经过三轮传染后，一共可以传染的人数为人． 故答案为： ；． 【题型二】增长率问题 【知识储备2】增长（降低）率问题： 平均增长率公式；（起始量，是终止量，是平均增长率，增长次数） 平均降低率公式：（a起始量，b是终止量，x是平均降低率，n降低次数） 【例题2】（2025·四川泸州·中考真题）某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元． （1）求乙种商品每件进价的年平均下降率； （2）2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品． 【答案】（1）乙种商品每件进价的年平均下降率为；（2）最少购进甲种商品40件 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题的关键． （1）设乙种商品每件进价的年平均下降率为x，根据乙商品2022年的进价为125元，经过两次降价后，2024年的进价为80元列出方程求解即可； （2）设购进甲种商品m件，则购进乙种商品件，根据购买资金不超过7800元列出不等式求出m的取值范围即可得到答案． 解：（1）设乙种商品每件进价的年平均下降率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：乙种商品每件进价的年平均下降率为； （2）设购进甲种商品m件，则购进乙种商品件， 由题意得，， ∴， 解得， ∴m的最小值为40，即最少购进甲种商品40件， 答：最少购进甲种商品40件． 【变式1】（2025·山西阳泉·二模）为了迎接清明小长假，某月季大观园准备分三个阶段扩大月季新品种种植面积，第一阶段已实现新品种的种植目标，三个阶段共实现的种植目标．设第二、三阶段月季新品种种植面积的平均增长率为，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是理解平均增长率的意义． 第一阶段已实现的种植目标为，第二阶段需实现的种植目标为，第三阶段需实现的种植目标为，由此可解． 解：由题意得：第一阶段已实现的种植目标为， 第二阶段实现的种植目标为， 第三阶段实现的种植目标为， ∴三个阶段共实现的种植目标为， 故选：D． 【变式2】（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是324万元．假设该公司2，3，4月每个月生产成本的下降率都相同．则每个月生产成本的下降率为 ；预测4月份该公司的生产成本为 万元． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． 设每个月生产成本的下降率为x，根据1月份、3月份的生产成本，列出一元二次方程求解即可；直接根据增长率问题列出代数式计算即可． 解：设每个月生产成本的下降率为x， 根据题意得：， 解得：（不合题意，舍去）． 所以每个月生产成本的下降率为． 预测4月份该公司的生产成本为（万元）． 故答案为：，． 【题型三】图形面积问题 【知识储备3】 1.依据图形的面积公式，结合题目中的等量关系列出一元二次方程； 2.若图形不规则，可通过割补法将其转化为规则图形，再根据规则图形面积之间的关系列方程； 3.求解方程，得到方程的解； 4.检验解的合理性，舍去不符合实际情况的解. 【例题3】（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）如图是一个用28米长的篱笆围成的矩形菜园，一边靠墙（墙长米），并在边上开一道米宽的门（门不使用篱笆），若设为x米． （1）的长为 米（用含x的代数式表示） （2）当菜园的面积为时，求的长 （3）菜园的面积能为吗？若能，求出的长，若不能，说明理由． 【答案】（1）；（2）8米；（3）不能，理由见分析 【分析】本题考查了实际问题与一元二次方程： 与图形有关的问题（一元二次方程的应用），正确的理解题意是解题的关键． （1）因为设的长为米，则米，即可解答． （2）根据题意得到，解方程即可得到结论； （3）根据题意得到函数关系，根据判别式的情况，即可得到结论． 解：（1）设的长为米， ∵要建一个矩形仓库，一边靠墙（墙长），并在边上开一道宽的门，现在可用的材料为28米长的木板（全部使用完）， ∴米， 故答案为：； （2）根据题意得，， 解得：，， 当时，（不合题意舍去）， 当时，， ∴米； （3）解：根据题意得，， ∴ ∴ 则 该方程无实数解 ∴仓库的面积不能为． 【变式1】（24-25八年级下·浙江杭州·期中）一份摄影作品【七寸照片（长7英寸，宽5英寸）】，现将照片贴在一张矩形衬纸的正中央，照片四周外露衬纸的宽度相同（如图），矩形衬纸的面积为照片面积的2倍，设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸，下面所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意找到等量关系式解题的关键． 设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸，则矩形衬纸的长为英寸，宽为英寸，然后根据矩形衬纸的面积为照片面积的2倍列出方程即可． 解：设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸，则矩形衬纸的长为英寸，宽为英寸，由题意得 ， 故选：D． 【变式2】（24-25八年级下·安徽滁州·期中）如图，在长为32米、宽为12米的矩形地面上修建如图所示的道路（图中的阴影部分）余下部分铺设草坪，要使得草坪的面积为300平方米，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据平行四边形的面积计算公式及道路的铺设方式，可得出铺设草坪的面积等于长为米、宽米的矩形面积，结合草坪的面积为300平方米，即可得出关于的一元二次方程，此题得解，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 解：依题意，道路的宽为米， 铺设草坪的面积等于长为米、宽米的矩形面积． 草坪的面积为300平方米， ． 故答案为：． 【题型四】数字问题 【知识储备4】 数字问题：主要与数字与位数的关系；比如：两位数= 十位数字10+个位数字； 【例题4】（24-25九年级上·吉林松原·期中）《念奴娇·赤壁怀古》，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文朵风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝，欣赏下面改编的诗歌，“大江东去浪淘尽，千古风流数人物． 而立之年督东吴，早逝英年两位数． 十位恰小个位三，个位平方与寿符． ”请你求周瑜去世的年龄．（友情提示：周瑜去世的年龄大于二十七岁．） 【答案】周瑜去世时年龄为36岁 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据“十位恰小个位三，个位平方与寿符”以及十位数字个位数字个位数字的平方，据此列方程可得答案，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 解：设周瑜去世的年龄十位数字为，则个位数字为， 则根据题意：， 整理得：，解得，， 由题意，而立之年督东吴，则舍去， ∴周瑜去世的年龄为岁， 【变式1】（24-25八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）已知相邻的两个偶数之积为360，若设较小的偶数为x，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．设较小的偶数为x，根据“相邻的两个偶数之积为360”作为等量关系列出方程即可． 解：设较小的偶数为x， 由题意得，． 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·湖北恩施·期中）在年月的日历表上用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为，则这个最小数为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，熟悉日历表的特点，正确列出一元二次方程式解答的关键．根据日历表的特点，设最小的数为x，则最大的数为，根据题意列出一元二次方程，然后解方程即可． 解：设最小的数为x，则最大的数为，根据题意，得： ， 解得：（不符题意，舍去）， ∴这个最小数为． 故答案为：． 【题型五】商品销售问题 【知识储备5】 商品销售问题：利润=售价-进价；售价=进价（1+利润率）；总利润=总售价-总成本=单件利润总销量等等 【例题5】（2025·辽宁葫芦岛·二模）商场出售某种商品，每件的进价为40元，经市场调查发现，平均日销售量（件）与每件售价（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示： 每件售价元 90 80 70 日销售量件 10 20 30 （1）求与之间的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围） （2）该商品日销售利润能否达到1000元？如果能，求出每件售价；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）；（2）不能，理由见分析 【分析】本题考查一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程，根据判断式进行判断即可． 解：（1）解：设， 由题意，把，代入，得： ，解得：， ∴； （2）该商品日销售利润不能达到1000元，理由如下： 由题意，得：， 整理，得：， ∵， ∴一元二次方程没有实数根，故该商品日销售利润不能达到1000元． 【变式1】（2023九年级下·重庆北碚·学业考试）水果店花元进了一批水果，按的利润定价，无人购买，决定打折出售，但仍无人购买，结果又一次打折后才售完．经结算，这批水果共盈利元．若两次打折的折扣相同，设每次打折，根据题意，下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．利用连续两次打相同的折扣，即可得出关于的一元二次方程，即可得到答案． 解：根据题意得：， 故选：C． 【变式2】（24-25九年级下·重庆南岸·自主招生）某文具店销售一种每个进价是12元的口风琴．经调查发现，当每个口风琴的售价为20元时，平均每天能够售出8个；售价每降低0.5元，平均每天能多售出4个．现在，该文具店希望这种口风琴每天的销售利润为144元，并且要尽可能多地让利给消费者，那么每个口风琴的定价应该是 元． 【答案】 【分析】此题考查一元二次方程的实际运用，利用单利润销售的数量获得的利润列出方程解答即可． 解：设每个口风琴的定价应该是元， ， 解得：，， ∵尽可能多地让利给消费者， ∴， 故答案为：． 【题型六】动点运动问题 【知识储备6】基本解题思路 1.分析运动过程：明确动点的起始位置、运动方向、运动速度以及运动的终止条件； 2.寻找等量关系：若动态图形是规则图形，直接用公式找等量关系列方程；若图形不规则，通过割补法将不规则图形转化为规则图形后再找关系； 3.建立方程求解：根据等量关系列出一元二次方程，求解方程后，要结合实际情况对解进行检验，舍去不符合题意的解. 【例题6】（24-25九年级上·江苏盐城·期末）在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒（）． （1）当为何值时，的长度等于？ （2）是否存在的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、勾股定理，理解题意，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）由题意得,，则，再由勾股定理得出关于的一元二次方程，计算即可得解； （2）根据题意得出关于的一元二次方程，计算即可得解． 解：（1）由题意得：,，则， 由勾股定理可得：，即， 解得：（不符合题意，舍去），； 当秒时，的长度等于； （2）存在秒，能够使得五边形的面积等于．理由如下： 由题意可得：矩形的面积是：，， ∵使得五边形的面积等于， ∴的面积为， ∴， 解得：，， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 即当秒时，使得五边形的面积等于． 【变式1】（24-25八年级下·安徽安庆·阶段练习）如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿边向点匀速运动，同时另一点从点出发，以的速度沿射线匀速运动，当的面积为时，运动时间为（   ） A．5s B．20s C．5s或20s D．5s或10s 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的应用，三角形的面积公式等知识，解题的关键是把问题转化为方程，属于基础题，中考常考题型． 根据三角形的面积公式列出方程即可解决问题． 解：设运动时间为t秒，则有，， ， ， ， 解得或5， 或时，的面积为． 故选：D． 【变式2】（2025·广东深圳·二模）如图，是一条射线，，一只蚂蚁由点以的速度向点 爬行，同时另一只蚂蚁由点以的速度沿方向爬行，则经过 后，两只蚂蚁与点 组成的三角形的面积为． 【答案】10或15或30 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，培养了学生的抽象思维能力，使学生学会用运动的观点来观察事物，解题的关键是分两种情况进行讨论． 分两种情况进行讨论： （1）当第一只蚂蚁在上运动时，列方程进行求解即可； （2）当蚂蚁在上运动，根据三角形的面积公式即可列方程求解． 解： 设后两只蚂蚁与点组成的三角形面积为 有两种情况： （1）如图 1，当第一只蚂蚁在上运动时，由题意得 ， 整理得， 解得，． （2）如图 2，当第一只蚂蚁在上运动时，由题意得 ， 整理得， 解得，（舍去）． 综上所述，在后，两只蚂蚁与点组成的三角形的面积均为． 【题型七】工程问题+行程问题 【知识储备7】基本解题思路 1. 行程问题核心公式 路程 = 速度 × 时间（基本公式，用于表示各量关系）。 2. 工程问题核心公式 工作量 = 工作效率 × 工作时间（基本公式，通常将总工作量设为 “1”）。 【例题7】（23-24九年级上·全国·单元测试）一辆汽车以30米/秒的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行30米后停车． （1）则在这段时间内的平均车速为多少？从刹车到停车用了多长时间？ （2）从刹车到停车平均每秒车速减少多少？ （3）汽车滑行20米时用了多长时间？ 【答案】（1）15米/秒；2秒；（2）15米/秒；（3）秒 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意正确列出式子． （1）由题意可得从刹车到停车所滑行了30米，根据题意可求出平均车速，继而可求得时间； （2）汽车从刹车到停车，车速从30米/秒减少到0，由（1）可得车速减少共用了2秒，平均每秒车速减少量总共减少的车速时间，由此可求得答案； （3）设刹车后汽车滑行到20米时约用了秒，这时车速为米/秒，，继而可表示出这段路程内的平均车速，根据“路程平均速度时间”列方程并求解，即可获得答案． 解：（1）解：根据题意，该辆汽车以30米/秒的速度行驶，从刹车到停车所滑行了30米， 则在这段时间内的平均车速为米/秒； 从刹车到停车所用的时间是秒； （2）从刹车到停车车速的减少值是， 从刹车到停车每秒平均车速减少值是米/秒； （3）设刹车后汽车滑行到20米时约用了秒，这时车速为米/秒， 则这段路程内的平均车速为米/秒， 所以， 整理，得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：刹车后汽车行驶到20米时用了秒． 【变式1】（22-23九年级上·湖北荆州·期中）《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，甲、乙各走了多少步？”请问乙走的步数是（    ） A．36 B．26 C．24 D．10 【答案】C 【分析】设甲、乙两人相遇的时间为t，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步，利用勾股定理即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出t值，将其值代入中即可求出结论． 解：设甲、乙两人相遇的时间为t，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， ∴． 故乙走的步数是． 故选：C． 【点拨】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式2】（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）小新同学在《九章算术》“勾股”章中看到一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何．”他查阅资料了解到大意是说：已知甲、乙二人从同一地点同时出发，在单位时间内甲的速度为步，乙的速度为步．乙一直向东走，甲先向南走步，然后向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？小新同学通过计算，算出了甲走了 步． 【答案】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，列代数式、勾股定理等知识点，由题意可得甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形，设甲走了步，则甲斜向北偏东方向走了步，乙向东走了步，然后根据勾股定理列出方程即可．由题意得到甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形是解题的关键． 解：如图，甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形， 设甲走了步，则甲斜向北偏东方向走了步，乙向东走了步， 即：，，， 根据题意可得：， 即：， 解得：，（舍去）， 答：甲走了步． 故答案为：． 【题型八】握手+循环赛问题 【知识储备8】基本解题思路 1. 确定问题类型，设参与对象数量为； 【例题8】（24-25九年级上·湖南永州·期中）年“奔跑吧·少年”道县青少年篮球赛正如火如荼的在道县文体公园体育馆进行，若初中组采用单循环赛制（每两个球队之间都要进行一场比赛），则共要比赛场．试求初中组共有多少支球队参加比赛． 【答案】初中组共有支球队参加比赛． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设初中组有支球队参赛，利用比赛总场数参赛球队数参赛球队数，即可得到关于的一元二次方程，解方程即可． 解：设有支球队参赛，则每个队参加场比赛， 则共有场比赛， 由题意得， 整理得： 即 解得：或（舍去） 答：初中组共有支球队参加比赛． 【变式1】（2025·黑龙江佳木斯·二模）2024年法国巴黎奥运会，男子篮球比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，一共进行66场比赛，则参加比赛的队伍共有（    ） A．10支 B．11支 C．12支 D．8支 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设参加比赛的队伍共有x支，则每支队伍都要与其他支队伍比赛一场，且相同两支队伍之间的比赛只算一场，据此建立方程求解即可． 解：解；设参加比赛的队伍共有x支， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， ∴参加比赛的队伍共有12支， 故选：C． 【变式2】（2025·吉林·二模）小川一家春节期间团圆相聚，他和兄弟姐妹们约定了互赠一份礼物，若他们一共赠送了90份礼物，则小川及兄弟姐妹一共多少人？若设小川及兄弟姐妹一共有人，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，设小川及兄弟姐妹一共有人，则每人需赠送出份礼物，即可得出关于x的一元二次方程． 解：由题意可得， ， 故答案为：． 【题型九】解可化为一元二次方程的分式方程问题 【知识储备8】通过 “转化思想” 将分式方程化为一元二次方程求解，核心在于熟练掌握去分母和换元技巧，并始终牢记验根的重要性，避免因增根导致错误。 【例题9】（24-25八年级下·上海嘉定·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题关键．先方程两边同乘以可得，再利用因式分解法解一元二次方程，然后进行检验即可得． 解：， 方程两边同乘以，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 因式分解，得， 所以或， 解得或， 经检验，不是分式方程的解；是分式方程的解， 所以方程的解为． 【变式1】（2025·海南省直辖县级单位·一模）分式方程的解是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解分式方程，直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．利用去分母将方程化为整式方程，解得的值后进行检验即可． 解：， 去分母得：， 解得：， 检验：当时，， 当时，，则是原方程的增根，原方程的解为， 故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·上海嘉定·期末）解方程时，可以设，那么原方程可转化为整式方程： ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题关键．将代入方程可得，再方程两边同乘以即可得． 解：解方程时，可以设， 则， 方程两边同乘以，得， 则， 故答案为：． 【题型十】其他问题 【例题10】（24-25九年级上·广西南宁·期中）社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为米的道路．已知铺花砖的面积为． （1）求道路的宽是多少米？ （2）该停车场共有车位个，据调查分析，当每个车位的月租金为元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨元，就会少租出个车位．当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为元？ 【答案】（1）道路的宽为米；（2）每个车位的月租金上涨或元时，停车场的月租金收入为元． 【分析】 （）由道路的宽为米，根据题意得，然后解方程并检验即可； （）设月租金上涨元， 根据题意得，然后解方程即可； 本题考查了一元二次方程的应用，找到等量关系列出方程是解题的关键． （1）解：根据道路的宽为米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（舍去），， 答：道路的宽为米； （2）解：设月租金上涨元，停车场月租金收入为元， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 答：每个车位的月租金上涨或元时，停车场的月租金收入为元． 【变式1】（24-25八年级下·安徽安庆·期中）小明将一个100毫升的容器盛满纯酒精，第一次倒出一部分纯酒精后，再用水加满；第二次又倒出同样多的酒精溶液，若此时容器内剩下的纯酒精是81毫升，则小明每次倒出的体积是 毫升． 【答案】10 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确的列出一元二次方程是解题的关键．设每次倒出液体为x升，则可计算出第一次倒出再加满水的溶液浓度，再根据第二次倒完后，剩下的纯酒精是81升，列出一个一元二次方程即可求解． 解：设每次倒出液体为x毫升， 则第一次倒出再加满水的酒精溶液浓度为 ， 由题意可得： ， 整理可得： ， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴每次倒出的液体是10升． 故答案为：10． 【变式2】（24-25九年级上·河北保定·期末）《九章算术》中有这样一道题：“今有二人同所立．甲行率六，乙行率四．乙东行，甲南行十步而邪东北与乙会．问：甲、乙行各几何？”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲走了多少步（   ） A．26 B．30 C．32 D．36 【答案】D 【分析】本题考查了方向角，设甲、乙的时间都是x，则，，再由勾股定理计算即可得出答案． 解：如图，表示正东方向，表示正南方向， ∴， 设甲、乙的时间都是x，则，， 又∵， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴（舍去），， ∴甲走的路程为（步）， 故选：D． 1 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