精品解析：浙江省嘉兴市2024-2025学年高二下学期期末测试数学试题

嘉兴市2024～2025学年第二学期期末检测 高二数学试题卷 （2025.6） 本试题卷共6页，满分150分，考试时间120分钟. 考生注意： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置. 2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸上的相应位置规范作答，在本试题卷上的作答一律无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合B，然后进行交集的运算即可得解. 【详解】因为集合，集合， 所以. 故选：D. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. 的虚部为 D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用复数的除法求复数，进而依次判断各项的正误. 【详解】由题设，B选项错误； ，A选项正确； z的虚部为，C选项错误； 又，则，D选项错误. 故选：A 3. 命题“，函数是奇函数”的否定是（ ） A. ，函数是偶函数 B. ，函数不是奇函数 C. ，函数是偶函数 D. ，函数不是奇函数 【答案】B 【解析】 【分析】根据含有一个量词的命题的否定的定义，可得结果. 【详解】“，函数是奇函数”的否定是： “，函数不是奇函数”. 故选：B. 4. 已知变量的统计数据如下表： 0 1 2 3 4 10 15 20 30 35 分析表中的数据，发现与之间具有线性相关关系，计算得经验回归直线方程为，据此模型预测：当时，的值为（ ） A. 71.5 B. 72 C. 73.5 D. 74 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知求出样本中心，再由样本中心在回归直线上求参数，进而求估计值. 【详解】由数据得，， 所以，可得，故， 所以，则. 故选：D 5. 已知非零向量满足，则（ ） A 同向 B. 同向 C. 同向 D. 两两不共线 【答案】B 【解析】 【分析】将两边平方可得，，即，同向. 【详解】因为， 所以， 因为， 所以， 所以，又， 所以，即，所以， 所以， 所以与同向. 故选：B. 6. 某校举行定点投篮比赛，比赛规则如下：每个班级需派出一位同学参加比赛，最多有10次投篮机会，投中得一分，未投中扣一分，放弃投篮得零分．高二（1）班派出甲同学参加投篮比赛，已知甲先投篮6次且均投中，接下去他每次投篮的命中率都为，为了使最终得分不低于7分的概率最大，则该同学继续投篮的次数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据不同的投篮次数，计算甲继续投篮最终得分不低于7分的概率，并比较大小即可得解. 【详解】因为甲先投篮6次均投中，即已得6分，接下来的4次投篮，若要使最终得分不低于7分，则至少得1分，甲继续投篮最终得分不低于7分的情况如下： ①仅投篮1次并投中：， ②投篮2次均投中：， ③投篮3次均投中或仅投中2次：， ④投篮4次均投中或仅投中3次：， 显然甲同学继续投篮3次，得分不低于7分的概率最大. 故选：C. 7. 已知函数，则（ ） A. 当时，在上单调递减 B. 当时，在处取到极小值 C. 当时，在上单调递增 D. 当时，在处取到极小值 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，对函数求导，即可求得函数在上的单调性；对于B，由即可判断；对于C，对函数求导，即可求得函数在上的单调性；对于D，根据函数的导数在附近的符号变化以及即可判断. 【详解】当时，，， 因为， 令，， 因为， 所以在单调递增， 又因为，， 所以，使， 所以，使， 所以在单调递减，单调递增， 对于A，在单调递减，单调递增，故A错误； 对于B，，所以不是的极值点，故B错误； 当时，，， 因为， 令，， 因为， 所以在单调递增， 因，， 所以存在，使， 对于C，当时，， 而时，，时，， 所以时，，时，， 所以在单调递增，单调递减，故C错误； 对于D，因为， 当时，，， 所以， 当时，，， 所以， 所以在处取得极小值，故D正确； 故选：D. 8. 已知为函数和图象三个连续交点，若的面积为，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方法一：根据可得，不妨设，则可得连续三个交点的坐标，再根据点到线的距离公式及三角形的面积公式求解即可;方法二：分析图象①可知，，且轴，，点到的距离为，根据的面积为，求得，再分类讨论当或时，求出对应的即可. 【详解】方法一：因为， 所以， 所以， 因为为连续三个交点，故不妨设， 此时， 即， 所以，点到的距离， 所以， 所以， 解得 所以 所以时，符合题意 方法二：如图①所示，分析图象可知，，且轴，， 点到的距离为， 因为的面积为， 所以， 所以． ①当时，如图②所示，图象由图象向右平移了个单位，故； ②当时，如图③所示，图象由图象向右平移了个单位，故． 综上，或． 故选：C． 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了三角函数图象的交点、三角形面积计算以及方程的求解.本题解题的关键在于找到两个正弦函数的交点，并利用三角形面积公式建立方程求解参数值. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在的展开式中，若所有项的二项式系数和为64，则（ ） A. B. 展开式中的常数项为240 C. 展开式中的第3项和第4项的二项式系数相等 D. 展开式中的各项系数之和为1 【答案】ABD 【解析】 【分析】由二项式系数和为64计算可判断A；求得通项公式，令，解得，代入计算可判断B；结合通项公式计算可判断C；令，代入计算可判断D. 【详解】对于A，由二项式系数和为64得，解得，故A正确； 对于B，展开式通项为， 令，得，即常数项为，故B正确； 对于C，第3项二项式系数为，第4项的二项式系数为， 所以展开式中的第3项和第4项的二项式系数不相等，故C错误； 对于D，令得，故D正确. 故选：ABD 10. 已知随机变量，定义函数，即表示随机变量的概率，则（ ） A. 函数在定义域上单调递减 B. C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数的图象关于点中心对称 【答案】BD 【解析】 【分析】由正态分布可函数定义域上单调递增，判断A；由正态分布的性质可判断B；判断是否成立可判断C；证明可判断D. 【详解】根据正态分布的性质，函数定义域上单调递增，A错误； 因为随机变量， 则，B正确； 若函数的图象关于直线对称， 则，而， 只有当时才成立，C错误； 若的图象关于点中心对称，则， 因为服从正态分布，所以关于对称， 所以， 则， 故D正确. 故选：BD 11. 若函数与的图象有且只有一个公共点，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时，可取任意实数 D. 当时，的最大值为e 【答案】ACD 【解析】 【分析】在同一平面直角坐标系下画出函数与的图象，由图易判断选项AC；当时，易知在处的切线方程为，此时函数与的图象有且只有一个公共点，且，即可判断选项B； 当时，与相切，设切点为，则，则，则.令，求导研究函数的单调性即可判断选项D. 【详解】在同一平面直角坐标系下画出函数与的图象. 由图易知选项AC正确； 当时，易知在处的切线方程为， 此时函数与的图象有且只有一个公共点，且，故选项B错误； 对于D选项，当时，与相切，设切点为，则，则，则，则. 令，则，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，即的最大值为e. 另解：，即与相切时，已知求的最大值，由图象可知，与相切于点时，最大，即的最大值为e. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设随机变量的分布列为，则实数______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据概率之和为1得到方程，求出答案. 【详解】，即， 解得. 故答案为：1 13. 某班级需要从甲、乙、丙三人中选出语文、数学、英语三门科目的课代表，要求每门科目需要一位课代表，且每人最多能担任两门科目的课代表，则一共有______种不同的选法．（用数字作答） 【答案】24 【解析】 【分析】第一种情况，甲、乙、丙三位同学都有安排时，利用分步乘法计数原理可求不同的安排方案种数；第二种情况，甲、乙、丙三位同学中只有两人被安排时，利用分步乘法计数原理可求不同的安排方案种数，从而可求总的方案数. 【详解】第一种情况，甲、乙、丙三位同学都有安排，则有种; 第二种情况，甲、乙、丙三位同学中只有两人被安排时， 先选两人出来，有种， 再将三门不同科目分为两组，有种情况， 再将科目分给学生有种， 所以不同的安排方案有种， 综上，不同的安排方案共有种. 故答案为：. 14. 棱长为2的正方体中，球与棱均相切，且与侧面也相切，则球的半径为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方体的几何性质确定球心位置并作图，根据相切的性质以及相似三角形，建立方程，可得答案. 【详解】由对称性可知，球心在立方体对角线上． 过作，可知平面， 故球与平面相切于点，所以为球的半径； 过作，故球与相切于点，所以为圆的半径． 因为中，，易知， 所以，即，解得． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在点处的切线与轴平行． （1）求的值； （2）求函数的单调区间和极值． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）由函数在处的切线与轴平行，则根据求解即可； （2）利用导数分析函数的单调性并求解极值即可. 【小问1详解】 由题意，函数的定义域为， 则， 因为函数在处的切线与轴平行， 所以， 解得． 【小问2详解】 函数的定义域为 且， 当时，； 当时，， 所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为． 所以当时，函数取到极大值， 当时，函数取到极小值． 16. 已知的角，，所对的边分别为，，，且. （1）若，求外接圆的半径； （2）设的面积为，若，求角的大小. 【答案】（1）1 （2）或 【解析】 【分析】（1）在中，根据题中条件及正弦定理可得，由余弦定理可求，进而利用正弦定理即可求解； （2）解法1：根据面积公式及正弦定理整理可得，即，利用两角和的正弦公式、二倍角公式及辅助角公式可化简为.结合的范围即可求解； 解法2：根据面积公式及正弦定理整理可得，根据三角形内角和关系、诱导公式及两角和的余弦公式可求得，从而得.结合，的范围即可求解； 解法3：根据面积公式及正弦定理整理可得，根据积化和差公式可得.结合，可解得的值，结合，的范围即可求解. 【小问1详解】 在中，∵， ∴由正弦定理可得，即， ∴由余弦定理可得. ∵，∴，∴，∴外接圆的半径为1. 【小问2详解】 （2）解法1：由（1）知. ∵，∴由正弦定理可得， 即，∴， ∴， 即，即. ∵，∴，∴或，∴或. 解法2：由（1）知. ∵，∴由正弦定理可得，即. ∵，得， ∴. ∵，∴，∴或. 又，联立解得或. 解法3：由（1）知. ∵，∴由正弦定理可得， 即，即. ∵，∴，∴. ∵，∴，∴或. 又，联立解得或. 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面是平行四边形，，，，点满足，点是线段的中点． （1）证明：平面； （2）若二面角的大小为时，求四棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求得，根据勾股定理证得，再根据面面垂直的性质即可证明平面 （2）方法：建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法结合已知条件求得二面角平面角的表达式，得到关于的方程，解出即可确定四棱锥的高进而求得四棱锥体积；方法：建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法结合已知条件求得二面角平面角的表达式，得到关于的方程，解出即可确定四棱锥的高进而求得四棱锥体积；方法：根据已知条件，利用空间中线线、线面的平行垂直关系，求得四棱锥的高，从而求得四棱锥体积. 【小问1详解】 连结，在中，，，， 由余弦定理，即， 此时，， 又平面平面，平面平面， 平面，平面． 【小问2详解】 解法1：如图建系， 以为原点，，方向为轴，垂直于平面向上方向为轴， 设，则， ，由得，即， 由，得，， 设是平面的法向量， ， 取，得， 平面的法向量为，二面角的大小为， 则，解得， ， ． 解法2：过点作，交的延长线于，连接， 平面平面，平面平面， 平面，平面， ，，， 平面，平面，又， 平面，平面，， 如图所示，以方向为轴，垂直于平面方向为轴建系， 设， 则，， ，，得，， 由，得， 设是平面的法向量， ， 取，得， 平面的法向量为，二面角的大小为， 则，解得， ， ． 解法3：过点作，交的延长线于，连接， ，，， 平面，平面，又， 平面，平面，， 由平面平面，平面平面，平面， 平面， 因为，所以为线段上靠近点三等分点， 设线段上靠近点的三等分点为，连，， 则，平面，平面，所以， 在中，，，， 四边形是矩形，， 在中，，，， 因为，即， 解得：，所以，所以， 平面，平面，， 平面，平面，， 是二面角的平面角的补角，即， 为等腰直角三角形 ，，从而， ， ． 18. 某工厂生产甲、乙两种产品，为了检测产品质量，现从两种产品中抽取300件产品作为样本进行检测，检测结果如下表： 样品 一等品 二等品 三等品 甲产品 60 30 10 乙产品 100 80 20 （1）依据小概率值的独立性检验，分析产品为一等品与产品种类是否有关？ （2）根据样本估计总体，频率估计概率，现等可能地从甲、乙两种产品中抽取产品. （i）若抽取1件产品，已知该产品是一等品，求它是甲产品的概率； （ii）若抽取3件产品，求抽到一等品的件数的数学期望. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）无关 （2）（i）（ii） 【解析】 【分析】（1）根据题中数据列出列联表，利用小概率值的独立性检验即可求解； （2）（i）设事件表示抽一件产品时抽到一等品，事件表示抽一件产品时抽到甲产品，根据全概率公式可求得，利用乘法公式可求得，再利用条件概率公式即可求解； （ii）由（i）知，，根据二项分布均值公式即可求解. 【小问1详解】 （1）由题列出列联表如下表所示： 一等品 非一等品 总计 甲产品 60 40 100 乙产品 100 100 200 总计 160 140 300 零假设：产品为一等品与产品种类无关联. 则. 根据小概率值的独立性检验，没有充足的证据推断不成立，所以认为产品为一等品与产品种类无关. 【小问2详解】 （2）（i）设事件表示抽一件产品时抽到一等品，事件表示抽一件产品时抽到甲产品，则，， 所以. （ii）由（i）知，则，所以. 19. 设是两个非空数集，函数的定义域为，若对任意，当时，，则称为函数． （1）设是函数，求实数的取值范围； （2）设是函数，当时，，求在上的值域； （3）设是函数，证明：是函数． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据集合的范围，设，由即可求解； （2）确定函数的最小正周期，通过导数判断函数单调性,计算在上的值域即可求解； （3）根据函数的定义，结合题目条件可得，由此可证明结论. 【小问1详解】 依题意，若，则， 即恒成立， ，． 【小问2详解】 依题意，，则， 是周期为1的函数， 在上的值域等价于在上的值域． 令， 当时，， 由得，故在上单调递减. 令，解得， 当时，单调递增；当时，单调递减， ， 在上的值域为． 【小问3详解】 证法1：是函数，其中， 当时，，即， 又， ，即． 如果，则， 由于，故，矛盾！ ， 从而， 是函数． 证法2：是函数，其中， 当时，，即， 由得， 又， ，当且仅当时成立， ， 是函数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 嘉兴市2024～2025学年第二学期期末检测 高二数学试题卷 （2025.6） 本试题卷共6页，满分150分，考试时间120分钟. 考生注意： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置. 2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸上的相应位置规范作答，在本试题卷上的作答一律无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. 的虚部为 D. 3. 命题“，函数是奇函数”的否定是（ ） A. ，函数是偶函数 B. ，函数不是奇函数 C. ，函数是偶函数 D. ，函数不奇函数 4. 已知变量的统计数据如下表： 0 1 2 3 4 10 15 20 30 35 分析表中的数据，发现与之间具有线性相关关系，计算得经验回归直线方程为，据此模型预测：当时，的值为（ ） A. 71.5 B. 72 C. 73.5 D. 74 5. 已知非零向量满足，则（ ） A. 同向 B. 同向 C. 同向 D. 两两不共线 6. 某校举行定点投篮比赛，比赛规则如下：每个班级需派出一位同学参加比赛，最多有10次投篮机会，投中得一分，未投中扣一分，放弃投篮得零分．高二（1）班派出甲同学参加投篮比赛，已知甲先投篮6次且均投中，接下去他每次投篮的命中率都为，为了使最终得分不低于7分的概率最大，则该同学继续投篮的次数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知函数，则（ ） A. 当时，在上单调递减 B. 当时，在处取到极小值 C. 当时，在上单调递增 D. 当时，在处取到极小值 8. 已知为函数和图象的三个连续交点，若的面积为，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在的展开式中，若所有项的二项式系数和为64，则（ ） A B. 展开式中的常数项为240 C. 展开式中的第3项和第4项的二项式系数相等 D. 展开式中的各项系数之和为1 10. 已知随机变量，定义函数，即表示随机变量的概率，则（ ） A. 函数在定义域上单调递减 B. C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数的图象关于点中心对称 11. 若函数与的图象有且只有一个公共点，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时，可取任意实数 D. 当时，的最大值为e 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设随机变量的分布列为，则实数______． 13. 某班级需要从甲、乙、丙三人中选出语文、数学、英语三门科目的课代表，要求每门科目需要一位课代表，且每人最多能担任两门科目的课代表，则一共有______种不同的选法．（用数字作答） 14. 棱长为2的正方体中，球与棱均相切，且与侧面也相切，则球的半径为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在点处的切线与轴平行． （1）求的值； （2）求函数的单调区间和极值． 16. 已知的角，，所对的边分别为，，，且. （1）若，求外接圆的半径； （2）设的面积为，若，求角的大小. 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面是平行四边形，，，，点满足，点是线段中点． （1）证明：平面； （2）若二面角的大小为时，求四棱锥的体积． 18. 某工厂生产甲、乙两种产品，为了检测产品质量，现从两种产品中抽取300件产品作为样本进行检测，检测结果如下表： 样品 一等品 二等品 三等品 甲产品 60 30 10 乙产品 100 80 20 （1）依据小概率值的独立性检验，分析产品为一等品与产品种类是否有关？ （2）根据样本估计总体，频率估计概率，现等可能地从甲、乙两种产品中抽取产品. （i）若抽取1件产品，已知该产品是一等品，求它是甲产品的概率； （ii）若抽取3件产品，求抽到一等品的件数的数学期望. 附：，其中. 0.1 005 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 19. 设是两个非空数集，函数的定义域为，若对任意，当时，，则称为函数． （1）设是函数，求实数的取值范围； （2）设是函数，当时，，求在上值域； （3）设是函数，证明：是函数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$