第11讲 整式的规律探究（4个模块3个考点）暑假预习讲义2025-2026学年七年级上册数学（浙教版2024）

第11讲 整式的规律探究 模块导航 模块一 与数有关的规律 模块二 与式有关的规律 模块三 与图形排列有关的规律 模块四 课后作业 模块一 与数有关的规律 考点专训 【例1】观察下列各算式:,,,,,…通过观察,用你所发现的规律确定的个位数字是 . 【练习1】填在下面各方框中的三个数之间都具有相同的规律,根据图中数字的规律, . 【练习2】一个小朋友按如图所示的规则练习数数,若他能准确数到2025,则此时对应的手指是(图中各手指的名称从上到下依次为大拇指、食指、中指、无名指、小指)( ) A.大拇指 B.食指 C.中指 D.小指 【练习3】正整数按下图的规律排列.则第10行,第11列的数是( ) A.109 B.110 C.111 D.112 【练习4】符号“f”表示一种运算,它对一些数的运算结果如下: (1); (2). 利用以上规律计算: )等于( ) A.2021 B.2022 C. D. 模块二 与式有关的规律 考点专训 【例1】按一定规律排列的单项式:x,,,,,…,第n个单项式是( ) A. B. C. D. 【例2】按一定规律排列的多项式:,,,,,…,则第个多项式为( ) A. B. C. D. 【变式1-1】按一定规律排列的单项式:,,,,,….则第个单项式是( ) A. B. C. D. 【变式2-1】按一定规律排列的多项式:,…,第n个多项式是( ) A. B. C. D. 【变式】已知整数浦足下列条件:,,以此类推,则值为 . 模块三 与图形排列有关的规律 考点专训 【例1】如图是一组有规律的图案,第1个图案中有4个基础图形,第2个图案中有7个基础图形,第12个图案中的基础图形个数为( ) A.35 B.36 C.37 D.38 【练习1】用正方形按如图所示的规律拼图案,其中图案①中有5个正方形,图案②中有9个正方形,图案③中有个正方形,图案④中有个正方形,…,按此规律排列下去,若图案ⓝ中有个正方形,则的值为( ) A. B. C. D. 【练习2】【观察思考】 【规律发现】则第个图案中“”的个数可表示为( ) A. B. C. D. 【练习3】观察下列图形: 它们是按一定规律排列的,依照此规律,第18个图形中共有 个 . 【练习4】化学中有一类仅由碳和氢组成的有机化合物,称为碳氢化合物.如图,这是一类特殊碳氢化合物的球棍模型,其中黑球是碳原子(记作),白球是氢原子(记作),碳原子之间都由单键结合,这类特殊的碳氢化合物统称为烷烃.烷烃依据碳原子数量进行命名,为了方便记忆,前十个以天干(甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸)来代表碳原子的数量.如:第2个模型中有2个和6个,分子式是,简称为乙烷.按照图示规律,回答下列问题. (1)壬烷的分子式是_,第个结构式的分子式是_; (2)请问分子式为的化合物是否属于上述的烷烃,并说明理由. 模块四 课后作业 1.按一定规律排列的单项式:,…,第n个单项式是( ) A. B. C. D. 2.按一定规律排列的多项式:…,则第n个多项式是 (用含a、b、n的式子表示). 3.一组按规律排列的式子:,则第2025个式子是 . 4.如图,“杨辉三角”是我国古代奉献给人类伟大的数学遗产之一,从下列图中取一列数1,3,6,10,…,记着,若(n为正整数),则n的值为 . 5.一些大小相同的“”按如图所示的规律摆放:第①个图形有2个,第②个图形有6个,第③个图形有10个,第④个图形有14个,…,依此规律,第⑩个图形有 个. 6.用小棒按照如图方式摆图形. (1)摆1个八边形需要8根小棒,摆2个八边形需要( )根小棒,摆20个八边形需要( )根小棒.如果想摆a个八边形,那么需要( )根小棒. (2)有2024根小棒,最多可以摆( )个完整的八边形. 7.将连续的奇数1,3,5,7,9,…排成如图所示的数表. (1)这个十字框中五个数的和为 . (2)设中间数为a,用代数式表示十字框中五个数之和为 . (3)若将十字框上下左右移动,可框住另外五个数,这五个数还有上述的规律吗? (4)十字框中的五个数之和能为2025吗?这五个数之和能为2045吗? 8.阅读材料,求值:. 解:将等式两边同时乘以2得: 将②式减去①式得:, 即. (1)请你仿照此法计算: ; (2)求的值; (3)求的值. 9.观察下列算式: 按规律填空: (1) ; (2) ; (3) ; (4)根据以上规律计算. 10.观察下列三行数,并完成后面的问题: ①,4,,16,,; ②1,,4,,16,; ③0,,3,,15,; 取每一行的第个数,依次记为. (1)当时,请依次写出的值; (2)当时,计算的值. 学科网(北京)股份有限公司 $$ 第11讲 整式的规律探究 模块导航 · 模块一 与数有关的规律 · 模块二 与式有关的规律 · 模块三 与图形排列有关的规律 · 模块四 课后作业 模块一 与数有关的规律 考点专训 【例1】观察下列各算式：，，，，，…通过观察，用你所发现的规律确定的个位数字是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字的变化规律，能够通过所给条件，探索出数的规律是解题的关键．通过观察可知每4次运算的尾数循环一次，则的个位数字与的个位数字相同，即可求解． 【详解】解：由题意可知，，，，，，的个位数字，每4个是一组循环， ∵， ∴的个位数字与的个位数字相同， ∴的个位数字是， 故答案为：． 【练习1】填在下面各方框中的三个数之间都具有相同的规律，根据图中数字的规律， ．    【答案】 【分析】本题考查数字规律题，解题的关键是找出其中的规律：，． 结合表格找出其中的规律，求出，，再计算即可． 【详解】解：由表可得： ，； ，； ，； ∴，； ∴． 故答案为：． 【练习2】一个小朋友按如图所示的规则练习数数，若他能准确数到2025，则此时对应的手指是（图中各手指的名称从上到下依次为大拇指、食指、中指、无名指、小指）（    ） A．大拇指 B．食指 C．中指 D．小指 【答案】A 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，根据所给图形，发现各数与手指之间的对应关系即可解决问题．能根据所给规则发现从数字1开始，它们依次与：大拇指，食指，中指，无名指，小指，无名指，中指，食指对应是解题的关键． 【详解】解：由所给图形可知， 从数字1开始，它们依次与：大拇指，食指，中指，无名指，小指，无名指，中指，食指对应， 除第一轮是五个手指一轮外，后面都是四个手指一轮， 因为， 所以数到2025刚好是506轮，为偶数轮， 则2025对应的是大拇指． 故选：A． 【练习3】正整数按下图的规律排列．则第10行，第11列的数是（   ） A．109 B．110 C．111 D．112 【答案】B 【分析】此题考查了数字的变化规律，通过观察所给的数，探索出每行第一个数的规律是解题的关键． 探究规律，利用规律即可求解． 【详解】解：由第1行，第2列的数是， 由第2行，第3列的数是， 由第3行，第4列的数是， 由第4行，第5列的数是， 由第5行，第6列的数是， 根据规律：第10行第11列的数是， 故选：B． 【练习4】符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： （1）； （2）． 利用以上规律计算： ）等于（    ） A．2021 B．2022 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数字类规律探究，根据题干，易得：，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选B． 模块二 与式有关的规律 考点专训 【例1】按一定规律排列的单项式：x，，，，，…，第n个单项式是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及单项式，能根据所给单项式发现其系数及次数的变化规律是解题的关键．根据所给单项式，观察其系数及次数的变化，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 所给单项式的系数依次为：1，4，9，16，…， 所以第n个单项式的系数可表示为：． 所给单项式的次数依次为：1，2，3，4，5，…， 所以第n个单项式的次数可表示为：n， 所以第n个单项式可表示为：． 故选：D． 【例2】按一定规律排列的多项式：，，，，，…，则第个多项式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了与多项式有关的规律探索，观察可知，多项式的第一项的系数和指数是从1开始的连续的自然数，第二项是常数是该自然数的2倍，据此可得答案． 【详解】解：观察可知，多项式的第一项的系数和指数是从1开始的连续的自然数，第二项是常数是该自然数的2倍， ∴第n个多项式是， 故选：A． 【变式1-1】按一定规律排列的单项式：，，，，，…．则第个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是单项式规律问题，分别从单项式的系数的绝对值，符号，单项式的字母部分分析总结规律，从而可得答案． 【详解】解：：，，，，，…． ∵各单项式的系数的符号为：−，+，−，+，…， ∴各单项式的系数的符号可利用来确定； ∵各单项式的系数为：2，3，4，5， ∴各单项式的系数可利用来确定； ∵各单项式含字母的部分为：，，，， ∴ 各单项式含字母的部分规律为：； ∴第个单项式为：． 故选：． 【变式2-1】按一定规律排列的多项式：，…，第n个多项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数字类规律探究，找出次数变化的规律是解答本题的关键． 根据所给多项式次数总结出每个多项式前后两项次数变化的规律即可解答． 【详解】解：∵多项式的x项的系数依次为1、、、、，……，多项式的x项的次数依次为2、3、4、5、6，……， y项的次数依次为1、2、3、4、5，……， ∴第n个多项式的x项的系数为，x项的次数为，y项次数， ∴第个多项式是． 故选：D． 【变式】已知整数浦足下列条件：，，以此类推，则值为 ． 【答案】 【分析】本题考查规律型：数字的变化类，根据前几个数字找出最后数值与顺序数之间的规律是解答本题的关键． 根据前几个数字比较后发现：从第二个数字开始，如果顺序数为偶数，最后的数值，顺序数为奇数时，其最后的数值，从而得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 当为偶数时，，当为奇数时，， ， 故答案为：． 模块三 与图形排列有关的规律 考点专训 【例1】如图是一组有规律的图案，第1个图案中有4个基础图形，第2个图案中有7个基础图形，第12个图案中的基础图形个数为（　　）    A．35 B．36 C．37 D．38 【答案】C 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，观察可知后面一个图形比前面一个图形多3个基础图形，据此规律求解即可． 【详解】解：第1个图案中有个基础图形， 第2个图案中有个基础图形， 第3个图案中有个基础图形， 第4个图案中有个基础图形， ……， 以此类推，可知第n个图案中有个基础图形， ∴第12个图案中的基础图形个数为， 故选：C． 【练习1】用正方形按如图所示的规律拼图案，其中图案①中有5个正方形，图案②中有9个正方形，图案③中有个正方形，图案④中有个正方形，…，按此规律排列下去，若图案ⓝ中有个正方形，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图形的变化规律，根据图形的变化得出第个图形中有个正方形是解题的关键． 根据图形变化的规律得出第个图形中有个正方形即可解答． 【详解】解：由题知，第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有个正方形，第④个图案中有个正方形，…，第n个图案中有个正方形， ∵第ⓝ个图案中正方形有个数， ∴，解得：， 故选：D． 【练习2】【观察思考】 【规律发现】则第个图案中“”的个数可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了图形变化规律的探究，解题关键是找到各图形中“”的个数的变化规律．由已知图形得出“”的个数是从1到序数连续整数的和，据此可得答案． 【详解】解：第一个图形有1个“”， 第二个图形有个“”， 第三个图形有个“”， ， 第个图形有个“”， 故选：B． 【练习3】观察下列图形： 它们是按一定规律排列的，依照此规律，第18个图形中共有 个★． 【答案】55 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，正确理解题意找到规律：第n个图形有个五角星即可． 【详解】解：第1个图形有个五角星， 第2个图形有个五角星， 第3个图形有个五角星， 第4个图形有个五角星， ……， 以此类推，可知第n个图形有个五角星， ∴第188个图形中共有个五角星， 故答案为：55． 【练习4】化学中有一类仅由碳和氢组成的有机化合物，称为碳氢化合物．如图，这是一类特殊碳氢化合物的球棍模型，其中黑球是碳原子（记作），白球是氢原子（记作），碳原子之间都由单键结合，这类特殊的碳氢化合物统称为烷烃．烷烃依据碳原子数量进行命名，为了方便记忆，前十个以天干（甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸）来代表碳原子的数量．如：第2个模型中有2个和6个，分子式是，简称为乙烷．按照图示规律，回答下列问题． (1)壬烷的分子式是_____，第个结构式的分子式是_____； (2)请问分子式为的化合物是否属于上述的烷烃，并说明理由． 【答案】(1)； (2)分子式为的化合物属于上述的烷烃，理由见解析 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）观察可知对应的模型中，碳原子个数为序号，氢原子个数为序号的2倍加上2，据此规律求解即可； （2）根据（1）的规律求出时，的值即可得到结论． 【详解】（1）解；第1个模型中有1个和4个，分子式是， 第2个模型中有2个和6个，分子式是， 第3个模型中有3个和8个，分子式是， ……， 以此类推，可知，第n个模型中有n个和个，分子式是， ∴壬烷的分子式是； （2）解：分子式为的化合物属于上述的烷烃，理由如下： 当时，， ∴分子式为的化合物属于上述的烷烃． 模块四 课后作业 1．按一定规律排列的单项式：，…，第n个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了单项式中的数字变化规律问题，先确定系数的变化规律：的序号数次方，再确定字母指数的变化规律：x的序号数次方，即可得出答案． 【详解】解：因为， 所以第n个单项式为． 故选：D． 2．按一定规律排列的多项式：…，则第n个多项式是 （用含a、b、n的式子表示）． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的规律探究．根据题意推导一般性规律是解题的关键． 由，，，，，，可得第个多项式是． 【详解】解：∵，，，，，， ∴第个多项式是， 故答案为：． 3．一组按规律排列的式子：，则第2025个式子是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是数字的变化类规律问题，根据给出的式子分别找出分子、分母的变化规律是解题的关键．分别找出分子、分母的变化规律，根据规律解答即可． 【详解】解：第一个式子的分子是，分母是3， 第二个式子的分子是，分母是5， 第三个式子的分子是，分母是7， 第四个式子的分子是，分母是9， ， 则第n个式子的分子是，分母是， 所以第2025个式子的分子是，分母是， 所以第2025个式子是， 故答案为：． 4．如图，“杨辉三角”是我国古代奉献给人类伟大的数学遗产之一，从下列图中取一列数1，3，6，10，…，记着，若（n为正整数），则n的值为 ． 【答案】31 【分析】此题考查了数字类规律的探索，一元一次方程的求解，解题的关键是正确找出数字的规律．根据已知数据，找到数字之间的规律，根据题意，列出关于的方程，求解即可． 【详解】解：由，，，，…，知， ∴，， ∵， ∴， 解得． 故答案为：31． 5．一些大小相同的“”按如图所示的规律摆放：第①个图形有2个，第②个图形有6个，第③个图形有10个，第④个图形有14个，…，依此规律，第⑩个图形有 个． 【答案】38 【分析】本题考查了图形类规律探索，根据图形，发现规律，计算即可得解，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：由图形可得：第①个图形有个， 第②个图形有个， 第③个图形有个， 第④个图形有个， …， 故第⑩个图形有个, 故答案为：． 6．用小棒按照如图方式摆图形． （1）摆1个八边形需要8根小棒，摆2个八边形需要( )根小棒，摆20个八边形需要( )根小棒．如果想摆a个八边形，那么需要( )根小棒． （2）有2024根小棒，最多可以摆( )个完整的八边形． 【答案】 15 141 289 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，正确找到图形间的规律是解题的关键． （1）观察可知后面一个图形比前面一个图形多7根小棒，据此规律求解即可； （2）根据（1）所得规律计算出的商和余数即可得到答案． 【详解】解：（1）摆1个八边形需要8根小棒， 摆2个八边形需要根小棒， 摆3个八边形需要根小棒， ……， 以此类推，可知，摆a个八边形，需要根小棒， ∴摆20个八边形需要根小棒， 故答案为：15；141； （2）∵， ∴2024根小棒最多可以摆289个完整的八边形， 故答案为：289． 7．将连续的奇数1，3，5，7，9，…排成如图所示的数表． (1)这个十字框中五个数的和为 ． (2)设中间数为a，用代数式表示十字框中五个数之和为 ． (3)若将十字框上下左右移动，可框住另外五个数，这五个数还有上述的规律吗？ (4)十字框中的五个数之和能为2025吗？这五个数之和能为2045吗？ 【答案】(1) (2) (3)这五个数之和还是中间数的5倍 (4)能为2025，不能为2045 【分析】本题考查了探索数字的规律，整式的加减计算，解题的关键是能找出所给数据之间的规律． （1）把五个数相加即可得出答案； （2）用含a的式子分别表示出其他四个数，再利用整式的加减计算法则求出这五个数的和即可； （3）令十字框中间数为b，根据题中所给十字框，可写出则其余4个数，将这5个数相加即可得； （4）分别计算出2025和2045除以5的结果，所得的结果只要不在最右边或最左边那一列都符合题意． 【详解】（1）解：， ∴十字框中的五个数之和为75； （2）解：设中间数为a，则其余的4个数分别为，，，， 由题意，得， 因此十字框中的五个数之和为． （3）解：设移动后中间数为b，则其余的4个数分别为，，，， 由题意，得， 因此这五个数之和还是中间数的5倍． （4）解：由（3）知，十字框中五个数之和总为中间数的5倍， ∵，且个位数字为5的数字都在第三列， ∴中间的那个数字为505，满足题意， ∴十字框中五个数之和能为2025， ∵，且个位数字为9的数字都在第最右边一列， ∴中间的数字为409，此时不满足题意， ∴十字框中五个数之和不能为2045． 8．阅读材料，求值：． 解：将等式两边同时乘以2得： 将②式减去①式得：， 即． (1)请你仿照此法计算： ； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设，两边乘以2后得到关系式，与已知等式相减，变形即可求出所求式子的值； （2）同理即可得到所求式子的值． （3）同理即可得到所求式子的值． 此题考查规律型：数字的变化类，有理数的混合运算，解题的关键是明确题意，运用题目中的解题方法，运用类比的数学思想解答问题． 【详解】（1）解：设， 将等式两边同时乘以得：， 将得：， 即， 则； 故答案为：； （2）解：设 将等式两边同时乘得：， 将得：，即， 则； （3）解： ． 9．观察下列算式： 按规律填空： (1) ； (2) ； (3) ； (4)根据以上规律计算． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查有理数的加法，规律型：数字的变化类，解题关键在于掌握计算法则找到规律. （1）首先根据前面的式子的规律即可求解； （2）探索当个数相加时，每个式子等号左右两边与的关系，然后根据规律求解； （3）利用（2）中的规律即可得； （4）由上述规律得：，，则，计算即可. 【详解】（1）解：根据所给算式规律可得， 故答案为：； （2）解：由题意，得，，，，， ∴， 故答案为：； （3）解：由（2）中规律可得， 故答案为：； （4）解：由上述规律得：，， ∴ ． 10．观察下列三行数，并完成后面的问题： ①，4，，16，，； ②1，，4，，16，； ③0，，3，，15，； 取每一行的第个数，依次记为． (1)当时，请依次写出的值； (2)当时，计算的值． 【答案】(1)，，； (2) 【分析】本题考查了数字变化规律，有理数的乘方，有理数的混合运算，观察得出每行之间的关系式是解题的关键． （1）观察数字的规律，列出代数式，然后n取7计算出x、y、z的值即可； （2）将代入计算即可． 【详解】（1）解：利用数字的排列规律得到： 第①行数的第n个数字为， 第②行数的第n个数字为， 第③行数的第n个数字为（n为正整数）， ∴当时， ∴， ， ； （2）解：当时， ∴ ； 学科网（北京）股份有限公司 $$