精品解析：上海市金山区2024--2025学年七年级数学下学期期末考试数学试卷

2024学年第二学期期末学情诊断 初一数学试卷 （满分100分，考试时间90分钟） 2025.6 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共25题；答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效； 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题（本大题共8题，每题3分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确的选项并填涂在答题纸的相应位置上．】 1. 下列数中是不等式的解的是（） A. 0 B. 100 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求不等式的解集． 求出不等式的解集判断即可． 【详解】解：解不等式得 因此，解集为所有大于3的数． 只有选项B符合条件． 故选：B． 2. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了在数轴上表示不等式的解集，用数轴表示不等式的解集时，边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；根据不等式的解集在数轴上表示即可． 【详解】解：∵， ∴在数轴上表示为： 故选：C． 3. 在中，若，则是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 以上三种情况都有可能 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的识别． 根据，结合钝角三角形的定义即可判断． 【详解】解：∵， ∴是钝角三角形． 故选：C． 4. 下列有关不等式的解法中，错误的是（ ） A. ，两边同加2，得 B. ，两边同减6，得 C. ，两边同乘，得 D. ，两边同除以，得 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查不等式的基本性质． 根据不等式的基本性质逐一判断即可. 【详解】解：选项A：解不等式，两边同加2，得．此操作符合不等式性质（加减同一数不改变不等号方向），正确，不符合题意． 选项B：解不等式，两边同减6，得．此操作符合不等式性质（加减同一数不改变不等号方向），正确，不符合题意． 选项C：解不等式，两边同乘时，未改变不等号方向，错误．正确解法应为，符合题意． 选项D：解不等式，两边同除以时改变不等号方向，得，正确，不符合题意． 综上，错误的解法是C． 故选：C. 5. 小明将一块直角三角板摆放在直尺上，如图，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质，根据平行线的性质得到，再利用平角的定义即可求出的度数. 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， 故选：B 6. 如图，有一个圆锥形冰激凌，其底面直径为，高为．那么这个圆锥形冰激凌的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的体积公式． 直接根据圆锥的体积公式计算即可． 【详解】解：． 故选：A． 7. 下列说法中，错误的是（） A. 两个全等的三角形面积相等 B. 成轴对称的两个三角形全等 C. 成中心对称的两个三角形全等 D. 两个等边三角形全等 【答案】D 【解析】 【详解】本题考查全等三角形的判定和性质及对称变换的性质．根据全等三角形的性质和判定方法，逐一判断即可． 【分析】A．全等三角形形状、大小完全相同，面积必然相等，正确． B．轴对称属于全等变换，成轴对称的三角形经翻折后重合，故全等，正确． C．中心对称属于旋转变换（旋转180°），不改变图形形状和大小，故全等，正确． D．等边三角形仅保证内角均为60°且三边相等，但边长可能不同（如边长3与边长5的等边三角形不全等），因此不一定全等，错误． 故选：D． 8. 有下列两个命题：①如果，那么；②两角对应相等且其中一组等角的平分线相等的两个三角形全等．对于这两个命题判断正确的是（ ） A. ①②都是真命题 B. ①是真命题，②是假命题 C. ①是假命题，②是真命题 D. ①②都是假命题 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了命题的真假判断．①根据绝对值的性质判断命题真假；②结合全等三角形的判定定理及角平分线性质分析． 【详解】命题①：若，则． 绝对值相等的两个数可能相等或互为相反数，例如，但．因此命题①为假命题； 命题②：两角对应相等且其中一组等角的平分线相等的两个三角形全等． 已知：和中，，，、的角平分线， 求证：． 证明：∵且、的角平分线分别为和， ∴， ∵在和中， ∴， ∴， 在和中， ∴． 因此命题②为真命题； 故选：C． 二、填空题（本大题共10题，每题3分，满分30分） 9. 用适当的不等式表示“大于”为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列不等式，解题关键是掌握不等式的定义．根据题意用“”，列出不等式即可． 【详解】解：不等式表示“大于”为： 故答案为：． 10. 如图，一个㝏形管道的拐角，，的度数是______． 【答案】##60度 【解析】 【分析】根据两直线平行，同旁内角互补即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 11. 在△ABC中，若∠B=2∠A，∠C=60°，则∠A=_________. 【答案】400 【解析】 【分析】设∠A=x，则∠B=2x，根据∠A+∠B+∠C=180°得出方程60+x+2x=180，求出方程的解即可． 【详解】在△ABC中，∵∠B=2∠A，设∠A=x，则∠B=2x． ∵∠A+∠B+∠C=180°，∴60+x+2x=180°，解得：x=40°． 则∠A=40°． 故答案为40°． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理的应用，注意：三角形的内角和等于180°，用了方程思想． 12. 将命题“在三角形中，大边对大角”改写成“如果……，那么……”的形式是________． 【答案】如果一个三角形中一边大于另一边，那么该边所对的角大于另一边所对的角 【解析】 【分析】本题主要考查的知识点是如何将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解题关键是找到命题中相应的条件和结论．命题中的条件是一个三角形中一边大于另一边，放在“如果”的后面，结论是该边所对的角大于另一边所对的角，应放在“那么”的后面． 【详解】解：如果一个三角形中一边大于另一边，那么该边所对的角大于另一边所对的角 故答案为：如果一个三角形中一边大于另一边，那么该边所对的角大于另一边所对的角． 13. 已知一个等腰三角形的两条边长分别为和，则它的底边长是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；本题应分为两种情况：①为底，为腰，②为底，为腰，根据三角形的三边关系即可求解． 【详解】解：等腰三角形的两边分别是和 应分为两种情况：①为底，为腰，则； ②为底，为腰，则构不成三角形； 它的底边长是 故答案为：． 14. 如图，直线，平分，，则的大小为____． 【答案】##100度 【解析】 【分析】根据两直线平行同位角相等得到，根据角平线的定义得到，最后根据两直线平行内错角相等即可求解． 【详解】解：， 平分 故答案为： 【点睛】本题考查了平行线、角平分线的性质；解题的关键是熟练运用性质求解． 15. 小海的圆柱形水壶有一个布套(如图，含侧面和两个底面)，其底面直径为，母线长为．他做这个布套至少用的布料为________．(结果保留) 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求圆柱体的表面积，根据圆柱底面积和侧面积的计算方法进行计算即可得到答案． 【详解】解： ， ()， 答：做这个布套至少需要布料． 故答案为：． 16. 给定如图所示的图形（不再添线），点在的延长线上，请添加一个条件________作为已知条件，通过推理能得到（只需填写一个满足的条件） 【答案】（或或或） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定定理，根据平行线的判定定理，结合图形，即可求解． 【详解】解：∵ ∴； ∵， ∴； ∵或 ∴； 故答案为：（或或或）． 17. 如图，在中，点、分别在边、上，，．．若，则的周长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质可得，，进而求得，根据三角形的周长公式，即可求解． 【详解】解：∵，，． ∴，， ∴， ∴的周长为 故答案为：． 18. 在中，，点D在边上且，连接，点G在线段上（不与点C、D重合），直线l过点D，将沿着直线l翻折（点G关于直线l的对称点为点P）．若点P在过点G且与平行的直线上，那么的度数为________°． 【答案】120 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，等边三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，平行线的性质等知识点． 先求，然后证明为等边三角形，再由平行线的性质得到，根据折叠的性质证明为等边三角形，再由角度和差计算求解． 【详解】解：如图： ∵在中，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵翻折， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ， ∴， 故答案为：120． 三、解答题（本大题共8题，满分46分） 19. 解不等式组 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为：． 20. 如图，已知直线、、被直线所截．若，，且，求的度数．把以下解答过程补充完整． 解：如图，将与相邻的补角记为． ，， ． ． ， ， ． 【答案】同位角相等，两直线平行；；；平行于同一直线的两条直线互相平行；两直线平行，同位角相等； 【解析】 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．根据平行线的判定定理与性质定理求解即可． 【详解】解：如图，将与相邻的补角记为． ， ． 同位角相等，两直线平行． ， 平行于同一直线的两条直线互相平行 两直线平行，同位角相等 ， ． 故答案为：同位角相等，两直线平行；；；平行于同一直线的两条直线互相平行；两直线平行，同位角相等；． 21. 如图，点、、、在网一条直线上，，，． （1）求证： （2）若，，求证：． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴； （2） 证明：∵，， 由（1）可知：， ∴， ∴， ∴， ∴ 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边对等角，三角形内角和定理的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． （1）先根据得，进而证明； （2）由（1）得，进而根据三角形内角和定理可得，，进而根据等角对等边，即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 如图，在中，的垂直平分线与交于点． （1）尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，在线段上作点要求：不写作法，保留作图痕迹)； （2）连接．如果，与的度数之比为，那么的度数是多少？ 【答案】（1） 如图，点即为所求． （2） 【解析】 【分析】本题考查作垂直平分线、线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形的外角的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键． （1）根据线段垂直平分线的作图方法作线段的垂直平分线，交于点，则点即为所求． （2）由线段垂直平分线的性质可得，则．根据，可得，则，则可得． 【小问1详解】 解：作线段的垂直平分线，交于点，则点即为所求． 【小问2详解】 的垂直平分线与交于点， ， ． ， ． 与的度数之比为：， ， ． 23. 如图，已知：在中，点、分别在边、上，与相交于点，，． （1）求证：； （2）连接并延长交于点，求证：． 【答案】（1）证明过程见解析 （2）证明过程见解析 【解析】 【分析】（1）由，，，根据“”证明，得，，所以，推导出，则； （2）连接并延长交于点，由，，推导出，而，，可根据“”证明，得，即可根据等腰三角形的“三线合一”证明． 【小问1详解】 点、分别在边、上，与相交于点， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ． 【小问2详解】 连接并延长交于点， ，， ， ， 由（1）得， ， 在和中， ， ， ， ，平分， ． 24. 某数学学习小组成员康康、小海、欢欢和乐乐等同学继续对课本等边三角形开展了深入探究． 问题回顾：课本中有例题，证明：有一个内角等于的等腰三角形是等边三角形．如图．已知：在中，．需要对三个内角分别等于的各种情况进行讨论，其中和是类似的，故只要分两种情况讨论． ①当时，那么可以证明是等边三角形； ②当时，那么可以证明是等边三角形． （1）请写出情况①的证明过程； 问题探究： 于是，康康提出了一个问题：我们将上题中的条件“有一个内角等于”替换为“底边上的高和腰上的高对应相等”，如图2．即：已知：在中，，，，垂足分别为点、，且，求证：是等边三角形． （2）请写出证明过程； 问题拓展： 由此启发，该小组猜想：在等腰三角形中，如果以“一边(底边或腰)上的高”“一边(底边或腰)上的中线”或“一角(顶角或底角)的角平分线”中的两个条件，加以组合(也就是形成一组须同时满足的关系)，使它们对应相等，是否还能新构成一个能判定一个等腰三角形是等边三角形的条件？ 基于此，小组成员小海、欢欢、乐乐进行了探索，并分别提供了自己的已知、求证和图形． 小海 欢欢 乐乐 已知：在中，，中线中线．求证：是等边三角形． 已知：在中，，角平分线高．求证：是等边三角形． 已知：在中，，角平分线角平分线．求证：是等边三角形． （3）你认为________(填小海、欢欢、乐乐其中一个)的探究是正确的，并写出该证明过程． 【答案】 （1）证明：在中， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴是等边三角形； （2）证明：∵， ∴， 又∵，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴是等边三角形； （3）欢欢的探究是正确的，证明如下， ∵，是的角平分线， ∴ ∵是边上的高， ∴ 又∵，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴是等边三角形； 小海：已知中线，，不能证明，则不能得出，故不正确； 乐乐：角平分线角平分线，不能证明，则不能得出，故不正确； 故答案为：欢欢． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定，全等三角形的性质与判定，熟练掌握等边三角形的性质判定定理，全等三角形的判定定理是解题的关键； （1）根据三角形内角和定理以及已知条件得出，进而得出，则，即可得证； （2）证明得出，则，即可得证； （3）根据（2）的方法证明，只有欢欢的可以证明，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 25. 设平面上的三个点A、B、C．需确定点P的位置，使最小．当点A、B、C共线时，点P应取三点中居中的点．当点A、B、C不共线时，分成两类；有一个内角大于或等于和的三个内角均小于．约1640年，法国数学家费马（PierredeFermat，1601﹣1665）提出了这个问题，此问题中求得的点P也称为费马点，并由意大利数学家托里拆利首次证明． 下面来探究当点A、B、C不共线时的情况： （1）如图1，已知：在中，时，　　　为所求费马点． （2）如图2，已知：在中，最大角时，我们可以快速找到这类三角形的费马点，作法如下：分别以的边为边向外作等边三角形和等边三角形，此时和交于一点P，点P就是所求的费马点． ①请找出图中与相等的线段，并说明理由； ②为了验证作图中找到的点P就是费马点，连接，求证：． 【答案】（1）A （2） ①， 理由：∵与是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； ②证明：设与交于G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在上截取， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）将绕点C顺时针旋转得到，得到，根据等边三角形的性质得到，推出点B，A，三点共线，于是得到结论； （2）①根据等边三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到； ②设与交于G，根据全等三角形的性质得到，求得，在上截取，得到是等边三角形，根据全等三角形的性质得到，于是得到． 【小问1详解】 解：将绕点C顺时针旋转得到，连接 ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴点三点共线， ∴最短， ∴点A为所求费马点； 故答案为：A； 【小问2详解】 ①略 ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第二学期期末学情诊断 初一数学试卷 （满分100分，考试时间90分钟） 2025.6 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共25题；答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效； 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题（本大题共8题，每题3分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确的选项并填涂在答题纸的相应位置上．】 1. 下列数中是不等式的解的是（） A. 0 B. 100 C. D. 2. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在中，若，则是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 以上三种情况都有可能 4. 下列有关不等式的解法中，错误的是（ ） A. ，两边同加2，得 B. ，两边同减6，得 C. ，两边同乘，得 D. ，两边同除以，得 5. 小明将一块直角三角板摆放在直尺上，如图，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，有一个圆锥形冰激凌，其底面直径为，高为．那么这个圆锥形冰激凌的体积是（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法中，错误的是（） A. 两个全等的三角形面积相等 B. 成轴对称的两个三角形全等 C. 成中心对称的两个三角形全等 D. 两个等边三角形全等 8. 有下列两个命题：①如果，那么；②两角对应相等且其中一组等角的平分线相等的两个三角形全等．对于这两个命题判断正确的是（ ） A. ①②都是真命题 B. ①是真命题，②是假命题 C. ①是假命题，②是真命题 D. ①②都是假命题 二、填空题（本大题共10题，每题3分，满分30分） 9. 用适当的不等式表示“大于”为________． 10. 如图，一个㝏形管道的拐角，，的度数是______． 11. 在△ABC中，若∠B=2∠A，∠C=60°，则∠A=_________. 12. 将命题“在三角形中，大边对大角”改写成“如果……，那么……”的形式是________． 13. 已知一个等腰三角形的两条边长分别为和，则它的底边长是________． 14. 如图，直线，平分，，则的大小为____． 15. 小海的圆柱形水壶有一个布套(如图，含侧面和两个底面)，其底面直径为，母线长为．他做这个布套至少用的布料为________．(结果保留) 16. 给定如图所示的图形（不再添线），点在的延长线上，请添加一个条件________作为已知条件，通过推理能得到（只需填写一个满足的条件） 17. 如图，在中，点、分别在边、上，，．．若，则的周长为________． 18. 在中，，点D在边上且，连接，点G在线段上（不与点C、D重合），直线l过点D，将沿着直线l翻折（点G关于直线l的对称点为点P）．若点P在过点G且与平行的直线上，那么的度数为________°． 三、解答题（本大题共8题，满分46分） 19. 解不等式组 20. 如图，已知直线、、被直线所截．若，，且，求的度数．把以下解答过程补充完整． 解：如图，将与相邻的补角记为． ，， ． ． ， ， ． 21. 如图，点、、、在网一条直线上，，，． （1）求证： （2）若，，求证：． 22. 如图，在中，的垂直平分线与交于点． （1）尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，在线段上作点要求：不写作法，保留作图痕迹)； （2）连接．如果，与的度数之比为，那么的度数是多少？ 23. 如图，已知：在中，点、分别在边、上，与相交于点，，． （1）求证：； （2）连接并延长交于点，求证：． 24. 某数学学习小组成员康康、小海、欢欢和乐乐等同学继续对课本等边三角形开展了深入探究． 问题回顾：课本中有例题，证明：有一个内角等于的等腰三角形是等边三角形．如图．已知：在中，．需要对三个内角分别等于的各种情况进行讨论，其中和是类似的，故只要分两种情况讨论． ①当时，那么可以证明是等边三角形； ②当时，那么可以证明是等边三角形． （1）请写出情况①的证明过程； 问题探究： 于是，康康提出了一个问题：我们将上题中的条件“有一个内角等于”替换为“底边上的高和腰上的高对应相等”，如图2．即：已知：在中，，，，垂足分别为点、，且，求证：是等边三角形． （2）请写出证明过程； 问题拓展： 由此启发，该小组猜想：在等腰三角形中，如果以“一边(底边或腰)上的高”“一边(底边或腰)上的中线”或“一角(顶角或底角)的角平分线”中的两个条件，加以组合(也就是形成一组须同时满足的关系)，使它们对应相等，是否还能新构成一个能判定一个等腰三角形是等边三角形的条件？ 基于此，小组成员小海、欢欢、乐乐进行了探索，并分别提供了自己的已知、求证和图形． 小海 欢欢 乐乐 已知：在中，，中线中线．求证：是等边三角形． 已知：在中，，角平分线高．求证：是等边三角形． 已知：在中，，角平分线角平分线．求证：是等边三角形． （3）你认为________(填小海、欢欢、乐乐其中一个)的探究是正确的，并写出该证明过程． 25. 设平面上的三个点A、B、C．需确定点P的位置，使最小．当点A、B、C共线时，点P应取三点中居中的点．当点A、B、C不共线时，分成两类；有一个内角大于或等于和的三个内角均小于．约1640年，法国数学家费马（PierredeFermat，1601﹣1665）提出了这个问题，此问题中求得的点P也称为费马点，并由意大利数学家托里拆利首次证明． 下面来探究当点A、B、C不共线时的情况： （1）如图1，已知：在中，时，　　　为所求费马点． （2）如图2，已知：在中，最大角时，我们可以快速找到这类三角形的费马点，作法如下：分别以的边为边向外作等边三角形和等边三角形，此时和交于一点P，点P就是所求的费马点． ①请找出图中与相等的线段，并说明理由； ②为了验证作图中找到的点P就是费马点，连接，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $