2.5 第1课时利用仰角、俯角解决问题-【优+学案】2024-2025学年九年级上册数学课时通(鲁教版五四学制)

第3课时解简单的斜三角形 35 1.D2.A DE137 3.解：(1)过点C作CD⊥AB,垂足为点D,如图所示. am∠BAD=AE857 13 11,解：(1)6 (2)如图所示，延长AB与DC相交于点E.:∠ABC ∠BCD=135.∴∠EBC=∠ECB=45,∴.BE=CE.∠E=90. 设BE=CE=x,由勾股定理，得BC=√2x,AE=9十x,DE 3十x. 在R△ABC中，amA=AD3 CD 4 在△ADE中，∠E=90,”mA=号 .设CD■4k,则AD=3, 8 ∴.AC=√AD+CD=√(3k)+(4k)=5k. 经检验，x=3是所列方程的解，且符合题意， AC=15,.5k=15,.k=3,AD=9,CD=12, .BC-32,AE=12,DE=6, 六Sam-号AB:GD-号X15x12=90. ∴.AD=AE+DE=/12+6=65 ∴.S2e=90. (2)在R△BCD中，BD=AB-AD=15-9=6,CD=12, ∴.BC=CD+BD=12+6=65, ∴eosB 器系-号B的发监为号 5三角函数的应用 4.B 第1课时利用仰角、俯角解决问题 5.解：过点A作AD⊥BC,垂足为点D, 1.C2.A3.D4.15米 在R△ABD中，∠B=45,AB=2, 5.解：如图所示，延长CD交EF于点G. BD-AD 2AB2. 由题意得DB=AC=FG=1m.CG1EF,C=AB=30m, ∠EDG=60°，∠EG=30°. 在R△ACD中，∠C=30.AD=2, :∠EDG是△EIDC的一个外角， ..CD= m3D-8AD=6. AD '.∠DEC=∠EDG-∠ECG=30', .∠DEC=∠ECD=30°. ∴BC=BD+CD=√2+6. ,∴.ED=CD=30m 6.解：过点C作CD⊥AB,交AB的延长线于点D,如图所示 在R:△BGD中，BG-ED·sn60=30× 2 =155(m). ∴.EF=BG+FG=(155+1)m, ∴.该建筑物的高是(155+1)m E ,'∠ABC=120,.∠CBD=180°-120=60°. ,BC=2, Cu-..D hcD0-g-誓a0-0p- CD CD3 F B 6.解：过点E作EF⊥AB于点F,延长ED交BC于点G,如图 .CD=3.BD=1 所示， AB=4...AD=AB+BD=4+1=5. 在R1△CDG中，∠DG=30, ∴AC=AD+CD=√+W3)=27. GD-1 CD=2米，CG=CD·cs∠DCG=2w3米. 7.D8.A9.103或6√ ,∴.BG=CB+CG=2w3+2W3=43(米).易得EF=BG I.解：过点D作DE⊥AB于点E 在R△ALDC中，∠C=90,∠ALDC=45.AC=5. 45米在R△AFE中，AF-EF:an∠AEF=45X是 ZDAC=45,AC=DC=5..AD=5V2. 3W3(米)，.AB=AF+BF=AF+ED+DG=33十1.5+ 在R△ABC中，∠C=90, 2=(33+3.5)米. 咖B=福亮品-高 55 答：旗杆AB的高度为(3√3十3.5)米 解得AB=13.根据勾股定理，得BC=12, .BD=BC-DC=12-5=7. 在R△BDE中，∠BED=90,nB=3 需-音优=兽在和△D中，根搭约股定尾，得 35 AB=AD-D-√6-(】 85 30 =1 11 7.解：过点B作BH⊥DC于点H,过点B作BF⊥OC于点F,9.解：如图所示，作MH⊥AB于点H,延长HM交EF于点J, 如图所示。 交CD于点K,则BH=MN=JF=DK=L.5米，MJ FN=2米，EI=EF-JF=0.5米，CK=CD-DK=10米. B 3745 依题意得OC⊥DC,∠BDH=37,∠BEH=45.又BH⊥ :EJ/CK-∴M-CR MJ EJ DC,.△BEH和△OEC均为等腰直角三角形，.EH= BH.EC=OC..DE=1.5 m.EC=5 m 20.5 .OXC=EC=5 m. 六MK=10MK=0米. ,BH⊥DC,BF⊥OC,OC⊥DC,,四边形BHCF为矩形， :BD=70米，DN=MK=40米， .BF-CH,BH-CF.BF//CH. ,.BN=HM=30米. .∠OBF=∠BEH=45°， 在R1△AHM中，AH=HM·tan40°≈30X0.84 ∴△OBF为等腰直角三角形， 25.2(米)， ∴.BF=OF=CH. .AB=AH+BH=25.2+1.5=26.7(米). 设BF=xm,则OF=CH=xm, 答：教学楼AB的高度为26,7米， ..EH=BH=EC-CH=(5-x)m. ∴.DH=DE+EH=1.5+5-x=(6.5-x)m. 第2课时利用方向角解决问题 BH 在R△BDH中，an∠BDH=DH' 1.B2.A3.D+.4千米 5.解：如图所示，过点C作CD⊥AB于点D. 5-x 35- 即an37-6.5-云46.5- 解得x年0.5， 检验后知道T■0.5是原方程的根， ∴.BF=OF=0.5m. 在等腰Rt△OBF中，由勾股定理得OB=√/OF+BF= 0.5×20.5×1.41=0.705(m). 设CD=xm,在R1△BCD中， 点O为AB的中点， ∠CBD=45,.BD=CD=xm. .AB=20B≈2×0.705≈1.4(m) 在Rt△ACD中，∠DAC=90°-60°=30°，AD=AB+BD= 答：太阳能电池板宽AB的长度约为1.4m. (20+r)m.CD=x m, 8解：1)由已知得AP=BP=专AB=17cm cD-un 30.AD. 3(20+x) 在Rt△APE中， 解得x=10(W3+1),.CD=10(3+1)m. sim∠AEP=AP E·AE= AP 17 sinZAEP=sm18≈07色 答：这条河的宽度约为10(W3十1)m. 57(cm). 6.D7.4.5 答：限睛E与显示屏顶端A的水平距离AE约为57cm. 8.解：设巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用时间为x小时. (2)如图所示，过点B作BF⊥AC于点F, 由题意得∠ABC=45°十75°=120°，AB=12海里，BC E 10x海里，AC=14x海里. 过点A作AD⊥CB,交CB的延长线于点D,如图所示. 北 D BC--5F 75 45 -C D C :∠EAB+∠BAF=90°.∠EAB+∠AEP=90. ∴∠BAF=∠AEP=18 在Rt△ABD中，AB=12海里，∠ABD=180°一120°=60° 在Rt△ABF中，AF=AB·Co8∠BAF=34Xcos18≈34× 立BD=AB·ms60=号AB=6海里，AD=AB·Sn60 0.95=32.3(cm),BF=AB·sin∠BAF=34×sin18°≈34× 0.3=10.2(cm). 63海里，.CD=(10x十6)海里. BF∥CD,∴.∠CBF=∠BCD=30°，∴.CF=BF· 在Rt△ACD中，由勾股定理，得(14x)=(10x十6)+ (63)2, ian∠CBF=10.2Xtan30°=10.2Xg≈5.78(cm)为 ∴.AC=AF+CF=32.3+5.78≈38(cm). 解得=2：=一是（不合题意含去， 答：显示屏顶端A与底座C的距离AC约为38cm, 答：巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用时间为2小时， 125三角函数的应用 第1课时 利用仰角、俯角解决问题（答案11） 通基础>2 A.a(tana十tan3)米B.a(sina十sinβ)米 C.a D.a 知识点，利用仰角、俯角解决问题 儡合+)* anE+1米 Atan g 1.(2023·烟台期末)如图所示，电线杆AB的中 4.(2023·泰安岱岳区二模)如图所示，山顶上有 点C处有一标志物，在地面D点处测得标志 一个信号塔AC,已知山高CD=75米，在山脚 物的仰角为32°.若点D到电线杆底部点B的 下点B处测得塔底C的仰角∠CBD=36.9°， 距离为a米，则电线杆AB的长可表示 塔顶A的仰角∠ABD=42.0°，则信号塔 为() AC= ·(点A,C,D在同一条竖直线 上，参考数据：tan36.9°≈0.75，sin36.9°≈ An32米 an32米 B. 2a 0.60,tan42.0°≈0.90) C.2a·tan32°米 D.2a·cos32米 B 0DD中正 B 5.(2023·济宁中考变式)某数学活动小组要测 B 量一建筑物的高度，如图所示，他们在建筑物 第1题图 第2题图 前的平地上选择一点A,在点A和建筑物之间 2.(2023·泰安模拟)如图所示，从一热气球的探 选择一点B,测得AB=30m,用高1m(AC 测器A点，看一栋高楼顶部的仰角为55°，看这 1m)的测角仪在A处测得建筑物顶部E的仰 栋高楼底部的俯角为35°.若热气球与高楼的 角为30°，在B处测得仰角为60°，求该建筑物 水平距离为35m,则这栋高楼高约是( ) 的高. (参考数据血5易os5号知5) A.74米B.80米C.84米D.98米 3.应用意识安装了软件“Smart Measure'”的智 能手机可以测量物高.其数学原理：该软件通 过测量手机离地面的高度、物体底端的俯角和 顶端的仰角即可知道物体高度.如图②所示小 明测得大树底端C点的俯角α，顶端D点的仰 角B,点A离地面的高度AB=am,则大树 CD的高为() 2 38 九级上用数学鱼教厦 6.模型观念如图所示，某数学活动小组进行综 通能力》329222222299y 合实践活动，测量学校旗杆AB的高度，从旗 7.应用意识太阳能路灯的使用，既方便了人们 杆正前方23米处的点C出发，沿斜坡CD前 进4米到达点D,在点D处安置测角仪，测得 夜间出行，又有利于节能减排.某校组织学生 旗杆顶部A的仰角为37°，仪器的高DE为 进行综合实践活动—测量太阳能路灯电池 板的宽度.如图所示，太阳能电池板宽为AB, 1.5米.已知A,B,C,D,E,M在同一平面内， 点O是AB的中点，OC是灯杆.地面上三点 ∠DCM=30°，AB⊥BC,AB∥DE.求旗杆AB D,E与C在一条直线上，DE=1.5m,EC= 的高度.（舍考数据：如37≈cos37~ 4 5m.该校学生在D处测得电池板边缘点 3 B的仰角为37°，在E处测得电池板边缘 tan37≈手，计算结果保留根号 点B的仰角为45°.此时点A,B与E在一条 直线上.求太阳能电池板宽AB的长 度.（结果精确到0.1m.参考数据：sin37°≈ .37E o3t 1. 30 一优十学通·课阴通 39 8.新情镜如图①所示是电脑液晶显示器的侧面 通素养> 图，显示屏AB可以绕O点旋转一定角度，研 究表明：如图②所示，当眼睛E与显示屏顶端 9.为了提高学生应用数学方法解决实际问题的 A在同一水平线上，且望向显示器屏幕形成一 能力，老师组织全班同学开展了测量物体高度 个18°俯角（即望向屏幕中心P的视线EP与 的实践活动.小明所在的小组要测量学校教学 水平线EA的夹角)时，对保护眼睛比较好，而 楼的高度，经讨论之后，他们准备以学校的旗 且显示屏顶端A与底座C的连线AC与水平 杆为参照物进行测量，教学楼和旗杆底部均不 线CD垂直时，观看屏幕最舒适，此时测得 可到达，如图所示，教学楼AB与旗杆CD的底 ∠BCD=30°，∠APE=90°，液晶显示屏的宽 部B,D在同一平面内，经查阅有关资料得知 AB为34cm. 教学楼和旗杆之间的距离BD长为70米，旗 (1)求眼睛E与显示屏顶端A的水平距 杆CD高度为11.5米.经过分析，他们设计了 离AE 以下测量方案：小明站在MN处，标杆立在 (2)求显示屏顶端A与底座C的距离AC. EF处，点B,N,F,D共线，此时小明的眼睛 (结果精确到1cm.参考数据：sin18°≈0.3， M点、标杆的顶部E点和旗杆的顶部C点在 一条直线上，然后，小明原地转身180°后，利用 c0s18°≈0.95，√2≈1.4,3≈1.7) 自制的测角器测得教学楼的顶部A的仰角为 40°.已知：AB⊥BD,MN⊥BD,EF⊥BD, CD⊥BD,测得MN=1.5米，EF=2米， FN=2米，利用以上测量数据求教学楼AB的 高度.（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈ 0.77,tan40°≈0.84) t40 九正级上用数学鱼教厦