21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系-【优+学案】2024-2025学年九年级上册数学课时通(人教版)

"21.2.4一元二次方程的根与系数的关系（答案P2) (课程标准变动为考查内容) 通基础 知识点2利用根与系数的关系求未知系数或 方程的根 知识点1利用根与系数的关系求关于两根的 7.已知一元二次方程x2十6.x+c=0有一个根 代数式的值 为一2，则另一个根为() 1.(2023·天津中考)若x1,x是方程x2- A.-2 B.-3 C.-4 D.-8 6x一7=0的两个根，则( 8.已知方程x2十p.x十g=0的两个根分别是2 A.x1十x2=6 B.x1十x2=-6 和一3，则( 7 C.xx:-6 D.x1x2=7 A.p=-1,g=-6 B.p=1,9=6 D.p=-1,q=6 2.若x1和x2为一元二次方程x2十2.x-1=0 C.p=1,g=-6 9.(2023·湖北中考)已知一元二次方程x2 的两个根，则xx2十x1x号的值为( 3x十k=0的两个实数根为x1,x2,若x1x2十 A.4② B.2 C.4 D.3 2x1十2.x2=1,则实数k= 3.已知x1x2是一元二次方程x2一x-1=0的 帽固利用根与系数的关系求方程中的待定 两根，则x号十x2的值为( A.0 B.2 C.1 参数时，忽略△≥0这一前提条件 D.-1 4.(2023·湖北随州中考)已知关于x的一元二 10.新视野，已知关于x的一元二次方程x2一 次方程x2一3x十1=0的两个实数根分别为 (2m一1).x十n2=0有实数根， x1和x2,则x1十x2一x1x:的值为 (1)求m的取值范围. 5.(2023·四川攀枝花中考)x2一4.x一2=0的 (2)设此方程的两个根分别为x1,x2,若 两根分别为m,,则上十1 x1十x2=2一x1x2,求m的值. m n 6.新视野》设x1,x2是方程2x2十5x-7=0的 两个实数根，不解方程，求下列式子的值 (1)x2+x: (2)22+ 通能力> 93>3>>> 11.下面以3和一1为两根的一元二次方程 是( A.x2+2.x-3=0 B.-2.x2-4.x+6=0 C.3.x-6.x-9=0 D.x2-2x+3=0 11 优拳常课时远一 12.已知关于x的一元二次方程m.x2一(m+ 通素养 2)x十公=0有两个不等的实数根x1,若 19.阅读建解阅读材料： 工+1=4m,则m的值是( 材料1：关于x的一元二次方程a.x2十 TI T2 b.x十c=0(a≠0)的两个实数根x1,xg和系 A.2 B.-1 C.2或-1 D.不存在 数a,bc,有如下关系：1十2=一 a' 13.阅读理解定义运算：a★b=a(1一b).若 1 a,b是方程x-x+4m=0(m<0)的两根， 材料2：已知一元二次方程x2一x一1=0的 则b★b一a★a的值为() 两个实数根分别为m,n,求mn十mn A.0 B.1 的值 C.2 D.与m有关 解：，m,n是一元二次方程x2一x一1=0的 14.(2023·四川内江中考)已知a,b是方程 两个实数根， x8+3.x-4=0的两根，则a+4a十b-3= ∴.m十=1，mn=-1. 则m2n十mn2=mn(m十n)=-1X1=-1. 15.(2023·湖南岳阳中考)已知关于x的一元 根据上述材料，结合你所学的知识，回答下 列问题： 二次方程x2十2m.x十n2一m十2=0有两个 (1)应用：一元二次方程2.x2+3.x一1=0的 不等的实数根x1,x2,且x1十x2十工1·x2= 2,则实数n= 两个实数根为x1x2,则x1十x2=一， TI: 16.若m,n是一元二次方程x2十3.x-1=0的 (2)类比：已知一元二次方程2.x2+3.x一1=0 丙个实数根则站的值为 的两个实数根为m,n,求m2十n2的值。 17.(2023·四川宜宾中考)若关于x的方程 (3)提升：已知实数s,t满足22+3s一1=0， x2一2(m十1)x十m十4=0两根的倒数和为 20+31-1=0且5≠，求-1的值 1,则m的值为 4 18.推理能力在解方程x十px十q=0时，小 张看错了p,解得方程的根为1与一3：小王 看错了q,解得方程的根为4与一2. (1)求p和q的值. (2)设m,n是方程x2+px十q=0的两实数 根，不解方程求m”+2n2十n的值。 一九年级上册数学：则 12a=1,b=-4V2,c=8. 于是得x十3=0，或x-3=0, △=b2-4ac=(-4√2)2-4×1×8=0， x1=-3,x2=3. (2)因式分解，得x(x十2)=0. x=-（-42=2w2, 于是得x=0,或x十2=0， 2 x1=0,x2=-2. 即x1-x2=2√2. (3)原式变形，得x(x一2)-(x-2)-0. (3)方程整理，得x2+4x十16=0. 因式分解，得(x一2)(x一1)=0. a=1,b=4,c=16. 于是得x-2=0,或x-1=0, △=b2-4ac=42-4×1×16=-48<0. x1=2,x2=1. 此方程无实数根 (4)因式分解，得2(x-5)(x十3)=0. 8.解：(1)由题意，得△=(2m-3)2-4m2≥0， 于是得x-5=0,或x十3=0， 整理，得-12m+9≥0，解得m< x1=5,x2=-3. 7.B 所以当m<子时，该方程有实数根 8.解：(1)原方程可化为x2=3. 直接开平方，得x1=√3，x2=一√3。 (2)当m=0时，方程为x2十3x=0. (2)移项，得x2十2x=399. a=1,b=3,c=0. △=b-4ac=9>0. 配方，得x2+2x十1=399+1，即(x+1)2=400, 直接开平方，得x十1=20或x十1=-20， 方程有两个不等的实数根x=一b士B-4ac 解得x1=19,x2=-21. 20 (3)因式分解，得(x一2)(x+1)=0. 厂36=一3，生3解得x1=0z,=-3 即x-2=0或x+1=0, 2×1 所以x1=2,x2=-1. 9.m=410.A11.D12.A13.A (4)(3.x+2)(x+3)=8x+15. 9 14.x1=-8,x2=215.416.-1≤k<3 方程整理，得x2十x一3=0， a=1,b=1,c=-3, 17.-1解析：，关于x的方程x2-(2k一2)x十2一 ∴.b2-4ae-18-4×1×(-3)=13, 1=0有两个实数根， .判别式△=[-(2k-2)]2-4×1×(k2-1)≥0， x=-1±3 2 整理，得一8k十8≥0，.k≤1， ∴.k-1≤0,2-k>0, 解得x,=一1+1 2 x2--1-13 2 ∴.√(k-1)-(2-) =一(k-1)一(2一k) 9.C10.C11.D12.4+2√2 =-1. 13.解：(1)(x+1)(x十5)(x十3)(x-5) 18.解：(1)证明：，△=(2a一2)2-4×(-1)(-a2+ (2)2x2+3x-5=0, 2a)=4>0,.方程有两个不等的实数根. (2x+5)(x-1)=0, (2).△=(2a-2)2-4×(-1)(-a2+2a)= 2x+5=0,或x-1=0, 4>0, -(2a-2)士2 所以x1=一2x,=1 = 2×(-1) ,x1=a,x2=a-2. (3)3x2-(6+a)x+2a=0, :方程只有一个实数根小于3，a一2<a, (3x-a)(x-2)=0, .a-2<3,且a≥3，∴.3≤a<5. 3x一a=0或x-2=0, 19.解：(1).x=-1是方程的根，.(a十c)×(-1)2 2b+a-c=0..a+c-2b+a-c=0..a-b=0. 所以x=号=2。 ∴.a=b,则△ABC是等腰三角形. 14.解：6x2+7x-3=0, (2),方程有两个相等的实数根， 拆项，分组，得6x2一2x十9x一3=0， ∴.△=(2b)2-4(a+c)(a-c)=0. 提公因式，得2x(3x一1)+3(3x一1)=0， .4b2-4a2+4c2=0..a2=b2+c2 再提公因式，得(3x-1)(2x十3)=0， .△ABC是直角三角形. 所以3x-1=0,或2x+3=0. (3)△ABC是等边三角形，∴.a=b=c≠0. 1 3 .(a+c)x2+2bx十a-c=0可整理为2ax2十 即x1=3x2=一2 2ax=0.x2+x=0.∴4=1，x=-1t1, 21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 2 ，解得 (课程标准变动为考查内容)】 x1=0,x2=-1. 1.A2.B3.B4.25.-2 21.2.3因式分解法 6.解：x1,x:是方程2x2+5x一7=0的两个实数根， 1.C2.A3.B4.85.x十3=0（或x-1=0) 7 6.解：(1)因式分解，得(x+3)(x-3)=0. “x1十x2=-?x1x2=-2 2 (1)原式=(x1十x2)2-2x1x2= 2 53 4+7 ∴.s,l是一元二次方程2x+3x一1=0的两个实 4 3. 53 数根，“s十1=一 (2)原式=+x 53 xIx2 71 14 -户=+-4=（人2》-4× 2 7.C8.C 21 9.一5解析：，一元二次方程x23x十k=0的两个 实数根为x1工2， x1十x2=3,x1·x2=k. 1-1=-g ①7 2 1 -=士17. s t st x1x2+2x1+2xg=1,.k十2X3=1, 解得k=-5. 又，方程有两个实数根， 阶段检测一（21.121.2) ∴.△=b2-4ac=(-3)2-4k≥0， 1.B2.D3.B4.D5.A6.C7.C8.C 9.201910.-311.312.413.714.3√21 解得k≤{，综合以上可知实数=一5， 15.解：(1)4(6x-1)2=25, 10.解：(1)，关于x的一元二次方程x2-(2m 1)x十m2=0有实数根， （x-1y-华 ∴.△=b2-4ac=[-(2m-1)]2-4×1×m≥0， 解得m≤子 62-1=±号，解得x1=24,= 4 (2)原方程整理为x2一4x十1=0. (2),关于x的一元二次方程x2-(2m-1)x+ a=1,b=-4,c=1. m2=0的两个根分别为x1,x2, △=b2-4ac=(-4)2-4×1×1=12>0. .x1十x2=2m-1,x1x2=m2 方程有两个不等的实数根， :x1十x2=2-x1x2,即2m-1=2-m2, 整理，得m2+2m一3=0， 工=4生厘-4±23 2×1 =2士3. 2 .(m+3)(m-1)=0, ∴x1=2十√3，x2=2-3 解得m1=一3，m2=1(不合题意，舍去). (3)x2+3x-2=0,x2+3x=2. 故m的值为一3. 11.C12.A13.A14.-215.316.3 (+}-+ 3 17.2解析：设关于x的方程x2一2(m+1)x十m+ 4=0两根为《，9， 解得x,=7-3。 -√17-3 ∴.a十B=2(m+1),a9=m+4. 22= 2 ,两根的倒数和为1， (4)x(x-7)=8(7-x), +1 .2m+1=1, x(x-7)十8(x-7)=0. =1, m十4 (x-7)(x十8)=0. 解得m=2,经检验，m=2是分式方程的解， x一7=0，或x十8=0， 当m=2时，原方程为x2一6x十6=0， 解得x1=7,x2=一8. △=12>0，.m=2符合题意. 16.解：(1)a≠0，△=b2-4ac=(a+2)2-4a=a2+ 18.解：(1)根据根与系数的关系，得g=一3×1=一3， 4a+4-4a=a2+4.a2>0,∴.4>0..方程有两 p=一（一2十4）=一2.则p的值为一2，q的值 个不等的实数根. 为-3. (2)方程有两个相等的实数根， (2)由(1)，得原方程为x2一2x一3=0， '.△=b2-4a=0. ∴.n十n=2,mn=一3， 若b=2,a=1,则方程变形为x2+2x十1=0，解得 .m2+2n2+pn=m2+2m3-2n=m2+n2+n3 x1=x2=一1.（答案不唯一） 2n-3+3=(m+n)2-2mn+(n2-2n-3)+3= 17.解：(1)b8-4ac=22-4×1×(3-k)--8+4k. 4+6+0+3=13. 方程有两个不等的实数，∴.一8十4k>0, 19解：)-2- 解得k>2. (2)一元二次方程2x2+3x一1=0的两根分别 (2)”方程的两个根为a,8,∴8=C=3-k, 为m,n, ∴.k2=3一k+3k,解得k1=3,k2=一1（舍去）， 3 1 k的值为3. 六m十n=一之，mn=一2： 18.解：(1)由根与系数的关系可知a十b=6,ab= +113 m2+n=(m+n)2-2mn=9 m-3. 4 ,a,b分别为矩形的两条对角线的长， (3)实数s,4满足2s2+3s-1=0,22+3t-1 .a=b,.a=b=3,.m-3=3X3=9, 0,且s≠t, .m=12. 3