4.8 图形的位似-【优+学案】2024-2025学年九年级上册数学课时通(北师大版)

8图形的位似 第1课时 位似图形及其性质与画法（答案P22) 通基础》 △ABC与△DEF的面积比和周长比. 知识点1位似图形的认识 1.下列两个相似图形不是位似图形的是( B 2.(2023·西安未央区三模)如图所示的两个三 多横对位似图形的位置把握不清 角形是位似图形，它们的位似中心 6.若△ABC与△A'B'C'关于点O位似，其位似 是点 比是1：3，AO=5cm,则对应点A,A'之间的 距离是 通能力3323093397999399 7.(2023·石家庄晋州期中)如 图所示，四边形ABCD和 知识点2位似图形的性质 A'B'C'D'是以点O为位似 3.如图所示，以点O为位似中心，把△ABC放大 中心的位似图形.若OA：AA'=1:3,四边形 2倍得到△A'BC'.下列说法错误的是() ABCD的面积是3，则四边形A'B'CD'的面积 A.△ABC∽△A'B'C'B.AO:AA'=1:2 是( C.AB∥A'B D.直线CC经过点O A.9 B.12 C.27 D.48 8.如图所示，在正方形网格图中，每个小正方形 的边长均为1，点O和△ABC的顶点均为 格点. (1)以点O为位似中心，在网格图中作 第3题图 第4题图 △AB'C',使△A'B'C'和△ABC位似，且相似 4.(2023·长春中考)如图所示，△ABC和△A'B'C 比为1：2. 是以点O为位似中心的位似图形，点A在线 (2)连接(1)中的AA',求四边形AA'CC的周 段OA'上.若OA:AA'=1:2,则△ABC与 长.（结果保留根号） △A'BC的周长之比为 知识点3位似作图 5.(教材P115习题4.13T2变式)如图所示，以点 P为位似中心画△ABC的位似图形△DEF, 使△ABC与△DEF的位似比为1：2，并写出 优学案课时道 第2课时 平面直角坐标系中的位似变换（答案P22) 通基础 知识盒2平面直角坐标系中的位似变换作图 5.(救材P118习题4.14T2变式)(2023·淄博临 知识点1平面直角坐标系中的位似变换 淄期末)在如图所示的方格纸中，△OAB的顶 1.在平面直角坐标系中，△OAB各顶点的坐标 点坐标分别为O(0,0),A(一2，一1)，B(一1， 分别为O(0,0),A(1,2),B(0,3),以点O为位 一3)，△O1A1B1与△OAB是以点P为位似 似中心，△OA'B'与△OAB位似，若B点的对 中心的位似图形 应点B'的坐标为(0，一6)，则A点的对应点A' (1)在图中标出位似中心P的位置，并写出点 的坐标为() P及点B的对应点B1的坐标， A.(-2,-4) B.(4,-2) (2)以原点O为位似中心，在位似中心的同侧 C.(-1,-4) D.(1,-4) 画出△OAB的一个位似图形△OA2B2,使它 2.(2023·嘉兴中考)如图所示，在平面直角坐标 与△OAB的位似比为2：1，并写出点B的对 系中，△ABC的三个顶点分别为A(1,2), 应点B2的坐标. B(2,1),C(3,2),现以原点O为位似中心，在 (3)△OAB的内部一点M的坐标为(a,b),写 第一象限内作与△ABC的位似比为2的位似 出M在△OA2B2中的对应点M2的坐标. y 图形△A'B'C',则顶点C'的坐标是() A.(2,4) B.(4,2) C.(6,4) D.(5,4) 第2题图 第3题图 3.如图所示，在平面直角坐标系中，每个小正方 形的边长均为1个单位长度，△ABO的顶点 坐标分别为A(一2，-1)，B(一2，一3)，O(0, 0),△ABO与△A1B1O1是以点P为位似中 心的位似图形，则点P的坐标为 4.几何直观如图所示，在平面直 角坐标系xOy中，△OAB的顶 点分别为A(4,3),B(3,0), 稀国因位似图形不确定而漏解 O(0,0),以点O为位似中心，在第三象限内作 6.(2023·洛阳新安期中)在△ABC中，A(-2, 1),B(3,2),C(1,-4),将△ABC以点O为位 与△OAB的位似比是3的位似图形△OCD, 似中心放大为原来的3倍，成为△A'B'C,则点 则点C的坐标是 A'的坐标为 一九件级上用数学站 100 通能力 通素养 7.如图所示，线段CD两个端点的坐标分别为 10.创新意识》如果两个一次函数y=k1x十b1 C(一1，-2)，D(-2,一1)，以原点O为位似中 和y=2x十b2满足k1=2,b1≠b2,那么称 心，在第一象限内将线段CD扩大为原来的 这两个一次函数为“平行一次函数” 2倍，得到线段AB,则线段AB的中点E的坐 如图所示，已知函数y=一2x十4的图象与 标为() x轴、y轴分别交于A,B两点，一次函数y= A.(3,3) kx十b与y=一2x十4是“平行一次函数”. (1)若函数y=kx十b的图象过点(3,1)，求b C.(2,4) D.(4,2) 的值. (2)若函数y=kx十b的图象与两坐标轴围成 的三角形和△AOB构成位似图形，位似中心 为原点，位似比为1：2，求函数y=kx十b的 表达式 第7题图 第8题图 8.几何直观如图所示，△ABO的顶点坐标分别 是A(2,6),B(3,1),O(0,0),以点O为位似中 心，将△AB0缩小为原来的号，得到△A'BO, 123 45 则点A'的坐标为 9.运算能力如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC的顶点分别是A(1,1),B(2,3), C(3,2). (1)作出△ABC关于x轴对称的图 形△ABC. (2)以原点O为位似中心，在y轴的左侧画出 △A,B,C2,使它与原三角形的相似比为2：1 (3)求△AzB,C2的面积. 101 优学案课时通一(2),△AEF与△CDF的面积之比等于对应边长之比的平 方，.SAA:S△mr=1:9. 贤 ,△AEF的而积等于6cm2, 12.解：EF∥AB,.△DEF△DAB, '.△CDF的面积等于54cm 13.解：(1)如图①所示，过点P作PE⊥QR,点E为垂足 器-器.E/cD,i△BEF△CD, 部-5@，①+@，得丽十丽，由意羽 DF BF EFEF PQ-PR.QE-RE-2QR=4cm. 在R△PEQ中，PE=√5-4F=3(cm). 5X2.8=14(米)，CD9×2.8=25.2(米). 当t=3s时，QC=3cm,设PQ与DC交于点G. .PE∥DC,∴.△QCG∽△QEP, 25.2=1EF=9(米). EF 答：小树EF的高度为9米。 ∴s-()×6= 27 8图形的位似 cm). 第1课时位似图形及其性质与画法 1.A2.P3.B4.13 5.解：△DEF如图所示： 0 (2)如图②所示，当t=5s时，CR=3cm.设PR与DC交于 点G,由△RCG0△RBP,-货：g-iCG 9 1 Gcm,SAgX3X}=智cm),S▣ 2×8X3 面积比为114，周长比为1：2. (cn ), 6.20cm或10cm解析：，△ABC和△A'B'C'关于点0位 似，且位似比为1t3,.其对应边的比为1t3.AO=5cm, 阶段检测三（4~7) .A'0=15cm,.AA'=A0+A'0=20cm,或AM'=A'0 AO=10 cm. 16 40 1.C2.C3A4.C5.B6.37.248.17cm 7.D 第：E到，AB=AD,AC=AE,沿-号怎=写 8.解：(1)所作图形如图所示. .AD_AE AB AC 又：∠DAE-∠BAC,∴.△ADE△ABC (2)'△ADE∽△ABC,且AD-1 B301AC1C (2)0C=3,0A=√/+4=/17，AC=4+4=42. S△A （3）=g又Sae=10, :△A'B'C和△ABC位似，且相似比为1：2， ∴.S△ABe=9·S△ADe=9X10=90,.S网边蒂段D=S△ABC Ac=4c=2wi,8瓷-8盼-0c=700- S△ADe=90-10=80. 10.解：(1)证明：：四边形ABCD是矩形，∴.∠A=∠B= on'-ton-M-on-@-.c- 3 ∠C=90°.根据折叠的性质知∠A=∠DFE=90°， .∠BEF+∠BFE=∠BFE+∠DFC=9O°， 0C-OC=是四边形AAC'C的周长为AC+C+AC+ .∠BEF=∠DFC,.△EFB∽△FDC. (2)由折叠的性质知AD=DF=10.,CD=6,∠C=90°， M-+2+2+-6g+是+ 2 2 ∴.CF=√DF-CD=√/102-6=8. 第2课时平面直角坐标系中的位似变换 AD=BC=10,..BF=BC-CF=10-8=2. :△EFBn△FDC,∴CF-CD BE BF .A2.C3(-5,-3)4(-专-) 5.解：(1)位似中心P如图所示，P(-5,一1)，B1(3,一5). 即E、2 5-名BE=号 (2)△OA:B,如图所示，B:(-2,一6). (3)点M2(2a,2b). 11.解：(1)证明：AC平分∠DAB, ∠DAC=∠CAB.AC2=AB·AD, ÷福-C△ADCAACB, (2).△ADC∽△ACB. .∠ACB=∠ADC=90 点E为AB的中点， CE=AE-2AB-∠EAC=∠BCA ∠DAC=∠ECA,,CE∥AD, 22 6.(一6,3)或(6，-3)解析：：将△ABC以点O为位似中心放【变式训练1】 大为原来的3倍，成为△A'BC',点A的坐标为(-2,1)， .点A'的坐标为（一2×3,1×3）或（一2×（一3），1×(-3)， 解：品号…设FG=5rc,则GH=9rm:在三角形 即(-6,3)或(6，一3). ABC中，AD⊥BC于点D,四边形FGHI为矩形，，FI∥BC 7.A&(学2)或（号-2） FG∥AD,FI=GH=9xcm,FG=HI,,△AFI∽△ABC, △BFGD△BAD, 9.解：(1)如图所示，△A1B:C1为所求作. FIAF 9x FG BF 5x (2)如图所示，△A,B:C:为所求作. “BCAB36'ADAB12 紫+瓷福+船-1 部得一名 ∴矩形的周长为2(5x+9x)=42(cm). 答：矩形FGH1的周长为42cm. 5432 【例2】思路分析：设经过x秒△PQC和△ABC相似，先求出 CP=(8一x)cm,CQ=2xcm,再利用相似三角形对应边成比倒 列式求解即可 解：设经过x秒，△PQC和△ABC相似，则CP=AC-AP= (8-x)cm,CQ=2x cm. （3③)S446=4X4-壹×4X2-×4X2-号×2x2=6. q)当CP与CA是对应边时，AC一C, CP CQ 10.解：(1)由已知得k=一2，把点(3,1)和k=一2代人y= 161 kx+b,得1=-2×3+b,.b=7. 解得x=4； (2)由题图，得y=一2x十4与x轴、y轴分别交于点(2,0) ②)当CP与BC是对应边时，院器。 和(0,4).根据位似比为1：2得函数y=x十b的图象有两 种情况，如图所示。 即8-x2z 16 8 ①不经过第三象限时，由题意，得位似比为12，所以y= 8 kx十b过点(1,0)和(0,2)，这时函数表达式为y=一2x十2， 解得x=5 ②不经过第一象限时，由题意，得y=红十b过点（一1,0）和 (0,一2)，这时函数表达式为y=一2x一2. 故经过4秒或号秒，△PQC和△ABC相似。 【变式训练2】 解：设DP=x.四边形ABCD为矩形，.BC=AD=2,CD AB=5,∠D=∠C=90° Pc=5-x:∠D=∠C,当0-器时，△DAP0 △CBP,脚号-写千解得x-号当0-S时，△DAP 5 △CPB,m写名三受解得x,=1,=4 本章综合提升 综上所述，DP的长为成1或4 【本章知识归纳】 【例3】思路分析：(1)利用位似图形的性质分别作出A,B,C,D 的对应点A1,B1,C1,D1即可， -台比例线段名== a十c十：十ma (2)利用位似变换的性质解决问题即可】 b十d+十nb (3)利用相似的性质解决问题. 成比例平行相等成比例对应边相等成比例 相 解：(1)如图所示，五边形OA1B,C1D1即为所求， 等夹角三ABAC AC BC 阳光下标杆镜子相似比 (2)(8,4) (3)54 相似比平方位似中心相似比坐标原点k 【思想方法归纳】 【例1】思路分析：根据题意得出△ABCC∽△EDC,△ABFC∽ △GHF,设AB,BC的长，利用相似三角形的性质得出答案. 解：设AB=x米，BC=y米.'∠ABC=∠EDC=90°，∠ACB= ∠BCD△ABCn△EDC0-瓷∴话=音 C :∠ABF=∠GHF=90°，∠AFB=∠GFH,∴.△ABFO △cr品那流=0学- 3,解得y 432023到45678gx .j..j.L...1.. 20,把y=20代人云5兰中，得x=15 【变式训练3】 .树的高度AB为15米. 解：(1)建立平面直角坐标系如图所示，点B的坐标为（一4,1）. 23