2.3 第1课时用公式法求解一元二次方程-【优+学案】2024-2025学年九年级上册数学课时通(北师大版)

3用公式法求解一元二次方程 第1课时用公式法求解一元二次方程（答案P8) 通基础>2 知识点2一元二次方程的根的判别式 7.(2023·滨州中考)一元二次方程x2十3x 知识点1用公式法求解一元二次方程 2=0根的情况为() 1.用公式法解方程x2-2=-3x时，a,b,c的值 A.有两个不相等的实数根 依次是() B.有两个相等的实数根 A.0,-2,-3 B.1,3,-2 C.没有实数根 C.1,-3,-2 D.1,-2,-3 D.无法判断 2.以x=2±/-2)-4×3×(-1D 8.(2023·北京中考)若关于x的一元二次方程 2×3 为根的一元 x2一3x十m=0有两个相等的实数根，则实数 二次方程可能是() m的值为() A.3x2+2x-1=0 B.2x2+4x-1=0 C.-x2-2x+3=0 D.3x2-2.x-1=0 A.-9 B.- c D.9 3.一元二次方程x2=x十1的解是() 9.(2023·上海中考)已知关于x的一元二次方 A.x=1±5 程ax2十6x十1=0没有实数根，那么a的取值 2 范围是 B.x=-1±5 10.分别求k为何值时，关于x的一元二次方程 2 kx2一6x十9=0的根有以下几种情况. C.x=Jx+1 (1)有两个不相等的实数根， D.x=士√/x+1 (2)有两个相等的实数根. 4.用公式法解方程(2x一1)2十4=(x+2)2一4， (3)无实数根. 先把它整理为 ,它的根为 5.关于x的方程x(x十6)=16解为 6.运算能力◆用公式法解方程： (1)5.x8+2x-1=0: (2)2x2+3=6x. 指三忽略二次项系数不为0的隐含条件 11.(2023·聊城中考)若一元二次方程mx2十2x十 1=0有实数解，则m的取值范围是() A.m≥-1 B.m≤1 C.m≥-1且m≠0D.m≤1且m≠0 一九鲜级上饰数学的 通能力● 17.关于x的一元二次方程x2一3x十k=0有实 数根。 12.直线y=x十a不经过第二象限，则关于x的 (1)求k的取值范围. 方程ax2+2x+1=0实数解有( ) (2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二 A.0个 B.1个 次方程(m一1)x2十x十m一3=0与方程x2 C.2个 D.1个或2个 3x十k=0有一个相同的根，求此时m的值. 13.(2023·广州中考)已知关于x的方程x2 (2k一2)x+2一1=0有两个实数根，则 √（一1）2一√(2一)的化简结果是() A.-1 B.1 C.-1-2k D.2k-3 14.若关于x的一元二次方程号-2x-m十 1=0有两个相等的实数根，则(m一2)2一 通素养》9299999999 2m(m一1)的值为 18.探究拓展已知关于x的一元二次方程(a十 15.已知a,b,c为△ABC的三边长，且方程 c)x2-2bx+(a-c)=0,其中a,b,c分别为 (a十b)x2一2cx十a=b有两个相等的实数 △ABC三边的长. 根，则三角形△ABC的形状为 (1)如果x=1是方程的根，试判断△ABC的 16.运算能力》用公式法解下列方程： 形状，并说明理由。 (1)3y(y-3)=2(y+1)(y-1); (2)如果方程有两个相等的实数根，试判断 △ABC的形状，并说明理由 (3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一 元二次方程的根。 (2)(3x-1)(x+2)=11x-4. 635 优学案课时通1 两边开平方得一了士 (1)根据勾股定理，得PQ'=BP2+BQ,(6一t)2+(2:)= 3 36,512-121-0.解得11=0,12-2.4.1≠0，.1=2.4. 或 .1=2.4时.PQ=6cm. 即x一3=3 10 3 (2)根据三角形的面积公式，得2PB·BQ=8t(6-1)=8, ,=+o 1-/10 3= 2-6t+8=0,(1-3)2=1,解得1=2或4， 3 .1=2或4时，△PBQ的面积等于8cm. (3)原方程可化为x一3x=10. 3用公式法求解一元二次方程 配方，得2-3x+()）'=10+(侵) 第1课时用公式法求解一元二次方程 (c-）广-9 1.B2.D3.A 5 7 4.3x-8x+5=04=3x,=1 3 两边开平方，得一2=士2 5.x1=-8,x,=2 6.解：(1)，a=5,b=2,c=-1, x=-b生-a=-2±26--1±6 x1=5,x2=-2. 2a 2×5 5 17.解：(1)：x2+y2+8x-2y+17=0, ,=1+6 -1-√6 .(x+4)2+(y-1)2=0. 5 x:= 5 x=-4y=1. (2)原方程可化为2.x2一6r+3=0. ∴.x+3y=-1. a=2,b=-6,=3, (2)a2+b2=6a+86-25. ∴.4=(-6)2-4×2×3=12>0. ∴.a2-6a+9+b2-8b+16=0, .(a-3)”+(b-4)2=0. ÷x=6士V厘_6±283±3 2×2 4 2 ∴a=3,b=4 ,a,b是等腰△ABC的两边长， 243-g 2 .当a是腰，b是底时，△ABC的周长为3十3十4=10： 7.A8.C9.a>9 当b是腰，a是底时，△ABC的周长为4十4十3=11. 10.解：(1)根据题意，得k≠0且4=(-6)一4k·9>0,解得 综上所述：△ABC的周长为10或11. k<1且k≠0. 第2课时用配方法求解较复杂的 (2)根据题意，得k≠0且△=（一6）一4k·9=0,解得 一元二次方程 k=1. 1 1.B2.C3.A4.115.1 (3)根据题意，得k≠0且△=（一6）一4k·9<0,解得 k>1. 6.解：(1)原方程化为2x-3x=一1， 11.D12.D13.A (-)=6…=1= 14.之15.直角三角形 (2)原方程化为3x°一23x十1=0， 16.解：(1)原方程可化为y一9y十2=0， 5-D-0=- a=1.b=-9,0=2, .b3-4ac=(-9)2-4×1×2=73>0, 7.1士58.2+25 y=二(-9)±a 9.解：设十位上的数字为x,则个位上的数字为x十2 2 根据题意得3.x(x十2)=10x十(x十2)， y=9+g 9-/73 整理得--2-0…-名》广-号 2y= 2 (2)原方程可化为3.x2一6.x+2=0, 1 .a=3,h=-6,c=2, 解得工，=2工=一3（不合题意，舍去）. .b-4ac=(-6)2-4×3×2=12>0, x+2=4, -(-6)±√/12 .这个两位数为24. x= 2×3 ,-3+3=3-5 31= 10.C11.A12.6 17.解：(1)由题意，得4=b2-4ac=(-3)2-4k≥0， 13.解：(1)a+62一10a-12b+61=0, ∴.a3-10a+25+62-12b+36=0, 解得<号 .(a-5)+(b-6)3=0. (a-5)≥0.(6-6)2≥0. （2)由(D得≤号，且长是符合条件的最大整数，k-2 .a-5=0,h-6=0 将k=2代入x2-3r十k=0,得x-3x+2=0,解得x1=1, 解得a=5,b=6. g=2. a.bc是△ABC的三边长， ①当两个方程相同的根为1时，将x=1代人(m一1)x十 '.6-5<e<6+5, 即1<c<11. 十烟一3=0，解得m-是 (2)由题意，得P-Q=2x+4y+13-(x2-y2十6x一1)= ②当两个方程相同的根为2时，将x=2代人(m一1)x2十 x2-6x+9+y2+4y+4+1=(x-3)2+(y+2)2+1>0, x十m一3=0，解得m=1,此时m一1=0，即二次项系数为 ∴.P>Q. 0,与题意不符. 14.解：根据题意，可知BP=AB一AP=(6一t)cm,BQ= 2t cm. 综上所述，m=2 8 18.解：(1)△ABC是等腰三角形.理由如下：把x=1代人方程，3.解：(1)由题意知.△=(2m十1)一4(m一2)>0， 得a十c一2b十a-c=0,则a=b,∴.△ABC为等腰三角形. (2)△ABC是直角三角形，理由如下：根据题意，得△ 20m-15>0,m>是”m-2≠0，m≠2，故m的取值 (-2h)2-4(a十c)(a-c》=0,即b+c=a,.△ABC为 范周是m>浮且m≠之 直角三角形. (3)△ABC为等边三角形，'.a=b=c, (2)由题意知，△=(2m+1)2-4(m-2)2=0. .方程化为x一x=0,解得x1=0,T:=1 m一2≠0m≠2. 3 .20m一15=0，，.m= 第2课时公式法的实际应用 3 1.D2.23.2m 故m的值是m=了 4.解：设AB的长为xm,则BC的长为(14-x)m. (3)由题意知，△=(2m+1)2-4(m一2)2<0. 依题意，得x(14一x)=48, 解得x1=6,r:=8. 20m-15<0.m<是：m-2≠0， 答：AB的长度为6m或8m 5.解：(1)设矩形与墙垂直的一边AB=xm,矩形的面积为 m≠2，放加的取值范阴是m<是 Sm2,则BC的长为(20一2x)m.根据题意.得 S=x(20-2x). 4.解：1)：关于x的方程r2-(k+1)x+ =0有两个不相 4 (2).x(20一2x)=48,解得x=4或x=6,故AB的长为4m 等的实数根。 或6m. A>0且≠0，即[-+1P-h×冬>0且≠0.解得 (3)不能.理由如下：设矩形场地的宽为xm,则长为(20 2x)m,依题意列方程x(20一2x)=60,即x1一10x十30=0， k>-号且20， △=10一4×1×30=一20<0，方程无实数解，故矩形场地的 面积不能达到60m. (2)存在.若方程的一个实数根是1，则k一(k十1)十女 65米7.A810em9号 解得=4，符合条件 即当k=4时，方程有一个实数根为1. 10.解：设BC=xm.BE=am,则AE=2am,AB=3am.根 5,解：(1)证明：a=1,b=一m,c=一2m2, 据题意，得2x十8a=160, ∴.b2-4ac=(-m)2-4×1×(-2m2)=9m ∴a=20-AB=3a=(60-子+）m :不论m为何值，总有m≥0，即9m≥0，.b2-4ac≥0. ∴.不论m为何值，该方程总有两个实数根 (0-)-120 (2):x=1是x一mx一2m2=0的根，∴1一m一2m=0,即 2m2+m=1,.4m3+2m+5=2(2m+m)+5=2×1十 解得x1=x:=40. 5=7. .当BC=40m时，矩形ABCD的面积为1200m 6.证明：：方程x2+2x一m+1=0设有实数根， 11.解：(1)设与墙垂直的一面为x米，则另一面长为(26一2x十 .△=22-4(-m十1)<0，.4m<0,.m0. 2)米. 方程x十m.x=1一2m可化为x十mx十2m一1=0， 根据题意得x(28-2x)=80, .△=m一8n+4.m2>0,8m>0, 整理得x一14x十40=0， ,.m-8m+4>0,.4>0, 解得x,=4x:=10. .方程x十mx=1一2m一定有两个不相等的实数根。 当x=4时，28-2.x■20>12（舍去）， 7.解：此三角形为直角三角形.理由如下：方程整理，得(b十c)· 当x=10时，28-2x=8<12, x一2ar一(b一c)=0.,方程有两个相等的实数根， 长为10米，宽为8米. ..△=4a2-4(b+e)·[-(b-)]=0, (2)设小路的宽为a米，根据题意得(8-2a)(10-a)=54. ,.a十b3=c,.此三角形为直角三角形 a2-14a+13=0, 8.解：：方程有两个相等的实数根，.△=0，即(a+2)2 解得a1=13>10(舍去》，a,=1. 答：小路的宽为1米. 4×1x(-a+7）=0 专题三一元二次方程根的判别式的应用 ,.42+5a-24=0, a1=-8,a:=3a是正数，∴a=3. 1.解：(1)y-2y+1=0, 在等腰三角形ABC中， 4=(-2)2-4×1×1=0. ①当b=5为底时，则a=c=3,此时△ABC的周长为3+3+ ,此方程有两个相等的实数根 5=11. (2)(2x-1)2+r(x+2)=0, ②当b=5为腰时.c=b=5.此时△ABC的周长为 方程可变形为5x2一2x十1=0. 5+5+3=13.综上可知△ABC的周长为11或13. △=(-2)2-4×5×1=-16<0. 9.解：(1)，方程x°十(2m十1)x十m3一4■0有两个不相等的 .此方程没有实数根. 实数根， 2.解：d=(2c)2-4(a+b)=4(c+a+b)(c-a-b). .△>0，即(2m+1)一4×1×(m-4)>0, a,b,心分别是三角形的三条边长， a+b>c,a+b+c>0.c-a-6<0, 54m十17>0，解得m>一只∴当0>一号时，方程有背个 ∴.4(e+a+十b)(c-a-b)<0,即4<0， 不相等的实数根。 ,方程(a十b)x2十2ex十(a十b)=0没有实数根. (2):方程的两个根分别是四边形的一组邻边的长，且该四边