专题07 商的近似数和循环小数-2025年新五年级数学暑假自学课（人教版）

2025年新五年级数学暑假自学课 专题07 商的近似数和循环小数 一、思维导图 二、知识点梳理 知识点一：商的近似数 在实际应用中，小数除法所得的商，可以根据需要，按“四舍五入”法保留一定的小数位数。一般要计算计算到比保留的小数位数多一位，再用四舍五入法进行取舍。 【典例分析01】47.88÷24＝1.995，商按“四舍五入”法精确到百分位应写作（    ）。 A．2.0 B．2.00 C．1.99 D．2.01 【变式训练01】在第届杭州亚运会男子米接力决赛中。中国队以秒的成绩夺得金牌，平均每位运动员用时多长？（得数保留两位小数） 【变式训练02】列竖式计算。 55.3×1.6＝                   3.28×1.2＝                    0.306÷0.36＝ 6.58×2.3≈    （得数保留一位小数）   3.68÷0.45≈    （得数精确到百分位）    9.7÷1.3≈    （得数精确到千分位） 知识点二：循环小数的认识和简写 一个数的小数部分从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。例如5.333∙∙∙、7.1454545∙∙∙都是循环小数。 一个循环小数的小数部分依次不断重复出现的数字就是这个循环小数的循环节。例如5.333∙∙∙的循环节是3。7.1454545∙∙∙的循环节是145。 写循环小数时可以只写第一个循环节，并在循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点。例如5.333∙∙∙写作7.1454545∙∙∙写作7. 【典例分析02】的商用循环小数简便法表示是( )，保留三位小数约是( )。 【变式训练01】循环小数7.14545…用简便记法可写作( )，把它精确到十分位是( )。 【变式训练02】4.33333333是（     ）。 A．有限小数 B．无限小数 C．循环小数 【变式训练03】保留两位小数是（    ）。 A．18.49 B．18.50 C．18.51 D．18.5 【变式训练04】循环小数一定是无限小数，无限小数却不一定是循环小数。( ) 知识点三：循环小数比大小 【典例分析03】将3.6868、3.6868…、3.6888…、3.68按从小到大的顺序排列。 ( )＜( )＜( )＜( )。 【变式训练01】下面三个数中最大的是（    ）。 A． B． C． 【变式训练02】在1.、1.、1.6、1.67777中，最小的数是( )，最大的数是( )。 【变式训练03】与2比，哪个大？为什么？ 知识点四：循环小数的周期性问题 【典例分析04】1÷14的商的小数点后面第1001个数字是几？这1001个数字的总和是多少？ 【变式训练01】循环小数1.726726…，小数部分第17位上的数字是（     ）。 A．7 B．2 C．6 【变式训练02】3÷7的商的小数部分第15位是( )，第150位是( )。 【变式训练03】循环小数0.1578578578…的循环节是( )，小数点后第50位数字是( )。 【变式训练04】循环小数，小数点后第100位上的数是（    ）。 A．1 B．5 C．6 D．9 三、课后巩固 1．列竖式计算。（除不尽的商保留两位小数。） 0.13÷0.17≈           0.468÷0.13＝ 48.02÷12≈           9.76÷2.2≈ 2．0.57878…保留一位小数是( )，保留两位小数是( )。 3．A÷0.7＝B，B是一个两位小数，保留一位小数是2.0，B最大是( )，最小是( )。 4．5÷22的商用循环小数的简便形式表示是 ，保留三位小数约是 。 5．400÷75的商是一个( )小数，用简便形式可以表示为( )，精确到百分位约是( )。 6．7.181818…是( )小数，循环节是( )，用循环小数的简写形式表示为( )，保留两位小数约是( )。 7．在0.999…、5.1243、2.9657…、62.0505…中，有限小数有( )，无限小数有( )，循环小数有( )。 8．在0.67，，0.677，0.76中，最大的数是( )，最小的数是( )。 9．王阿姨用一根20米长的红丝带包装礼盒。每个礼盒要用1.2米的丝带，这根红丝带可以包装( )个礼盒。 10．张红在50米短跑比赛中的成绩是10.2秒，她平均每秒跑多少米？（得数保留一位小数） 11．一个数除以4.7的商是三位小数，商保留两位小数后约是2.13。这个数最大是多少？最小呢？ 12．牙买加“飞人”博尔特在2012年伦敦奥运会男子100米短跑比赛中，跑出来9.63秒的好成绩，你能算一算他在奔跑的过程中平均每秒跑了多少米吗？他平均跑1米用了多少秒呢？（得数保留两位小数） 13．2022年7月6日，河南省黄河流域生态修复项目正式全面启动。据介绍，该项目总投资52.11亿元，共部署56个单位工程，包括水土流失治理、林地提质改造、湿地修复等。平均每个单位工程投资多少亿元？（得数保留两位小数） 14．2023年12月8日经过内黄县的济郑高铁全线贯通运营了，如果列车平均每小时行驶225千米，1.85小时可以从济南西站到郑州东站，如果每小时多行驶25千米，那么从济南西站到达郑州东站需要多少小时？（精确到百分位） 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 【典例分析01】B 【分析】根据题意，47.88÷24＝1.995的商按“四舍五入”法精确到百分位，也就是保留两位小数，要看下一位，即千分位上的数，根据“四舍五入”法取近似数。 【详解】47.88÷24＝1.995≈2.00 商按“四舍五入”法精确到百分位应写作2.00。 故答案为：B 【变式训练01】秒 【分析】根据题意可知在男子米接力决赛，中国队全程所用时间为秒，则平均每位运动员的时间为秒。 【详解】（秒） 答：平均每位运动员用时秒。 【点睛】本题考查了小数的除法法则的应用，熟练运用小数的除法法则是解题的关键。 【变式训练02】88.48；3.936；0.85 15.1；8.18；7.462 【分析】（1）小数的乘法：首先末尾对齐，将小数乘法看成整数乘法，按照整数乘法的计算方法计算，再看因数中一共有几位小数，就从得数的右边起数出几位小数，点上小数点，得数的小数部分末尾有0的一般要把0去掉。再根据题目的要求用四舍五入得出近似数。 （2）小数除以小数的除法：先将除数和被除数扩大相同的倍数，使除数变成整数，再按照除数是整数的除法计算，即按照整数除法的计算方法计算，除到哪一位商就上再哪一位的上面，商的小数点要和被除数的小数点对齐。整数部分不够除，商写0，点上小数点。如果有余数，要添0继续除。商如果除不尽按照题目的要求取商的近似值，根据“四舍五入”的方法取近似值。 【详解】55.3×1.6＝88.48                 3.28×1.2＝3.936                     0.306÷0.36＝0.85                                                       6.58×2.3≈15.1                      3.68÷0.45≈8.18                          9.7÷1.3≈7.462                             【典例分析02】 0.455 【分析】一个小数，从小数点后某一位开始不断地重复出现一个或几个数字的无限小数，叫做循环小数，循环小数的缩写法是将第一个循环节以后的数字全部略去，而在第一个循环节首末两位上方各添一个小点，由于5÷11＝0.454545…商用用循环小数的简便记法表示是；根据四舍五入的取近似数的方法可知，保留三位小数约是0.455。 【详解】5÷11＝0.454545…＝≈0.455 【点睛】本题重点考查了循环小数的记法及按要求取近似值的方法。 【变式训练01】 7.1 【分析】循环小数的简便写法：只写一个循环节，在循环节上最前和最后一个数上点一个点，如果循环节只有一个数字，就在这一个数字上点；精确到十分位就要看小数点后面第二位，再根据“四舍五入”法取近似数即可。 【详解】循环小数7.14545…用简便记法可写作，把它精确到十分位是7.1。 【点睛】本题较易，熟记循环小数的简便记法以及求小数近似数的方法是解答本题的关键。 【变式训练02】A 【分析】有限小数：是小数点后面只有有限个不全为“0”的数字的小数。 无限小数：是小数点后面有无限多个不全为“0”的数字的小数。 无限循环小数：一个无限小数，如果从小数部分的某一位起，都是由一个或几个数字依照一定的顺序连续不断地重复出现，这样的小数叫做“无限循环小数”，简称“循环小数”；据此选择。 【详解】由分析可得：4.33333333是有限小数。 故答案为：A 【变式训练03】B 【分析】保留两位小数，看千分位上的数字是否满5，比5小的数舍去，等于5或大于5的数向前一位进一。据此选择即可。 【详解】由分析可知： ≈18.50 保留两位小数是18.50。 故答案为：B 【点睛】本题考查小数的近似数，熟练运用四舍五入法是解题的关键。 【变式训练04】√ 【分析】小数分为有限小数和无限小数，有限小数的小数点后面的小数是有限的、可数的；而无限小数的小数点后面的小数是无限的、不可数的。 一个数的小数部分从某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫循环小数。 【详解】如：0.1616…是循环小数，也是无限小数； 3.1415926…是无限小数，但不是循环小数。 所以，循环小数一定是无限小数，无限小数却不一定是循环小数。 原题说法正确。 故答案为：√ 【点睛】本题考查循环小数和无限小数的认识，明确循环小数是无限小数，但无限小数不一定是循环小数。 知识点三：循环小数比大小 【典例分析03】 3.68 3.6868 3.6868… 3.6888… 【分析】比较两个小数的大小：（1）看它们的整数部分，整数部分大的那个数就大；（2）整数部分相同的，十分位上的数大的那个数就大；十分位上的数也相同的，百分位上的数大的那个数就大，依次往右进行比较，直到比出大小为止。 【详解】四个小数的整数部分相同，十分位和百分位上的数也形同。当看到千分位时，3.68的千分位是0，则最小；3.6888…的千分位是8，则最大；3.6868和3.6868…发现万分位也是相等的，则观察十万分位，则3.6868的十万分位是0，3.6868…的十万分位是6。从小到大的排列这些数。 3.68＜3.6868＜3.6868…＜3.6888… 【变式训练01】B 【分析】小数大小的比较方法，先比较小数的整数部分，整数部分大的这个小数就大，如果整数部分相同，就比较十分位，十分位大的这个小数就大，如果十分位相同，就比较百分位，百分位大的这个小数就大，如果百分位相同，就比较千分位……据此可解答。 【详解】＝4.0707… ＝4.0777… ＝4.057057… 所以＜＜，因此最大的是。 故答案为：B 【变式训练02】 1. 1.6 【分析】因为循环小数记数时，在第一个循环节的第一个数字和最末一个数字上分别记上一个圆点（循环节只有一个数字的只记一个圆点）“· ”，表示这个循环小数的这几个（或一个）数字重复出现，据此先把循环小数的循环节多写出1至2个，再将四个小数根据小数大小的比较方法进行比较。小数的大小比较，先比较两个数的整数部分，整数部分大的那个数就大；整数部分相同时，看它们的小数部分，从高位比起，相同数位上的数大的那个数就大，依次类推，直到比出大小为止，据此可解答。 【详解】由分析可知： 1.＜1.＜1.67777＜1.6 所以，在1.、1.、1.6、1.67777中，最小的数是1.，最大的数是1.6。 【变式训练03】2大，因为2的整数部分大 【分析】小数大小的比较：先看小数的整数部分，整数部分大的这个数就大，整数部分相同的就看十分位，十分位大的这个数就大，十分位相同的，再看百分位，百分位大的这个数就大……，据此解答即可。 【详解】与2比，2＞，因为2的整数部分大。 【点睛】熟记小数大小比较的方法。 【典例分析04】2；4496 【分析】根据除数是整数的小数除法的计算方法进行计算，用循环小数表示出结果，循环节就是一个周期，确定周期后，用总量除以周期，如果正好是整数个周期，结果为周期的最后一个；如果比整数个周期多n个，也就是余数是n，那么结果为下一个周期里的第n个；如果不是从第一个开始循环，可以从总量里减掉不是循环的个数后，再继续计算。 求出一个周期内所有数字的和，再算出1001个数字包含多少个周期，一个周期内所有数字的和×周期数＋余下的数字，就是这1001个数字的总和。 【详解】1÷14＝ （1001－1）÷6 ＝1000÷6 ＝166（组）……4（个） （7＋1＋4＋2＋8＋5）×166＋（7＋1＋4＋2） ＝27×166＋14 ＝4482＋14 ＝4496 答：小数点后面第1001个数字是2，这1001个数字的总和是4496。 【点睛】关键是掌握循环小数的记数方法，掌握周期问题的解题方法，解答周期问题的关键是找出周期。 【变式训练01】B 【分析】1.726726…的循环节是726，即周期，确定周期后，用总量除以周期，如果正好是整数个周期，结果为周期的最后一个；如果比整数个周期多n个，也就是余数是n，那么结果为下一个周期里的第n个。 【详解】17÷3＝5……2 1.726726…小数部分第17位上的数字是周期的第2个，也就是2。 故答案为：B 【变式训练02】 8 1 【分析】通过计算，整数部分不够除，商写0，点上小数点。如果有余数，要添0继续除。得出商是一个循环小数，且循环节是428571，也就是这六个数为一个周期循环，第15位，就是在15个数里面找出有2组循环，剩余3个数，则循环中的第三个数就是小数部分的第15位； 同理，150位数里面有25组循环，没有剩余，则第150位数就是循环的最后一位。 【详解】 15÷6＝2（组）……3（个） 150÷6＝25（组） 则3÷7的商的小数部分第15位是8，第150位是1。 【变式训练03】 578 5 【分析】循环小数是指一个数的小数部分从某一位起，一个或几个数字依次重复出现的无限小数。重复出现的部分是循环节。 这个小数的十分位不参与循环，那么将50减去1，求出差。将差除以3，求出商和余数。余数是几，小数点后第50位数字就对应循环节的第几位数字。 【详解】循环小数0.1578578578…的循环节是578。 50－1＝49 49÷3＝16……1 所以，小数点后第50位数字是5。 【变式训练04】B 【分析】循环小数的循环节是54321，每5个数字一循环，因为小数点后面前四位是9876，不参与循环，所以求小数点后第100位上的数字，就是求（100－4）里面有几个5，还余几，用除法计算；余数是几，就表示是一个循环节里的第几个数，即可得解。 【详解】100－4＝96 96÷5＝19……1 余数是1表示是一个循环节里的第一个数，即5； 所以小数点后第100位上的数字是5。 故答案为：B 三、课后巩固 1．0.76；3.6 4.00；4.44 【分析】小数除法法则是：先把除数的小数点去掉使它变成整数，看除数原来有几位小数，就把被除数小数点向右移动相同的几位（位数不够时补 0），然后按照除数是整数的除法进行计算。 除不尽的商保留两位小数，即精确到百分位，看到小数的千分位上的数字，依据四舍五入的方法进行保留即可。 【详解】 0.13÷0.17≈0.76                          0.468÷0.13＝3.6                      48.02÷12≈4.00                             9.76÷2.2≈4.44                           2． 0.6 0.58 【分析】保留一位小数要观察小数点后面第二位数字，满5向保留位数进一，不满5直接舍去；保留两位小数要观察小数点后面第三位数字，满5向保留位数进一，不满5直接舍去；据此解答。 【详解】0.57878…保留一位小数是（   0.6   ），保留两位小数是（   0.58   ）。 【点睛】掌握小数取近似值的方法是解答题目的关键。 3． 2.04 1.95 【分析】由于B是一个两位小数，保留一位小数，则看小数点后的第二位，如果小数点后的第二位大于等于5，则进一，小于5，则舍去，要使B最大，那么采用四舍法才可以保证原来的小数最大，即最大是2.04；采用五入法保留小数，那么原小数最小是1.95，据此即可填空。 【详解】由分析可知： A÷0.7＝B，B是一个两位小数，保留一位小数是2.0，B最大是2.04，最小是1.95。 4． 0.227 【分析】写循环小数时，可以只写第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个小圆点；保留三位小数就是精确到千分位，要看小数的万分位是几，再用四舍五入的方法写出近似数。 【详解】5÷22＝0.22727…＝ 0.22727…≈0.227 所以5÷22的商用循环小数的简便形式表示是，保留三位小数约是0.227。 【点睛】本题主要考查了循环小数的简便记法以及求近似数的方法，按照循环小数简记的方法以及求近似数的方法解答即可。 5． 循环 5.33 【分析】首先计算的商，确定其小数类型，然后发现循环的数字，找出循环节，用循环小数的表示方法写出商，最后按照四舍五入法精确到百分位求出近似数。据此解答。 【详解】400÷75＝5.333…，5.333…是循环小数。 因为商是5.333…，循环节是3，所以可以表示为。 精确到百分位，即保留两位小数，看千分位上的数字，千分位上是3，3＜5，舍去千分位及后面的数字，所以约是5.33。 即400÷75的商是一个循环小数，用简便形式可以表示为，精确到百分位约是5.33。 6． 循环 18 7.18 【分析】一个小数的小数部分，有一个数或几个数字依次不断重复出现，这个小数叫做循环小数。一个循环小数的小数部分依次不断重复出现的数字就是这个循环小数的循环节；写循环小数时，可以只写第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点。保留两位小数，就要看到第三位小数，按“四舍五入”的方法，保留两位小数。据此解答。 【详解】7.181818…是循环小数，循环节是18，用循环小数的简写形式表示为，保留两位小数约是7.18。 7． 5.1243 0.999…、2.9657…、62.0505… 0.999…、62.0505… 【分析】有限小数：小数部分的位数是有限的小数。 无限小数：小数部分的位数是无限的小数。 循环小数：一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出，这样的小数叫做循环小数。 【详解】0.999…、5.1243、2.9657…、62.0505…中， 有限小数有：5.1243； 无限小数有：0.999…、2.9657…、62.0505…； 循环小数有：0.999…、62.0505…。 在0.999…、5.1243、2.9657…、62.0505…中，有限小数有5.1243，无限小数有0.999…、2.9657…、62.0505…，循环小数有0.999…、62.0505…。 8． 0.76 0.67 【分析】根据小数比较大小的方法：先看整数部分，整数部分大的那个数就大；如果整数部分相同，就看十分位上的数，十分位上的数大的那个数就大；如果十分位上的数也相同，就看百分位上的数，百分位上的数大的那个数就大；…，依此类推，据此解答。 【详解】0.67，，0.677，0.76； 0.76＞＞0.677＞0.67，最大的数是0.76，最小的数是0.67。 在0.67，，0.677，0.76中，最大的数是0.76，最小的数是0.67。 9．16 【分析】由题意知：这根丝带最多可以包装几个礼品盒就是看20米里面有多少个1.2米。 【详解】20÷1.2＝（个） 根据生活经验，可以包装16个礼盒。 【点睛】本题考查了除数是小数的除法的应用，这里需要应用“去尾法”。 10．4.9米 【分析】路程÷时间＝速度，据此列式解答，根据四舍五入法保留一位小数即可。 【详解】50÷10.2≈4.9（米） 答：她平均每秒跑4.9米。 【点睛】关键是理解速度、时间、路程之间的关系，掌握小数除法的计算方法。 11．最大是：10.0298；最小是：9.9875 【分析】由于商保留两位小数后约是2.13，四舍法求出来的商是最大的，也就是被除数是最大的，即2.134，五入法求出的商是最小的，即2.125，所以被除数也是最小的，根据公式：被除数＝除数×商，把数代入公式即可求出这个数最大是多少，最小是多少。 【详解】由分析可知：当商是2.134的时候，这个数最大。 4.7×2.134＝10.0298 4.7×2.125＝9.9875 答：这个数最大是10.0298；最小是9.9875。 【点睛】本题主要考查小数的近似数以及小数乘法的计算方法，熟练掌握它的计算方法并灵活运用。 12．10.38米；0.10秒 【分析】求他在奔跑的过程中平均每秒跑了多少米，实际是求博尔特的奔跑速度，根据路程÷时间＝速度，代入数据即可得解；求他平均跑1米用了多少秒，则是用跑100米所花的时间9.63秒除以100米，商保留两位小数，即可得解。 【详解】100÷9.63≈10.38（米） 9.63÷100＝0.0963≈0.10（秒） 答：他在奔跑的过程中平均每秒跑了10.38米，他平均跑1米用了0.10秒。 【点睛】此题的解题关键是根据路程、时间、速度三者之间的关系求解。 13．0.93亿元 【分析】总投资÷单位工程数量＝平均每个单位工程投资，保留两位小数看千分位，小于5直接舍去，大于或等于5向前一位进一。 【详解】52.11÷56≈0.93（亿元） 答：平均每个单位工程投资0.93亿元。 【点睛】关键是掌握小数除法的计算方法，会用四舍五入法保留近似数。 14．1.67小时 【分析】已知列车平均每小时行驶225千米，1.85小时可以从济南西站到郑州东站，根据“路程＝速度×时间”，求出济南西站与郑州东站的距离； 如果每小时多行驶25千米，即列车平均每小时行驶（225＋25）千米；根据“时间＝路程÷速度”，求出从济南西站到达郑州东站需要的时间。计算结果精确到百分位，即采用“四舍五入”法保留两位小数。 【详解】225×1.85＝416.25（千米） 225＋25＝250（千米） 416.25÷250≈1.67（小时） 答：从济南西站到达郑州东站需要1.67小时。 6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$