圆锥曲线大题设点计算的七种类型 讲义-2026届高三数学一轮复习

88.解析几何中设点运算的七种常见类型 一．目录 1.点差法 2.抛物线弦的两点式方程 3.斜率和积的点代计算 4.旋转设点法 5.定比点差法 6.三点共线与轴点差 7.设点解点 二．基本原理 1.点差法 椭圆中的点差法：设直线与椭圆相交于点两点，其中设点()，() 由于两点均在椭圆上，代入椭圆的方程可得： ∴①，②，①-②得：，进一步， 则，即，则（其中为 中点，为原点）. 类似的，若为双曲线弦(不平行轴)的中点，则 . 2.抛物线的两点式 抛物线方程为，是抛物线上任意的两个点，则直线的方程为：. 证明：，则的方程为，整理可得：，即可得的方程为：. 或者可如此证明：由韦达定理，则直线的方程为：，进一步代入即可得. 特别地，若直线过抛物线焦点，代入直线方程一定有：. 3.斜率和积的点代计算 设为椭圆上的定点，是椭圆上一条动弦，直线的斜率分别为； （1）若，则有， （2）若，则直线过定点， （3）若，则有， （4）若，则直线过定点. 证明：此处用点代法证明结论（3），其余的类似证明，请读者自行尝试. 已知椭圆在第一象限内有一点，过点作两条倾斜角互补的直线分别交椭圆于另一点，则有. 解析设，其中. 所以 依题意得，所以， 从而 同理，有 两式相减，得所以，证毕. 4.旋转设点法 在解析几何中，我们会遇到等腰直角三角形这样的几何结构，这种情况下，利用向量来处理是很方便的，比如，那么或者与的关系是：，且，这就是旋转设点法的基本原理.利用这个方法，我们可以很方便的解决有关问题. 5.三点共线的坐标表示与轴点差 当直线过坐标轴上某个定点时，熟悉下面的结论会对运算起到至关重要的作用： 若是椭圆上不同的两点，且直线经过点，则由三点共线可得：，整理可得： ①. ①式的特点是出现了轮换结构，下面构造的对偶式，计算它们的乘积，得到 从而得到②. 这样就可得到三点共线的两个基本形式：，进一步联立消元可解得 6.定比点差法 1.定比分点的坐标形式：若则称点为的定比分点，若，则点的坐标为：. 2.椭圆上的定比点差形式：设点，在椭圆，且点满足，则，将上述式子整理可得： ，进一步整理有： ， 由定比点差：，，联立消元后即可用与定分比表示 . 7.设点解点 利用直线与曲线方程联立去解点坐标. 不重合的两点，则.所以我们在解决与斜率有关的问题时，第一个最朴素的想法就是解点，然后利用斜率公式解决.或者联立两直线方程解出点的坐标. 二．典例分析 例1.已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为． （1）证明：； （2）设为的右焦点，为上一点，且．证明：，，成等差数列，并求该数列的公差． 解析：（1）设，则.两式相减，并由得.由题设知，于是 .①由题设得，故. （2）该数列的公差为或. 例2.设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，． （1）求C的方程； （2）设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程． 解析：（1）抛物线的准线为，当与x轴垂直时，点M的横坐标为p， 此时，所以，所以抛物线C的方程为. （2）设，由于直线过点，则由基本原理可知：①，且，同理可得：. 另一方面，由于与三点共线，则， 整理可得：②.由①，②可得：. 于是，.，又因为直线MN，AB的倾斜角分别为，所以，若要使最大，则，设，则， 当且仅当即时，等号成立，所以当最大时，，设直线，代入抛物线方程可得，，所以，所以直线. 例3.已知点在双曲线上，直线交于，两点，直线，的斜率之和为0． （1）求的斜率； （2）若，求的面积． 解析：（1）设，由点都在双曲线上，得 ，，所以，结合斜率公式，相减后变形，可得：，.因为直线的斜率之和为，即，所以， 由得.② 由得.③ 由②-③，得，从而，即的斜率为. 例4.已知椭圆C：的离心率为，且过点． （1）求的方程： （2）点，在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值． 解析：（1）由题意可得：，解得：，故椭圆方程为：. （2）设，依题意知， 因为，所以， 整理得 同理得 相减可得即直线恒过定点.又 ，D在以为直径的圆上．的中点即为圆心Q．经检验，直线垂直于x轴时也成立．故存在，使得． 例5.．已知椭圆的离心率为，，分别为的左、右顶点． （1）求的方程； （2）若点在上，点在直线上，且，，求的面积． 解析：（1），，根据离心率，解得或(舍)，的方程为：，即． （2）（旋转设点法） 由于，设，则由且，限则或故或由于点作椭圆上，代入得或解得.由对称性，只只考虑或时，面积即可.此时，或，则 或 若． 则． （其中）． 若． 同理，． （其中），综上，的面积为． 例6. 已知椭圆的离心率为，焦距为.斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点 （1）求椭圆的方程； （2）若，求的最大值； （3）设，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为.若、和点共线，求. 解析：（1）椭圆的标准方程为； （2）的最大值为； （3）三点共线的坐标形式 设，由得：， 即:①，② 所以③，由①，③得：， 即，所以. 同理，由于，所以， 即，所以. 方法2：定比点差法 设点，同时设，则可得，. 由点在椭圆上得，两式作差得 ，即，亦即 于是，解方程组可得同理，可得 从而，①.因为易知，又由和点共线得，所以，即， 化简得②.从而，根据①②即得，故所求. 例7.已知椭圆的离心率为，点在上. (1)求的方程 (2)点的直线交于点两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点 解析：（2）设点，点代入椭圆得:. 由三点共线得:，所以， 所以.由三点共线得:； 由三点共线得:.所以， 所以线段的中点是定点. 例8.设椭圆的右焦点为，点在上，且轴. （1）求的方程； （2）过点的直线交于两点，为线段的中点，直线交直线于点.证明:轴. 解析：（1） 椭圆的方程为： （2）设．由题意，，所以．所以 ，即，令，所以．因为A，B，P三点共线，所以，即① 由因为A，B在上，所以，所以 ② ②减①即可得．欲证轴，只需要证明，即证明．而，故轴． 例9.已知分别为椭圆的左右顶点，为的上顶点，，点为直线上的动点，与的另一个交点为，与的另一个交点为. （1）求的方程； （2）证明：直线过定点. 解析.（1）的方程为. （2）（设点法）假设.则由及三点共线可得： 将上面两式相除，再平方可得：①，由于均在椭圆上，故满足：②，将②代入①可得：，整理可得：③，假设直线的方程为代入椭圆方程 得：将代入③中，可得：，于是，直线的方程为，故其过定点. 三．习题演练 1.已知椭圆的离心率为，右焦点，上顶点为，左顶点为，且. （1） 求椭圆的方程； （2） 已知，点在椭圆上，直线分别与椭圆交于另一点，若，求证：为定值. 解析：（1）椭圆的方程为. （2）设，.由，，得，，，，①，又点，，均在椭圆上，由且得，.②同理，由且得，③，联立②③得④，联立①④得，为定值. 2. 抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：交C于P，Q两点，且．已知点，且与l相切． （1）求C，的方程； （2）设是C上的三个点，直线，均与相切．判断直线与的位置关系，并说明理由． 解析：（1）略 （2）设．当时，易证成立.当时，直线的方程为，即． 由直线与相切得，化简得， 同理，由直线与相切得． 因为方程同时经过点，所以的直线方程为，点M到直线距离为． 所以直线与相切．，综上所述，若直线与相切，则直线与相切． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 88.解析几何中设点运算的七种常见类型 一．目录 1.点差法 2.抛物线弦的两点式方程 3.斜率和积的点代计算 4.旋转设点法 5.定比点差法 6.三点共线与轴点差 7.设点解点 二．基本原理 1.点差法 椭圆中的点差法：设直线与椭圆相交于点两点，其中设点()，() 由于两点均在椭圆上，代入椭圆的方程可得： ∴①，②，①-②得：，进一步， 则，即，则（其中为 中点，为原点）. 类似的，若为双曲线弦(不平行轴)的中点，则 . 2.抛物线的两点式 抛物线方程为，是抛物线上任意的两个点，则直线的方程为：. 证明：，则的方程为，整理可得：，即可得的方程为：. 或者可如此证明：由韦达定理，则直线的方程为：，进一步代入即可得. 特别地，若直线过抛物线焦点，代入直线方程一定有：. 3.斜率和积的点代计算 设为椭圆上的定点，是椭圆上一条动弦，直线的斜率分别为； （1）若，则有， （2）若，则直线过定点， （3）若，则有， （4）若，则直线过定点. 证明：此处用点代法证明结论（3），其余的类似证明，请读者自行尝试. 已知椭圆在第一象限内有一点，过点作两条倾斜角互补的直线分别交椭圆于另一点，则有. 解析设，其中. 所以 依题意得，所以， 从而 同理，有 两式相减，得所以，证毕. 4.旋转设点法 在解析几何中，我们会遇到等腰直角三角形这样的几何结构，这种情况下，利用向量来处理是很方便的，比如，那么或者与的关系是：，且，这就是旋转设点法的基本原理.利用这个方法，我们可以很方便的解决有关问题. 5.三点共线的坐标表示与轴点差 当直线过坐标轴上某个定点时，熟悉下面的结论会对运算起到至关重要的作用： 若是椭圆上不同的两点，且直线经过点，则由三点共线可得：，整理可得： ①. ①式的特点是出现了轮换结构，下面构造的对偶式，计算它们的乘积，得到 从而得到②. 这样就可得到三点共线的两个基本形式：，进一步联立消元可解得 6.定比点差法 1.定比分点的坐标形式：若则称点为的定比分点，若，则点的坐标为：. 2.椭圆上的定比点差形式：设点，在椭圆，且点满足，则，将上述式子整理可得： ，进一步整理有： ， 由定比点差：，，联立消元后即可用与定分比表示 . 7.设点解点 利用直线与曲线方程联立去解点坐标. 不重合的两点，则.所以我们在解决与斜率有关的问题时，第一个最朴素的想法就是解点，然后利用斜率公式解决.或者联立两直线方程解出点的坐标. 二．典例分析 例1.已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为． （1）证明：； （2）设为的右焦点，为上一点，且．证明：，，成等差数列，并求该数列的公差． 例2.设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，． （1）求C的方程； （2）设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程． 例3.已知点在双曲线上，直线交于，两点，直线，的斜率之和为0． （1）求的斜率； （2）若，求的面积． 例4.已知椭圆C：的离心率为，且过点． （1）求的方程： （2）点，在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值． 例5.．已知椭圆的离心率为，，分别为的左、右顶点． （1）求的方程； （2）若点在上，点在直线上，且，，求的面积． 例6. 已知椭圆的离心率为，焦距为.斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点 （1）求椭圆的方程； （2）若，求的最大值； （3）设，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为.若、和点共线，求. 例7.已知椭圆的离心率为，点在上. (1)求的方程 (2)点的直线交于点两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点 例8.设椭圆的右焦点为，点在上，且轴. （1）求的方程； （2）过点的直线交于两点，为线段的中点，直线交直线于点.证明:轴. 例9.已知分别为椭圆的左右顶点，为的上顶点，，点为直线上的动点，与的另一个交点为，与的另一个交点为. （1）求的方程； （2）证明：直线过定点. . 三．习题演练 1.已知椭圆的离心率为，右焦点，上顶点为，左顶点为，且. （1） 求椭圆的方程； （2） 已知，点在椭圆上，直线分别与椭圆交于另一点，若，求证：为定值. 2. 抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：交C于P，Q两点，且．已知点，且与l相切． （1）求C，的方程； （2）设是C上的三个点，直线，均与相切．判断直线与的位置关系，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$