专题02 二次函数的实际应用八种模型（高效培优专项训练）数学浙教版九年级上册

专题02 二次函数的实际应用八种模型 题型一：图形问题 题型二：图形运动问题 题型三：拱桥问题 题型四：销售问题 题型五：投球问题 题型六：喷水问题 题型七：增长率问题 题型八：其他问题 题型一：图形问题 1．（24-25九年级上·广东阳江·期中）如图，正方形边长为1，、、、分别为各边上的点，且，设小正方形的面积为，为，则关于的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，李大爷用24米长的篱笆靠墙围成一个长方形菜园，若菜园靠墙的一边长为（米），那么菜园的面积（平方米）与的关系式为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·四川绵阳·二模）如图，某农场拟建造由甲．乙两个矩形组成的羊圈，饲养室的一面靠长的墙AB，其余的部分用栅栏围成甲、乙两部分．已知提前准备的建筑材料可以建造长的栅栏，则该羊圈最大面积可以建造 4．（24-25九年级上·河南信阳·期中）如图，把一张长、宽的矩形硬纸板的四周各剪去一个小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体盒子（纸板厚度忽略不计）盒子底面积与剪去的小正方形边长之间的函数表达式是 （不需要写自变量取值范围）． 5．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为，则能建成的饲养室总占地面积最大为 ． 6．（24-25九年级下·湖北孝感·期中）习近平总书记强调：“要教育孩子们从小热爱劳动、热爱创造”．某校为促进学生全面发展、健康成长，计划在校园围墙内围建一个矩形劳动实践基地，其中一边靠墙（如图），另外三边用长为的篱笆围成．已知墙长为，设这个矩形劳动实践基地垂直于墙的一边的长为，其中，平行于墙的一边的长为，矩形劳动实践基地的面积为． (1)请直接写出与，与的函数关系式； (2)当时，求垂直于墙的一边长； (3)若根据实际情况，可利用的墙的长度不超过，垂直于墙的一边长为多少时，这个矩形劳动实践基地的面积最大？并求出这个最大值． 7．（2025·湖北黄石·一模）如图，某农户计划用篱笆围一个花圃场地，该矩形场地一面靠墙（墙的长度为），另外三面用篱笆围成，中间再用垂直于墙的篱笆把该场地分成两个部分分别为育苗区和种植区，其中再开两个的门，计划购买篱笆的总长度为，设矩形场地与墙垂直的一边长为 ，总面积为 (1)求出y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (2)当x为何值时，整个矩形场地的面积最大？最大面积为多少？ 8．（2025·湖北·一模）工人师傅要将如图所示的矩形分割成甲、乙、丙3块，用来填充不同材质的产品．已知，点分别在和上，，且．设． (1)设甲、乙两块材料的面积之和为，求与之间的函数解析式； (2)当取何值时，甲，乙两块材料的面积之和为? (3)丙部分面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 9．（2025·吉林松原·三模）如图，在中，，，．动点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点运动．过点作与的直角边相交于点，延长至点，使得，以为边作矩形．设矩形与重叠部分图形的面积为，点的运动时间为秒． (1)当时，求的值； (2)当时，求的值； (3)求与之间的函数关系式． 10．（2025·江苏扬州·一模）如图，在等腰中，，动点E、F同时从点A出发，分别沿射线和射线的方向匀速运动，且速度相等，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接，以为边向下作正方形，设点E运动的路程为，正方形和等腰重合部分的面积为y． (1)当时，_______；当时，_______； (2)求点E在整个运动过程中y的最大值． 题型二：图形运动问题 11．（24-25九年级下·湖南娄底·期中）如图，点和点同时从正方形的顶点出发，点沿着运动，点沿着运动，速度都为，终点都是点．若，则的面积S（cm2）与运动时间之间的函数关系的大致图象是（   ） A． B． C． D． 12．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图1，在中，，，动点从点，出发以的速度沿折线方向运动到点停止，动点以的速度沿方向运动到点停止．设的面积为，运动时间为．表示与之间关系的图象如图2所示，则当面积时，对应的运动时间的值是 ． 13．（2025·山东烟台·模拟预测）如图1，在平行四边形中，，已知动点以的速度从点向点运动，动点的速度是点的倍，从点向点运动．若点，同时出发，当点到达点时，点恰好到达点处，此时两点都停止运动．图2是的面积与点的运动时间之间的函数关系图象（点为图象的最高点），则平行四边形的面积为 ． 14．（2025·山东烟台·二模）在中，为上一点，，动点以每秒1个单位的速度从点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点时停止，以为边作正方形．设点的运动时间为，正方形的面积为，当点由点运动到点时，经探究发现是关于的二次函数，图象如图2所示，则线段的长是 ． 15．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）如图①，在正方形中，．点从点出发，以的速度沿折线运动，同时点从点出发，以的速度沿线段运动，连接，．当到达点时，，两点同时停止运动．设点运动的时间为，，的面积为． (1)请直接写出与的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系图②中，画出函数的图象； 16．（24-25九年级上·吉林·期末）如图，在中，．动点从点出发，沿折线方向以的速度向终点运动，过点作，交射线于点．设点的运动时间为与重合部分图形的面积为． (1)当点于点重合时，求的值． (2)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． (3)当直线经过线段的中点时，直接写出的值． 题型三：拱桥问题 18．（2025·湖南·模拟预测）某拱桥呈抛物线形，水面宽度为8米时，拱顶离水面4米．当水面上升2米后，宽度变为（    ）． A．4米 B．米 C．米 D．6米 19．（2025·陕西商洛·三模）现要修建一条隧道，其截面为抛物线形，如图所示，线段表示水平的路面，点为的中点，以为坐标原点，以所在直线为轴，以过点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：抛物线底面宽度米，该抛物线的顶点到的距离为9米． (1)求该隧道截面所在抛物线的函数表达式； (2)如图，现需在隧道上方安装一块高度为1米，宽度为3米的长方形电子显示屏，确保行车安全，要求电子显示屏距地面至少6米，并且距左右墙需各留至少0.5米的安全距离，试通过计算说明能否满足安装设计要求． 20．（2025·福建三明·三模）图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽20m，拱顶离水面，以拱桥的顶点为坐标原点，抛物线对称轴为轴建立平面直角坐标系． (1)求此抛物线的解析式； (2)当该河段水位再涨达到最高时，有一艘货船它露出水面高，船体宽，需要从拱桥下通过，请通过计算判断该货船是否能顺利通行． (3)为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂长的灯笼．如图3，为了安全，灯笼底部距离水面不小于（此时水面是指（2）中最高水位的水面）；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．请设计悬挂方案，并说明悬挂的灯笼数量最多可以是多少个． 21．（2025·河南南阳·二模）某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，还要兼顾美观、大方、和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了两个设计方案，现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中如图所示． 方案一：抛物线型拱门的跨度，拱高，其中点在轴上，， 方案二：抛物线型拱门的跨度，拱高，其中点在轴上，，． 要在拱门中设置高为的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计），方案一中，矩形框架的面积记为，点、在抛物线上，边在上；方案二中，矩形框架、的面积记为，点，在抛物线上，边在上，现知，小华已正确求出方案二中，当时，，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题： (1)求方案一中抛物线的函数表达式； (2)在方案一中，当时，求矩形框架的面积，并比较，的大小． 22．（2025·湖北襄阳·三模）如图（1），某隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为，宽，隧道顶端到地面的距离为，建立如图②所示的平面直角坐标系． (1)求该抛物线的解析式． (2)若隧道为单向行车道，一辆货车载一长方形集装箱，集装箱最高处到地面距离为，宽为，请问这辆货车能否安全通过？ (3)若隧道为双向行车道，且正中间有宽的隔离带．有一辆货车宽为，设货车的行驶位置与隔离带边缘的间距为，求货车能够通行的最大安全限高与的关系式，并计算当时的最大安全限高． 23．（2025·陕西榆林·三模）乡村振兴关键在产业．近年来，某县区通过建设标准化大棚，种植圣女果、普罗旺斯西红柿、草莓等，让大棚产业照亮农业转型升级致富路，实现村民稳定增收．如图2，某农户的大棚截面上半部分可近似看作抛物线，下半部分可看作矩形，以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，已知大棚棚顶最高点E到地面的距离为7米，米，棚宽米． (1)求抛物线的函数表达式； (2)为了加固棚顶，现需在上方的抛物线部分加装一根横梁（点P、Q均在抛物线上），且，若横梁与地面的距离是米，则横梁的长度是多少米？ 题型四：销售问题 24．（24-25九年级下·云南昆明·阶段练习）某商场销售甲、乙两种商品．已知销售甲商品的利润 （元）与销售数量x（件）的函数关系为一次函数，当销售2件甲商品时，利润为8元；当销售5件甲商品时，利润为20元．销售乙商品的利润 （元）与销售数量t（件）的函数关系为二次函数． (1)求出与x的函数关系式； (2)若商场准备销售甲、乙两种商品共25件，其中乙商品的销售数量不少于4件且不多于8件，为使总利润最大，应销售甲、乙两种商品各多少件？最大总利润是多少元？ 25．（24-25九年级下·山东潍坊·期中）春节期间、《哪吒》热映；某文创公司推出一款成本价为每卷元的哪吒贴纸投放到市场、售价范围为元至元．经过一段时间销售发现：每天销售贴纸的数量（卷）与每卷售价（元）满足如图所示的函数关系．    (1)求与的函数表达式； (2)公司将该贴纸每卷售价定为多少元时，每天销售该贴纸的利润可达到元？ (3)当每卷售价为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？ 26．（2025·新疆·模拟预测）现有一个小果园种植甲、乙两种果树，种植棵甲果树（为正整数），每年所获得的利润（元）与之间的函数关系式为，且当时，；种植棵乙果树（为正整数），已知乙果树每年成本由人工成本、物资成本和其他成本三部分组成，人工成本与的平方成正比，物资成本与成正比，其他成本不变为80元．若乙果树每棵每年可收入800元，种植乙果树每年所获得的利润为（元），经过统计获得如下数据： （棵） 10 40 （元） 4920 7920 (1)求出关于，关于的函数关系式； (2)若这个小果园计划种植甲果树的数量是乙果树数量的一半，求当种植多少棵甲果树时，两种果树所获得的年总利润最大？最大是多少？ 27．（2025·黑龙江大庆·二模）某公司根据往年市场行情得知，某种商品从5月1日起的300天内，该商品每件市场售价y（元）与上市时间t（天）的关系用图1的折线表示；每件商品的成本Q（元）与时间t（天）的关系用图2的一部分抛物线表示． (1)每件商品在第50天出售时的利润是______元； (2)求图1表示的商品售价y（元）与时间t（天）之间的函数关系式； (3)若该公司从销售第1天至第200天预计每天可以售出此种商品2000件，请你计算第1天至第200天该公司哪一天利润最高，最高是多少元？ 28．（2025·山西运城·模拟预测）“六一”儿童节期间，某超市以元/个的价格购入一批儿童礼品．在销售前，销售经理进行了市场调研． 调研数据：下表是日销售数量y（个）与销售单价x（元）的部分调研数据： 销售单价x/元 … … 日销售数量y/个 … … 建立模型：（1）根据调研数据可知y是x的_________（填“一次”“二次”或“反比例”）函数，y关于x的函数表达式为_________． 问题解决：（2）儿童礼品的销售单价定为多少元时，日销售利润最大，最大日销售利润是多少？ （3）若该超市决定每销售一个儿童礼品就向儿童福利院捐赠m元，捐赠后，该儿童礼品日销售最大利润为元，求m的值． 29．（2025·四川内江·中考真题）2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元． (1)求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？ (2)根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元的资金购进A、B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？ (3)在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值． 30．（2025·四川南充·中考真题）学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题． 材料一 租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人；用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同． 材料二 A型客车租车费用为3200元/辆；B型客车租车费用为3000元/辆． 优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用元/辆； 租用B型客车，租车费用打八折． 材料三 租车公司最多提供8辆A型客车； 学校参加研学活动师生共有530人，租用A，B两种型号客车共10辆． (1)A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少？ (2)本次研学活动学校的最少租车费用是多少？ 31．（2025·湖北·模拟预测）综合与实践： 【问题情境】关注眼健康，共筑“睛”彩大视界．某电商为积极响应爱眼日活动宣传，计划销售一款护眼贴．已知该款护眼贴的进价为50元/盒，销售一段时间后，该电商发现这款护眼贴的月销售量（盒）与销售单价（元/盒）的情况如图所示： 销售单价（元/盒） 月销售量（盒） 65 1300 60 1400 70 1200 (1)【数据整理】请将以上调查数据按照一定顺序重新整理，填写在下表中： 销售单价（元/盒） 60 ______ ______ 月销售量（盒） ______ ______ ______ (2)【模型建立】分析数据的变化规律，求出月销售量与销售单价之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）； (3)【拓广应用】该电商规定每盒护眼贴的销售单价不得低于进价，且利润不得高于进价的． ①若该电商某月销售这种护眼贴获利14000元，则销售单价为多少元/盒？ ②设销售这种护眼贴每月获利（元），当销售单价为多少元/盒时，每月获利最大？最大利润是多少元？ 32．（2025·山西大同·三模）综合与实践 活动主题：探究商品生产、销售过程中的数学问题 问题情境：板枣被列为中国十大名枣之首，特别是稷山板枣，因其优良的品质和悠久的历史而闻名．综合实践小组的同学到某食品店研学，发现该店新开发了一种枣饮品，他们对这种饮品的生产和销售情况进行了数据收集． 信息展示：小华：该店这种饮品每日的产量x（千克）的范围是． 小彬：该饮品每千克的生产成本（元）与每日产量x（千克）之间的关系如下表所示： 每日产量x（千克） 30 60 90 120 每千克的成本（元） 55 50 45 40 小颖：该饮品每千克的售价（元）与每日产量x（千克）之间的关系可用如图的坐标系中的线段所示，所在直线与纵轴的交点为（其中）； 小文：该店每日生产的这种饮品全部售完（即每日销售量=每日产量）． 问题解决： (1)根据小彬收集的信息可知，该饮品每千克的生产成本（元）与每日产量x（千克）之间的变化规律可用我们学习过的______函数刻画（选填“一次”“反比例”或“二次”），其函数关系式为______； (2)当时，解决下列问题： ①该饮品每千克的售价（元）与每日产量x（千克）之间的函数关系式为______； ②若该饮品某日的销售利润为1326元，求当日该饮品的产量； (3)若该饮品每日产量为80千克时，可获得最大日销售利润．请通过计算确定相应的m的值及最大日销售利润． 题型五：投球问题 33．（24-25九年级下·河南周口·期中）掷实心球是中学生体育测试项目之一，小明发现实心球从出手到落地的过程中，实心球竖直高度与水平距离一直在相应的发生变化，实心球的竖直高度是水平距离的二次函数．已知实心球出手时候的高度是，当水平距离是时，实心球达到最大高度． (1)求满足条件的抛物线的关系式． (2)根据中学生体育测试评分标准(男生版)，在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离不小于时，即可得满分10分，小明在此次投掷中是否得到满分？请说明理由． 34．（2025·河南开封·二模）某数学兴趣小组设计了一个投掷乒乓球游戏：将一个无盖的长方体盒子放在水平地面上，从箱外向箱内投乒乓球．建立如图所示的平面直角坐标系（长方形为箱子截面图，轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行，米，米），小明站在原点，将乒乓球从距离水平地面1.5米高的处抛出，乒乓球运行轨迹为抛物线，当乒乓球离小明1米时，达到最大高度2米． (1)求抛物线的解析式； (2)小明抛出的乒乓球能不能投入箱子，请通过计算说明． 35．（2025·河南·模拟预测）如图1所示的是古代一种远程攻击的武器——发石车．将发石车置于山坡底部处，以点为原点，水平方向为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，将某发射出去的石块看作一个点，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分．山坡上有一堵防御墙，其竖直截面为，墙宽与轴平行，点与点的水平距离为，垂直距离为．已知发射石块在空中飞行的最大高度为． (1)求该抛物线的解析式； (2)试通过计算说明该石块能否飞越防御墙． 36．（2025·河南信阳·三模）掷沙包是一种传统儿童游戏，投掷者用内装谷粒或者沙子的布包向远处的目标进行投掷，以投中目标为胜，沙包的飞行轨迹近似抛物线．设沙包飞行的水平距离为（单位：m），相对应的飞行高度为（单位：m）．李华在处以跪蹲姿势向远处的布幔投掷沙包，沙包飞行轨迹的相关数据如图所示，为抛物线的顶点，已知布幔垂直于轴，且，布幔上的目标与的距离为0.26米． (1)求沙包飞行轨迹抛物线的解析式 （无需写出自变量的取值范围）； (2)为了击中目标，应将布幔向前或后移动多少米？ 37．（24-25九年级下·广东茂名·期中）【综合与探究】 乒乓球被誉为中国国球．在世界乒乓球大赛中，中国队经常夺得冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的，如题图1，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度为的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分，如题图2所示． 乒乓球到球台的竖直高度记为y（单位；cm），乒乓球运行的水平距离记为x（单位；cm）测得数据如下表所示： 水平距离 0 10 50 90 130 170 230 竖直高度 28.75 33 45 49 45 33 0 (1)在平面直角坐标系中，描出表格中各组数值所对应的点，并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象； (2)①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是__________cm，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是__________cm； ②求满足条件的抛物线解析式； (3)技术分析：如果只上下调整击球高度，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出的取值范围，以利于有针对性的训练．如图②，乒乓球台长为，球网高为，现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球高度的值约为．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值（乒乓球大小忽略不计） 38．（24-25九年级下·陕西西安·期中）如图是篮球运动员慕梓睿在投篮时的截面示意图，当他原地投篮时，分别以水平地面为轴，出手点竖直方向为轴建立平面直角坐标系．篮球运行的路线可看成抛物线，慕梓睿投出的篮球在距原点水平距离2.5米处时，达到最大高度3.5米，且应声入网，已知篮筐的竖直高度为3.05米，离原点的水平距离为4米．（本题中统一将篮球看成点，篮筐大小忽略不计） (1)求此抛物线的解析式； (2)若防守队员雷莹在原点右侧且距原点1.5米处竖直起跳，其最大能摸高3.2米，问雷莹能否碰到篮球？并说明理由． 39．（2025·山东济宁·三模）【问题背景】 水火箭是一种基于水和压缩空气的简易火箭，通常由塑胶汽水瓶作为火箭的箭身，并把水当作喷射剂．图是某学校兴趣小组制做出的一款简易弹射水火箭． 【实验操作】 为验证水火箭的一些性能，兴趣小组同学通过测试收集了水火箭相对于出发点的水平距离（单位：）与飞行时间（单位：）的数据，并确定了函数表达式为：．同时也收集了飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）的数据，发现其近似满足二次函数关系．数据如表所示： 飞行时间 飞行高度 【建立模型】 任务：求关于的函数表达式． 【反思优化】 图是兴趣小组同学在室内操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台（距离地面的高度为），当弹射高度变化时，水火箭飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到，线段为水火箭回收区域，已知，． 任务：探究飞行距离，当水火箭落地（高度为）时，求水火箭飞行的水平距离． 任务：当水火箭落到内（包括端点，），求发射台高度的取值范围． 40．（2025·河北唐山·三模）如图，为排球运动场地示意图，球网在场地中央且高度为m，球网距离球场左、右边界均为9m．排球发出后其运动路线可以看作是对称轴垂直于水平面的抛物线的一部分，某次发球，排球从左边界的正上方发出，击球点的高度为m，当排球运动到水平距离球网3m时达到最大高度m，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)当时， ①求抛物线的表达式； ②求排球是否能过球网？是否出边界？ (2)若排球既能过网（不触网），又不出界（不接触边界），直接写出的取值范围． 题型六：喷水问题 41.（2025·甘肃平凉·中考真题）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是（   ） A． B． C． D． 42．（24-25九年级下·全国·假期作业）【问题情境】如图是喷水管从点A向四周喷出水花的喷泉截面示意图，喷出的水花是形状相同的抛物线．以点O为原点，水平方向为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，点C，D为水花的落水点且在x轴上，其中右侧抛物线的解析式为，喷水管的高度为． 【问题解决】 (1)求a的值； (2)现重新改建喷泉，降低喷水管，使落水点与喷水管的水平距离为9m，求喷水管要降低的高度． 43．（2025·广西南宁·模拟预测）某景观公园内圆形人工湖中心有一喷泉，在人工湖中央垂直于水面安装一个柱子，安置在柱子顶端的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．爱思考的小敏发现，如果设距喷水柱子的水平距离为米，喷出的抛物线形水线距离湖面高度为米，与的数量变化有一定规律． 【提出问题】 喷出的抛物线形水线距离湖面高度为米与距喷水的柱子的水平距离米，与之间有怎样的函数关系？ 【分析问题】 小敏对某个方向喷水的路径测量和计算得出如下数据： （米） … 0 1 2 3 4 … （米） … 2 2 … 【解决问题】 (1)在建立如图1所示的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑曲线连接； (2)已知与之间存在已学过的某种函数关系，请结合表中所给数据和所画出的图象，求出与之间的函数关系式； (3)现公园想通过喷泉设立一个新的游玩项目，使公园的平顶游船能从喷泉最高点的正下方通过．如果游船宽度为米，顶棚到水面的高度为2米，为了避免游船被淋到，顶棚到水柱的垂直距离不小于米，问游船能否顺利通过？说明理由． (4)如图2，若从安全的角度考虑，需要在这个喷泉外围设立一圈圆形护栏．这个喷泉的任何一条水柱在湖面上的落点到护栏的距离不能小于1米，请通过计算说明公园至少需要准备多少米的护栏？（结果保留） 44．（2025·山西晋城·三模）综合与实践 某小区考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头（如图1），喷淋头喷洒的最外层水柱的形状可近似看作抛物线，如图2，已知车棚建在两面墙之间，为水平地面，，，消防喷淋头安装在距离地面3米高的棚顶上，其到墙面的水平距离为3米，此时最外层的水柱喷射到墙面上的点处，米，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，单位长度为1米． (1)求最外层水柱所在抛物线的函数表达式； (2)若在处有一吊灯，吊灯遇水会发生触电危险，则此吊灯在消防喷淋头喷洒时是否存在安全隐患？请判断并说明理由； (3)已知车棚的宽度为11米，为了确保发生火灾时可以完全把火扑灭，喷出的水需要覆盖至少离地面1米高的全部范围，工作人员想在棚顶上加装一个相同型号（喷出水柱的形状相同）的消防喷淋头，请求出消防喷淋头与消防喷淋头的距离的取值范围． 45（2025·河南省直辖县级单位·一模）【项目式学习】 项目主题：安全用电、防患未然． 【项目背景】近年来，随着电动自行车保有量不断增多，火灾风险持续上升，据悉，电动自行车约80%的火灾是在充电时发生，某校九年级数学创新小组，开展以“安全用电，防患未然”为主题的项目式学习，对电动自行车充电车棚的消防设备进行研究．如图1是本校悬挂的8公斤干粉灭火器． 【模型构建】 由于干粉灭火器只能扑灭明火，并不能扑灭电池内部的燃烧，在火灾发生时需要大量的水持续给电池降温，才能保证电池内部自燃熄灭，不会复燃．学校考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头． 如图2，喷淋头喷洒的水柱最外层的形状为抛物线．已知学校的停车棚左侧靠墙建造，其截面示意图为矩形，创新小组以点为坐标原点，墙面所在直线为轴，建立如图3所示的平面直角坐标系．他们查阅资料后，提议消防喷淋头M安装在离地高度为3米，距离墙面水平距离为2米处，即米，米，水喷射到墙面处，且米． （1）求该水柱外层所在抛物线的函数解析式； （2）已知充电车棚宽度为7米，电动车电池的离地高度为0.2米，按照此安装方式，当电动车停放在距离墙面（OA）水平距离为4米处时，如果充电时发生火灾，能否保证这辆电动自行车的电池内部自燃熄灭，不会复燃．请说明理由； 【问题解决】 （3）在（2）的条件下，创新小组想在喷淋头的同一水平线上再加装一个同样的喷淋头，使消防喷淋头喷洒的水柱可以覆盖车棚内所有电动车电池，请直接写出喷淋头距离喷淋头至少有多少米． 46．（24-25九年级下·河北邢台·阶段练习）1928年为了纪念孙中山先生逝世三周年，国民政府将植树节定为每年的3月12日，1979年新中国正式将3月12日定为全国植树节，并写入《森林法》．今年的3月12日，环卫工人给观光绿化带浇水，如图2，把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其中，，以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立坐标系，喷水口离地竖直高度为1.5米，其下边缘抛物线可由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口，喷水口到绿化带的水平距离为（单位：）． (1)求上边缘抛物线的函数表达式，并求喷出水的最大射程； (2)计算灌溉车所能浇水的宽度的值； (3)绿化带右侧（图中点的右侧）1米外是人行道，要使喷出的水能浇灌到整个绿化带，同时不会淋湿行人，直接写出的取值范围． 47．（24-25九年级上·北京·期中）某广场的声控喷泉是由若干个垂直于地面的柱形喷泉装置组成的．每个柱形喷泉装置上都有上下两个喷头，这两个喷头朝向一致，喷出的水流均呈抛物线型．当围观游人喊声较小时，下喷头喷水；当围观游人喊声较大时，上下两个喷头都喷水．如图所示，点A和点B是一个柱形喷泉装置上的两个喷头，A喷头喷出的水流的落地点为C．以O为原点，以所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．（柱形喷泉装置的粗细忽略不计） 已知：，，，从A喷头和B喷头各喷出的水流的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式分别是和； (1)求A喷头喷出的水流的最大高度； (2)一名游人站在点D处，．当围观游人喊声较大时，B喷头喷出的水流是否会落在该游人所站的点D处？ 题型七：增长率问题 48．（24-25九年级上·陕西西安·期末）据统计，7月份我国新能源汽车的销量为98万辆，8，9月份销量逐月增加．若第三季度的累计销量为万辆，平均月增长率为，则关于的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 49．（2020·安徽淮北·一模）据省统计局公布的数据，某省2019年第二个月总值约为7.9亿元人民币，若该省第四个月总值为y亿元人民币，平均每个月增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是   （　　） A． B． C． D． 50．（23-24九年级上·全国·单元测试）某商店月份的利润是万元，，月份利润逐月增长，这两个月利润的月平均增长率为，月份的利润为，则关于的函数关系式是 ． 51．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件． (1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第二、三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率； (2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件． ①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应张价多少元？ ②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？ 52．（22-23九年级上·湖北荆州·期中）向阳村养鸡专业户李明2020年的纯收入是6万元，预计2022年的纯收入是7.26万元． (1)求李明这两年纯收入的年平均增长率； (2)随着养鸡规模不断扩大，李明需要再建一个养鸡场，他计划用一段长为100米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场（如图），墙长50米，养鸡场面积为1200米2，求养鸡场与墙平行的一边的长度． 题型八：其他问题 53．（2025·山西·中考真题）综合与实践 问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合． 实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的距离为． 数学建模：如图，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M．以O为原点，所在直线为x轴，过点O与所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变． （2）如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为，点Q在x轴的正半轴上．求起跳点P与落地点Q的水平距离的长； （3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于，才能安全通过．如图，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形，其中，．仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物．若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物．请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）． 54．（2025·广东深圳·二模）如图1，一个小球以的初速度，在一条足够长且平直的轨道上运动．轨道初段绝对光滑；除段外，剩下轨道粗糙．小球在绝对光滑轨道上不存在阻力；在粗糙轨道上，存在恒定的摩擦力，速度会逐渐减小，直至停止．小球运动过程中，其速度与时间之间的关系如图2所示，其路程与时间之间的关系如图3所示（段是抛物线的一部分）． (1)轨道初段的总长为______；并求出小球在粗糙轨道（图中射线上）运动时，与之间的关系式（不要求写出自变量取值范围）． (2)①若测得小球从开始出发到最终停止，行进的总路程为，求抛物线的函数关系式． ②延长线段，如果直线与抛物线有且只有一个交点，且直线不与抛物线对称轴平行，则称线段与抛物线光滑连接．请你通过计算和推理判断线段与抛物线是否光滑连接？ (3)在（2）的条件下，在射线上，是否存在一节长为的轨道段，使得小球在通过该段过程中，所用时间恰好为．若存在，请求出这节轨道的起点与点A之间的距离；若不存在，请说明理由． 55．（2025·广西柳州·三模）项目化学习 【项目主题】从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响”． 【项目内容】数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后相据所测量的数据进行分析，建立数学模型，并进一步应用． 【实验过程】如图所示，一个黑球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从黑球运动到点A处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录黑球在木板上的运动时间（单位：）、运动速度v（单位：、滑行距离y（单位：）的数据．记录的数据如下： 运动时间 运动速度 滑行距离 【观察分析】数学兴趣小组通过作出v与x的函数图象、y与x的函数图象，并结合已学习过的函数知识，发现v与x的函数关系为一次函数关系，y与x的函数关系为二次函数关系． 【问题解决】 任务一：请你结合表格数据，分别求出v与x的函数关系式和y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围） 任务二： （1）当黑球在水平木板停下来时，求此时黑球的滑行距离； （2）若黑球到达木板点A处的同时，在点A的前方处有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，若黑球不能撞上小车，求n的取值范围． 56．（2025·河南·模拟预测）如图1，“跳一跳”游戏要求操作者通过控制“i”形小人（可视为一点）起跳时的速度，使其能从一个平台跳到旁边同一水平面上且等高的另一平台上，示意图如图2所示．在平面直角坐标系中，矩形、矩形和矩形的边，，均在x轴上，，，，，“i”形小人从B点起跳后沿抛物线：运动，落在边的中点处． (1)求抛物线的函数表达式． (2)“i”形小人从点处再次起跳后沿抛物线运动，抛物线形状不变，若“i”形小人再次起跳后落在下一个平台上，求“i”形小人起跳，后与轴的最大距离的取值范围． 57．（24-25九年级下·湖北黄石·阶段练习）综合与实践：某数学小组为了解汽车的速度和制动非安全距离的关系，通过查阅资料获得以下信息：材料一：由于司机的反应和惯性的作用，从发现情况到刹车停止前汽车还要继续向前行驶一段距离，这段距离称为制动非安全距离，从发现情况到刹车起作用的路程称为反应距离，这段距离总共需要的反应时间为0.6秒，从刹车起作用到最后停止的距离称为制动距离． 材料二：某公司设计了一款新型汽车，现在对它的制动性能（车速不超过）进行测试，测得数据如下表： 车速 0 30 45 60 90 105 120 150 制动距离 0 7.8 13.05 19.2 34.2 43.05 52.8 75 探究任务： (1)已知该款新型汽车的制动距离和车速之间存在已学过的某种函数关系，请你根据上表提供的数据，求出这个函数的解析式并写出自变量x的取值范围（参考数据：，，，）； (2)若在该款新型汽车的某次测试中，通过测量刹车痕迹得到它的制动距离约为40m，请通过计算估计该款汽车开始刹车时的速度； (3)若某司机驾驶这种新型汽车以60km/h的速度在单行道上行驶，发现前方28m处有一辆大货车停在公路上挡住去路，司机紧急刹车，请问是否有碰撞危险？请说明理由． 58．（2025·河北沧州·模拟预测）如图1是某公园的一种水上娱乐项目，数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究，并绘制了如图2所示的水滑道截面图，人从点A 处沿水滑道滑至点B 处腾空飞出后落入水池．以地面所在的水平线为x 轴，过腾空点B 与x 轴垂直的直线为y 轴，建立平面直角坐标系．他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分，且得到水滑道所在抛物线的解析式为． (1)直接写出水滑道最低点C 的坐标，并求点B到地面的距离； (2)如图2，腾空点B与对面水池边缘的水平距离米．若某人腾空后的路径形成的抛物线L恰好与抛物线形状相同，且关于点B成中心对称． ①求此人腾空后的最大高度和抛物线L的解析式（不用写自变量的取值范围）； ②规定人腾空后的落点D与水池边缘的安全距离应不少于3米，通过计算判断此人腾空飞出 后的落点D 是否在安全范围内（水面与地面的高度差忽略不计）； (3)为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固．如图3，水滑道已经有两条加固钢架，一条是水滑道上距y轴8米的点M处竖直支撑的钢架，另一条是点M与点B之间连接支撑的钢架．现在需要在水滑道下方加固一条支撑钢架，为了美观，要求这条钢架与平行，且与水滑道有唯一公共点，一端固定在钢架上，另一端固定在地面上（假设水滑道的正下方都是地面），请你直接写出这条钢架的长度（结果保留根号）． 59．（2025·广西崇左·三模）综合与实践 【问题情境】在校园运动会开幕式中，如图，运动会火炬手小明需要用火种点燃的箭头，然后射向距离发射点水平距离为70米、距地面的竖直高度为20米处的一个点火台上，已知点火台是一个弓形，其中米，且垂直平分这支箭（大小忽略不计）飞行的轨迹可以看作是抛物线的一部分．记这支箭飞行的水平距离为d（单位：m），距地面的竖直高度为h（单位：m）．获得的数据如表： 0 10 20 30 40 50 60 70 k 【问题解决】 (1)k的值为 ． (2)在平面直角坐标系中，描点，并用平滑的曲线将8个点依次连接； (3)求出h与d的函数解析式； (4)小明射出的箭的运动轨迹与线段有公共点时，说明这支箭就可以射入点火台内了，请判断小明射出的箭是否射入了点火台内？说明理由． 60．（2025·广东湛江·二模）根据以下素材，探索完成任务． 乒乓球发球机的运动路线 素材一 如图1，某乒乓球台面是矩形，长为，宽为，球网高度为．乒乓球发球机的出球口在桌面中线端点正上方的点处． 素材二 假设每次发出的乒乓球都落在中线上，球的运动的高度关于运动的水平距离的函数图象是一条抛物线，且这条抛物线在与点水平距离为的点处达到最高高度，此时距桌面的高度为，乒乓球落在桌面的点处．以为原点，桌面中线所在直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系． 素材三 如图3，若乒乓球落在桌面上弹起后，在与点的水平距离为的点处达到最高，设弹起后球达到最高时距离桌面的高度为． 问题解决 任务一 研究乒乓球的飞行轨迹 （1）求出从发球机发球后到落在桌面前，乒乓球运动轨迹的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）． 任务二 击球点的确定 （2）当时，运动员小亮想在点处把球沿直线擦网击打到点，他能不能实现？请说明理由． 任务三 击球点的距离 （3）若，且弹起后球飞行的高度在离桌面至时，小亮可以获得最佳击球效果，求击球点与发球机水平距离的取值范围． 2 / 32 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 二次函数的实际应用八种模型 题型一：图形问题 题型二：图形运动问题 题型三：拱桥问题 题型四：销售问题 题型五：投球问题 题型六：喷水问题 题型七：增长率问题 题型八：其他问题 题型一：图形问题 1．（24-25九年级上·广东阳江·期中）如图，正方形边长为1，、、、分别为各边上的点，且，设小正方形的面积为，为，则关于的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与几何图形，读懂题意建立正确的函数关系是解题的关键．根据题意可知四个三角形的面积相等并用表示出其面积为，然后再表示出小正方形的面积，最后根据二次函数图象的性质得到其开口方向、对称轴和自变量的取值范围，即可得到答案． 【详解】解：四边形是正方形，边长为1 ， 小正方形的面积 所求函数是一个开口向上，抛物线对称轴是直线，且取值范围是． 故选：B． 2．（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，李大爷用24米长的篱笆靠墙围成一个长方形菜园，若菜园靠墙的一边长为（米），那么菜园的面积（平方米）与的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确求出的长是解题关键．先求出的长，再利用长方形的面积公式求解即可得． 【详解】解：由题意得：米， 则菜园的面积， 故选：C． 3．（2025·四川绵阳·二模）如图，某农场拟建造由甲．乙两个矩形组成的羊圈，饲养室的一面靠长的墙AB，其余的部分用栅栏围成甲、乙两部分．已知提前准备的建筑材料可以建造长的栅栏，则该羊圈最大面积可以建造 【答案】48 【分析】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键． 设宽为x米，则长为米，先求出的取值范围，再根据面积公式建立函数关系式，即可求解最值． 【详解】解：设宽为x米，则长为米， 则， 解得： 由题意得：， ∵， ∴当时，取得最大值， 即该羊圈最大面积可以建造， 故答案为：48． 4．（24-25九年级上·河南信阳·期中）如图，把一张长、宽的矩形硬纸板的四周各剪去一个小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体盒子（纸板厚度忽略不计）盒子底面积与剪去的小正方形边长之间的函数表达式是 （不需要写自变量取值范围）． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，由剪去小正方形的边长，可得出折叠成的盒子的底面长为，宽为，利用矩形的面积公式，可得出S关于x的函数关系式 【详解】解：∵剪去小正方形的边长为， ∴折叠成的盒子的底面长为，宽为， 根据题意得：． 故答案为：． 5．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为，则能建成的饲养室总占地面积最大为 ． 【答案】 【分析】分析题意，可设该饲养室的宽为，用表示饲养室的长，利用矩形的面积长宽表示出饲养室的面积；可建墙体的总长为，三处各留宽的门，根据图形可知则总长为，则饲养室的长为，面积；观察可知面积是的二次函数，结合二次函数的性质，将改写为顶点式，即可求出的最大值．本题考查与图形有关的二次函数应用，解答本题的关键是用二次函数表示出面积与矩形的长的函数关系式． 【详解】解：可建墙体的总长为，三处各留宽的门，则总长为． 设该饲养室的宽为，则长为， 该饲养室的面积． 由二次函数的性质可知当时，取最大值，最大值为． 故答案为：． 6．（24-25九年级下·湖北孝感·期中）习近平总书记强调：“要教育孩子们从小热爱劳动、热爱创造”．某校为促进学生全面发展、健康成长，计划在校园围墙内围建一个矩形劳动实践基地，其中一边靠墙（如图），另外三边用长为的篱笆围成．已知墙长为，设这个矩形劳动实践基地垂直于墙的一边的长为，其中，平行于墙的一边的长为，矩形劳动实践基地的面积为． (1)请直接写出与，与的函数关系式； (2)当时，求垂直于墙的一边长； (3)若根据实际情况，可利用的墙的长度不超过，垂直于墙的一边长为多少时，这个矩形劳动实践基地的面积最大？并求出这个最大值． 【答案】(1)； (2)垂直于墙的一边长为； (3)当垂直于墙的一边长为时，矩形劳动实践基地面积最大，最大值为 【分析】本题考查二次函数解实际应用题，涉及求一次函数与二次函数表达式、二次函数最值等知识． （1）根据题意，表示出长方形的长与宽，根据矩形面积公式即可得到二次函数表达式，由墙的最大可用长度为即可确定自变量的取值范围； （2）令，解方程即可解题； （3）由（1）中得到函数关系式，利用二次函数图象与性质，在自变量范围内讨论求出其最值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴； ∴； （2）解：当时，， 解得，， ∵， ∴， 答：垂直于墙的一边长为； （3）解：∵， 解得， ∴， ， ∵， ∴开口向下， ∵对称轴为直线，， ∴在对称轴右侧，S随x的增大而减小， ∴当时，， 答：垂直于墙的一边长为，矩形劳动实践基地面积最大，最大值为． 7．（2025·湖北黄石·一模）如图，某农户计划用篱笆围一个花圃场地，该矩形场地一面靠墙（墙的长度为），另外三面用篱笆围成，中间再用垂直于墙的篱笆把该场地分成两个部分分别为育苗区和种植区，其中再开两个的门，计划购买篱笆的总长度为，设矩形场地与墙垂直的一边长为 ，总面积为 (1)求出y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (2)当x为何值时，整个矩形场地的面积最大？最大面积为多少？ 【答案】(1)； (2)当时，y有最大值 【分析】本题考查了二次函数在几何图形问题中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意可得，矩形场地与墙垂直的一边长为 ，矩形场地的另一边长为，从而矩形场地的总面积为，再结合墙的长度为，可得，进而可得自变量的取值范围； （2）依据题意，由，从而当时，随的增大而减小，又，进而由二次函数的性质可以判断得解． 【详解】（1）解：由题意，∵矩形场地与墙垂直的一边长为 ，矩形场地的另一边长为， ∴矩形场地的总面积为． ∵墙的长度为18米， ∴， ∴． ∴关于的函数关系式为． （2）解：由题意，∵， ∴当时，随的增大而减小． 又∵， ∴当时，取最大值，最大值为：． 答：当为时，矩形场地的总面积最大，最大值为． 8．（2025·湖北·一模）工人师傅要将如图所示的矩形分割成甲、乙、丙3块，用来填充不同材质的产品．已知，点分别在和上，，且．设． (1)设甲、乙两块材料的面积之和为，求与之间的函数解析式； (2)当取何值时，甲，乙两块材料的面积之和为? (3)丙部分面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，甲，乙两块材料的面积之和为 (3)存在，丙部分面积的最大值为 【分析】本题主要考查二次函数的运用，掌握二次函数解析式的计算，最值的计算方法是关键． （1）根据题意，，则，，由此即可求解； （2）由（1）知，，将代入即可求解； （3）根据题意，根据最值的计算，当时，取得最大值，最大值为，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴与之间的函数解析式为； （2）解：由（1）知，， ∵将代入，得， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，甲，乙两块材料的面积之和为； （3）解：存在，理由如下： ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴当时，取得最大值，最大值为， ∴丙部分面积的最大值为． 9．（2025·吉林松原·三模）如图，在中，，，．动点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点运动．过点作与的直角边相交于点，延长至点，使得，以为边作矩形．设矩形与重叠部分图形的面积为，点的运动时间为秒． (1)当时，求的值； (2)当时，求的值； (3)求与之间的函数关系式． 【答案】(1) (2)或6 (3)当时，；当时，；当时， 【分析】本题考查矩形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，平行线的性质与判定，掌握知识点是解题的关键． （1）过点C作于点E，有，求出，可得，即此时P运动到点E，即可解答． （2）分类讨论：当与当时，作出正确的图形，逐项分析，即可解答； （3）分类讨论：当时，；当时，；当时，，作出正确的图形，逐项分析，即可解答． 【详解】（1）解：过点C作于点E，如图， ， ∵，，， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 即此时P运动到点E， ∴， 即． （2）①当时，如图 由（1）可得 ， 在矩形中，， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， 解得． ②当时，如图 ∵， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴ 解得． 综上所述，t的值为2或6． （3）①当时，矩形与重叠部分图形为，如图 ； ②当时，矩形与重叠部分图形为四边形，如图 ； ③当时，矩形与重叠部分图形为五边形，如图 有，， ， ∴，， ∴是等腰直角三角形，， ∴ ∴， ∴， ∴ ． 综上所述，当时，；当时，；当时，． 10．（2025·江苏扬州·一模）如图，在等腰中，，动点E、F同时从点A出发，分别沿射线和射线的方向匀速运动，且速度相等，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接，以为边向下作正方形，设点E运动的路程为，正方形和等腰重合部分的面积为y． (1)当时，_______；当时，_______； (2)求点E在整个运动过程中y的最大值． 【答案】(1)8；32 (2)36 【分析】本题主要考查勾股定理、等腰直角三角形的性质与判定、正方形的性质及二次函数的图象与性质，熟练掌握勾股定理、等腰直角三角形的性质与判定、正方形的性质及二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）由题意先得出当正方形的边在等腰的斜边上时的的长，然后分别求当和时，y的值即可； （2）由（1）可分①当时，正方形和等腰重合部分的面积为正方形的面积，②当时，然后列出函数关系式，进而根据二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：当正方形的边在等腰的斜边上时，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵在等腰中，，， ∴都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，即，正方形的边在等腰的斜边上； 当时，则有， ∴，， 此时正方形在等腰内部， ∴； 当时，则有，如图所示： ∴， ∴， 同理可得：， 此时； 故答案为：8；32； （2）解：由（1）可分：①当时，正方形和等腰重合部分的面积为正方形的面积，即， ∴当时，y随x的增大而增大， ∴当时，y有最大值，最大值为32； ②当时，如图， 此时正方形和等腰重合部分的面积为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，y有最大值，最大值为36； 综上所述：点E在整个运动过程中y的最大值为36． 题型二：图形运动问题 11．（24-25九年级下·湖南娄底·期中）如图，点和点同时从正方形的顶点出发，点沿着运动，点沿着运动，速度都为，终点都是点．若，则的面积S（cm2）与运动时间之间的函数关系的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了动点问题的函数图象．当时，；当时，，结合图形，即可求解． 【详解】解：当时，如图， ∴，， ∴，此时抛物线开口向上． 当时，如图， ∴，， ∵，四边形是正方形， ∴， ∴，， ∴， ∴ ，此时抛物线的开口向下． 综上，选项A符合题意， 故选：A． 12．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图1，在中，，，动点从点，出发以的速度沿折线方向运动到点停止，动点以的速度沿方向运动到点停止．设的面积为，运动时间为．表示与之间关系的图象如图2所示，则当面积时，对应的运动时间的值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了求一次函数解析式，一次函数的性质. 分别求出，，求出直线的解析式，将代入即可. 【详解】如图， ∵，， ∴ ∵， ∴动点到达点时，动点到达点， 此时， ∴ ∵， ∴的面积降为0时，， ∴ 设直线的解析式为， 将，代入得 解得 ∴直线的解析式为， 当时， 解得： ∴当面积时，对应的运动时间的值是4 故答案为：4 13．（2025·山东烟台·模拟预测）如图1，在平行四边形中，，已知动点以的速度从点向点运动，动点的速度是点的倍，从点向点运动．若点，同时出发，当点到达点时，点恰好到达点处，此时两点都停止运动．图2是的面积与点的运动时间之间的函数关系图象（点为图象的最高点），则平行四边形的面积为 ． 【答案】96 【分析】由题意可知：：：，设，则，过点作垂直于的延长线于点，过点作垂直于的延长线于点，由二次函数图象可知，函数的顶点纵坐标为12，得出，则，在中，，得出，进而根据平行四边形的面积公式，即可求解． 【详解】解：由题意可知：：：，设，则， 如图，过点作垂直于的延长线于点， ，则， ， 在中，， ， 则，化简得：， 由二次函数图象可知，函数的顶点纵坐标为12， ， ， 为正数， ， ，则， 如图，过点作垂直于的延长线于点， 在中，，则， ， ， ． 故答案为：96． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，二次函数的图象与性质，平行四边形的性质，勾股定理，含度角的直角三角形的性质，数形结合是解题的关键． 14．（2025·山东烟台·二模）在中，为上一点，，动点以每秒1个单位的速度从点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点时停止，以为边作正方形．设点的运动时间为，正方形的面积为，当点由点运动到点时，经探究发现是关于的二次函数，图象如图2所示，则线段的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，观察图象可得结论． 【详解】解：由图2可得：当点P运动到点A处时，， ∴． 故答案为：． 15．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）如图①，在正方形中，．点从点出发，以的速度沿折线运动，同时点从点出发，以的速度沿线段运动，连接，．当到达点时，，两点同时停止运动．设点运动的时间为，，的面积为． (1)请直接写出与的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系图②中，画出函数的图象； (3)若（2）中函数的图象与直线有两个交点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)图见解析 (3)当时，函数的图象与直线有两个交点 【分析】本题考查动点函数图象问题，二次函数的图象和性质，熟练运用数形结合思想是解题的关键． （1）分两种情况，当时，点P在上，当时，点P在上，根据三角形面积公式分别列式即可； （2）根据（1）中所得解析式描点连线可得函数图象； （3）找出临界点：当直线经过点和时，直线与的图象只有一个交点，分别求出b的值，即可求解． 【详解】（1）解：①解：由题意知，，， 当时，点P在上， ， 当时，点P在上，， ， 综上可得：； （2）解：根据（1）中解析式列表得： x 2 4 5 6 8 y 8 16 15 12 0 作图如下： （3）如图，当过点时，， 此时与的图象只有一个交点， 当过点时，， 此时与的图象只有一个交点， 当时，与的图象有2个交点； 故． 16．（24-25九年级上·吉林·期末）如图，在中，．动点从点出发，沿折线方向以的速度向终点运动，过点作，交射线于点．设点的运动时间为与重合部分图形的面积为． (1)当点于点重合时，求的值． (2)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． (3)当直线经过线段的中点时，直接写出的值． 【答案】(1)的值为或； (2)当时，；；当时，，当时，． (3)或． 【分析】（1）当在上，点于点重合和、都与重合利用勾股定理及度直角三角形的性质求解即可； （2）分为①当时，点在线段上，②当时，点在边上，点在延长线上，③当时，点在边上，点在延长线上，三种情况画图计算即可； （3）分在线段上和在线段上两种情况画出图形计算即可． 【详解】（1）解：如图，当在上，点于点重合时， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 当、都与重合时， ∵， ∴， ∴的值为或； （2）解：①当时，点在线段上，如图所示． ，， ，，即 ∴，， ． ②当时，点在边上，点在延长线上，如图所示． ，， ∴，， ∵， ∴， ，，即 ∴， ． ③当时，点在边上，点在延长线上时，如图所示． ， ， 综上，当时，；当时，，当时，． （3）解：如图，当在线段上时，令交于点，则， ， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，当在线段上时，此时点为的中点， ， ∴ ∴， ∴， 综上，当直线经过线段的中点时，的值为或． 【点睛】本题主要考查了二次根式，度直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的两锐角互余，二次函数的应用等知识，解题的关键是分类讨论思想的运用． 题型三：拱桥问题 18．（2025·湖南·模拟预测）某拱桥呈抛物线形，水面宽度为8米时，拱顶离水面4米．当水面上升2米后，宽度变为（    ）． A．4米 B．米 C．米 D．6米 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，以点C为原点，以过点C且平行于水面的直线为x轴，以过点C且垂直于水面的直线为y轴建立平面直角坐标系，设抛物线解析式为，由题意得，，利用待定系数法可得到，再求出时，x的值即可得到答案． 【详解】解：如图所示，以点C为原点，以过点C且平行于水面的直线为x轴，以过点C且垂直于水面的直线为y轴建立平面直角坐标系，设抛物线解析式为， 由题意得，， 把代入到中得：，解得， ∴抛物线解析式为， 当时，解得， ∵， ∴当水面上升2米后，宽度变为米， 故选：B． 19．（2025·陕西商洛·三模）现要修建一条隧道，其截面为抛物线形，如图所示，线段表示水平的路面，点为的中点，以为坐标原点，以所在直线为轴，以过点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：抛物线底面宽度米，该抛物线的顶点到的距离为9米． (1)求该隧道截面所在抛物线的函数表达式； (2)如图，现需在隧道上方安装一块高度为1米，宽度为3米的长方形电子显示屏，确保行车安全，要求电子显示屏距地面至少6米，并且距左右墙需各留至少0.5米的安全距离，试通过计算说明能否满足安装设计要求． 【答案】(1) (2)满足安装设计要求，理由见解析 【分析】本题考查了待定系数法解二次函数的解析式，矩形的性质，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，设抛物线的解析式为，再结合抛物线底面宽度米，且O为的中点，得出，代入求解即可作答． （2）先作图：延长交抛物线于一点H，然后令，则，把代入，得，求出点到地面距离为米，即可解答． 【详解】（1）解：由题意得抛物线的顶点为， 设该隧道截面所在抛物线的函数表达式为， ， ． 将代入，得， 解得． 该隧道截面所在抛物线的函数表达式为， （2）解：满足安装设计要求，过程如下． 依题意米，米． 如图，延长交抛物线于点． 当米时，则． 把代入，得． 点到地面距离为（米）． ， 满足安装设计要求． 20．（2025·福建三明·三模）图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽20m，拱顶离水面，以拱桥的顶点为坐标原点，抛物线对称轴为轴建立平面直角坐标系． (1)求此抛物线的解析式； (2)当该河段水位再涨达到最高时，有一艘货船它露出水面高，船体宽，需要从拱桥下通过，请通过计算判断该货船是否能顺利通行． (3)为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂长的灯笼．如图3，为了安全，灯笼底部距离水面不小于（此时水面是指（2）中最高水位的水面）；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．请设计悬挂方案，并说明悬挂的灯笼数量最多可以是多少个． 【答案】(1)； (2)能顺利通行； (3)方案一：从顶点处开始悬挂灯笼；方案二：从距顶点处开始挂灯笼.最多可挂8盏灯笼． 【分析】本题考查了二次函数和圆的综合应用，解题的关键是能把实际问题转化为数学问题，掌握二次函数，圆的相关性质． （1）函数关系式为，将代入计算即可； （2）画出图形，根据题意可知，，T，由勾股定理可得，即可得到答案． （3）根据该河段水位再涨达到最高，灯笼底部距离水面不小于，灯笼长，可知悬挂点的纵坐标的最小值是，即可知悬挂点的横坐标的取值范围是：；方案一：从顶点处开始悬挂灯笼，根据，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为，可知共可挂7盏灯笼；方案二：从距顶点处开始挂灯笼，可知共可挂8盏灯笼． 【详解】（1）解：由题意可知点B的坐标为， 设函数关系式为，代入得， 解得：， ∴抛物线的解析式为， （2）解：如图，设圆心为M，设圆的半径为r米，由题意得于点C，于点T，连接， 则米， ∴，解得米， 根据题意可知，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴能顺利通行，船航行线路是船的中心线沿航行； （3）解：∵该河段水位再涨达到最高，灯笼底部距离水面不小于，灯笼长， ∴当悬挂点的纵坐标， 即悬挂点的纵坐标的最小值是， 当时，， ∴， ∴悬挂点的横坐标的取值范围是：； 方案一：如图3（坐标轴的横轴），从顶点处开始悬挂灯笼， ∵，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为， ∴若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，， 若顶点一侧悬挂3盏灯笼时，， ∴顶点一侧最多悬挂3盏灯笼， ∵灯笼挂满后成轴对称分布， ∴共可挂7盏灯笼， 方案二：从距顶点处开始挂灯笼，如图4， ∵若顶点一侧悬挂5盏灯笼时，， 若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，， ∴顶点一侧最多悬挂4盏灯笼， ∵灯笼挂满后成轴对称分布， ∴共可挂8盏灯笼． 21．（2025·河南南阳·二模）某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，还要兼顾美观、大方、和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了两个设计方案，现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中如图所示． 方案一：抛物线型拱门的跨度，拱高，其中点在轴上，， 方案二：抛物线型拱门的跨度，拱高，其中点在轴上，，． 要在拱门中设置高为的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计），方案一中，矩形框架的面积记为，点、在抛物线上，边在上；方案二中，矩形框架、的面积记为，点，在抛物线上，边在上，现知，小华已正确求出方案二中，当时，，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题： (1)求方案一中抛物线的函数表达式； (2)在方案一中，当时，求矩形框架的面积，并比较，的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出函数关系式． （1）由题意知抛物线的顶点，设顶点式用待定系数法可得方案一中抛物线的函数表达式； （2）令可得，，故；再比较的大小即可． 【详解】（1）解：解：由题意得，方案一中抛物线的顶点， 设抛物线的函数表达式为， 把代入得，解得：， ， 方案一中抛物线的函数表达式为：； （2）解：在中，令得： 解得，，． ， ， ， ． 22．（2025·湖北襄阳·三模）如图（1），某隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为，宽，隧道顶端到地面的距离为，建立如图②所示的平面直角坐标系． (1)求该抛物线的解析式． (2)若隧道为单向行车道，一辆货车载一长方形集装箱，集装箱最高处到地面距离为，宽为，请问这辆货车能否安全通过？ (3)若隧道为双向行车道，且正中间有宽的隔离带．有一辆货车宽为，设货车的行驶位置与隔离带边缘的间距为，求货车能够通行的最大安全限高与的关系式，并计算当时的最大安全限高． 【答案】(1)； (2)这辆货车能安全通过． (3)，时的最大安全限高h为米． 【分析】本题考查二次函数的应用． （1）易得抛物线的顶点坐标和点C的坐标，用顶点式表示出抛物线的解析式，把点C的坐标代入可得a的值，即可求得抛物线的解析式； （2）判断出货车最左端的点的横坐标，代入（1）中得到的函数解析式，得到y的值，与5比较即可得到能否安全通过； （3）用含d的代数式判断出货车最右端的点的横坐标，代入（1）中得到的函数解析式，可得h与d的关系式，取，可得h的值． 【详解】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为，点， ∴设抛物线的解析式为， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：这辆货车能安全通过． 理由：∵隧道为单向行车道，货车宽为, ∴货车最左端的点的横坐标为：， 当时，， ∴这辆货车能安全通过； （3）解：由题意得：货车最右端的点的横坐标为：, ∴， 当时，． 答：，时的最大安全限高h为米． 23．（2025·陕西榆林·三模）乡村振兴关键在产业．近年来，某县区通过建设标准化大棚，种植圣女果、普罗旺斯西红柿、草莓等，让大棚产业照亮农业转型升级致富路，实现村民稳定增收．如图2，某农户的大棚截面上半部分可近似看作抛物线，下半部分可看作矩形，以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，已知大棚棚顶最高点E到地面的距离为7米，米，棚宽米． (1)求抛物线的函数表达式； (2)为了加固棚顶，现需在上方的抛物线部分加装一根横梁（点P、Q均在抛物线上），且，若横梁与地面的距离是米，则横梁的长度是多少米？ 【答案】(1) (2)横梁PQ的长度是9米 【分析】本题主要考查了求二次函数的关系式，已知函数值求自变量， 对于（1），根据矩形的性质及已知条件得顶点E的坐标，可设抛物线的函数表达式为，再将点代入函数表达式可得答案； 对于（2），令，求出x的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，米， ∴点（米）. 根据题意得，顶点E的坐标为， ∴可设抛物线的函数表达式为：， 把点代入函数表达式可得， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为：； （2）解：由题意知，点P的纵坐标为， 当时，， 解得，， ∴， ∴横梁的长度是9米． 题型四：销售问题 24．（24-25九年级下·云南昆明·阶段练习）某商场销售甲、乙两种商品．已知销售甲商品的利润 （元）与销售数量x（件）的函数关系为一次函数，当销售2件甲商品时，利润为8元；当销售5件甲商品时，利润为20元．销售乙商品的利润 （元）与销售数量t（件）的函数关系为二次函数． (1)求出与x的函数关系式； (2)若商场准备销售甲、乙两种商品共25件，其中乙商品的销售数量不少于4件且不多于8件，为使总利润最大，应销售甲、乙两种商品各多少件？最大总利润是多少元？ 【答案】(1) (2)应销售甲商品21件，乙商品4件，最大总利润是103元 【分析】本题考查的是列一次函数的关系式，二次函数的实际应用，熟练的建立二次函数，再利用二次函数的性质解题是关键． （1）设出与x的函数关系式为，根据当销售2件甲商品时，利润为8元；当销售5件甲商品时，利润为20元，利用待定系数法即可求解； （2）设销售乙商品件，则销售甲商品件，总利润为元，由总利润等于每件销售利润乘以销售量，再利用二次函数的性质解题即可． 【详解】（1）解：设出与x的函数关系式为， 将，代入可得：， 解得：， ∴与的函数关系式为； （2）解：设销售乙商品件，则销售甲商品件，总利润为元． ∵． ∴二次函数的对称轴为直线． ∵在对称轴右侧，且， ∴随的增大而减小， ∴当时，有最大值， ， ∴销售甲商品的件数为：（件）． 答：应销售甲商品21件，乙商品4件，最大总利润是103元． 25．（24-25九年级下·山东潍坊·期中）春节期间、《哪吒》热映；某文创公司推出一款成本价为每卷元的哪吒贴纸投放到市场、售价范围为元至元．经过一段时间销售发现：每天销售贴纸的数量（卷）与每卷售价（元）满足如图所示的函数关系．    (1)求与的函数表达式； (2)公司将该贴纸每卷售价定为多少元时，每天销售该贴纸的利润可达到元？ (3)当每卷售价为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？ 【答案】(1) (2)公司将该贴纸每卷售价定为元时，每天销售该贴纸的利润可达到元 (3)当每卷售价为元时，每天获利最大，最大利润为元 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，一元二次方程的应用，解一元二次方程，二次函数的图象与性质，理解题意、根据等量关系列出相应方程是解题关键． （1）设，利用待定系数法即可求解； （2）设该贴纸每卷售价定为元，则每卷利润为元，根据每卷利润乘以销售量等于总利润，可得，解方程即可； （3）设利润为元，则，根据二次函数的图象和性质，求得当时的最大值即可． 【详解】（1）解：根据题意，设， 将和代入， 得：，解得：， 与的函数表达式为． （2）解：设该贴纸每卷售价定为元，则每卷利润为元， 由（1）得：每天销售量， 根据题意，得：， 解得：（舍去），， 答：公司将该贴纸每卷售价定为元时，每天销售该贴纸的利润可达到元． （3）解：设利润为元， 根据题意，得：， ，对称轴， 超出售价范围，且在这个范围内，随的增大而增大， 时，取最大值， 最大值为元， 答：当每卷售价为元时，每天获利最大，最大利润为元． 26．（2025·新疆·模拟预测）现有一个小果园种植甲、乙两种果树，种植棵甲果树（为正整数），每年所获得的利润（元）与之间的函数关系式为，且当时，；种植棵乙果树（为正整数），已知乙果树每年成本由人工成本、物资成本和其他成本三部分组成，人工成本与的平方成正比，物资成本与成正比，其他成本不变为80元．若乙果树每棵每年可收入800元，种植乙果树每年所获得的利润为（元），经过统计获得如下数据： （棵） 10 40 （元） 4920 7920 (1)求出关于，关于的函数关系式； (2)若这个小果园计划种植甲果树的数量是乙果树数量的一半，求当种植多少棵甲果树时，两种果树所获得的年总利润最大？最大是多少？ 【答案】(1)，； (2)当种植17棵或18甲果树时，两种果树所获得的年总利润最大，最大利润是14548元 【分析】本题考查了二次函数的应用，掌握利润=总收入总支出的关系式和待定系数法是解题的关键． （1）利用待定系数法和二次函数的性质解答即可；利用利润=总收入-总支出得到，再利用待定系数法解答即可； （2）设每年的总利润为W元，则，利用题意得到W与x的函数关系式，利用二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：∵当时，元， ∴， ∴， ∴； 由题意得：， 由表格可得：当时，，当时，， ∴， ∴， ∴； （2）解：设每年的总利润为W元，则， 由题意：， ∴ ， ∵， ∴当时，W有最大值，但x为正整数，抛物线的对称轴为直线， ∴当或18时，W有最大值，W的最大值为14548元， ∴当种植17棵或18甲果树时，两种果树所获得的年总利润最大，最大利润是14548元． 27．（2025·黑龙江大庆·二模）某公司根据往年市场行情得知，某种商品从5月1日起的300天内，该商品每件市场售价y（元）与上市时间t（天）的关系用图1的折线表示；每件商品的成本Q（元）与时间t（天）的关系用图2的一部分抛物线表示． (1)每件商品在第50天出售时的利润是______元； (2)求图1表示的商品售价y（元）与时间t（天）之间的函数关系式； (3)若该公司从销售第1天至第200天预计每天可以售出此种商品2000件，请你计算第1天至第200天该公司哪一天利润最高，最高是多少元？ 【答案】(1)100 (2) (3)从开始销售的第50天出售此种商品可获得最大利润20万元 【分析】本题主要考查的是二次函数的应用． （1）当时，设y与的函数关系式为，图中已知点坐标代入求得y与的关系式，然后将求得y的值，然后依据利润售价成本求解即可； （2）当时，设y与的函数关系式为．图中已知点坐标代入求得y与的关系式，然后结合（1）中的关系式可得到y与的关系式； （3）抛物线的顶点坐标为，设商品的成本与时间的关系式为，然后可求得的解析式，然后由得到与的函数关系式，最后，依据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：当时，设与的函数关系式为． 由题意得：， 解得：，， ， 当时，， ． 故答案为：100； （2）解：由（1）知，当时， 当时，设与的函数关系式为． 由题意得：， 解得，， 与的关系式为． 综上所述，与之间的函数关系式为； （3）解：设商品的成本与时间的关系式为． 将代入得：， ， ， 当时，取最大值为100， 元． 答：从5月1日开始的第50天出售此种商品可获得最大利润20万元． 28．（2025·山西运城·模拟预测）“六一”儿童节期间，某超市以元/个的价格购入一批儿童礼品．在销售前，销售经理进行了市场调研． 调研数据：下表是日销售数量y（个）与销售单价x（元）的部分调研数据： 销售单价x/元 … … 日销售数量y/个 … … 建立模型：（1）根据调研数据可知y是x的_________（填“一次”“二次”或“反比例”）函数，y关于x的函数表达式为_________． 问题解决：（2）儿童礼品的销售单价定为多少元时，日销售利润最大，最大日销售利润是多少？ （3）若该超市决定每销售一个儿童礼品就向儿童福利院捐赠m元，捐赠后，该儿童礼品日销售最大利润为元，求m的值． 【答案】（1）一次，；（2）儿童礼品的销售单价定为元时，日销售利润最大，最大日销售利润为元；（3）2 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，求二次函数的最值，解答关键是列出函数表达式再求解． （1）先判定为一次函数，再利用待定系数法求解； （2）设日销售利润为元，根据“利润=单件利润×销售量”求出关于的函数表达式，然后利用二次函数的性质求解； （3）设日销售利润为元，根据利润=单件利润×销售量销售量求出关于的函数表达式，然后利用二次函数的性质求解． 【详解】建立模型： （1）解：一次，设这个一次函数解析式为， 则，解得：， 所以这个一次函数解析式为； 故答案为：一次，； 问题解决： （2）设日销售利润为元． 根据题意得． ，当时，有最大值，最大值为． 答：儿童礼品的销售单价定为元时，日销售利润最大，最大日销售利润为元． （3）设捐赠后，日销售利润为元， 根据题意得． ， 当时， 有最大值，最大值为． 的最大值为， ． 解得，． 当时，，，符合题意． 当时，，，不符合题意，舍去． 答：的值为2． 29．（2025·四川内江·中考真题）2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元． (1)求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？ (2)根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元的资金购进A、B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？ (3)在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值． 【答案】(1)A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元； (2)至少需要购进B款纪念品200个 (3)，W的最大值为4500 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程组，函数关系式和不等式是解题的关键． （1）设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元，根据购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元建立方程组求解即可； （2）设需要购进B款纪念品m个，则需要购进A款纪念品个，根据购买资金不超过12000元建立不等式求解即可； （3）根据题意可得每个A款纪念品的利润为元，销售量为个，据此列出W关于a的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求出W的最大值即可． 【详解】（1）解：设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元， 由题意得，， 解得， 答：A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元； （2）解：设需要购进B款纪念品m个，则需要购进A款纪念品个， 由题意得，， 解得， ∴m的最小值为200， 答：至少需要购进B款纪念品200个； （3）解：由题意得， ， ∵， ∴当，即时，W最大，最大值为4500． 30．（2025·四川南充·中考真题）学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题． 材料一 租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人；用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同． 材料二 A型客车租车费用为3200元/辆；B型客车租车费用为3000元/辆． 优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用元/辆； 租用B型客车，租车费用打八折． 材料三 租车公司最多提供8辆A型客车； 学校参加研学活动师生共有530人，租用A，B两种型号客车共10辆． (1)A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少？ (2)本次研学活动学校的最少租车费用是多少？ 【答案】(1)A型客车每辆载客量为60人，B型客车每辆载客量为45人 (2)本次研学活动学校最少租车费用为27 000元 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，二次函数的实际应用，根据题意得到等量关系式是解题的关键． （1）设A型客车每辆载客量为人，根据题意列出方程，求解即可； （2）设租A型客车辆，B型客车辆，租车总费用，根据材料三先求出m的取值范围，再列出w关于m的函数关系式，结合二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设A型客车每辆载客量为人，根据题意得： ． 解之得． 经检验：是方程的根，且符合题意， 答：A型客车每辆载客量为60人，B型客车每辆载客量为45人． （2）解：设租A型客车辆，B型客车辆，租车总费用，则 ． 解之得． ． ∵，且对称轴为， ∴时，随着的增大而增大． ∵取正整数，且， ∴当时，最小值为27000（元）． ∴本次研学活动学校最少租车费用为27000元 31．（2025·湖北·模拟预测）综合与实践： 【问题情境】关注眼健康，共筑“睛”彩大视界．某电商为积极响应爱眼日活动宣传，计划销售一款护眼贴．已知该款护眼贴的进价为50元/盒，销售一段时间后，该电商发现这款护眼贴的月销售量（盒）与销售单价（元/盒）的情况如图所示： 销售单价（元/盒） 月销售量（盒） 65 1300 60 1400 70 1200 (1)【数据整理】请将以上调查数据按照一定顺序重新整理，填写在下表中： 销售单价（元/盒） 60 ______ ______ 月销售量（盒） ______ ______ ______ (2)【模型建立】分析数据的变化规律，求出月销售量与销售单价之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）； (3)【拓广应用】该电商规定每盒护眼贴的销售单价不得低于进价，且利润不得高于进价的． ①若该电商某月销售这种护眼贴获利14000元，则销售单价为多少元/盒？ ②设销售这种护眼贴每月获利（元），当销售单价为多少元/盒时，每月获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)见解析 (2) (3)①销售单价为60元/盒②当销售单价为85元/盒时，每月获利最大，最大利润是31500元 【分析】本题主要考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，利用二次函数解决利润问题，求二次函数的函数值，解题的关键是掌握二次函数的性质． （1）根据题意即可填写； （2）利用待定系数法求解即可； （3）①根据题意列出方程，确定自变量的取值范围，即可解答； ②列出二次函数，利用二次函数的性质求出最值即可． 【详解】（1）解：根据销售单价从小到大排列得下表： 销售单价（元/盒） 60 65 70 月销售量（盒） 1400 1300 1200 （2）解：观察表格可知月销售量是关于销售单价的一次函数， 设月销售量与销售单价之间的函数关系式为， 将，分别代入， 得， 解得， 月销售量与销售单价之间的函数关系式为； （3）解：①根据题意得， 解得，， 由题意得， 即， ， 答：销售单价为60元/盒． ②由题意得， ，， 抛物线开口向下， 对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， 当时，有最大值，（元）． 答：当销售单价为85元/盒时，每月获利最大，最大利润是31500元． 32．（2025·山西大同·三模）综合与实践 活动主题：探究商品生产、销售过程中的数学问题 问题情境：板枣被列为中国十大名枣之首，特别是稷山板枣，因其优良的品质和悠久的历史而闻名．综合实践小组的同学到某食品店研学，发现该店新开发了一种枣饮品，他们对这种饮品的生产和销售情况进行了数据收集． 信息展示：小华：该店这种饮品每日的产量x（千克）的范围是． 小彬：该饮品每千克的生产成本（元）与每日产量x（千克）之间的关系如下表所示： 每日产量x（千克） 30 60 90 120 每千克的成本（元） 55 50 45 40 小颖：该饮品每千克的售价（元）与每日产量x（千克）之间的关系可用如图的坐标系中的线段所示，所在直线与纵轴的交点为（其中）； 小文：该店每日生产的这种饮品全部售完（即每日销售量=每日产量）． 问题解决： (1)根据小彬收集的信息可知，该饮品每千克的生产成本（元）与每日产量x（千克）之间的变化规律可用我们学习过的______函数刻画（选填“一次”“反比例”或“二次”），其函数关系式为______； (2)当时，解决下列问题： ①该饮品每千克的售价（元）与每日产量x（千克）之间的函数关系式为______； ②若该饮品某日的销售利润为1326元，求当日该饮品的产量； (3)若该饮品每日产量为80千克时，可获得最大日销售利润．请通过计算确定相应的m的值及最大日销售利润． 【答案】(1)一次； (2)①；②当日该饮品产量为102千克或78千克 (3)m的值为100，最大日销售利润为1600元 【分析】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，一元二次方程的应用，正确找到相关的等量关系是解题的关键． （1）利用待定系数法即可解答； （2）①利用待定系数法即可解答； ②根据题意列方程，即可解答； （3）求得，根据题意表示出日销售利润，根据二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：饮品每千克的生产成本（元）与每日产量x（千克）之间的变化规律可用我们学习过的一次函数， 设饮品每千克的生产成本（元）与每日产量x（千克）之间的函数关系式为， 把代入可得， ， 解得， 所以饮品每千克的生产成本（元）与每日产量x（千克）之间的函数关系式为， 故答案为：一次；； （2）解：①当时，设饮品每千克的售价（元）与每日产量x（千克）之间的函数关系式为， 把代入可得， 解得， 所以饮品每千克的售价（元）与每日产量x（千克）之间的函数关系式为， 故答案为：； 解：②由题意，得， 即． 解，得，，且均符合题意． 答：当日该饮品产量为102千克或78千克． （3）解：设与x之间的关系式为， 将分别代入，得 解，得 ． 设该饮品日销售利润为w元． 则． 由此可知，当时，w是x的二次函数． ， ， ∴抛物线开口向下，w有最大值． 且每日产量为80千克时，可获得最大销售利润， ， 解，得，经检验是上述方程的解． 当，时，． 答：m的值为100，最大日销售利润为1600元． 题型五：投球问题 33．（24-25九年级下·河南周口·期中）掷实心球是中学生体育测试项目之一，小明发现实心球从出手到落地的过程中，实心球竖直高度与水平距离一直在相应的发生变化，实心球的竖直高度是水平距离的二次函数．已知实心球出手时候的高度是，当水平距离是时，实心球达到最大高度． (1)求满足条件的抛物线的关系式． (2)根据中学生体育测试评分标准(男生版)，在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离不小于时，即可得满分10分，小明在此次投掷中是否得到满分？请说明理由． 【答案】(1) (2)小明在这次投掷中得到了满分，见解析 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，解答本题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的性质． （1）设抛物线的解析式为，再代入即可求出解析式； （2）把代入，即可求出x的值，再与满分成绩比较即可得到结果． 【详解】（1）解：由题意可知,抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的关系式是， 把点代入得： 解得：， ∴ 抛物线的关系式为； （2）解：当时, ， 解得： （舍去）， ∵， ∴小明在这次投掷中得到了满分． 34．（2025·河南开封·二模）某数学兴趣小组设计了一个投掷乒乓球游戏：将一个无盖的长方体盒子放在水平地面上，从箱外向箱内投乒乓球．建立如图所示的平面直角坐标系（长方形为箱子截面图，轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行，米，米），小明站在原点，将乒乓球从距离水平地面1.5米高的处抛出，乒乓球运行轨迹为抛物线，当乒乓球离小明1米时，达到最大高度2米． (1)求抛物线的解析式； (2)小明抛出的乒乓球能不能投入箱子，请通过计算说明． 【答案】(1) (2)能，见解析 【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是将实际问题转化为二次函数中坐标问题，然后利用坐标数值关系反推实际问题． （1）由题意得，抛物线的顶点坐标为，利用待定系数法求解即可； （2）只要判断出乒乓球在运行中，高于，并落在之间即可； 【详解】（1）解：由题意得，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， ∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为，即 （2）解：能，理由如下： 当时，， 当时，， 解得（舍去），， ∴乒乓球在运行中，高于，并落在的中点处， ∴小明抛出的乒乓球能投入箱子； 35．（2025·河南·模拟预测）如图1所示的是古代一种远程攻击的武器——发石车．将发石车置于山坡底部处，以点为原点，水平方向为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，将某发射出去的石块看作一个点，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分．山坡上有一堵防御墙，其竖直截面为，墙宽与轴平行，点与点的水平距离为，垂直距离为．已知发射石块在空中飞行的最大高度为． (1)求该抛物线的解析式； (2)试通过计算说明该石块能否飞越防御墙． 【答案】(1) (2)能，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的实际应用．熟练掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，根据函数值求函数值，是解题的关键． （1）根据石块在空中飞行的最大高度为 10 米，得到抛物线解析式为，将点代入，求得，即得抛物线解析式为； （2）根据墙宽米，与轴平行，点与点的水平距离为25米、垂直距离为 5米，得到点的横坐标为27，当时，，得到石块能飞越防御墙． 【详解】（1）解：发射石块在空中飞行的最大高度为， ． 石块运行的函数解析式为． 把代入解析式，得， 解得：． ． （2）解：石块能飞越防御墙． 理由如下： 点与点的水平距离为，墙宽， 点的横坐标为． 把代入， 得 点与点的垂直距离为与轴平行， 点与点的垂直距离也为． ， 该石块能飞越防御墙． 36．（2025·河南信阳·三模）掷沙包是一种传统儿童游戏，投掷者用内装谷粒或者沙子的布包向远处的目标进行投掷，以投中目标为胜，沙包的飞行轨迹近似抛物线．设沙包飞行的水平距离为（单位：m），相对应的飞行高度为（单位：m）．李华在处以跪蹲姿势向远处的布幔投掷沙包，沙包飞行轨迹的相关数据如图所示，为抛物线的顶点，已知布幔垂直于轴，且，布幔上的目标与的距离为0.26米． (1)求沙包飞行轨迹抛物线的解析式 （无需写出自变量的取值范围）； (2)为了击中目标，应将布幔向前或后移动多少米？ 【答案】(1) (2)前移动 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键． （1）由顶点式，可设抛物线的解析式为，再把代入求出a的值即可； （2）求出时，即可解得． 【详解】（1）解：由题意可知抛物线顶点为． 故可设抛物线的解析式为， 又抛物线过， ， ， 解析式为； （2）当时， 即 （舍），， ， 应将布幔向前移动． 37．（24-25九年级下·广东茂名·期中）【综合与探究】 乒乓球被誉为中国国球．在世界乒乓球大赛中，中国队经常夺得冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的，如题图1，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度为的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分，如题图2所示． 乒乓球到球台的竖直高度记为y（单位；cm），乒乓球运行的水平距离记为x（单位；cm）测得数据如下表所示： 水平距离 0 10 50 90 130 170 230 竖直高度 28.75 33 45 49 45 33 0 (1)在平面直角坐标系中，描出表格中各组数值所对应的点，并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象； (2)①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是__________cm，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是__________cm； ②求满足条件的抛物线解析式； (3)技术分析：如果只上下调整击球高度，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出的取值范围，以利于有针对性的训练．如图②，乒乓球台长为，球网高为，现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球高度的值约为．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值（乒乓球大小忽略不计） 【答案】(1)见解析 (2)①；；② (3)乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值为 【分析】（1）根据描点法画出函数图象即可求解； （2）①根据二次函数图象的对称性求得对称轴以及顶点，根据表格数据，可得当时，； ②待定系数法求解析式即可求解； （3）根据题意，设平移后的抛物线的解析式为，根据题意当时，，代入进行计算即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， （2）①观察表格数据，可知当和时，函数值相等，则对称轴为直线，顶点坐标为， 又抛物线开口向下，可得最高点时，与球台之间的距离是， 当时，， ∴乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是； 故答案为：；． ②设抛物线解析式为，将代入得， ， 解得：， ∴抛物线解析式为； （3）∵当时，抛物线的解析式为， 设乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值为，则平移距离为， ∴平移后的抛物线的解析式为， 依题意，当时，， 即， 解得：． 答：乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值为． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，画二次函数图象，二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 38．（24-25九年级下·陕西西安·期中）如图是篮球运动员慕梓睿在投篮时的截面示意图，当他原地投篮时，分别以水平地面为轴，出手点竖直方向为轴建立平面直角坐标系．篮球运行的路线可看成抛物线，慕梓睿投出的篮球在距原点水平距离2.5米处时，达到最大高度3.5米，且应声入网，已知篮筐的竖直高度为3.05米，离原点的水平距离为4米．（本题中统一将篮球看成点，篮筐大小忽略不计） (1)求此抛物线的解析式； (2)若防守队员雷莹在原点右侧且距原点1.5米处竖直起跳，其最大能摸高3.2米，问雷莹能否碰到篮球？并说明理由． 【答案】(1) (2)雷莹不能碰到篮球 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）设抛物线解析式为，把代入解析式即可得解； （2）当时，得，求解可得． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为，把代入解析式得， 解得． ∴抛物线解析式为； （2）解：雷莹不能碰到篮球，理由如下， 当时， ， ∵， ∴雷莹不能碰到篮球． 39．（2025·山东济宁·三模）【问题背景】 水火箭是一种基于水和压缩空气的简易火箭，通常由塑胶汽水瓶作为火箭的箭身，并把水当作喷射剂．图是某学校兴趣小组制做出的一款简易弹射水火箭． 【实验操作】 为验证水火箭的一些性能，兴趣小组同学通过测试收集了水火箭相对于出发点的水平距离（单位：）与飞行时间（单位：）的数据，并确定了函数表达式为：．同时也收集了飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）的数据，发现其近似满足二次函数关系．数据如表所示： 飞行时间 飞行高度 【建立模型】 任务：求关于的函数表达式． 【反思优化】 图是兴趣小组同学在室内操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台（距离地面的高度为），当弹射高度变化时，水火箭飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到，线段为水火箭回收区域，已知，． 任务：探究飞行距离，当水火箭落地（高度为）时，求水火箭飞行的水平距离． 任务：当水火箭落到内（包括端点，），求发射台高度的取值范围． 【答案】任务：； 任务：米； 任务：． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解决本题的关键是利用待定系数法求出二次函数的解析式，再根据二次函数的解析式解答． 任务：由表格中的数据可知抛物线的顶点坐标为，设抛物线解析式为：，把点的坐标代入解析式可得：，解方程求出的值即可； 任务：把代入关于的函数表达式，可得，解方程，可得：水火箭飞行的水平距离为米； 任务：当抛物线经过点时，可以求出，当抛物线经过点时，可以求出，所以可得发射台高度的取值范围为． 【详解】解：任务： 二次函数经过点，， 抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为：， 抛物线经过点， ， 解得：， 关于的函数表达式为：； 任务2：， ， ， 整理得：， 当水火箭落地（高度为）时，， 解得：（不合题意，舍去），， 答：水火箭飞行的水平距离为米； 任务：设的长度为， 水火箭的抛物线解析式为， 当抛物线经过点时， ， 点的坐标为， ， 解得：， 当抛物线经过点时， ，， ， 点的坐标为， ， 解得：， 水火箭落到内（包括端点，）， ， ， 答：发射台高度的取值范围为：． 40．（2025·河北唐山·三模）如图，为排球运动场地示意图，球网在场地中央且高度为m，球网距离球场左、右边界均为9m．排球发出后其运动路线可以看作是对称轴垂直于水平面的抛物线的一部分，某次发球，排球从左边界的正上方发出，击球点的高度为m，当排球运动到水平距离球网3m时达到最大高度m，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)当时， ①求抛物线的表达式； ②求排球是否能过球网？是否出边界？ (2)若排球既能过网（不触网），又不出界（不接触边界），直接写出的取值范围． 【答案】(1)①；②可以过球网，不出边界 (2) 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能根据题意列出函数关系式． （1）①由题知抛物线的顶点坐标为，设抛物线的表达式为，把点代入解析式求出a即可． ②求出时y的值，若则能过网，求出时y的值，若，则不出边界． （2）设击出的排球轨迹为，当该轨迹经过球网的顶端坐标时，，此时；当该轨迹经过右边界的坐标时，，此时，即可得h的取值范围是． 【详解】（1）解：①因为排球飞行到距离球网时达到最大高度，， ∴抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的表达式为， ∵点在抛物线上， ∴， 解得， ∴； ②当时， ， ∴可以过球网， 当时，， ∴排球不出边界； （2）解：设击出的排球轨迹为， 当该轨迹经过球网的顶端坐标时， ， 解得， ∴， 令得，即此时； 当该轨迹经过右边界的坐标时， ， 解得， ∴， 令得，即此时； ∴若排球既能过网（不触网），又不出界（不接触边界），h的取值范围是． 题型六：喷水问题 41.（2025·甘肃平凉·中考真题）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意、将抛物线转化为顶点式是解题关键； 将抛物线化为顶点式即可解决问题. 【详解】解：∵， ∴当时，； 故选：B. 42．（24-25九年级下·全国·假期作业）【问题情境】如图是喷水管从点A向四周喷出水花的喷泉截面示意图，喷出的水花是形状相同的抛物线．以点O为原点，水平方向为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，点C，D为水花的落水点且在x轴上，其中右侧抛物线的解析式为，喷水管的高度为． 【问题解决】 (1)求a的值； (2)现重新改建喷泉，降低喷水管，使落水点与喷水管的水平距离为9m，求喷水管要降低的高度． 【答案】(1) (2)米 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是明确二次函数平移的特点，利用二次函数的性质解答． （1）将代入，求出相应的a的值即可； （2）先设喷水管要降低的高度，然后将代入，再求出相应的降低的高度即可； 【详解】（1）解：由题意得：； ∵将代入中可得，， 解得， ∴a的值为． （2）解：设喷水管要降低的高度为，则降低高度后的右侧抛物线的解析式为， 将代入，可得， 解得； 答：喷水管要降低的高度为米； 43．（2025·广西南宁·模拟预测）某景观公园内圆形人工湖中心有一喷泉，在人工湖中央垂直于水面安装一个柱子，安置在柱子顶端的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．爱思考的小敏发现，如果设距喷水柱子的水平距离为米，喷出的抛物线形水线距离湖面高度为米，与的数量变化有一定规律． 【提出问题】 喷出的抛物线形水线距离湖面高度为米与距喷水的柱子的水平距离米，与之间有怎样的函数关系？ 【分析问题】 小敏对某个方向喷水的路径测量和计算得出如下数据： （米） … 0 1 2 3 4 … （米） … 2 2 … 【解决问题】 (1)在建立如图1所示的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑曲线连接； (2)已知与之间存在已学过的某种函数关系，请结合表中所给数据和所画出的图象，求出与之间的函数关系式； (3)现公园想通过喷泉设立一个新的游玩项目，使公园的平顶游船能从喷泉最高点的正下方通过．如果游船宽度为米，顶棚到水面的高度为2米，为了避免游船被淋到，顶棚到水柱的垂直距离不小于米，问游船能否顺利通过？说明理由． (4)如图2，若从安全的角度考虑，需要在这个喷泉外围设立一圈圆形护栏．这个喷泉的任何一条水柱在湖面上的落点到护栏的距离不能小于1米，请通过计算说明公园至少需要准备多少米的护栏？（结果保留） 【答案】(1)图形见解析 (2) (3)不能正常通过，理由见解析 (4)公园至少需要准备米的护栏 【分析】本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）根据表格数据对应描点画图即可； （2）根据表格数据和图象的对称性可得顶点为，设二次函数的关系式为，利用待定系数法即可得到答案； （3）根据游船的宽度求得当时，的值，结合顶棚到水面的高度为2米，顶棚到水柱的垂直距离不小于米，即可作出判断； （4）根据（2）的关系式可求得当时，的值，即为落水点距离喷头的水平距离，进而求得圆形护栏的半径，根据圆的周长公式即可求解． 【详解】（1）解：描点、连线、图象如图； ； （2）解：该函数是二次函数，由和可知，抛物线的对称轴为直线， 当时，， ∴水柱最高点距离湖面的高度是米； 由图象可得，顶点， 设二次函数的关系式为， 把代入可得， ∴； 将和代入抛物线关系式，左边等于右边，所有的点都在二次函数图象上， ∴可以确认该函数是二次函数， ∴与之间的函数关系式为； （3）解：游船宽度米，在抛物线的正下方通过，令， 代入（2）中所得抛物线解析式得， 由已知，顶棚到水面的高度为2米，顶棚到水柱的垂直距离不小于米， ∴， ∵， ∴不能正常通过； （4）解：当时，即， 解得（舍去）或， ∵喷泉的任何一条水柱在湖面上的落点到护栏的距离不能小于1米， ∴圆的半径至少为（米）， ∴至少需要准备栏杆（米）， ∴公园至少需要准备米的护栏． 44．（2025·山西晋城·三模）综合与实践 某小区考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头（如图1），喷淋头喷洒的最外层水柱的形状可近似看作抛物线，如图2，已知车棚建在两面墙之间，为水平地面，，，消防喷淋头安装在距离地面3米高的棚顶上，其到墙面的水平距离为3米，此时最外层的水柱喷射到墙面上的点处，米，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，单位长度为1米． (1)求最外层水柱所在抛物线的函数表达式； (2)若在处有一吊灯，吊灯遇水会发生触电危险，则此吊灯在消防喷淋头喷洒时是否存在安全隐患？请判断并说明理由； (3)已知车棚的宽度为11米，为了确保发生火灾时可以完全把火扑灭，喷出的水需要覆盖至少离地面1米高的全部范围，工作人员想在棚顶上加装一个相同型号（喷出水柱的形状相同）的消防喷淋头，请求出消防喷淋头与消防喷淋头的距离的取值范围． 【答案】(1) (2)存在，理由见解析 (3) 【分析】本题考查二次函数解应用题，涉及待定系数法确定函数表达式、二次函数图象与性质，读懂题意，灵活运用二次函数图象与性质解决具体问题是解题的关键． （1）运用待定系数法求解即可得到答案； （2）将代入中，求出即可判定； （3）由题意可知，抛物线可看作是由抛物线向右平移得到的，可设抛物线的函数表达式为，将、代入求解即可得到的取值范围． 【详解】（1）解：设抛物线的函数表达式为， 将点代入上式，得， 解得， 则抛物线的函数表达式为； （2）解：存在， 理由如下： 将代入中， 得， ， 消防喷淋头喷洒时存在安全隐患； （3）解：将代入中， 得， 解得，， 即外层水柱在1米线处的外侧点坐标为和， 设， 记顶点为的抛物线为，顶点为的抛物线为， 由题意可知，抛物线可看作是由抛物线向右平移得到的，可设抛物线的函数表达式为， 将代入中， 得， 解得（舍去），， 将代入中， 得， 解得（舍去）， ， 综上所述，. 45（2025·河南省直辖县级单位·一模）【项目式学习】 项目主题：安全用电、防患未然． 【项目背景】近年来，随着电动自行车保有量不断增多，火灾风险持续上升，据悉，电动自行车约80%的火灾是在充电时发生，某校九年级数学创新小组，开展以“安全用电，防患未然”为主题的项目式学习，对电动自行车充电车棚的消防设备进行研究．如图1是本校悬挂的8公斤干粉灭火器． 【模型构建】 由于干粉灭火器只能扑灭明火，并不能扑灭电池内部的燃烧，在火灾发生时需要大量的水持续给电池降温，才能保证电池内部自燃熄灭，不会复燃．学校考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头． 如图2，喷淋头喷洒的水柱最外层的形状为抛物线．已知学校的停车棚左侧靠墙建造，其截面示意图为矩形，创新小组以点为坐标原点，墙面所在直线为轴，建立如图3所示的平面直角坐标系．他们查阅资料后，提议消防喷淋头M安装在离地高度为3米，距离墙面水平距离为2米处，即米，米，水喷射到墙面处，且米． （1）求该水柱外层所在抛物线的函数解析式； （2）已知充电车棚宽度为7米，电动车电池的离地高度为0.2米，按照此安装方式，当电动车停放在距离墙面（OA）水平距离为4米处时，如果充电时发生火灾，能否保证这辆电动自行车的电池内部自燃熄灭，不会复燃．请说明理由； 【问题解决】 （3）在（2）的条件下，创新小组想在喷淋头的同一水平线上再加装一个同样的喷淋头，使消防喷淋头喷洒的水柱可以覆盖车棚内所有电动车电池，请直接写出喷淋头距离喷淋头至少有多少米． 【答案】（1） （2）按照此安装方式，充电时如果发生火灾，能保证这辆电动自行车的电池内部自然熄灭，不会复燃，理由见解析 （3）喷淋头距离喷淋头至少米 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的应用，求二次函数解析式，解题的关键是理解题意，数形结合，熟练掌握待定系数法，求出抛物线的解析式． （1）用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）把代入（1）中解析式，求出值，与比较，即可得出答案； （3）设喷淋头N距离喷淋头M至少m米，顶点为N的抛物线解析式为：，把代入得出，求出m的值即可． 【详解】解：（1）根据题意得：抛物线的顶点M的坐标为，点D的坐标为， 设抛物线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）按照此安装方式，充电时如果发生火灾，能保证这辆电动自行车的电池内部自然熄灭，不会复燃，理由如下： 把代入得：， ∵， ∴按照此安装方式，充电时如果发生火灾，能保证这辆电动自行车的电池内部自然熄灭，不会复燃； （3）设喷淋头N距离喷淋头M至少m米，根据题意得：点N的坐标为，则顶点为N的抛物线解析式为：， 放在充电车棚最右边的电动车电瓶处的坐标为， 把代入得：， 解得：（舍去）或， ∴喷淋头N距离喷淋头M至少米． 46．（24-25九年级下·河北邢台·阶段练习）1928年为了纪念孙中山先生逝世三周年，国民政府将植树节定为每年的3月12日，1979年新中国正式将3月12日定为全国植树节，并写入《森林法》．今年的3月12日，环卫工人给观光绿化带浇水，如图2，把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其中，，以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立坐标系，喷水口离地竖直高度为1.5米，其下边缘抛物线可由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口，喷水口到绿化带的水平距离为（单位：）． (1)求上边缘抛物线的函数表达式，并求喷出水的最大射程； (2)计算灌溉车所能浇水的宽度的值； (3)绿化带右侧（图中点的右侧）1米外是人行道，要使喷出的水能浇灌到整个绿化带，同时不会淋湿行人，直接写出的取值范围． 【答案】(1)，米 (2)4米 (3) 【分析】本题是二次函数的实际应用， （1）由题意可知：顶点坐标，，利用待定系数法即可求出函数解析式为：，令即可求出米； （2）利用关于对称轴的对称点为：，可知下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4个单位得到，可求出，据此计算即可求解． （3）当点，d有最小值，此时；当上边缘抛物线过点时，d有最大值，；所以． 【详解】（1）解：由题意可知：，故设上边缘抛物线的函数解析式为：， ∵， 将其代入可得：，解得：， ∴上边缘抛物线的函数解析式为：， 令，解得：或， ∵点C在x轴的正半轴， ∴，即喷出水的最大射程米； （2）解：抛物线过点， 关于对称轴的对称点为：， ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4个单位得到， 点C向左平移4个单位得到B， ∴． ∴ 为4米； （3）解：绿化带右侧（图中点的右侧）1米外是人行道， ∴，，， 当d有最小值，， 当上边缘抛物线过点时，有最大值， ∵，． ∴， 解得：或， ∴， ∴d的最大值为：； ∴． 47．（24-25九年级上·北京·期中）某广场的声控喷泉是由若干个垂直于地面的柱形喷泉装置组成的．每个柱形喷泉装置上都有上下两个喷头，这两个喷头朝向一致，喷出的水流均呈抛物线型．当围观游人喊声较小时，下喷头喷水；当围观游人喊声较大时，上下两个喷头都喷水．如图所示，点A和点B是一个柱形喷泉装置上的两个喷头，A喷头喷出的水流的落地点为C．以O为原点，以所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．（柱形喷泉装置的粗细忽略不计） 已知：，，，从A喷头和B喷头各喷出的水流的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式分别是和； (1)求A喷头喷出的水流的最大高度； (2)一名游人站在点D处，．当围观游人喊声较大时，B喷头喷出的水流是否会落在该游人所站的点D处？ 【答案】(1) (2)不会 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，构造二次函数模型并计算是解题的关键． （1）根据喷头喷出的水流高度与水平距离的函数关系式，求出的最大值即可； （2）根据喷头喷出的水流高度与水平距离的函数关系式，令，通过计算的值即可判断． 【详解】（1）解：根据题意，令，易得， 令，，可求得， 因此A喷头和喷头各喷出的水流的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式分别是和； 函数的对称轴为，此时， 因此A喷头喷出的水流的最大高度是； （2）解：函数，令， ， 因此B喷头喷出的水流不会落在该游人所站的点D处． 题型七：增长率问题 48．（24-25九年级上·陕西西安·期末）据统计，7月份我国新能源汽车的销量为98万辆，8，9月份销量逐月增加．若第三季度的累计销量为万辆，平均月增长率为，则关于的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的解析式，学会由实际问题抽象出函数的关系式是解题的关键． 分别表示8月，9月的销量，再把7，8，9三月的销量加起来即可得到关于的函数解析式． 【详解】解：平均月增长率为， 则8月份销量为：， 9月份销量为：， ∴， 故选：D． 49．（2020·安徽淮北·一模）据省统计局公布的数据，某省2019年第二个月总值约为7.9亿元人民币，若该省第四个月总值为y亿元人民币，平均每个月增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是   （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平均每个月增长的百分率为，可得第三月的总值为，第四月的总值为，即可解答． 【详解】解：设平均每个月增长的百分率为， ∵第二个月总值约为亿元人民币， ∴第三月的总值为， ∴第四月的总值为， ∴y关于x的函数表达式是：， 故选：C． 【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确理解增长率问题的数量关系是解题的关键 50．（23-24九年级上·全国·单元测试）某商店月份的利润是万元，，月份利润逐月增长，这两个月利润的月平均增长率为，月份的利润为，则关于的函数关系式是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据平均增长率的定义列式表示出2、3月份的利润即可． 【详解】解：由题意知，2月份的利润为万元，3月份的利润为万元， 因此关于的函数关系式是， 故答案为：． 51．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件． (1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第二、三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率； (2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件． ①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应张价多少元？ ②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？ 【答案】(1) (2)①每件应张价5元；②每件涨价应为8元 【分析】（1）设第二、三天的日平均增长率为x，利用第三天的销售量=第一天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）①设每件应张价y元，则每件盈利（毛利润）为元，销售数量为件，根据每件盈利（毛利润）×销售数量＝每天总毛利润列方程求解即可； ②设每件涨价应为z元，则每天总毛利润为元，每天总纯利润为元，根据每天总纯利润要达到5100元，列方程求解即可． 【详解】（1）解： 设第二、三天的日平均增长率为x，根据题意，得 ， 解得： ， (不符合题意，舍去)， ∴， 答： 第二、三天的日平均增长率为10%． （2）解：①设每件应张价y元，根据题意，得 ， 解得：，， ∵要使顾客得到实惠， ∴， 答：每件应张价5元； ②设每件涨价应为z元，根据题意，得 ， 解得：， ∴， 答：每件涨价应为8元． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，设恰当未知数，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 52．（22-23九年级上·湖北荆州·期中）向阳村养鸡专业户李明2020年的纯收入是6万元，预计2022年的纯收入是7.26万元． (1)求李明这两年纯收入的年平均增长率； (2)随着养鸡规模不断扩大，李明需要再建一个养鸡场，他计划用一段长为100米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场（如图），墙长50米，养鸡场面积为1200米2，求养鸡场与墙平行的一边的长度． 【答案】(1)； (2)40米． 【分析】（1）设李明这两年纯收入的年平均增长率为x，根据题意列出方程，即可求解； （2）设养鸡场与墙平行的一边的长度为a米，则可求出与墙垂直的宽为米，再根据长方形的面积公式列出方程即可求解． 【详解】（1）解：设李明这两年纯收入的年平均增长率为x，根据题意可得， 解得，，（不合题意，舍去） 答：李明这两年纯收入的年平均增长率为； （2）解：设养鸡场与墙平行的一边的长度为a米，根据题意可得 ， 解得，，（不合题意，舍去） 答：养鸡场与墙平行的一边的长度为40米． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是要理解题意，能正确列出方程． 题型八：其他问题 53．（2025·山西·中考真题）综合与实践 问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合． 实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的距离为． 数学建模：如图，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M．以O为原点，所在直线为x轴，过点O与所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变． （2）如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为，点Q在x轴的正半轴上．求起跳点P与落地点Q的水平距离的长； （3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于，才能安全通过．如图，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形，其中，．仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物．若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物．请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）． 【答案】（1），；（2）起跳点P与落地点Q的水平距离的长为；（3） 【分析】本题考查二次函数的实际应用，读懂题意，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）根据起跳点与落地点的距离为，得到对称轴为直线，根据运动路线的最高点距地面，得到顶点纵坐标为，写出顶点坐标，列出顶点式，把代入，求出函数解析式即可； （2）根据抛物线的形状不变，利用平移思想，写出新的函数解析式，令，求出的值，进而求出的长即可； （3）设该平台的高度为，根据题意，得到新的抛物线的解析式为：，根据仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物，得到抛物线过点，代入求解即可； 【详解】解：（1）由题意，得：抛物线的对称轴为直线，顶点纵坐标为， ∴顶点坐标为， 设抛物线的函数解析式为：， ∵图象过原点， ∴，解：， ∴； （2）∵抛物线的形状不变，点， 故第二次的函数图象可以看作由（1）的抛物线向上平移75个单位长度，得到的， ∴新的抛物线的解析式为：， 当时，， 解得：，（舍去）； 故起跳点P与落地点Q的水平距离的长为； （3）设该平台的高度为，由题意，设新的函数解析式为：， ∵，仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳， 由题意，仿青蛙机器人经过正上方处，即抛物线经过点，即：， ∴把代入，得：，解得：； 故设该平台的高度为． 54．（2025·广东深圳·二模）如图1，一个小球以的初速度，在一条足够长且平直的轨道上运动．轨道初段绝对光滑；除段外，剩下轨道粗糙．小球在绝对光滑轨道上不存在阻力；在粗糙轨道上，存在恒定的摩擦力，速度会逐渐减小，直至停止．小球运动过程中，其速度与时间之间的关系如图2所示，其路程与时间之间的关系如图3所示（段是抛物线的一部分）． (1)轨道初段的总长为______；并求出小球在粗糙轨道（图中射线上）运动时，与之间的关系式（不要求写出自变量取值范围）． (2)①若测得小球从开始出发到最终停止，行进的总路程为，求抛物线的函数关系式． ②延长线段，如果直线与抛物线有且只有一个交点，且直线不与抛物线对称轴平行，则称线段与抛物线光滑连接．请你通过计算和推理判断线段与抛物线是否光滑连接？ (3)在（2）的条件下，在射线上，是否存在一节长为的轨道段，使得小球在通过该段过程中，所用时间恰好为．若存在，请求出这节轨道的起点与点A之间的距离；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)40， (2)①②是光滑连接 (3)存在，理由见解析 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）根据图3即可得到的总长，设与之间的关系式为，待定系数法求出函数解析式即可； （2）①由题意，设抛物线的顶点坐标为，设出顶点式，把代入进行求解即可；②求出段的解析式，联立两个解析式，根据的值判断两个图象的交点情况，结合新定义，进行判断即可； （3）假设存在，且小球第秒行至该段轨道的起点，则第秒行至该段轨道的终点，根据轨道段的长为，列出方程进行求解，再求出时的函数值即可． 【详解】（1）解：由图3可知：轨道初段的总长为； 故答案为：40； 设与之间的关系式为， 把代入，得：， 解得：， ∴； （2）①由图3设抛物线的顶点坐标为，点在抛物线上， ∴， 把代入，得：，解得：或（舍去）； ∴； ②线段与抛物线是光滑连接； 设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， 令，整理，得：， ∴， ∴直线与抛物线有且只有一个交点， ∵的对称轴为直线， ∴与对称轴不平行， ∴线段与抛物线是光滑连接； （3）存在，理由如下： 假设存在，且小球第秒行至该段轨道的起点，则第秒行至该段轨道的终点，由题意，得：， 解得：， 当时，； 故存在，求出这节轨道的起点与点A之间的距离． 55．（2025·广西柳州·三模）项目化学习 【项目主题】从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响”． 【项目内容】数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后相据所测量的数据进行分析，建立数学模型，并进一步应用． 【实验过程】如图所示，一个黑球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从黑球运动到点A处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录黑球在木板上的运动时间（单位：）、运动速度v（单位：、滑行距离y（单位：）的数据．记录的数据如下： 运动时间 运动速度 滑行距离 【观察分析】数学兴趣小组通过作出v与x的函数图象、y与x的函数图象，并结合已学习过的函数知识，发现v与x的函数关系为一次函数关系，y与x的函数关系为二次函数关系． 【问题解决】 任务一：请你结合表格数据，分别求出v与x的函数关系式和y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围） 任务二： （1）当黑球在水平木板停下来时，求此时黑球的滑行距离； （2）若黑球到达木板点A处的同时，在点A的前方处有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，若黑球不能撞上小车，求n的取值范围． 【答案】任务一：；；任务二：（1）；（2） 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的应用，正确求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）先求得速度为时，，将代入二次函数解析式，即可求解； （3）求得小球速度为的时间，此时两者相遇则为的最小值，据此即可求解． 【详解】解：任务一：设，将点代入得， ， 解得：， ∴， 设，将点代入得， ， 解得：， ∴； 任务二：（1）由，当时，， 解得：， 当时，， ∴当小球在水平木板上停下来时，此时小球的滑动距离为； （2）当时，，解得：， 当时，， ∴． 56．（2025·河南·模拟预测）如图1，“跳一跳”游戏要求操作者通过控制“i”形小人（可视为一点）起跳时的速度，使其能从一个平台跳到旁边同一水平面上且等高的另一平台上，示意图如图2所示．在平面直角坐标系中，矩形、矩形和矩形的边，，均在x轴上，，，，，“i”形小人从B点起跳后沿抛物线：运动，落在边的中点处． (1)求抛物线的函数表达式． (2)“i”形小人从点处再次起跳后沿抛物线运动，抛物线形状不变，若“i”形小人再次起跳后落在下一个平台上，求“i”形小人起跳，后与轴的最大距离的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题关键是利用矩形性质确定点坐标，结合二次函数对称性与待定系数法求表达式，再根据落点情况确定最大距离取值范围． （1）先依据矩形性质确定、坐标，再由两点纵坐标相等，利用二次函数对称性求出对称轴（即的值），最后将点坐标代入抛物线表达式，求出的值，从而确定抛物线的函数表达式． （2）由于抛物线形状不变，设为，其中．得出、．当过点时，利用对称性求对称轴，再代入求出；当过点时，同理求，代入点求出，从而确定的范围为． 【详解】（1）∵矩形中，，， ∴． ∵矩形中，，， ∴点坐标为，即， 中点横坐标为，纵坐标为， ∴． ∵点B和点H的纵坐标相等， ∴抛物线的对称轴为直线（二次函数图象的对称性），即． 把点代入，得， 解得． ∴抛物线的函数表达式为． （2）解法一：由题意，可设抛物线的函数表达式为． 当抛物线经过点时： ∵点，， ∴． ∴． ∴把代入，得， 解得． 当抛物线经过点时： ∵点，， ∴． ∴． 把代入，得， 解得． ∴． ∴“i”形小人起跳后与轴的最大距离的取值范围为． 解法二：设抛物线的函数表达式为． 当抛物线经过点Q时： 把，分别代入， 解得，． 当抛物线经过点P时： 把，分别代入， 解得，． ∴． ∴“i”形小人起跳后与轴的最大距离的取值范围为． 57．（24-25九年级下·湖北黄石·阶段练习）综合与实践：某数学小组为了解汽车的速度和制动非安全距离的关系，通过查阅资料获得以下信息：材料一：由于司机的反应和惯性的作用，从发现情况到刹车停止前汽车还要继续向前行驶一段距离，这段距离称为制动非安全距离，从发现情况到刹车起作用的路程称为反应距离，这段距离总共需要的反应时间为0.6秒，从刹车起作用到最后停止的距离称为制动距离． 材料二：某公司设计了一款新型汽车，现在对它的制动性能（车速不超过）进行测试，测得数据如下表： 车速 0 30 45 60 90 105 120 150 制动距离 0 7.8 13.05 19.2 34.2 43.05 52.8 75 探究任务： (1)已知该款新型汽车的制动距离和车速之间存在已学过的某种函数关系，请你根据上表提供的数据，求出这个函数的解析式并写出自变量x的取值范围（参考数据：，，，）； (2)若在该款新型汽车的某次测试中，通过测量刹车痕迹得到它的制动距离约为40m，请通过计算估计该款汽车开始刹车时的速度； (3)若某司机驾驶这种新型汽车以60km/h的速度在单行道上行驶，发现前方28m处有一辆大货车停在公路上挡住去路，司机紧急刹车，请问是否有碰撞危险？请说明理由． 【答案】(1) (2)该款汽车开始刹车时的速度为； (3)有碰撞危险，理由见解析． 【分析】本题考查二次函数的应用．求函数关系是计算相对复杂，需要细心，关键是理解并应用得到的函数解析式． （1）观察函数图象可猜测函数关系式为过原点的抛物线，设出抛物线解析式，把表格中的数据代入，即可求得函数表达式； （2）取，代入（1）中得到的函数解析式，求得合适的x的值即可； （3）取，代入（1）中得到的函数解析式，求得制动距离y的值，进而计算出制动非安全距离与所给的比较即可得到是否有碰撞危险． 【详解】（1）解：函数图象如图所示， 根据图象可得该款新型汽车的制动距离y（m）和车速x（）之间为二次函数， 设， 把代入可得 ， 解得， 该款新型汽车的制动距离y（m）和车速x（）之间的函数关系式为； （2）解：当时，可得， 解得（舍去）， 故该款汽车开始刹车时的速度为； （3）解：有碰撞危险，理由如下： 当时，， ， 故有碰撞危险，建议司机降低车速保持安全距离． 58．（2025·河北沧州·模拟预测）如图1是某公园的一种水上娱乐项目，数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究，并绘制了如图2所示的水滑道截面图，人从点A 处沿水滑道滑至点B 处腾空飞出后落入水池．以地面所在的水平线为x 轴，过腾空点B 与x 轴垂直的直线为y 轴，建立平面直角坐标系．他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分，且得到水滑道所在抛物线的解析式为． (1)直接写出水滑道最低点C 的坐标，并求点B到地面的距离； (2)如图2，腾空点B与对面水池边缘的水平距离米．若某人腾空后的路径形成的抛物线L恰好与抛物线形状相同，且关于点B成中心对称． ①求此人腾空后的最大高度和抛物线L的解析式（不用写自变量的取值范围）； ②规定人腾空后的落点D与水池边缘的安全距离应不少于3米，通过计算判断此人腾空飞出 后的落点D 是否在安全范围内（水面与地面的高度差忽略不计）； (3)为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固．如图3，水滑道已经有两条加固钢架，一条是水滑道上距y轴8米的点M处竖直支撑的钢架，另一条是点M与点B之间连接支撑的钢架．现在需要在水滑道下方加固一条支撑钢架，为了美观，要求这条钢架与平行，且与水滑道有唯一公共点，一端固定在钢架上，另一端固定在地面上（假设水滑道的正下方都是地面），请你直接写出这条钢架的长度（结果保留根号）． 【答案】(1)，点B到地面的距离为2米 (2)①抛物线L的解析式为y=-（x-3）2+；②此人腾空飞出后的落点D在安全范围内 (3)这条钢架的长度为2米 【分析】（1）由顶点坐标即可得到点C的坐标，然后将代入求解即可； （2）①首先得出抛物线L的顶点为，然后根据抛物线L和抛物线形状相同，开口向下求解即可； ②令，得到，解得，，求出，进而求解即可； （3）首先得到点M的坐标，求出所在直线的解析式为，设这条钢架为，与交于点G，与地面交于H，根据这条钢架与平行，设该钢架所在直线的解析式为，由该钢架与水滑道有唯一公共点，联立，根据方程组有唯一解，求出，即该钢架所在直线的解析式为，点H与点O重合，根据，，，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）∵ ∴水滑道最低点C 的坐标为； 将代入，得 ∴点B到地面的距离为2米； （2）①由题意得抛物线L的顶点与点C关于点B成中心对称，即B是它们的中点． 又∵，， ∴抛物线L的顶点为， ∴此人腾空后的最大高度为米． ∵抛物线L和抛物线形状相同，开口向下， ∴抛物线L的解析式为； ②由①得抛物线L的解析式为 令， ∴，解得，（舍去）， ∴． 又∵米， ∴（米）米， ∴落点D在安全范围内； （3）解：根据题意可得点的横坐标为， 代入 ， 设所在直线的解析式为， 将代入得：， 解得：， 所在直线的解析式为， 如图，设这条钢架为，与交于点G，与地面交于H， 这条钢架与平行， 设该钢架所在直线的解析式为， 联立，即， 整理得：， 该钢架与水滑道有唯一公共点， ， 即该钢架所在直线的解析式为， 点H与点O重合， ，，， ， 这条钢架的长度为米． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，其中涉及点的坐标的求法，二次函数的实际应用，一次函数与二次函数交点问题，勾股定理，借助二次函数解决实际问题，体现了数学建模思想． 59．（2025·广西崇左·三模）综合与实践 【问题情境】在校园运动会开幕式中，如图，运动会火炬手小明需要用火种点燃的箭头，然后射向距离发射点水平距离为70米、距地面的竖直高度为20米处的一个点火台上，已知点火台是一个弓形，其中米，且垂直平分这支箭（大小忽略不计）飞行的轨迹可以看作是抛物线的一部分．记这支箭飞行的水平距离为d（单位：m），距地面的竖直高度为h（单位：m）．获得的数据如表： 0 10 20 30 40 50 60 70 k 【问题解决】 (1)k的值为 ． (2)在平面直角坐标系中，描点，并用平滑的曲线将8个点依次连接； (3)求出h与d的函数解析式； (4)小明射出的箭的运动轨迹与线段有公共点时，说明这支箭就可以射入点火台内了，请判断小明射出的箭是否射入了点火台内？说明理由． 【答案】(1)22.5 (2)图见解析 (3) (4)小王不能将这支箭射入圣火台，理由见解析 【分析】本题考查二次函数的实际应用，包括抛物线的对称性，描点法画函数图象，二次函数图象的平移．根据函数图象获取信息解题的关键． （1）根据抛物线的对称性结合表格数据可知当与时的函数值相等，据此即可求解； （2）先根据表格中的数据在直角坐标系中描点，然后用光滑的曲线连接即可； （3）先根据抛物线的顶点坐标为，代入即可求得抛物线的解析式； （4）求出当，时所对应的的值，再和作比较即可； 【详解】（1）解：∵这只箭飞行的轨迹可以看作是抛物线的一部分， 根据表格数据与时的函数值相等， ∴对称轴为直线， ∴与时的函数值相等， ∵当时，， ∴当时，． 故答案为：． （2）解：描点，用平滑的曲线依次连接如图所示．   （3）解：依题意可知，抛物线的顶点坐标为 ∴设二次函数的解析式为：，     当时，， ∴， 解得：， ∴二次函数的解析式为， （4）解：小王不能将这支箭射入圣火台，理由： ∵水平距离为70米、距地面的竖直高度为20米处的一个点火台上，已知点火台是一个弓形，其中米，垂直平分， 当时， ， 当时， ， ∵，， ∴箭的轨迹在点火台的上方， ∴小王不能将这支箭射入圣火台． 60．（2025·广东湛江·二模）根据以下素材，探索完成任务． 乒乓球发球机的运动路线 素材一 如图1，某乒乓球台面是矩形，长为，宽为，球网高度为．乒乓球发球机的出球口在桌面中线端点正上方的点处． 素材二 假设每次发出的乒乓球都落在中线上，球的运动的高度关于运动的水平距离的函数图象是一条抛物线，且这条抛物线在与点水平距离为的点处达到最高高度，此时距桌面的高度为，乒乓球落在桌面的点处．以为原点，桌面中线所在直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系． 素材三 如图3，若乒乓球落在桌面上弹起后，在与点的水平距离为的点处达到最高，设弹起后球达到最高时距离桌面的高度为． 问题解决 任务一 研究乒乓球的飞行轨迹 （1）求出从发球机发球后到落在桌面前，乒乓球运动轨迹的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）． 任务二 击球点的确定 （2）当时，运动员小亮想在点处把球沿直线擦网击打到点，他能不能实现？请说明理由． 任务三 击球点的距离 （3）若，且弹起后球飞行的高度在离桌面至时，小亮可以获得最佳击球效果，求击球点与发球机水平距离的取值范围． 【答案】任务一：； 任务二：不能实现，理由见解析； 任务三： 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意构建二次函数模型以及熟练掌握待定系数法是解题的关键． 任务一：设抛物线的解析式为，将代入进行求解即可； 任务二：由题意得，击球点，球网上方中点的坐标为，得出直线解析式，代入，得即可以此进行判断； 任务三：设弹起后抛物线的表达式为：，进行求解得出弹起后抛物线的表达式，由最佳击球效果时，弹起高度范围为，当时，，以此进行击球点与发球机水平距离的取值范围的求解． 【详解】任务一：解： 由题意可知：抛物线的顶点坐标为： 设抛物线的解析式为， 将代入可得，解得：， 所以抛物线的解析式为； 任务二： 不能实现，理由如下： 由题意得，击球点，球网上方中点的坐标为， 则设直线解析式为：，则 解得：， ∴直线解析式为， 当时，， 所以不能实现； 任务三： 设弹起后抛物线的表达式为：， 对于， 当时， 解得：或， ∴， 将代入得：， 解得：， ∴弹起后抛物线的表达式为：， ∵， ∴弹起时最大高度为， ∴由最佳击球效果时，弹起高度范围为，得 当时，， 解得：，， ∵时，，， ∴击球点与发球机水平距离的取值范围为． 2 / 86 学科网（北京）股份有限公司 $$