专题01 与二次函数的图象和性质有关的六种模型（高效培优专项训练）数学浙教版九年级上册

专题01 与二次函数的图象和性质有关的六种模型 题型一：二次函数的性质 题型二：二次函数的图象问题 题型三：二次函数的最值与求参数范围问题 题型四：二次函数图象与各项系数符号 题型五：一次函数、反比例和二次函数图象综合判断 题型六：二次函数的交点问题 题型一：二次函数的性质 1．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）已知二次函数，下列说法正确的是（   ） A．对称轴为 B．顶点坐标为 C．函数的最大值是 D．当时，随的增大而减小 2．（2025·广东肇庆·二模）若点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是 ． 3．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）二次函数的最小值是（   ） A． B．1 C．2 D．3 4．（24-25九年级上·青海西宁·阶段练习）已知二次函数的图象上，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）已知二次函数，当时，函数y的最小值是（    ） A．1 B． C． D． 6．（24-25九年级下·江苏宿迁·期中）二次函数可变形为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）二次函数图象的顶点坐标为(    ) A． B． C． D． 8．（2025·广东梅州·二模）对于二次函数，下列说法正确的是(   ) A．当，随的增大而减小 B．当时， 有最大值 C．图象的顶点 D．图象与x轴有两个交点 9．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）抛物线的对称轴为直线 ． 10．（24-25八年级下·重庆北碚·期中）已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为 ．（用“”连接） 11.（24-25九年级上·山东济宁·期中）将抛物线先向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是 ． 12．（24-25九年级上·吉林·期中）已知抛物线 ． (1)若此抛物线的顶点在直线 上，求的值； (2)若点 与点在此抛物线上，且直接写出的取值范围. 题型二：二次函数的图象问题 13．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象为（    ） A． B． C． D． 14．（2025·江苏盐城·三模）函数的图象如图所示，类似地，函数的图象为（   ） A． B． C． D． 15．（2025·陕西咸阳·模拟预测）关于的二次函数的图象可能是（    ） A．B．C． D． 16．（2025·广东东莞·二模）如图，点A是抛物线与y轴的交点，轴交抛物线另一点于B，点C为该抛物线的顶点．若为等边三角形，则a的值为（    ） A． B． C． D．1 17．（24-25九年级下·广东深圳·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数（，）的图象可能是下图中的（   ）． A． B． C． D． 18．（24-25九年级下·河北秦皇岛·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，则坐标原点可能是（   ） A．D点 B．C点 C．B点 D．A点 19．（2023·浙江台州·二模）观察规律，，，…，运用你观察到的规律解决以下问题： 如图，分别过点作x轴的垂线，交的图象于点，交直线于点．则的值为 ．    20．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，四边形是正方形，且点A，C恰好在抛物线 上，点B在y轴上，则的长为 ． 题型三：二次函数的最值与求参数范围问题 21．（24-25九年级下·陕西宝鸡·期中）已知二次函数（h为常数），当时，y的最小值为10，则h的值为（   ） A．1或 B．1或 C．1或3 D．或5 22．（2025·浙江·二模）已知二次函数，当时，函数的最大值与最小值的和为2，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 23．（2025·河南周口·三模）二次函数 在范围内有最大值，则的值为（   ） A． B． C． D．或 24．（2025·内蒙古·模拟预测）已知二次函数（为常数），当时，函数有最大值，则的值为（   ） A． B．1或 C．或 D．1或 24．（2025·陕西渭南·二模）已知二次函数在的范围内的最大值为4，则实数的值为（   ） A．或5 B．或5 C．或7 D．或7 25．（24-25八年级下·湖南长沙·阶段练习）已知二次函数，时函数y的最大值是1，则 ． 26．（24-25九年级下·山东枣庄·阶段练习）已知点，在二次函数的图象上，若二次函数的图象经过点， (1)求出二次函数的表达式； (2)对于点，，总有，求的取值范围； (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为8，求的值． 题型四：二次函数图象与各项系数符号 27．（24-25九年级下·湖北孝感·期中）如图，二次函数（）的图象与轴交于，两点，与轴正半轴交于点，它的对称轴为直线．则下列选项中正确的是（   ） A． B． C． D．当时，． 28．（2025·陕西西安·模拟预测）抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点A在点和之间，其部分图象如图所示，以下结论正确的有（　　） ①；②；③若m为任意实数，则有；④点，在其图象上，若，且，则一定有． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 29．（24-25九年级下·江苏宿迁·期中）如图是二次函数的图象，下列结论中正确的是（   ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 30．（2025·浙江绍兴·三模）如图，二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C．下列结论：①；②；③；④当时，y随x的增大而增大．其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 31．（2025·江西新余·模拟预测）如图，已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，以下4个结论：①；②；③若点在该抛物线上，且，则；④．其中正确结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 32．（2025·贵州毕节·二模）抛物线交轴于两点，交轴的负半轴于点，对称轴与抛物线交于点，已知点坐标为，点的横坐标为1，根据以上信息得出下列结论：①；②点的坐标为；③；④当时，．其中结论正确的个数有（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 33．（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）如图是抛物线的一部分，抛物线的对称轴为直线，有以下5个结论： ①；    ②；   ③； ④       ⑤，    其中正确的结论有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 34．（2025·广东清远·二模）如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，下列四个结论：①该图象经过点；②；③；④，其中正确结论的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 35．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图，抛物线与轴分别交于点，，与轴交于点，且．下列结论：①；②；③方程有两个不相等的实数根；④方程的两个根是，．其中结论正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型五：一次函数、反比例和二次函数图象综合判断 36．（2025·安徽马鞍山·三模）已知二次函数的部分函数图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（   ） A．B．C．D． 37．（2025·安徽蚌埠·三模）函数(是常数，，下同)和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A．B．C．D． 38．（2025·江西新余·二模）在同一平面直角坐标系中，函数与函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 39．（24-25九年级下·黑龙江大庆·阶段练习）二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A．B．C． D． 40．（24-25九年级上·山东济南·期末）已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（    ） A． B． C． D． 题型六：二次函数的交点问题 41．（2025·河南·模拟预测）二次函数与轴交于两点（点在点左侧），则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 42．（2025·重庆·模拟预测）若二次函数的图象与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围（　　） A． B． C． D． 43.（2025·山东滨州·二模）抛物线与直线相交于点和点.则当时，的取值范围是（  ） A． B． C． D．或 44．（2025·江苏无锡·二模）已知二次函数与一次函数的图象交于两点，这两点的横坐标分别为和，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D．或 45．（24-25九年级上·山东济宁·期中）如图是二次函数的图象，使成立的x的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 46．（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图，已知抛物线，（，均不为0）与双曲线的图象相交于，，三点．则满足不等式的解为（   ） A．或 B．或或 C．或 D．或或 47．（2025·河南信阳·三模）若关于的两个函数与的图象有且只有一个交点，则的值为 ． 48．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，抛物线的图象与x轴的一个交点为，对称轴为直线，则一元二次方程的实数根是 ． 49．（2025·广东惠州·一模）如图，已知抛物线与直线相交于两点，则不等式成立时，的取值范围是 ． 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 与二次函数的图象和性质有关的六种模型 题型一：二次函数的性质 题型二：二次函数的图象问题 题型三：二次函数的最值与求参数范围问题 题型四：二次函数图象与各项系数符号 题型五：一次函数、反比例和二次函数图象综合判断 题型六：二次函数的交点问题 题型一：二次函数的性质 1．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）已知二次函数，下列说法正确的是（   ） A．对称轴为 B．顶点坐标为 C．函数的最大值是 D．当时，随的增大而减小 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数的图象与性质，逐项分析即可判断． 【详解】解：A、对称轴为，故此选项说法错误，不符合题意； B、顶点坐标为，故此选项说法错误，不符合题意； C、函数的最大值是，故此选项说法正确，符合题意； D、当时，随的增大而减小，故此选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 2．（2025·广东肇庆·二模）若点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据二次函数图象性质即可判定，解题的关键掌握二次函数图象的性质． 【详解】解：由二次函数，则它的对称轴为，开口向上， 则图象上的点离对称轴越远则的值越大， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）二次函数的最小值是（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数顶点式的图象与性质是解题的关键． 根据二次函数的顶点式，直接判断最小值． 【详解】解：二次函数，顶点坐标为， ∵， ∴当时，有最小值 3 ， 故选： D． 4．（24-25九年级上·青海西宁·阶段练习）已知二次函数的图象上，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，当时，随的增大而增大， ∵当时，随的增大而增大， ∴； 故选B． 5．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）已知二次函数，当时，函数y的最小值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据题意得二次函数的对称轴为直线，进而可根据二次函数的性质进行求解即可． 【详解】解：由题意得：二次函数的对称轴为直线， ∵， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵， ∴当时，二次函数有最小值，即为：． 故选：D． 6．（24-25九年级下·江苏宿迁·期中）二次函数可变形为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了将二次函数化成顶点式，熟练掌握配方法是解题关键．利用配方法将二次函数化成顶点式即可得． 【详解】解： ， 则二次函数可变形为， 故选：B． 7．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）二次函数图象的顶点坐标为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查将二次函数解析式化为顶点式及其性质，将一般式化为顶点式即可得解． 【详解】解：， ∴二次函数图象的顶点坐标为， 故选：B． 8．（2025·广东梅州·二模）对于二次函数，下列说法正确的是(   ) A．当，随的增大而减小 B．当时， 有最大值 C．图象的顶点 D．图象与x轴有两个交点 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；把二次函数化为顶点式，根据顶点式即可对各选项进行判断． 【详解】解：， ∴顶点坐标为，开口向下，对称轴为，当时随的增大而减小，故A选项错误 当时， 有最大值，与轴没有交点，故C、D选项错误，B选项正确， 故选：B． 9．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）抛物线的对称轴为直线 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的顶点坐标式解析式，可知的对称轴是． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 抛物线的对称轴是． 故答案为： ． 10．（24-25八年级下·重庆北碚·期中）已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为 ．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查二次函数的增减性，掌握增减性的影响因素是解题关键． 把二次函数解析式化为顶点式可得对称轴为直线，从而得到关于对称轴的对称点为，再根据二次函数的增减性解答即可． 【详解】解：∵， ∴二次函数图象的对称轴为直线， ∴关于对称轴的对称点为， ∵， ∴二次函数图象开口向上， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故答案为：． 11.（24-25九年级上·山东济宁·期中）将抛物线先向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，二次函数图象平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 先把化成顶点式，然后确定顶点坐标为，再把顶点按照题干要求平移得到新的顶点坐标，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴把点向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为， ∴平移后得到的抛物线解析式为：． 故答案为． 12．（24-25九年级上·吉林·期中）已知抛物线 ． (1)若此抛物线的顶点在直线 上，求的值； (2)若点 与点在此抛物线上，且直接写出的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据抛物线的解析式可得抛物线的顶点坐标为，再代入一次函数解析式解答即可求解； （）根据抛物线的对称性可得点关于抛物线对称轴的对称点为，进而根据二次函数的性质解答即可求解； 本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的顶点式，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵抛物线 ， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵此抛物线的顶点在直线 上， ∴， 解得； （2）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点关于抛物线对称轴的对称点为， ∵抛物线开口向上， ∴当时，． 题型二：二次函数的图象问题 13．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数与二次函数的系数与图象的关系是解题的关键．先利用一次函数的图象得出，的取值范围，再判断的图象． 【详解】解：由一次函数的图象可得，， ∴对于二次函数的图象，开口向上，与轴的交点在轴负半轴上， 又∵的图象的对称轴为轴， 只有选项B的图象符合， 故选：B． 14．（2025·江苏盐城·三模）函数的图象如图所示，类似地，函数的图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象的识别，分别求出当时和当时的函数解析式，进而得到当时和当时函数的开口方向和对称轴，再结合函数图象即可得到答案． 【详解】解：当时，函数解析式为， 当时，函数解析式为， ∴当时，该函数是二次函数，开口向上，对称轴为直线， 当时，该函数是二次函数，开口向上，对称轴为直线， 故的图象为 故选：C． 15．（2025·陕西咸阳·模拟预测）关于的二次函数的图象可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数法图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的图象与系数的关系．根据对称轴逐项判断即可． 【详解】解：在中， ∵二次函数图象的对称轴为，且， ∴， ∴函数对称轴在y轴左侧， ∴只有选项A的函数图象符合题意； 故选：A． 16．（2025·广东东莞·二模）如图，点A是抛物线与y轴的交点，轴交抛物线另一点于B，点C为该抛物线的顶点．若为等边三角形，则a的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，等边三角形的性质．过点C作于点D，根据等边三角形的性质得出，，，，将点代入抛物线解析式，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作于点D， ∵抛物线的对称轴为，为等边三角形，且轴， ∴，，． ∵当时，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 17．（24-25九年级下·广东深圳·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数（，）的图象可能是下图中的（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数（，）的顶点坐标为，即可判断C、D它的开口方向向下，即可判断A、B，即可解答． 本题考查了二次函数的图象，解决本题的关键是明确二次函数的开口方向． 【详解】解：二次函数（，）的顶点坐标为，选项C、D错误 对称轴为y轴，它的开口方向向下，选项B错误． 故选：A． 18．（24-25九年级下·河北秦皇岛·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，则坐标原点可能是（   ） A．D点 B．C点 C．B点 D．A点 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据解析式可得对称轴为轴，进而结合选项，即可求解． 【详解】解：∵ ∴对称轴为直线，即轴， ∴坐标原点可能是点， 故选：B． 19．（2023·浙江台州·二模）观察规律，，，…，运用你观察到的规律解决以下问题： 如图，分别过点作x轴的垂线，交的图象于点，交直线于点．则的值为 ．    【答案】 【分析】先求出的坐标，然后求出的长.运用观察到的规律求出的值，即可求出的值. 【详解】由，得      故答案为：． 【点睛】本题主要考查了根据二次函数表达式求点的坐标，根据一次函数表达式求点的坐标，及平行于y轴的直线上的两点间的距离.观察规律，理解规律，并会正确应用是解题的关键. 20．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，四边形是正方形，且点A，C恰好在抛物线 上，点B在y轴上，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了正方形的性质、二次函数的性质．过点作轴于点，设，由四边形是正方形，且点在轴上，得，得出是等腰直角三角形，推出，即，解得（舍去）或，求出，由勾股定理可求出． 【详解】解：过点作轴于点，如图， 设， ∵四边形是正方形，且点在轴上， ∴， ∴, ∴， ∴， 解得：（舍去）或， ∴， ∴, ∴， ∴． 故答案为：4． 题型三：二次函数的最值与求参数范围问题 21．（24-25九年级下·陕西宝鸡·期中）已知二次函数（h为常数），当时，y的最小值为10，则h的值为（   ） A．1或 B．1或 C．1或3 D．或5 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质， 二次函数的顶点为，开口向上，当不在范围内时，函数在范围内端点处取得最小值，分和两种情况讨论，分别代入端点求解的值． 【详解】当时： 函数在上函数值随着x的增大而增大，最小值在处取得， 当，得：， 解得， 即（舍去，因）或； 当时： 函数在上函数值随着x的增大而减小，最小值在处取得， 当，得：， 解得， 即或（舍去，因）． 当时： 顶点在范围内，此时最小值为6，与题目矛盾，故舍去． 综上，的值为或． 故选：D． 22．（2025·浙江·二模）已知二次函数，当时，函数的最大值与最小值的和为2，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的增减性，熟练掌握性质是解题的关键．由，函数有最小值；后分类解答即可． 【详解】解：由，得函数有最小值；且距离对称轴越远，函数值越大； 又当时，函数的最大值与最小值的和为2， 当时，根据对称轴左侧，y随x的增大而减小， 故时，函数取得最大值，且为， 当时，函数取得最小值，且为， 根据题意，得， 解得，与矛盾， 故时无解； 当时；根据对称轴右侧，y随x的增大而增大， 当时，函数取得最大值，且为， 当时，函数取得最小值，且为， 此时函数的最大值与最小值的和为2， ∴当时，符合题意； 当时；根据对称轴右侧，y随x的增大而增大， 当时，函数取得最大值，且为， 当时，函数取得最小值，且为， 根据函数的最大值与最小值的和为2，得， 解得或，这与矛盾， 故时无解； 综上分析可知：n的取值范围是． 故选：C． 23．（2025·河南周口·三模）二次函数 在范围内有最大值，则的值为（   ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据题意可得 ，抛物线开口向上，对称轴为直线，进而分类讨论，根据题意列出方程，解方程，即可得到答案． 【详解】解： ∵ ，抛物线开口向上，对称轴为直线 ①当时，即时， 当时，最大值 则 解得：（舍去） ②当时， 当时，最大值为 解得：（舍去）或 故选：B． 24．（2025·内蒙古·模拟预测）已知二次函数（为常数），当时，函数有最大值，则的值为（   ） A． B．1或 C．或 D．1或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的最值、二次函数的性质以及解一元一次（一元二次）方程，分、以及三种情况找出关于的方程是解题的关键．将抛物线解析式变形为顶点式可得出抛物线开口方向及对称轴，分、以及三种情况画出函数图象，由当时，函数有最大值，即可得出关于的方程，解之即可得出结论． 【详解】解：， 抛物线开口向下，对称轴为直线． 当，即时，时取最大值（如图1所示）， ， 解得：，（不合题意，舍去）； 当，即时，时取最大值（如图2所示）， ， 解得：； 当，即时，时取最大值（如图3所示）， ， 解得：（不合题意，舍去），（不合题意，舍去）． 综上所述，的值为或． 故选：C． 24．（2025·陕西渭南·二模）已知二次函数在的范围内的最大值为4，则实数的值为（   ） A．或5 B．或5 C．或7 D．或7 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的最值问题，将二次函数解析式化为顶点式，再根二次函数的性质分两种情况解答即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，为最高点， ①当时，抛物线随的增大而增大， ∴当，即，函数有最大值4， ∴， 解得，， ∵， ∴； ②当时，抛物线随的增大而减小， ∴当时，即函数有最大值4， ∴， 解得，， ∵， ∴； 综上，的值为或5， 故选：B． 25．（24-25八年级下·湖南长沙·阶段练习）已知二次函数，时函数y的最大值是1，则 ． 【答案】或3 【分析】本题主要考查二次函数的最值，由函数解析式可知当时，函数有最大值为，且当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小，根据x的值满足时，与其对应的函数值y的最大值为1，可分情况讨论a的值． 【详解】解：∵， ∴函数图象开口方向向下，对称轴为直线，顶点为， ∴当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小， ∴当时，， 解得，，， 在时，当时，最大值为1，此时； 在时，当时，最大值为1， 综上，a的值为或3， 故答案为：或3． 26．（24-25九年级下·山东枣庄·阶段练习）已知点，在二次函数的图象上，若二次函数的图象经过点， (1)求出二次函数的表达式； (2)对于点，，总有，求的取值范围； (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为8，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)的值为或． 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象与性质及二次函数的最值等问题：当开口向上(向下)时，自变量的取值离对称轴越远，其对应的函数值就越大(越小) ． （1）将点代入中即可求出二次函数表达式； （2）先计算求得，再由，列出不等式，据此求解即可； （3）分三种情形：①当时；②当时；③当时，画出图形，根据二次函数的最大值与最小值的差为8，列式，分别求解即可． 【详解】（1）解：将点代入中， ∴， 解得， ∴二次函数的表达式为：； （2）解：∵点，， ∴，， ∴ ， 又∵，即， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ①当，即时，如图， 在时， 当时，二次函数有最小值，最小值为， 当时，二次函数有最大值，最大值为， 由题意得， 整理得，解得（不合题意，舍去）； ②当时，如图， 在时， 当时，二次函数有最大值，最大值为， 当时，二次函数有最小值，最小值为， 由题意得， 整理得，解得（不合题意，舍去）； ③当时， 当，二次函数有最大值，最大值为2， 当直线更靠近对称轴直线时，如图， ，解得，即； ∴当时，二次函数有最小值，最小值为， 由题意得，整理得， 解得（舍去），； 当直线更靠近对称轴直线时，如图， ，解得，即； ∴当时，二次函数有最小值，最小值为， 由题意得，整理得， 解得（舍去），； 综上，的值为或． 题型四：二次函数图象与各项系数符号 27．（24-25九年级下·湖北孝感·期中）如图，二次函数（）的图象与轴交于，两点，与轴正半轴交于点，它的对称轴为直线．则下列选项中正确的是（   ） A． B． C． D．当时，． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象与二次函数系数之间的关系，二次函数和x轴的交点问题．熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键． 根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、由图象开口向上，可知， 与轴的交点在轴的上方，可知， 又对称轴方程为直线， 所以， 所以， ，选项错误，不符合题意； B、二次函数的图象与轴交于，两点， ， ，选项错误，不符合题意； C、， ， 当时，， ， ，选项错误，不符合题意； D、对称轴为直线，当时， ∴当时， ∴时，，选项正确，符合题意． 故选D． 28．（2025·陕西西安·模拟预测）抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点A在点和之间，其部分图象如图所示，以下结论正确的有（　　） ①；②；③若m为任意实数，则有；④点，在其图象上，若，且，则一定有． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数对称轴和图象得出的符号，即可判断①；由时，，即可判断②；最值判断③；根据二次函数性质可判断④；掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为， ∴， ∴， ∵抛物线开口向下， ∴， ∴， ∵抛物线对称轴为，与轴的一个交点在点和之间， ∴抛物线与轴的另一个交点在点和之间， ∴抛物线与轴的交点在轴的正半轴上， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线与轴的另一个交点在点和之间， ∴时，， 即， ∵， ∴，故②正确； ∵抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，函数值最大， ∴当m为任意实数时，则：， ∴，故③正确； ∵抛物线开口向下，图象上有两点和，对称轴为 ，，且， ∴点在对称轴右侧， 当时， 在抛物线的右侧，随的增大而减小， ∵， ∴， 当时，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， ∵， ∴， 又∵抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴的越近，函数值越大， ∴， ∴图象上有两点和，若，且，则一定有， 故④正确； ∴结论正确的有个， 故选：． 29．（24-25九年级下·江苏宿迁·期中）如图是二次函数的图象，下列结论中正确的是（   ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，解题的关键：根据抛物线与x轴的交点个数可判断结论①；根据对称轴的位置可判断结论②；根据抛物线过“特殊点”与系数的关系可判断结论③；根据抛物线的开口方向、对称轴的位置及图象与y轴交点的位置可判断结论④． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴有两个交点， ∴，即，故①正确． ∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴，故②错误． ∵由图象可知当，， ∴，故③正确； ∵二次函数的图象开口向上，与y轴交于负半轴， ∴，， ∴， ∴，故④错误． 综上所述，结论正确的是①③，共2个． 故选：B 30．（2025·浙江绍兴·三模）如图，二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C．下列结论：①；②；③；④当时，y随x的增大而增大．其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】此题考查了二次函数的图象，二次函数图象与系数的关系，根据二次函数的图象判断式子的正负，正确理解二次函数的图象及性质是解题的关键．根据二次函数的图象及性质解答即可． 【详解】解：由图象可知，开口向下，与y轴交于正半轴， ∴， ∴，故①不正确； ∵二次函数的图象经过点，， ∴对称轴为直线，， ∴，，故②正确； ∴当时，图象有最高点，即函数最大值为， ∴当时，， ∴，故③不正确； ∵对称轴为直线，开口向下， 当时，y随x的增大而减小， ∴当时，y随x的增大而先增大后减小．故④不正确； ∴正确的为②，共1个， 故选：A． 31．（2025·江西新余·模拟预测）如图，已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，以下4个结论：①；②；③若点在该抛物线上，且，则；④．其中正确结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟悉函数的图象和性质是解题关键． 利用二次函数的开口方向，对称轴的位置和与y轴的交点坐标即可求出①；令即可判断②；利用时函数值最大，即可判断③；令即可判断④． 【详解】①由图象可知：， ，故①正确； ②当时，，对称轴为直线， ∴当时，， ∴，故②正确； ③当时，y的值最大，此时，， 而当时，， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，故③正确； ④当时，，对称轴为直线 ∴当时，， ∴， ∴，故④错误； 故选：C． 32．（2025·贵州毕节·二模）抛物线交轴于两点，交轴的负半轴于点，对称轴与抛物线交于点，已知点坐标为，点的横坐标为1，根据以上信息得出下列结论：①；②点的坐标为；③；④当时，．其中结论正确的个数有（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象与系数之间的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与轴的交点坐标，关键是找出图象中和题目中的有关信息，来判断问题中结论是否正确． 根据抛物线的对称轴判断①；利用抛物线的对称性得到点B的坐标判断②，根据图象得到当时，函数值为正数，判断③，根据二次函数的最值判断④解答即可． 【详解】解：∵对称轴与抛物线交于点，点的横坐标为1， ∴，即，故①错误； ∵对称轴为直线，点坐标为， ∴对称点点的坐标为，故②正确； ∵当时，函数值为正数， ∴，故③错误； ∵时，函数有最小值， ∴当，且时，， ∴，故④错误； 故选：D． 33．（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）如图是抛物线的一部分，抛物线的对称轴为直线，有以下5个结论： ①；    ②；   ③； ④       ⑤，    其中正确的结论有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系， 根据函数图象可知：，，由对称轴直线可知，可得出，进而可判断①②，由二次函数的对称性可判断③，当时，，结合可判断④，由二次函数的最大值可判断⑤． 【详解】解：根据函数图象可知：，， ∵， ∴， ∴，故①正确， ，故②正确， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当和时，y值相等，且当时，， 即，故③正确， 当时，， ∵ ∴， ∴ 即 ∴，故④正确， ∵抛物线开口向下，对称轴为， ∴当时，y有最大值， 当时，， ∴ ∴，故⑤正确， 综上：①②③④⑤正确， 故选∶D 34．（2025·广东清远·二模）如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，下列四个结论：①该图象经过点；②；③；④，其中正确结论的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象的对称性，根据对称性求出抛物线与轴的另一个交点坐标判断①，开口方向，对称轴，与轴的交点判断②和④，特殊点判断③即可． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交于点，对称轴为直线， ∴该图象经过点；故①正确； 由图象可知：， ∵对称轴为， ∴， ∴；故②④错误； ∵图象经过点； ∴，故③正确； 故选B． 35．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图，抛物线与轴分别交于点，，与轴交于点，且．下列结论：①；②；③方程有两个不相等的实数根；④方程的两个根是，．其中结论正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据抛物线开口方向，对称轴以及与轴的交点，判断，即可判断①，抛物线与轴分别交于点，，得，，，从而可得，，即可判断②，根据图象可得与有2个交点，即可判断③，把方程可化为，得，解得，即可判断④． 【详解】解：①∵抛物线开口向上，则， ∵抛物线与轴交于点，， ∴对称轴为直线，则， ∴， 抛物线与轴交于负半轴，则 ∴，故①不正确； ②∵抛物线与轴分别交于点，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ③∵，抛物线与轴交于点，且， ∴抛物线与有2个交点， 即方程有两个不相等的实数根；故③正确； ④∵，， ∴方程可化为， ∴， 解得，；故④不正确． 故选：B． ∴只有C选项中的函数图象符合题意， 故选：C． 题型五：一次函数、反比例和二次函数图象综合判断 36．（2025·安徽马鞍山·三模）已知二次函数的部分函数图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（   ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数、一次函数和反比例函数的图象的综合判断，熟练掌握各函数图象的特征是解题的关键； 先由二次函数的图象得出抛物线的开口向下，对称轴是直线，与x轴交于点，得到，，当时，对应的函数，即，进一步即可作出判断. 【详解】解：由函数的图象可得：抛物线的开口向下，对称轴是直线，与x轴交于点， ∴，抛物线与x轴的另外一个交点为， ∴，当时，对应的函数，即， ∴一次函数的图象过第一、二、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限； 观察各选项，只有B选项符合； 故选：B. 37．（2025·安徽蚌埠·三模）函数(是常数，，下同)和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的性质以及图象的综合判断，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 分两种情况分析：当时；当时；再综合选项判断即可解答． 【详解】解：当时，二次函数的图象开口向上，与轴正半轴相交，对称轴为，，一次函数的图象经过第一、二、三象限； 当时，二次函数的图象开口向下，与轴正半轴相交，对称轴为，，一次函数的图象经过第二、三、四象限，则A，C，D不符合题意， 故选：B． 38．（2025·江西新余·二模）在同一平面直角坐标系中，函数与函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象的综合判断．分别判断各个选项中两个函数的、的符号，看是否一致，即可得解． 【详解】解：A、由图可得，函数经过一、二、三象限，故，， 函数的图象开口向上，故，对称轴在轴右边，，即，故本选项符合题意； B、由图可得，函数经过一、三、四象限，故，， 函数的图象开口向上，故，故本选项不符合题意； C、由图可得，函数经过一、二、三象限，故，， 函数的图象开口向下，故，故本选项不符合题意； D、由图可得，函数经过一、三、四象限，故，， 函数的图象开口向下，故，对称轴在轴右边，，即，故本选项不符合题意； 故选：A． 39．（24-25九年级下·黑龙江大庆·阶段练习）二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数、反比例函数和二次函数的图象分布，根据二次函数的图象可以确定，开口向上，对称轴在y轴左侧，，图象与y轴交于负半轴，，再判断一次函数和反比例函数在一直角坐标系中的图象位置即可． 【详解】解：根据二次函数的图象可以确定，开口向上，对称轴在y轴左侧，，图象与y轴交于负半轴，， ∴一次函数经过第一、二、三象限，反比例函数分布在第一、三象限，选项B符合， 故选：B． 40．（24-25九年级上·山东济南·期末）已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，关键是根据二次函数图象确定出a、b、c的符号．首先根据二次函数图象与y轴的交点可得，根据抛物线开口向上可得，由对称轴在y轴左边可得a、b同号，故，再根据反比例函数的性质与一次函数图象与系数的关系画出图象可得答案． 【详解】解：根据二次函数图象与y轴的交点可得，根据抛物线开口向上可得，由对称轴在y轴左边可得a、b同号，故， 则反比例函数的图象在第一、三象限， 一次函数经过第一、二、四象限， 故选：B． 题型六：二次函数的交点问题 41．（2025·河南·模拟预测）二次函数与轴交于两点（点在点左侧），则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求二次函数图象与轴交点坐标，涉及解一元二次方程等知识，由题意，令，解一元二次方程即可得到答案．熟记二次函数图象与性质、解一元二次方程是解决问题的关键． 【详解】解：二次函数与轴交于两点， 令，则， ， ，即， 解得或， 点在点左侧， 点的坐标为， 故选：A． 42．（2025·重庆·模拟预测）若二次函数的图象与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系， 根据抛物线的图象与x轴有两个不同的交点，可知一元二次方程有两个不相等的实数根，可得，再求出解集即可． 【详解】解：∵抛物线的图象与x轴有两个不同的交点， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， 即， 解得． 故选：B． 43.（2025·山东滨州·二模）抛物线与直线相交于点和点.则当时，的取值范围是（  ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】此题考查二次函数与不等式．先求得抛物线与直线的解析式，联立求得点的坐标，再根据时，即为抛物线在直线下方，根据图象得出取值范围即可． 【详解】解：∵直线经过点， ∴，解得， ∴直线， ∵抛物线经过点， ∴，解得， ∴抛物线， 联立得， 解得或， 当时，， ∴， ∴抛物线与直线相交于点和点两点， ∴当时，， 故选：B． 44．（2025·江苏无锡·二模）已知二次函数与一次函数的图象交于两点，这两点的横坐标分别为和，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式之间的关系，根据函数图象找到二次函数图象在一次函数图象上方，二者交点处时自变量的取值范围即可得到答案，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由二次函数与一次函数， 可得图象如图， 根据图象可知：当时，，即， 故选：． 45．（24-25九年级上·山东济宁·期中）如图是二次函数的图象，使成立的x的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了利用图象法解不等式，数形结合思想，根据函数图象可得出当时对应的x的值，然后结合函数图象求解即可． 【详解】解：根据函数图象可知，当时，，， 结合函数图象可知，当成立的的取值范围是或． 故选：C． 46．（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图，已知抛物线，（，均不为0）与双曲线的图象相交于，，三点．则满足不等式的解为（   ） A．或 B．或或 C．或 D．或或 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质．根据题意并结合图象可直接写出不等式的解集． 【详解】解：根据图象并结合已知条件可知不等式的解集为：或或． 故选：D． 47．（2025·河南信阳·三模）若关于的两个函数与的图象有且只有一个交点，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的交点问题，根据一元二次方程根的情况求参数，解题的关键是联立两个函数解析式，得到一个一元二次方程，结合一元二次方程的根的判别是进行求解．联立两个函数解析式，得到一个一元二次方程，根据，列出方程，解方程求出的值，即可求解． 【详解】解：由，得：， 整理得：， ∵两个函数与的图象有且只有一个交点， ∴， 即， 解得：，． 故答案为：或． 48．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，抛物线的图象与x轴的一个交点为，对称轴为直线，则一元二次方程的实数根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点问题，解题的关键是把求二次函数与轴的交点问题转化为解关于的一元二次方程,先利用二次函数的对称轴为直线，利用抛物线的对称性得到抛物线与轴另一个交点为，然后根据抛物线与轴的交点问题得到关于的一元二次方程的两个实数根． 【详解】解：∵抛物线的图象与轴的一个交点为，对称轴为直线， ∴抛物线与轴另一个交点为， ∴关于的一元二次方程的两个实数根分别是，． 故答案为：，． 【点睛】解题的关键在于把求二次函数与轴的交点问题转化为解关于的一元二次方程，明确交点坐标与一元二次方程解的关系 49．（2025·广东惠州·一模）如图，已知抛物线与直线相交于两点，则不等式成立时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式的关系，由图象可求得的解集，即可获得答案，解题关键是利用数形结合的思想分析问题． 【详解】解：∵抛物线 与直线相交于两点， ∴由图可知，当时，二次函数图象在一次函数图象上方，此时， ∴的解集为， ∴不等式的解集为． 故答案为：． 2 / 35 学科网（北京）股份有限公司 $$