第1章 二次函数（高效培优单元测试·提升卷）数学浙教版九年级上册

第1章 二次函数（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．将抛物线向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线的解析式为（    ）． A．B． C． D． 2．在中，已知边BC的长为，BC边上的高比它的2倍多1，则三角形的面积y与x之间的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 3．九年级同学在研究某种化学试剂的挥发情况时，发现可以用数学的相关知识解决问题．小组同学在A，B两种不同的场景下做对比实验，得到该试剂在挥发过程中剩余质量 (克)随时间x(分钟)变化的数据．他们建立平面直角坐标系，以时间为横坐标，剩余质量为纵坐标，在坐标系内描出对应点，得到如图所示的图象，下面判断错误的是（   ） A．是关于x的二次函数 B．是关于x的一次函数 C．当时，A场景用的时间大于 B 场景用的时间 D．10分钟时，A场景剩余质量小于 B 场景剩余质量 4．已知二次函数的图象上有两点，若，当函数值取得最大值时，对应的值为（    ） A． B． C． D． 5．如图，抛物线过点，对称轴为直线，有以下结论正确的为（   ） A． B． C． D．方程两根分别为，4 6．已知某函数图象关于轴对称，当时，；当时，．若直线与这个函数图象有且仅有四个不同交点，则实数的范围是（    ） A． B． C． D．或 7．二次函数（a，b，c为常数，且）的x，y的部分对应值如下表所示，则下列结论错误的是（    ）． x … 0 1 2 3 4 5 … y … m 3 2 … A．抛物线开口向下 B．顶点坐标为 C．当时，y随x的增大而增大 D． 8．一个重物从高处做自由落体运动时，若不考虑空气阻力，它的速度会因地心引力而均匀加速，速度（v）与时间（t）的函数图象如图①，下降的距离会随时间的增加而增加，距离（s）与时间（t）的函数图象如图②．下列结论错误的是（   ） A．该重物在秒时，速度为3米/秒 B．该重物在秒时间段内下降的距离与在秒时间段内下降的距离相同 C．时间每增加1秒，该重物的速度增加米/秒 D．当秒时，该重物下降距离为米 9．一种高脚杯如图1所示，其杯肚部分外轮廓线为抛物线的一部分，图2为其杯肚的截面图，已知杯口，杯深．如图3，若将盛有部分液体的高脚杯倾斜（即与液面所在直线相交，所夹较小角为），液面与交于点E，且点E距杯口的距离，则此时液面宽为（    ） A． B． C． D． 10．抛物线经过点、、．则下列说法正确的是（   ） A．顶点可能在第一象限 B．若，则顶点在第三象限 C．顶点不可能在第二象限 D．若，则顶点在第四象限 11．已知，为平面直角坐标系内两点，连接．若抛物线与线段只有一个公共点，则的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 12．如图，已知抛物线与抛物线的对称轴相同，顶点分别为C，D，两图象交于点，，则下列结论正确的个数是（   ） ①的值为2；②当时，两抛物线组成的图象为轴对称图形，共有两条对称轴；③四边形为菱形；④满足四边形为正方形的的值有2个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．如图，运动员投掷标枪时的运动轨迹可看作抛物线的一部分，以地面所在直线为轴，过最高点且垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系．则该标枪运动轨迹的函数关系式为：，已知运动员出手点距离最高点的水平距离为 ，则该运动员投掷标枪的水平距离为 ． 14．如图，已知抛物线与直线相交于两点，则不等式成立时，的取值范围是 ． 15．规定．例如：，．则的最小值为 ． 16．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，，与y轴交于点C．若轴，则二次函数图象上点D的坐标为 ． 17．如图（），在中，点是边上一点，点从点出发，沿运动到点，设点运动的路程为，点到点的距离为，在点运动过程中，随变化的关系图象如图（）所示，其中点为第一段函数图象的最低点，则的周长为 ． 18．已知二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②若点，均在二次函数图象上，则；③关于的一元二次方程有两个相等的实数根；④满足的的取值范围为．其中正确的结论有 ． 三、解答题（本题共8小题，（本题共8小题，第19-第22题每题8分，第23-第26题每题10分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．如图所示的双耳锅是抛物线面（图1），经过锅心的纵断面是抛物线型，该抛物线的形状如图2所示，其口径为，锅深高度（抛物线的顶点到的距离）为，以所在直线为轴，过点作的垂线为轴，建立平面直角坐标系如图2所示． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若锅中水的最大深度为，求此时水面的直径． 20．小宇同学是足球社团的一名成员，同时喜欢运用数学知识对足球训练进行技术分析，下面是他对某次足球射门路线的分析．在如图所示的平面直角坐标系中，点O是原点，小宇从球门正前方的点A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球离球门的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面． ． (1)求抛物线（足球的飞行路线）的函数表达式； (2)已知球门高为，通过计算判断球能否被射进球门（不考虑其他因素）． 21．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求该抛物线的对称轴； (2)若当时，的最小值是，求当时，的最大值； 22．如图，已知二次函数的图象经过点、，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点为抛物线的顶点，连接、，求四边形的面积 (3)若点是抛物线图象上的一点，且满足，请直接写出满足要求的所有点的坐标． 23．“骑车戴头盔，放心平安归”．越来越多的人上下班会选择骑行电动车，佩戴头盔更能保证大家的行车安全．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出350个，六月份售出504个，且从四月份到六月份月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌每个头盔应涨价多少元？ (3)该品牌头盔每个涨价多少元时，月销售利润最大？最大利润是多少？ 24．如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，当点Q移动到点C后停止移动，点P也随之停止移动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么的面积S随时间t的变化而变化，请写出S关于t的函数解析式及t的取值范围； (2)几秒时的面积等于？ 25．在平面直角坐标系中，已知二次函数（a为常数，且）． (1)求抛物线的对称轴； (2)当时，抛物线在x轴上方，当时，抛物线在x轴下方，求a，c满足的关系式； (3)已知该二次函数图象上有，两点，若对于，，总有，求m的取值范围． 26．如图1，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，直线经过两点． (1)求抛物线的解析式； (2)①当时，函数的最大值为_____，最小值为_______； ②当时，设函数的最大值为，最小值为，若，求的值； (3)如图2，将二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴的下方，图象的其余部分不变，得到一个“M”形状的新图象，再将直线向下平移个单位长度，得到直线，当直线与这个新图象有4个公共点时，请直接写出的取值范围． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 二次函数（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．将抛物线向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线的解析式为（    ）． A．B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，掌握抛物线解析式的变化规律是解题的关键；根据解析式平移的规律“左加右减，上加下减”求解即可． 【详解】解：原抛物线为 ，配方得： ， 将抛物线向左平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位， 得到的抛物线的解析式为， 故选：A． 2．在中，已知边BC的长为，BC边上的高比它的2倍多1，则三角形的面积y与x之间的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式。根据已知得出三角形的高，再利用三角形的面积公式列式即可． 【详解】解：∵BC边长为x(x>0)，BC边上的高比它的2倍多1， ∴这条边上的高为：2x+1， 根据题意得出：. 故选：C． 3．九年级同学在研究某种化学试剂的挥发情况时，发现可以用数学的相关知识解决问题．小组同学在A，B两种不同的场景下做对比实验，得到该试剂在挥发过程中剩余质量 (克)随时间x(分钟)变化的数据．他们建立平面直角坐标系，以时间为横坐标，剩余质量为纵坐标，在坐标系内描出对应点，得到如图所示的图象，下面判断错误的是（   ） A．是关于x的二次函数 B．是关于x的一次函数 C．当时，A场景用的时间大于 B 场景用的时间 D．10分钟时，A场景剩余质量小于 B 场景剩余质量 【答案】D 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，一次函数与二次函数图象的识别，根据函数图象所给的信息逐一判断即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可知，是关于x的二次函数，是关于x的一次函数，故A、B都正确，不符合题意； 由函数图象可知，当时，A场景用的时间大于 B 场景用的时间，故C正确，不符合题意； 由函数图象可得，10分钟时，A场景剩余质量大于 B 场景剩余质量，故D错误，符合题意； 故选：D． 4．已知二次函数的图象上有两点，若，当函数值取得最大值时，对应的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，抛物线的对称轴，顶点坐标等知识点，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 根据两个对称点确定抛物线的对称轴，判定顶点为最高点即可确定的值． 【详解】解：由抛物线上可知，纵坐标相等， ∴两点关于抛物线的对称轴对称， 所以抛物线的对称轴为， ∵， ∴抛物线的顶点为最高点， 所以，当函数值取得最大值时，对应的值为1． 故选：B 5．如图，抛物线过点，对称轴为直线，有以下结论正确的为（   ） A． B． C． D．方程两根分别为，4 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程，根据图象判断的符号，判断A，特殊值，判断B，对称轴判断C，对称性和图象法求出方程的根，判断D． 【详解】解：由图象可知：， ∵对称轴为直线， ∴， ∴，故C选项错误， ∴，故选项A错误； 由图象可知，当时，，故选项B错误； ∵抛物线过点，对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一个交点的坐标为， ∴方程两根分别为，4；故选项D正确； 故选D． 6．已知某函数图象关于轴对称，当时，；当时，．若直线与这个函数图象有且仅有四个不同交点，则实数的范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数、一次函数的图象与性质以及函数交点问题，熟练掌握函数图象的绘制和直线平移时与函数图象交点情况的分析是解题的关键．先根据函数图象关于轴对称，求出时的函数表达式，再画出函数图象，结合直线的平移，分析直线与函数图象有四个交点时的取值范围． 【详解】解：∵函数图象关于轴对称，当时，， ∴当时，；当时，． 画出函数图象： 当时，，这是一个开口向上，顶点为，与轴交点为，的抛物线一部分． 当时，，是一条为，过的射线． 根据对称性画出时的函数图象． 联立（时），得， 当，即时，直线与（）相切． 当直线过时，． 结合图象可知，当时，直线与这个函数图象有且仅有四个不同交点． 故选：A． 7．二次函数（a，b，c为常数，且）的x，y的部分对应值如下表所示，则下列结论错误的是（    ）． x … 0 1 2 3 4 5 … y … m 3 2 … A．抛物线开口向下 B．顶点坐标为 C．当时，y随x的增大而增大 D． 【答案】B 【分析】本题考查的是抛物线的对称性，增减性，对称轴与顶点坐标，根据二次函数图象与性质并逐一分析各选项即可求解． 【详解】解：∵抛物线经过点与， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴顶点坐标为，故选项B错误，符合题意； 观察表格可知，时，y随x的增大而减小， ∴时，y随x的增大而增大，故选项C正确，不符合题意； ∵顶点坐标为，当时，， ∴抛物线开口向下，故选项A正确，不符合题意； 根据对称性可知，与是对称点，与是对称点， ∴，， ∴， ∴，故选项D正确，不符合题意． 故选：B 8．一个重物从高处做自由落体运动时，若不考虑空气阻力，它的速度会因地心引力而均匀加速，速度（v）与时间（t）的函数图象如图①，下降的距离会随时间的增加而增加，距离（s）与时间（t）的函数图象如图②．下列结论错误的是（   ） A．该重物在秒时，速度为3米/秒 B．该重物在秒时间段内下降的距离与在秒时间段内下降的距离相同 C．时间每增加1秒，该重物的速度增加米/秒 D．当秒时，该重物下降距离为米 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，解题关键是利用待定系数法求出函数表达式． 先求出一次函数的解析式，再求出秒的速度，可以判断A； 分别求出重物在秒时间内下降的距离与在秒时间段内下降的距离，可判断B； 根据（A）中求得的函数表达式，可判断C； 先求出函数表达式，再求出时的函数值，可判断D． 【详解】解：设直线的解析式为， 则，解得：， 所以直线的解析式为， 所以当秒时，米/秒，故A正确，但不符合； 该重物在秒时间段内下降的距离为米，在秒时间段内下降的距离为，故B错误，符合； 直线的解析式为，所以时间每增加1秒，该重物的速度增加米/秒，故C正确，但不符合； 设距离（s）与时间（t）的函数解析式为， 因为当时，， 所以，解得：， 所以距离（s）与时间（t）的函数解析式为， 当秒时，，该重物下降距离为米，故D正确，但不符合， 故选：B． 9．一种高脚杯如图1所示，其杯肚部分外轮廓线为抛物线的一部分，图2为其杯肚的截面图，已知杯口，杯深．如图3，若将盛有部分液体的高脚杯倾斜（即与液面所在直线相交，所夹较小角为），液面与交于点E，且点E距杯口的距离，则此时液面宽为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，建立如图所示平面直角坐标系，作于点H，作于点Q，则，求解二次函数解析式为，FG所在直线解析式为，再进一步求解即可． 【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系，作于点H，作于点Q， 则， 则各点坐标为：，，，，． 设抛物线的表达式为， 把点A坐标代入解析式，得， 解得， ∴． ∵，E点坐标为， ∴直线与x轴的交点为． 设所在直线解析式为， 把点，代入解析式，得． 令， 得， 解得，． ∴， ∴． 故答案为：C． 10．抛物线经过点、、．则下列说法正确的是（   ） A．顶点可能在第一象限 B．若，则顶点在第三象限 C．顶点不可能在第二象限 D．若，则顶点在第四象限 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，确定顶点坐标符号是解题关键.由的纵坐标相等，可以确定抛物线对称轴，确定，将代入抛物线，确定的正负情况，结合顶点坐标进一步确定正负情况，即可确定纵坐标的正负，明确顶点位置． 【详解】解：抛物线经过点， 该抛物线的对称轴为，则顶点不可能在一，四象限，故A、D选项错误， 抛物线经过， 当时， ，即 该抛物线开口向上 当时， 代入得 顶点坐标为 顶点横坐标为 顶点在轴左侧 又纵坐标为， 当时，顶点在第三象限．故B正确 当时，同理可得 又纵坐标为， ， 当时，顶点可能在第二、三象限．故C错误 故选：B． 11．已知，为平面直角坐标系内两点，连接．若抛物线与线段只有一个公共点，则的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数与x轴的交点问题，把解析式化为顶点式得到顶点坐标，然后分别求出顶点在线段上时，抛物线刚好经过点P和点Q时的a的值，结合函数图象即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线解析式为， 抛物线开口向下，抛物线顶点坐标为， 如图1，当抛物线顶点落在上时，则， 解得，满足题意． 把代入得， 解得， 把代入得， 解得， 满足题意， 综上所述，或． 故选：C． 12．如图，已知抛物线与抛物线的对称轴相同，顶点分别为C，D，两图象交于点，，则下列结论正确的个数是（   ） ①的值为2；②当时，两抛物线组成的图象为轴对称图形，共有两条对称轴；③四边形为菱形；④满足四边形为正方形的的值有2个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．求出抛物线的对称轴，即可求出b的值，可判断①；分别求出两抛物线的顶点坐标以及它们的交点，可判断②；由抛物线的对称性得：，根据题意得∶轴，所在的直线为两抛物线的对称轴，根据两抛物线的顶点到直线的距离相等，可得垂直平分，从而得到，可判断③；根据，可求出c的值，可判断④． 【详解】解：， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵两抛物线的对称轴相同， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴，故①正确； ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点为， ∵， ∴抛物线的顶点为， 联立得：， 解得：或， ∴两抛物线的的交点分别为或， 即它们交点所在的直线为， ∴抛物线的顶点到直线的距离为，抛物线的顶点到直线的距离为， 即两抛物线的顶点到直线的距离相等， ∵两抛物线的对称轴相同，且二次项的系数互为相反数， ∴两抛物线的开口大小一样， ∴两抛物线组成的图象为轴对称图形，对称轴分别为两抛物线的对称轴以及它们交点所在的直线，共有两条对称轴，故②正确； 如图，连接， 由抛物线的对称性得：， 根据题意得∶轴，所在的直线为两抛物线的对称轴， ∴， ∵两抛物线的顶点到直线的距离相等， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴四边形为菱形，故③正确； ∵四边形为正方形， ∴， ∴， 解得：或， ∵， ∴不符合题意， ∴满足四边形为正方形的的值有1个，故④错误； 故选：C 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．如图，运动员投掷标枪时的运动轨迹可看作抛物线的一部分，以地面所在直线为轴，过最高点且垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系．则该标枪运动轨迹的函数关系式为：，已知运动员出手点距离最高点的水平距离为 ，则该运动员投掷标枪的水平距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，将代入，得出，结合题意，即可求解． 【详解】解：将代入， ， 解得：（舍去） 又∵运动员出手点距离最高点的水平距离为 ， ∴该运动员投掷标枪的水平距离为米 故答案为：． 14．如图，已知抛物线与直线相交于两点，则不等式成立时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式的关系，由图象可求得的解集，即可获得答案，解题关键是利用数形结合的思想分析问题． 【详解】解：∵抛物线 与直线相交于两点， ∴由图可知，当时，二次函数图象在一次函数图象上方，此时， ∴的解集为， ∴不等式的解集为． 故答案为：． 15．规定．例如：，．则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义、二次函数的最值，先判断出，结合题意得出，再由二次函数的性质求解即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 16．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，，与y轴交于点C．若轴，则二次函数图象上点D的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据点，在二次函数的图象上，可以得到该函数的对称轴，再根据轴，和二次函数的性质，即可得到点D的横坐标，从而可以写出点D的坐标． 【详解】解：在二次函数中，令，则， 即， ∵点，在二次函数的图象上， ∴该函数图象的对称轴为直线， ∵轴， ∴点D的横坐标为：， ∴点D的坐标为， 故答案为：． 17．如图（），在中，点是边上一点，点从点出发，沿运动到点，设点运动的路程为，点到点的距离为，在点运动过程中，随变化的关系图象如图（）所示，其中点为第一段函数图象的最低点，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数图象与几何综合，包括勾股定理，等腰三角形的判定，等边三角形三角形的判定和性质，根据函数图象可证是等边三角形，，根据点运动的路程为，可列方程，解方程求出，所以的周长为． 【详解】解：如下图所示，过点作， 由图象可知，当点运动到点时，，， ， 当点从点运动到点时，， ， ， 是等边三角形， 当点运动到点时，， ， ， 即， 解得：， 的周长是． 18．已知二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②若点，均在二次函数图象上，则；③关于的一元二次方程有两个相等的实数根；④满足的的取值范围为．其中正确的结论有 ． 【答案】②④ 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数图象与系数的关系．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．根据二次函数的图象和性质依次进行判断即可． 【详解】解：由题意可得：， 对称轴为直线， ，即， 当时，，即，即，故①错误； ，， 点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， ，故②正确； 二次函数与有两个不同的交点，故关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，故③错误； 函数经过，对称轴为直线，故一定经过， 的的取值范围为，故④正确； 故答案为：②④． 三、解答题（本题共8小题，（本题共8小题，第19-第22题每题8分，第23-第26题每题10分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．如图所示的双耳锅是抛物线面（图1），经过锅心的纵断面是抛物线型，该抛物线的形状如图2所示，其口径为，锅深高度（抛物线的顶点到的距离）为，以所在直线为轴，过点作的垂线为轴，建立平面直角坐标系如图2所示． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若锅中水的最大深度为，求此时水面的直径． 【答案】(1)（或） (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）根据锅中水的最大深度为，得出此时水面的纵坐标为，把代入，求出，再求出，即可得出答案． 【详解】（1）.解：由题意知，抛物线过点，顶点为， 设抛物线的函数表达式为， 将点代人，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为． （2）解：由题意知，即此时水面的纵坐标为， 当时，， 解得， ， ∴此时水面的直径为． 20．小宇同学是足球社团的一名成员，同时喜欢运用数学知识对足球训练进行技术分析，下面是他对某次足球射门路线的分析．在如图所示的平面直角坐标系中，点O是原点，小宇从球门正前方的点A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球离球门的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面． ． (1)求抛物线（足球的飞行路线）的函数表达式； (2)已知球门高为，通过计算判断球能否被射进球门（不考虑其他因素）． 【答案】(1) (2)球不能被射进球门 【分析】此题考查了二次函数的应用，求出抛物线（足球的飞行路线）的函数表达式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出当时的函数值，进行比较即可． 【详解】（1）解：由题意，得，抛物线顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 点在抛物线上， ，解得 抛物线的函数表达式为； （2）当时， 球不能被射进球门． 21．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求该抛物线的对称轴； (2)若当时，的最小值是，求当时，的最大值； 【答案】(1)直线 (2)11 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键． （1）根据对称轴为直线代入求解即可． （2）根据二次函数的图象和性质可得出当时，，进而求出a的值，再得出当时，取的最大值，代入计算即可． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线： ． （2）解：∵， ∴抛物线开口向上， ∵对称轴为直线， ∴当时，y有最小值， ∵当时，的最小值是， ∴当时，， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为：， ∵当比当离对称轴近， ∴当时，取的最大值， 此时． 22．如图，已知二次函数的图象经过点、，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点为抛物线的顶点，连接、，求四边形的面积 (3)若点是抛物线图象上的一点，且满足，请直接写出满足要求的所有点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）运用待定系数法将，，代入，即可求解； （2）利用待定系数法求出直线的解析式，运用配方法将抛物线解析式化为顶点式即可求得顶点坐标，过点D作轴交直线于点E，求得，利用，根据四边形的面积为，即可求解； （3）先求出点C关于对称轴的对称点；先运用待定系数法求出直线的解析式，再根据互相平行的两直线的关系求出与平行的直线的解析式，联立抛物线解析式即可求解． 【详解】（1）解：设二次函数解析式为，其图象经过点，，， 则，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为． ∵， ∴， 过点D作轴交直线于点E，如图1， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴ ∴四边形的面积为 （3）解：抛物线上存在点P，使，理由如下： 如图2， ①取点关于对称轴的对称点，连接，， ∵，， ，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴符合题意； ②当直线时，则有， ∵直线的解析式为， ∴直线的解析式中一次项系数为1． 设与平行的直线的解析式为， 将代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立抛物线解析式得： ， 解得：或（不合题意，舍去）， ∴． 综上所述，，． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，运用待定系数法求一次函数和二次函数解析式，配方法，三角形面积，互相平行的两直线的关系等，熟练掌握二次函数图象和性质，利用待定系数法求函数解析式等相关知识，灵活运用方程思想和分类讨论思想是解题关键． 23．“骑车戴头盔，放心平安归”．越来越多的人上下班会选择骑行电动车，佩戴头盔更能保证大家的行车安全．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出350个，六月份售出504个，且从四月份到六月份月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌每个头盔应涨价多少元？ (3)该品牌头盔每个涨价多少元时，月销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)该品牌的每个头盔应涨价5元 (3)该品牌头盔每个涨价元时，月销售利润最大，最大利润是6125元 【分析】本题主要考查了利用一元二次方程解决实际问题，利用二次函数解决最值问题，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，找出等量关系列出方程求解即可； （2）设该品牌头盔每个应涨价元，找出等量关系列出方程求解即可； （3）设该品牌头盔每个涨价元，利润为元，列出，利用二次函数的性质求出最值即可． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为， 由题意得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； （2）解：设该品牌头盔每个应涨价元． 由题意，得， 整理得， 解得，． ∵要尽可能让顾客得到实惠， ． 答：该品牌的每个头盔应涨价5元； （3）解：设该品牌头盔每个涨价元，利润为元． 由题意得， ， ∴当.时，月销售利润最大，最大值为6125． 答：该品牌头盔每个涨价元时，月销售利润最大，最大利润是6125元． 24．如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，当点Q移动到点C后停止移动，点P也随之停止移动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么的面积S随时间t的变化而变化，请写出S关于t的函数解析式及t的取值范围； (2)几秒时的面积等于？ 【答案】(1) (2)3秒 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法、二次函数的性质． （1）利用三角形的面积公式求解即可； （2）把代入（1）的函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：由题意，；． ∴， ， ∴S关于t的函数解析式为； （2）解：当时，， 整理得，即， 解得或（舍去）， 答：3秒时，的面积等于． 25．在平面直角坐标系中，已知二次函数（a为常数，且）． (1)求抛物线的对称轴； (2)当时，抛物线在x轴上方，当时，抛物线在x轴下方，求a，c满足的关系式； (3)已知该二次函数图象上有，两点，若对于，，总有，求m的取值范围． 【答案】(1)对称轴为直线 (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，利用数形结合的思想是解题的关键． （1）根据抛物线对称轴方程直接求解； （2）可得到抛物线经过，将其代入抛物线解析式即可得到a，c满足的关系式； （3）当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，则，总有故当时，y随x的增大而增大，则始终成立，解得；当时，y随x的增大而减小，此时，如解图，要使，则和在对称轴两侧，且直线到直线的距离小于等于直线到直线的距离，即，即可求解． 【详解】（1）解：二次函数， 对称轴为直线； （2）解：当时，抛物线在x轴上方，对称轴为直线， 由对称性可知当时，抛物线也在x轴上方． 当时，抛物线在x轴下方， 抛物线经过，即； （3）解：对称轴为直线，且， 当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ，， ，总有 当时，y随x的增大而增大，则始终成立， 解得； 当时，y随x的增大而减小，此时， 如解图， 要使，则和在对称轴两侧，且直线到直线的距离小于等于直线到直线的距离， 即， 解得 ， 综上所述． 26．如图1，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，直线经过两点． (1)求抛物线的解析式； (2)①当时，函数的最大值为_____，最小值为_______； ②当时，设函数的最大值为，最小值为，若，求的值； (3)如图2，将二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴的下方，图象的其余部分不变，得到一个“M”形状的新图象，再将直线向下平移个单位长度，得到直线，当直线与这个新图象有4个公共点时，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)①4；0②0 (3) 【分析】本题考查了二次函数的性质，图象与轴交点问题，翻折变换，一元二次方程与二次函数的关系等，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． （1）根据直线可求出点的坐标，再运用待定系数法求出二次函数解析式即可； （2）①求出抛物线的顶点坐标，对称轴以及点A的坐标，在范围内可求出最大值和最小值； ②分、和三种情况，分别求出最大值和最小值，根据列式求解即可； （3）求出翻折后的函数关系式，求出经过点A且与平行的直线的解析式和与新抛物线有唯一公共点且与平行的直线的解析式即可解决问题． 【详解】（1）解：对于，当时，；当时，， ∴，， 把，代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：①， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， ∵, ∴, ∴当时最大值为4，最小值为0， 故答案为：4；0； ②∵抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，与关于对称轴对称，函数值相等， 分以下三种情况： （i）当时， 又∵， ∴当时，y随x的增大而增大， ∴当时，y取最大值为； 当时，y取最小值为， ∵， ∴， 解得，或（舍去）； （ii）当时， 当时，y取最大值为 当时，y取最小值为， 此时，不满足题意舍去； （ⅲ）当时， 当时，y取最大值为 当时，y取最小值为， ∵， ∴， 解得，或； 因为，则或都不符合题意，舍去； 综上，t的值为0， 故答案为：0； （3）解：根据题意得，翻折后的抛物线顶点坐标为， 设翻折后的抛物线解析式为， 把代入得， ∴翻折后的抛物线解析式为， 设经过点A且与平行的直线的解析式为， 把代入得，， 解得，； 设与新抛物线有唯一公共点且与平行的直线的解析式，则有： ， 整理得： ∴， ∴， ∴直线与这个新图象有4个公共点时，的取值范围． 1 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $$