第1章 二次函数（高效培优单元测试·强化卷）数学浙教版九年级上册

第1章 二次函数（高效培优单元测试·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 2．抛物线 向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得抛物线的表达式是（    ） A． B． C． D． 3．已知是关于的二次函数，部分与的对应值如表所示： … 0 1 2 … … 6 1 1 6 … 则当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．关于x的二次函数的图象与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．一次函数（）与二次函数（）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 6．关于二次函数的性质，下列说法错误的是（   ） A．该函数图象的开口向上 B．该函数图象的对称轴是 C．该函数的最小值为 D．当时，随的增大而减小 7．已知点，，都在抛物线上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 8．抛物线与直线相交于点和点.则当时，的取值范围是（  ） A． B． C． D．或 9．一个小球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过（秒）时球距离地面的高度（米）适用公式，那么球弹起后又回到地面所花的时间（秒）和弹起的最高高度（米）分别是（   ） A．1，4 B．2，5 C．5，10 D．10，20 10．如图，点和点同时从正方形的顶点出发，点沿着运动，点沿着运动，速度都为，终点都是点．若，则的面积S（cm2）与运动时间之间的函数关系的大致图象是（   ） A． B． C． D． 11．二次函数的部分图象如图所示，已知图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④当时，y的值随x值的增大而增大；⑤其中正确的结论有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 12．如图，已知抛物线，线段．若抛物线a和线段b有两个交点，且两个交点均为整点（横、纵坐标均为整数的点），则整数m的值为（    ） A．2 B．4 C．2或4 D．2或3或4 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的范围是 ． 14．如图，硬叶柳是杨柳科柳属直立灌木，在海拔到的高山环境下，其叶片长度与海拔满足关系式：．若，则硬叶柳生长的海拔为 ． 15．某超市有一种商品，进价为2元，据市场调查，销售单价是13元时，平均每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出10件．若设降价后售价为元，每天利润为元，则与之间的函数关系为 ． 16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点与轴平行的直线交抛物线于点、，则的长为 ． 17．已知函数的大致图象如图所示，当关于的方程（为实数）时，恰有4个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 18．如图，二次函数交坐标轴于A，B，C，点Q在以C为圆心半径为1的圆上运动，P为中点，的最小值是 ． 三、解答题（本题共8小题，第19-第22题每题8分，第23-第26题每题10分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点、，交y轴于点C (1)求此二次函数的解析式； (2)求抛物线的顶点M的坐标，对称轴； (3)求的面积 20．【问题情境】如图是喷水管从点A向四周喷出水花的喷泉截面示意图，喷出的水花是形状相同的抛物线．以点O为原点，水平方向为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，点C，D为水花的落水点且在x轴上，其中右侧抛物线的解析式为，喷水管的高度为． 【问题解决】 (1)求a的值； (2)现重新改建喷泉，降低喷水管，使落水点与喷水管的水平距离为9m，求喷水管要降低的高度． 21．二次函数的图象交x轴于A、D两点，且A点坐标是，图象过点． (1)求二次函数的解析式； (2)求函数图象的顶点坐标及D点的坐标； (3)二次函数的对称轴上是否存在一点C，使得的周长最小？若C点存在，求出C点的坐标；若C点不存在，请说明理由． 22．如图，公园的花坛正中间有一个喷灌嘴，将开关开至最大时，喷出的水流形状接近于抛物线．当水流距离地面时，距喷灌嘴的水平距离为，水流落地点距喷灌嘴的水平距离． (1)求水流所在抛物线的函数表达式； (2)为了给公园增添艺术氛围，园林部门计划在水流下方放置一些雕塑． ①若雕塑的高度为，求与喷灌嘴的水平距离在多大范围内时，雕塑不会被水流直接喷到； ②若在距喷灌嘴水平距离为处有一高度为的雕塑，请判断该雕塑是否会被水流直接喷到？ 23．某景区购进、两种纪念品共300件，购进种纪念品的数量不少于50件，且不超过150件． ①购进4件种纪念品和2件种纪念品需花费36元；购进2件种纪念品和3件种纪念品需花费22元． ②种纪念品在购进50件的基础上，每多购进5件，种纪念品的进货价每个降低0.1元． 经销售发现：，两种纪念品的总售价为元，购进种纪念品的件数为件，与之间存在一次函数的关系，如表： 种件数 0 20 50 100 200 总售价 1500 1600 1750 2000 2500 (1)求与的函数关系； (2)设销售，两种商品所获利总利润为元，该景区将300件纪念品全部销售后，总利润能否达到1050元？如果能，请给出进货方案；如果不能，请说明理由． 24．已知二次函数（为常数，）． (1)求二次函数的对称轴． (2)若点在二次函数的图象上，二次函数是否存在最大值或最小值？若存在，请求出最大值或最小值；若不存在，请说明理由． (3)若二次函数的图象与x轴有交点，求的取值范围． 25．【项目式学习】 项目主题：从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响” 实验过程：如图所示，一个小球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从小球运动到点处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录小球在木板上的运动时间（单位：s）、运动速度（单位：）、滑行距离（单位：）的数据． 任务一：数据收集 记录的数据如下： 运动时间/s 0 2 4 6 8 10 … 运动速度/（cm/s） 10 9 8 7 6 5 … 滑行距离/cm 0 19 36 51 64 75 … 任务二：数据分析 观察分析发现，小球运动速度（单位：）与小球运动时间（单位：）满足关系式．小球滑行距离（单位：）与运动时间（单位：）满足关系式； （1）________，________，________，________ 任务三：问题解决 （2）当小球在水平木板上停下来时，求此时小球的滑动距离； （3）当小球到达木板点的同时，在点的前方 处有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，若小球不能撞上小车，求的取值范围． 26．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，且点坐标为，点坐标为． (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，若点是第二象限内抛物线上一动点，求点到直线距离的最大值； (3)如图2，若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 二次函数（高效培优单元测试·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的顶点式形式，通过将给定的抛物线方程与顶点式对比，即可直接得出顶点坐标． 【详解】解：∵抛物线的解析式为， ∴顶点坐标为． 故选B． 2．抛物线 向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得抛物线的表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查的是二次函数图象的平移．根据二次函数图象的平移规律：左加右减，上加下减，即可得出结论． 【详解】解：抛物线向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得抛物线的表达式是． 故选：D 3．已知是关于的二次函数，部分与的对应值如表所示： … 0 1 2 … … 6 1 1 6 … 则当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，理解表格信息，掌握二次函数图形的对称轴，增减性是解题的关键． 根据表格信息得到对称轴直线为，时，随的增大而减小，结合二次函数图象的性质即可求解． 【详解】解：当时，，当时，， ∴对称轴直线为， ∴时，随的增大而减小， ∴当时，， 故选：C ． 4．关于x的二次函数的图象与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点问题，会运用根的判别式去求参数是解题的关键．运用根的判别式，代入系数，可直接求解． 【详解】解：∵的图象与x轴有两个不同的交点， ∴， ∴． 故选：D． 5．一次函数（）与二次函数（）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题可先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致． 本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 【详解】解：A、一次函数与y轴交点应为，二次函数与y轴的交点也应为，图象不符合，故本选项错误； B、由抛物线可知，，由直线可知，，a的取值矛盾，故本选项错误； C、由抛物线可知，，由直线可知，，a的取值矛盾，故本选项错误； D、由抛物线可知，，由直线可知，，且抛物线与直线与y轴的交点相同，故本选项正确． 故选：D． 6．关于二次函数的性质，下列说法错误的是（   ） A．该函数图象的开口向上 B．该函数图象的对称轴是 C．该函数的最小值为 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征．根据二次函数的性质和图象上点的坐标特征进行解答． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，二次函数有最小值， 当时，随的增大而增大， 故A，B，C选项说法正确，不符合题意， D选项说法错误，符合题意． 故选：D． 7．已知点，，都在抛物线上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查比较二次函数的函数值大小，根据二次函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上点离对称轴越远，函数值越大， ∵点，，都在抛物线上，且， ∴； 故选A． 8．抛物线与直线相交于点和点.则当时，的取值范围是（  ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】此题考查二次函数与不等式．先求得抛物线与直线的解析式，联立求得点的坐标，再根据时，即为抛物线在直线下方，根据图象得出取值范围即可． 【详解】解：∵直线经过点， ∴，解得， ∴直线， ∵抛物线经过点， ∴，解得， ∴抛物线， 联立得， 解得或， 当时，， ∴， ∴抛物线与直线相交于点和点两点， ∴当时，， 故选：B． 9．一个小球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过（秒）时球距离地面的高度（米）适用公式，那么球弹起后又回到地面所花的时间（秒）和弹起的最高高度（米）分别是（   ） A．1，4 B．2，5 C．5，10 D．10，20 【答案】B 【分析】此题考查了求二次函数的应用． 根据球弹起后又回到地面时，得到，解方程即可得到回到地面所花的时间（秒）．化为顶点式可求出弹起的最高高度（米）． 【详解】解：球弹起后又回到地面时，即， 解得（不合题意，舍去），， ∴球弹起后又回到地面所花的时间（秒）是2． ∵， ∴弹起的最高高度（米）是5． 故选：B． 10．如图，点和点同时从正方形的顶点出发，点沿着运动，点沿着运动，速度都为，终点都是点．若，则的面积S（cm2）与运动时间之间的函数关系的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了动点问题的函数图象．当时，；当时，，结合图形，即可求解． 【详解】解：当时，如图， ∴，， ∴，此时抛物线开口向上． 当时，如图， ∴，， ∵，四边形是正方形， ∴， ∴，， ∴， ∴ ，此时抛物线的开口向下． 综上，选项A符合题意， 故选：A． 11．二次函数的部分图象如图所示，已知图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④当时，y的值随x值的增大而增大；⑤其中正确的结论有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，具有一定的综合性，运用了数形结合的思想． 根据抛物线的开口方向、对称轴和与y轴交点可知，从而易判断①②；由图知，当时，函数值为0，即有，从而易判断③；由图象易判断④；由于函数在时取得最大值，对任意的实数m，其函数值不超过函数的最大值，从而易判断⑤． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴，， 即，故②正确； ∵抛物线与y轴交于坐标轴正半轴， ∴， ∴，故①错误； 当时，函数值为0，即有， ∵， ∴，即，故③正确； 观察图象知，当时，随自变量的增加，函数值有增有减，故④错误； ∵函数在时取得最大值， ∴对任意的实数m，都有， 即，故⑤错误； 故选：B． 12．如图，已知抛物线，线段．若抛物线a和线段b有两个交点，且两个交点均为整点（横、纵坐标均为整数的点），则整数m的值为（    ） A．2 B．4 C．2或4 D．2或3或4 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数综合，由根的判别式得 ，求出，当时，当时，分别求出，结合图象求出取值范围，再由整点的定义，即可求解；理解新定义，能根据根的判别式及数形结合进行求解是解题的关键． 【详解】解：由题意得， 整理得：， 抛物线a和线段b有两个交点， ， 解得：， 当时， ， ， 解得：， 当时， ， ， 解得：， 大致图象如下： ， 为整数， 为或或， 当时，与的交点为，，符合题意； 当时，与的交点为不是整点，不符合题意； 当时，与的交点为，，符合题意； 的值为或， 故选：C． 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的增减性是解题关键．根据二次函数解析式可得图象开口向上，对称轴为直线，即可求解． 【详解】解：， 图象开口向上，对称轴为直线， 当时，y随x的增大而减小， ， ， 故答案为：． 14．如图，硬叶柳是杨柳科柳属直立灌木，在海拔到的高山环境下，其叶片长度与海拔满足关系式：．若，则硬叶柳生长的海拔为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，将代入解析式，求得，即可求解． 【详解】解：依题意，当时， 解得：（负值舍去）， 故答案为：． 15．某超市有一种商品，进价为2元，据市场调查，销售单价是13元时，平均每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出10件．若设降价后售价为元，每天利润为元，则与之间的函数关系为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列二次函数关系式，根据题意可得单件商品的利润为元，销售量为件，据此列出对应的函数关系式即可． 【详解】解：由题意得， ， 故答案为：． 16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点与轴平行的直线交抛物线于点、，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，求线段长，根据抛物线与轴交于点，先求得，进而将代入，求得的坐标，即可求解． 【详解】∵抛物线与y轴交于点， 当时， ∴点坐标为． 当时，，解得， ∴， ∴． 故答案为：． 17．已知函数的大致图象如图所示，当关于的方程（为实数）时，恰有4个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查函数图象的应用， 画出的图象，分别画出经过、的图象，然后然后数形结合即可得出结论． 【详解】解：∵关于的方程（为实数）时，恰有4个不相等的实数根， ∴与有4个交点， ∵中，当即时，， ∴经过定点， 对于，当时，， 当时，，解得， ∴与y轴交于，与x轴交于，， 当经过时，如图， 则，解得， ∴， 此时与有3个交点， 当经过时，如图， 则， 解得， ∴， 此时与有3个交点， 观察图象发现：当时，与有4个交点， 故答案为：． 18．如图，二次函数交坐标轴于A，B，C，点Q在以C为圆心半径为1的圆上运动，P为中点，的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、中位线定理． 在A点的左边取点D，使得，连接，结合P是的中点，可得，故当最小时，最小，再由二次函数为，可得，又Q为圆C上一点，D为圆C外一点，从而可得的最小值为，进而可以判断得解． 【详解】解：如图，在A点的左边取点D，使得，连接． 又∵P是的中点， ∴． ∴当最小时，最小． 又∵二次函数为， ∴令，则；令，则或． ∴． ∴． ∴D为． ∴． ∵Q为圆C上一点，D为圆C外一点， ∴的最小值为． ∴的最小值为． 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，第19-第22题每题8分，第23-第26题每题10分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点、，交y轴于点C (1)求此二次函数的解析式； (2)求抛物线的顶点M的坐标，对称轴； (3)求的面积 【答案】(1) (2)抛物线的顶点M的坐标为，对称轴为直线 (3)6 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，顶点式，三角形面积等知识，灵活运用相关知识是解答本题的关键． （1）运用待定系数法即可求得答案； （2）将函数关系式化为顶点式即可得到答案； （3）求出点的坐标，求出，根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：把点、的坐标分别代入， 得：． 解得：， ∴此二次函数的解析式为； （2）解：∵， ∴抛物线的顶点M的坐标为，对称轴为直线； （3）解：对于，当时，， ∴点的坐标为， ∴， ∵、， ∴， ∴． 20．【问题情境】如图是喷水管从点A向四周喷出水花的喷泉截面示意图，喷出的水花是形状相同的抛物线．以点O为原点，水平方向为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，点C，D为水花的落水点且在x轴上，其中右侧抛物线的解析式为，喷水管的高度为． 【问题解决】 (1)求a的值； (2)现重新改建喷泉，降低喷水管，使落水点与喷水管的水平距离为9m，求喷水管要降低的高度． 【答案】(1) (2) 【分析】（）将代入，求出相应的a的值即可； （）先设喷水管要降低的高度，然后将代入，再求出相应的降低的高度即可； 本题考查了二次函数的应用，解题的关键是明确二次函数平移的特点，利用二次函数的性质解答． 【详解】（1）解：∵将代入中可得，， 解得， ∴a的值为． （2）解：设喷水管要降低的高度为，则降低高度后的右侧抛物线的解析式为， 将代入，可得， 解得． 答：喷水管要降低的高度为． 21．二次函数的图象交x轴于A、D两点，且A点坐标是，图象过点． (1)求二次函数的解析式； (2)求函数图象的顶点坐标及D点的坐标； (3)二次函数的对称轴上是否存在一点C，使得的周长最小？若C点存在，求出C点的坐标；若C点不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在，(4，2) 【分析】（1）根据点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式； （2）根据二次函数解析式，利用二次函数的性质即可得出二次函数图象的顶点坐标，再代入即可得出点D的坐标； （3）根据两点之间线段最短，找出使得的周长最小的点C的位置，根据点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出直线的解析式，再代入即可求出点C的坐标． 【详解】（1）解：把，代入， 得解得， ∴二次函数的解析式为 （2）由，得二次函数图象的顶点坐标为． 令，得，解得，， ∴D点的坐标为； （3）二次函数的对称轴上存在一点C，使得的周长最小． 连接，如图， ∵点C在二次函数的对称轴上， ，，的周长，根据“两点之间，线段最短”，可得当点A、C、B三点共线时，最小， 此时，由于是定值，因此的周长最小． 设直线的解析式为， 把，代入，得’解得 ∴直线的解析式为．当时，， ∴当二次函数的对称轴上点C的坐标为时，的周长最小． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次函数的性质以及轴对称中的最短路径问题，解题的关键是：（1）根据点A、B的坐标，利用待定系数法求出二次函数的解析式；（2）根据二次函数的性质找出二次函数图象的顶点坐标；（3）利用两点之间线段最短确定点C的位置． 22．如图，公园的花坛正中间有一个喷灌嘴，将开关开至最大时，喷出的水流形状接近于抛物线．当水流距离地面时，距喷灌嘴的水平距离为，水流落地点距喷灌嘴的水平距离． (1)求水流所在抛物线的函数表达式； (2)为了给公园增添艺术氛围，园林部门计划在水流下方放置一些雕塑． ①若雕塑的高度为，求与喷灌嘴的水平距离在多大范围内时，雕塑不会被水流直接喷到； ②若在距喷灌嘴水平距离为处有一高度为的雕塑，请判断该雕塑是否会被水流直接喷到？ 【答案】(1) (2)①高度为的雕塑，其与喷灌嘴的水平距离在时，才不会被水流直接喷到；②不会． 【分析】本题考查了二次函数的应用，掌握二次函数的图象和性质是解题关键． （1）利用待定系数法，将点，代入抛物线解析式求解即可； （2）①令，求出对应的自变量取值，即可求解；②令，求出对应的函数值，再进行比较即可． 【详解】（1）解：由题意可知，水流所在抛物线经过点，， 将其分别代入得： ，解得， 水流所在抛物线的函数表达式为：； （2）解：①令，则， 解得，， 高度为的雕塑，其与喷灌嘴的水平距离在时，才不会被水流直接喷到； ②令，则， ， 不会被水流直接喷到． 23．某景区购进、两种纪念品共300件，购进种纪念品的数量不少于50件，且不超过150件． ①购进4件种纪念品和2件种纪念品需花费36元；购进2件种纪念品和3件种纪念品需花费22元． ②种纪念品在购进50件的基础上，每多购进5件，种纪念品的进货价每个降低0.1元． 经销售发现：，两种纪念品的总售价为元，购进种纪念品的件数为件，与之间存在一次函数的关系，如表： 种件数 0 20 50 100 200 总售价 1500 1600 1750 2000 2500 (1)求与的函数关系； (2)设销售，两种商品所获利总利润为元，该景区将300件纪念品全部销售后，总利润能否达到1050元？如果能，请给出进货方案；如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)总利润能达到1050元，购进A，B两种纪念品各150件 【分析】本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用、二次函数的应用，找到等量关系是解答本题的关键． （1）根据题意利用待定系数法求解即可； （2）根据题意列出二元一次方程组解出A商品的进货单价为8元，B商品的进货单价为2元，求出总利润为元，即可求解． 【详解】（1）解：设与的函数关系为， 根据表格可得：， 解得， 与的函数关系为； （2）解：能达到，方案如下：设A商品的进货单价为元，B商品的进货单价为元， 根题意可得：， 解得：， ， ，抛物线开口向上， ， 当时，有最大值，最大值刚好为元， 购进A，B两种纪念品各150件，总利润能达到1050元． 24．已知二次函数（为常数，）． (1)求二次函数的对称轴． (2)若点在二次函数的图象上，二次函数是否存在最大值或最小值？若存在，请求出最大值或最小值；若不存在，请说明理由． (3)若二次函数的图象与x轴有交点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)存在，①当时，二次函数有最小值；②当时，二次函数有最大值 (3) 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握对称轴，最值的计算，与坐标轴交点的计算是关键． （1）根据对称轴直线的计算公式代入计算即可； （2）把点代入二次函数得到二次函数的表达式为：，根据二次函数图象的性质求解即可； （3）二次函数的图象与轴有交点，可得，由此即可求解． 【详解】（1）解：二次函数（为常数，）， ∴， ∴二次函数的对称轴是． （2）解：把点代入二次函数， 得：， 解得， ∴二次函数的表达式为：， ①当时，二次函数有最小值； ②当时，二次函数有最大值． （3）解：∵二次函数的图象与轴有交点， ∴， 化简得：， ∴． 25．【项目式学习】 项目主题：从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响” 实验过程：如图所示，一个小球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从小球运动到点处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录小球在木板上的运动时间（单位：s）、运动速度（单位：）、滑行距离（单位：）的数据． 任务一：数据收集 记录的数据如下： 运动时间/s 0 2 4 6 8 10 … 运动速度/（cm/s） 10 9 8 7 6 5 … 滑行距离/cm 0 19 36 51 64 75 … 任务二：数据分析 观察分析发现，小球运动速度（单位：）与小球运动时间（单位：）满足关系式．小球滑行距离（单位：）与运动时间（单位：）满足关系式； （1）________，________，________，________ 任务三：问题解决 （2）当小球在水平木板上停下来时，求此时小球的滑动距离； （3）当小球到达木板点的同时，在点的前方 处有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，若小球不能撞上小车，求的取值范围． 【答案】（1），（2）；（3） 【分析】本题考查一次函数和二次函数的待定系数法求解析式，以及利用函数解决实际问题．解题关键在于熟练运用待定系数法准确求出函数解析式，再根据实际问题的条件建立方程或不等式求解． （1）对于，可根据表格中两组与的值代入方程，利用待定系数法求出和；对于，同样根据表格中两组与的值代入方程，用待定系数法求出和 ． （2）先根据求出小球停下来（）时的时间，再将该时间代入求出滑行距离． （3）分别表示出小球滑行距离和小车行驶距离，根据小球不能撞上小车的条件列出不等式求解的取值范围． 【详解】解：（1）当时，；把，，代入得， 解得． ∵时，； ，， ∴ 解得． 故答案为：， （2）由，当时，，解得． 把代入，得． （3）小球滑行距离，小车行驶距离． ∵球不能撞上小车， ∴恒成立，即恒成立． ∵于二次函数，，要使其恒小于， ∴， 解得． 26．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，且点坐标为，点坐标为． (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，若点是第二象限内抛物线上一动点，求点到直线距离的最大值； (3)如图2，若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，满足条件的点M的坐标有或或 【分析】（1）将两个点的坐标代入关系式，求出解即可； （2）过作于点，过点作轴交于点，根据已知条件确定是等腰直角三角形，可得，根据最大时，最大，然后求出直线解析式，并表示出，讨论极值，可得答案； （3）当平行四边形以为平行四边形的边时和以为对角线时，讨论得出答案． 【详解】（1）解：∵点，点在抛物线 的图象上， ， 解得：，， 抛物线的解析式为． （2）解：过作于点，过点作轴交于点，如图1： ∵抛物线与轴交于点， ∴点的坐标为， 又， ， 是等腰直角三角形， ， 轴， ， 是等腰直角三角形， ， 当最大时，最大， 设直线解析式为， 将代入得， ， 直线解析式为， 设， 则， ， ， 当时，最大为， 此时最大为，即点到直线的距离值最大． （3）解：存在，满足条件点的坐标为或或，理由如下， 当以为平行四边形的边时，如图2， 点，， ， 即， 解得， ， 点的坐标为； 当以为平行四边形的边长时，如图3， 点，， ， 即， 解得， ， 点的坐标是； 当以为对角线时，如图4， ，， 线段的中点的坐标为，即， ， 解得， ， 点的坐标是． 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，待定系数法求二次函数关系式，等腰直角三角形的性质和判定，求直线解系式，平行四边形的判定，根据横坐标的差表示线段的长等，解题的关键是注意多种情况讨论，不能丢解． 2 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $$