专题03 二次函数与几何综合十种模型（高效培优专项训练）数学浙教版九年级上册

专题03 二次函数与几何综合十种模型 题型一：二次函数与角综合问题 题型二：二次函数与线段/周长综合问题 题型三：二次函数与面积最值综合 题型四：二次函数与平行四边形存在性问题 题型五：二次函数与菱形存在性问题 题型六：二次函数与矩形存在性问题 题型七：二次函数与等腰三角形存在性问题 题型八：二次函数与直角三角形存在性问题 题型九：二次函数与等腰直角三角形存在性问题 题型十：二次函数的其他综合问题 题型一：二次函数与角综合问题 1．如图，已知抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点，抛物线的顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)若是直线下方抛物线上任意一点，过点作轴于点，与交于点，求线段长度的最大值． (3)若点在轴上，且，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合) 【分析】（1）将，代入求解即可； （2）根据的解析式和抛物线的解析式，设，则，表示的长，根据二次函数的最值可得的最大值即可； （3）如图1，连接，，交于点．然后分点在点的左侧和右侧两种情况解答即可． 【详解】（1）解：把，代入抛物线中 得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：， 当时，， 解得：或， ∴； 设的解析式为：， ∵，， ， 解得：， ∴的解析式为：， 设， 则， ， 当时，有最大值为． （3）解：如图1，连接，交于点． ， ∴顶点， 设所在直线的解析式为：， 将代入函数解析式得， 解得， 故所在直线的解析式为：， ∵， ∴， 设所在直线的解析式为：， 将点坐标代入函数解析式，得， 故所在直线的解析式为：， 当时，， 即点的坐标为， 当点在点的右侧时， ∵，，， ，，， ， ∴是直角三角形， 是斜边， ∵， ∴， ∴， ∴为的中点， ∴经过的中点， ∴直线的解析式为， ∴点的坐标是． ∴综上所述，点的坐标是或． 【点睛】本题主要考查了用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、二次函数的性质、勾股定理等知识点，掌握分类讨论和数形结合的思想是解题的关键． 2．如图，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线经过点B、C，与x轴另一交点为A． (1)求抛物线的解析式； (2)若点M是抛物线上的一点，使得，请求出点M的坐标； (3)点在第一象限的抛物线上，连接．在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在， 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合) 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、一次函数和二次函数的交点问题等知识，分情况讨论是关键． （1）利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）分两种情况，求出直线m的表达式，和二次函数解析式联立求出答案即可； （3）连接，过点D作于点，交抛物线于点，交于点H，求出点，由中点坐标公式得，点，点B、H的坐标得直线的表达式为：，联立上式和抛物线的表达式得：，则（舍去）或，即可得到答案． 【详解】（1）解：当时， 当时，，解得， ∴点B、C的坐标分别为：， 由题意得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）∵， ∴过点O作直线交抛物线于点M，则点M为所求点， 设直线的表达式为， 则， 解得：， ∴直线的表达式为： ， 则直线m的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：，则， 即点或， 当M在上方时， 同理可得直线m的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：，此方程无解； 故点或； （3）由题意可得， ∴点， 连接，过点D作于点，交抛物线于点，交于点H， ∵， 则点T是的中点， 由（1）知，的表达式为：， 设点， ∵，， ∴ 解得 ∴, 解得， ∴点， 由中点坐标公式得，点， 由点B、H的坐标得，直线的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：，则（舍去）或， 则点． 3．如图，抛物线经过点、，交轴于点，点是抛物线上一动点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)当点的坐标为时，求四边形的面积； (3)若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)16 (3)或 【知识点】角度问题(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、求一次函数解析式 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点P作于T，根据列式求解即可； （3）取，连接，，证明，则线段与抛物线的交点即为所求；求出直线的解析式为，联立，解得或（舍去），则；如图所示，取，连接，同理可得，则直线与抛物线的交点即为所求；同理可得；则符合题意的点P的坐标为或． 【详解】（1）解：将点代入， 得 解得 ∴抛物线解析式为； （2）解∶如图所示，过点P作于T， ∵，，， ∴ ， ∴， ∴ ； （3）解：如图所示，取，连接，， ∵、，， ∴，，， ∴， ∴线段与抛物线的交点即为所求； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立，解得或（舍去）， ∴； 如图所示，取，连接，， 同理可得， ∴直线与抛物线的交点即为所求； 同理可知直线的解析式为， 联立，解得或（舍去）， ∴； 综上所述，符合题意的点P的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理等知识，解题的关键在于正确作出辅助线并利用数形结合的思想求解． 4．已知抛物线经过点和． (1)求抛物线的函数表达式； (2)抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，如图． ①求的面积； ②点在抛物线上，点在线段上（不与端点，重合），若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、角度问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，求抛物线与坐标轴的交点，角度问题； （1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）①分别令求得的坐标，根据三角形的面积公式，即可求解； ②先求出点坐标，当点在线段上时:是△DCE的外角，，而，所以此时，有，可求出所在直线的解析式，设点坐标，再根据两点距离公式，，得到关于的方程，求解的值，即可求出点坐标；当点在线段的延长线上时，根据题中条件，可以证明，得到为直角三角形，延长至，取，此时，，从而证明是要找的点，应为，为等腰直角三角形， 点和关于点对称，可以根据点坐标求出点坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和． ∴ 解得： ∴抛物线解析式为 （2）解：①在中，当时，，则有， 令，则有， 解得：， ∴，则 ∴ ②∵点在抛物线上 ∴ ∴点坐标 设所在直线解析式为，其过点、 有， 解得 ∴所在直线的解析式为： 当点在线段上时，设 而 ∴ ∴ ，， ∴ 解得：， 所以点的坐标为: 5．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于和B两点，与y轴交于点C． (1)求C点的坐标； (2)连接，D为抛物线上一点，当时，求点D的坐标． 【答案】(1)C点的坐标为 (2)D点的坐标为 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、一次函数、二次函数图象综合判断、角度问题(二次函数综合) 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式、二次函数和一次函数的交点问题等知识． （1）把代入抛物线解析可得．即可求出点C的坐标； （2）设与轴的交点为，由得到，则，求出，则，在中，，求出，得到，求出直线的解析式为，联立一次函数和二次函数解析式求出，即可得到答案． 【详解】（1）解：将代入抛物线解析可得： 解得：． ∴， 当时，， ∴C点的坐标为； （2）设与轴的交点为， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）可得：，令，则， 解得：，， ∴， ∴， 在中，，解得：， ∴， 设直线的解析式为， 将代入可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时， 解得：（不合题意，舍去）或， 当时，， ∴D点的坐标为： 6．如图1，抛物线与轴相交于两点，抛物线与轴相交于点． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)如图2，点是直线上方拋物线上一动点，求面积的最大值及此时点Q的坐标； (3)如图3，已知直线与轴分别相交于点，直线与相交于点，在第三象限内的抛物线上是否存在点P，使得？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由； 【答案】(1) (2)面积的最小值为，此时 (3)存在， 【知识点】角度问题(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了二次函数的综合问题，待定系数法求解析式，面积问题，角度问题； （1）将点代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）过点作轴交于点，进而得出的表达式，根据三角形的面积公式得出面积，进而根据二次函数的性质，即可求解； （3）先求得直线的解析式，得出，根据已知可得，取点，连接，得出，进而可得，即点在直线上，求得的解析式，联立抛物线解析式，即可求解． 【详解】（1）解：将点代入，得 解得：， ∴抛物线解析式为： （2）由，当时，， ∴， 设直线解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线解析式为， 如图所示，过点作轴交于点， 设，则，点是直线上方拋物线上一动点， ∴， ∴面积为 ∴当时，面积的最大值为， ∴ （3）设直线的解析式为，代入，得， 解得： ∴直线的解析式为 ∵已知直线与轴分别相交于点， ∴， ∴ ∵ ∴ 如图所示，取点，连接，则， 又， ∴ ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形，则 ∴， ∴点在直线上， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线的解析式为 联立 解得：或（舍去） ∴． 7．已知抛物线，经过点和点，抛物线上有一个点，它的横坐标为． (1)求此抛物线的解析式； (2)求的长； (3)若点是轴上方、轴左侧抛物线上的一个动点，是否存在这样的点，使？如果存在，请求出点坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【知识点】角度问题(二次函数综合)、用勾股定理解三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的解析式为； （2）求出，即得； （3）过作交延长线于，过作轴，过作轴交于，交轴于，由是等腰直角三角形，可得，可求出，即得直线解析式为，解可得的坐标． 【详解】（1）把和代入得： 解得 抛物线的解析式为； （2）在中，令得， ， ； （3）存在这样的点，使，理由如下： 过作交延长线于，过作轴，过作轴交于，交轴于，如图： ，， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， ， ，， ， 设直线解析式为，把代入得： ， 解得， 直线解析式为， 解得或 点在轴上方、轴左侧， 的坐标为． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形． 8．抛物线与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点．    (1)直接写出A，B，C三点的坐标为A______，B______，C______； (2)连接，若，求点P的坐标； (3)连接，是否存在点P，使得，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)点P的坐标为 (3)点P的坐标为 【知识点】角度问题(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合)、求一次函数解析式 【分析】（1）令，则，令，则，所以或，由此可得结论； （2）连接，设，则，列出方程求出m的值，进而可以解决问题； （3）在的延长线上截取，连接，过点B作轴，交于点E，连接，求出直线的解析式为：，直线的解析式为：，联立方程组即可解决问题． 【详解】（1）解：令，则， 令，则， 解得：或， ∴． 故答案为：； （2）解：如图，连接，    设， P是第一象限内抛物线上的一点， ， 则， ， ， ， ， ，即， 解得：或（舍去）， 当时，， ∴点P的坐标为； （3）解：存在点P使得，理由如下： 如图2，在的延长线上截取，连接，过点B作轴，交于点E，连接，    在中， ， ， ， ， 轴， ， ， ． 设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， 令，则， ， ， 设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， 联立：， 解得：（舍去）或， ∴点P的坐标为． 【点睛】此题是二次函数综合题，考查待定系数法求一次函数，面积问题，角度的存在性等相关内容，解本题（3）的关键是正确画出辅助线，确定点P的坐标． 题型二：二次函数与线段/周长综合问题 9．如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，E，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当的值最小时，点C的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、一次函数与几何综合 【分析】先求出点，求出，将点沿轴向下平移个单位，得到点，连接，，，易证得四边形是平行四边形，于是可得，由轴对称的性质可得，于是得到，即点是直线与抛物线对称轴的交点时，的值最小，利用待定系数法可求得直线的解析式，然后求得抛物线的对称轴，通过求解两条直线的交点即可得出答案． 【详解】解：令， 解得：， ， ， ， ， 如图，将点沿轴向下平移个单位，得到点，连接，，， 点沿轴向下平移个单位得到点， ， ， ， 抛物线的对称轴轴，且线段在抛物线的对称轴上，线段在轴上， ， 四边形是平行四边形， ， 抛物线是轴对称图形， ， ， 当、、三点共线，即点是直线与抛物线对称轴的交点时，的值最小， 在抛物线中， 令，则， ， 由平移的性质可得：点的纵坐标， ， 设直线的解析式为， 将，代入，得： ， 解得：， 直线的解析式为， 在抛物线中，其对称轴为直线， 要使的值最小，则点的坐标应满足， 解得：， ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平移的性质，二次函数的图象与性质，平行四边形的判定与性质，轴对称的性质，三角形三边之间的关系，求抛物线与轴的交点坐标，求抛物线与轴的交点坐标，因式分解法解一元二次方程，待定系数法求一次函数解析式，解二元一次方程组，两直线的交点与二元一次方程组的解等知识点，巧妙添加辅助线并运用数形结合思想是解题的关键． 10．已知二次函数 （1）该函数图象一定过定点，则该定点的坐标是 ． （2）已知点，若函数图象与线段有且只有一个公共点，则的取值范围是 ． 【答案】 或或 【知识点】求一次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、其他问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，以及二次函数与几何综合，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． （1）将原函数化为即可求解； （2）分二次函数图象左半部分与线段相交和二次函数图象与线段相切两种情况求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵当时，， ∴该定点的坐标是； （2）∵抛物线开口向上，且过定点， ①抛物线左半部分与线段相交， ∴， ∴． ②当二次函数与直线只有一个交点时， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， 与联立得， ， ∴， 由得， 或， ∴若函数图象与线段有且只有一个公共点，则的取值范围是：或或． 11．如图，已知二次函数的图象与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，作直线． (1)求直线的函数表达式； (2)P是第一象限内抛物线上一动点，过点P作于点Q，当线段取得最大值时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）利用待定系数法先求解抛物线为，再求解，，再求解一次函数的解析式即可； （2）如图，过作轴交于，连接，，设，则，，再利用二次函数的性质可得答案． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴交于， ∴， ∴， ∴， 令，则， 解得：，， ∴， 令时，， ∴， 设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为； （2）解：如图，过作轴交于，连接，， 设，则， ∴， ∴， 当时，面积最大，而为定值， ∴此时最大， ∴． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数，二次函数的解析式，二次函数与面积问题，线段问题，熟练的利用二次函数的性质解题是关键． 12．如图，A、B为一次函数的图象与二次函数的图象的交点，点A在y轴上，点B的横坐标为5．P为二次函数的图象上的动点，且位于直线的下方． (1)求点A的坐标； (2)求二次函数的表达式； (3)过P作轴于点M，交直线于点N，设点M的横坐标为m，当时，求m的值． 【答案】(1) (2) (3)2 【知识点】由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点、待定系数法求二次函数解析式、用勾股定理解三角形、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】（1）令求解即可； （2）用待定系数法求解即可； （3）设，，得出，证明是等腰直角三角形得，求出，然后根据列方程求解即可． 【详解】（1）当时，， （2）点B的横坐标为5，且点B在x轴上， 把，两点分别代入中， 得， 解得： 所求二次函数的表达式为． （3）设，， ，， ，即是等腰直角三角形 轴，即是等腰直角三角形 ， ． ， ， 解得，．（不符，舍去） 的值为2 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，待定系数法求一次函数解析式，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识，数形结合是解答本题的关键． 13．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，点是直线上方的抛物线上的一个动点（不与点，重合），过作轴的垂线，垂足为，交直线于点． (1)求抛物线的表达式： (2)若点的横坐标为，用含的代数式表示； (3)过点作于点，当的值最大时，求点的坐标及的最大值． 【答案】(1) (2) (3)当PQ取最大值时，点P的坐标为，的最大值为 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的最值、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，翻折变换，等腰直角三角形三边关系等，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度． （1）用待定系数法可得该抛物线的表达式为； （2）求出直线的表达式为，进而表示出的坐标，即可求解； （3）由点，，可得，根据的长，根据二次函数性质即可求解． 【详解】（1）解：把点，代入，得： 解得： 抛物线的表达式为； （2）设直线的表达式为， 把，代入，得： 解得 直线的表达式为． 点的横坐标为， ， （3）如图 点，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ，则时有最大值 此时 当取最大值时，点的坐标为，的最大值为． 14．如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴的负半轴交于点． (1)求二次函数的解析式． (2)若点是这个二次函数图象在第二象限内的一点，过点作轴的垂线与线段交于点，求线段长度的最大值． 【答案】(1) (2) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，求直线解析式，函数最值问题，将线段列出函数关系式利用最值确定线段的最大值的解题思路是关键． （1）将点B坐标代入即可求出解析式； （2）先求出直线的解析式为，设点P的坐标为，则点C的坐标为，列出线段的关系式配方即可得到的最大值． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过， ∴， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）∵二次函数的解析式为， ∴时，， ∴， 设直线的解析式为， 把代入，得， 解得， 所以直线的解析式为 设点的坐标为． 则点的坐标为． 因为点在点的右边， 所以 ． 因为点是这个二次函数图象在第二象限内的一点， 所以， 所以当时，线段的长度有最大值，最大值为． 15．如图，已知抛物线与x轴分别交于点，与y轴交于点C，点Q是抛物线上一点． (1)求抛物线的解析式： (2)若点Q在直线下方的抛物线上，过点Q作轴于点D，交直线于点E，作于点F，当时，求点Q的坐标． 【答案】(1) (2) 【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、求一次函数解析式 【分析】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及待定系数法求二次函数解析式，线段问题等知识． （1）利用待定系数法求二次函数解析式即可． （2）先求出，再得出，结合已知条件分别得出为等腰直角三角形，利用待定系数法求出直线的解析式，设点，则点，进而由等腰直角三角形的性质可得出，，根据得出关于x的一元二次方程，求解即可得出答案，并选择点Q在直线下方的抛物线上的点即可． 【详解】（1）解：由已知可设：， 则，得： 进而有 所以抛物线的解析式为： （2）解：由（1）知：， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为：， 则， 解得： ∴的解析式为：， 设点，则点， 则， 而， ∵， 即， 解得：（舍去）或， 即点； 16．如图，已知二次函数的图象经过、两点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使的周长最小？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； 【答案】(1) (2)存在， 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数图象上点的坐标特征，熟知待定系数法及二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式即可解决问题． （2）根据轴对称的性质，连接交对称轴于点，连接，此时的周长最小． 据此可解决问题． 【详解】（1）∴二次函数的图象经过、两点． ∴ 解得： ∴二次函数的解析式为： （2）解：存在，理由如下： ∵点，抛物线的对称轴是， ∴点关于对称轴的对称点的坐标为， 连接交对称轴于点，连接，此时的周长最小． 设直线的解析式为，把和代入得： 解得 ∴， ∵点的横坐标为， ∴， ∴点的坐标为 17．【综合与实践】如图，抛物线与轴交于和两点，与轴交于点，直线的解析式为．点为线段上的一个动点，过作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为．探究线段的长度变化情况． （1）写出点的坐标，并求抛物线的解析式； 【类比操作】因为点在直线上，且点和的横坐标都为，所以把代入得，故点的坐标为． （2）用以上方法，请用含的式子表示点的坐标； 【探索发现】直线平行于轴，故线段的长度可以用点的纵坐标与点的纵坐标的差表示，线段的值随着点的运动而变化． （3）求线段的长度与的函数解析式，并求出它的最大值． 【答案】（1）点坐标为，抛物线解析式为，（2），它的最大值． 【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的最值、待定系数法求二次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题是二次函数的综合题，难度适中，考查了利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式、二次函数的最值，此题将线段的最值转化为二次函数的最值问题． （1）把A、C两点代入抛物线的解析式中列方程组可求得b、c的值，根据直线的解析式为可得C的坐标，由此即可确定抛物线解析式； （2）根据点在抛物线解析式上，由解析式即可表示点的坐标， （3）由，，其纵坐标的差就是的长，配方后求最值即可； 【详解】解：（1）∵直线的解析式为与轴交于点，即，， ∴点坐标为， 又∵点是抛物线与轴的交点； ∴， ∴抛物线解析式为， （2）∵点在抛物线解析式上， ∴当代入得， 即点 （3）∵P在线段上运动 ∴M点在N点上方， ∵， ∴ ∴当时，有最大值，的最大值为 题型三：二次函数与面积最值综合 18．如图已知二次函数图象与x轴交于A，C两点，与y轴交于点B． (1)连接，求直线的解析式； (2)点P为该二次函数图象在第一象限上一点，当的面积最大时，求P点的坐标． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一次函数解析式、y=ax²+bx+c的最值、求抛物线与y轴的交点坐标、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）求出，两点坐标，利用待定系数法求解； （2）过点作轴交于点，设，则，然后构建二次函数，利用二次函数的性质求解． 【详解】（1）解：对于， 令，则， ， 令，可得， 解得或， ，， 设直线的解析式为， ， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：过点作轴交于点， 设，则， ， ， ∵，， 当时，的面积最大，面积的最大值为2，此时． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，待定系数法求函数的解析式，二次函数的图象上的点的坐标特征，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 19．如图，已知二次函数经过点，，与轴交于另一点，抛物线的顶点为． (1)求此二次函数解析式； (2)抛物线与关于坐标原点对称，则在上是否存在点，使得？若存在，求出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数综合—面积问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出，得到，由题意可得抛物线的解析式为，设，结合，得出，计算即可得解． 【详解】（1）解：把点，代入二次函数中得：， 解得， ∴此二次函数解析式为； （2）解：存在， 如图：作轴于，连接， 在中，当时，， 解得：或， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，，，，， ∵抛物线与L关于坐标原点对称， ∴抛物线的解析式为， 设， ∵， ∴ ； ∴ 当时，，即 解得， 当时，；当时，； 当时，即， 此方程无实数解； 综上所述：符合条件的点的坐标为：或． 20．如图，已知二次函数 的图象与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，其中． (1)求二次函数的表达式； (2)若P是二次函数图象上的一点，且点P在第二象限，线段交x轴于点D，的面积是的面积的2倍，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题考查求二次函数表达式、二次函数的图象与性质、解一元二次方程、三角形面积等基础知识，考查运算能力、推理能力、几何直观等. （1）根据待定系数法求解即可； （2）设，由点在第二象限得到．依题意，得，即可得出，求出，再建立一元二次方程，求出，即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：将代入， 得， 解得， 所以，二次函数的表达式为； （2）解：设，因为点在第二象限，所以． 依题意，得，即，所以． 由已知，得， 所以． ∴， 解得（舍去）， 所以点坐标为． 21．已知，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点． (1)求点A、B、C三点的坐标； (2)过点A作交抛物线于点P，求四边形的面积； (3)在（2）的条件下，在线段上是否存在一点M，使的周长最小？若存在，请直接写出周长的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)16 (3)存在， 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标、求抛物线与y轴的交点坐标、线段周长问题(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）分别令，求出点和点，点的坐标即可； （2）先求出直线的解析式，进而求出的解析式，联立抛物线解析式组成方程组求出点的坐标，再利用分割法来求解即可； （3）延长到点，使，过点作轴于点，连接，则与的交点即为点，易得到，进而求出点，易得到解析式，联立直线解析式组成方程组求解． 【详解】（1）解：当时，， 解得； 点坐标为点坐标为； 当时，， 点坐标为． （2）解：， ∴设直线的解析式为：，把代入，得：； 直线解析式：． ，设直线的解析式为：，把代入得： ； 则直线解析式为：， 联立解析式有： 解得，； 点坐标为； ． （3）解：存在． 延长到点，使，过点作轴于点，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ， 与关于对称，且为的中点， 点坐标为，， ∴的周长为：， ∴当在线段上时，的周长最小， 同（2）法可得：直线的解析式为； 联立方程组， 解得 点的坐标为； 此时，， 的周长最小值为； 在线段上存在一点，使的周长最小为． 【点晴】本题考查了二次函数图象与坐标轴交点的坐标的求法，函数图象交点坐标的求法，图形面积的求法，最短路径，二元一次方程组的解法，理解二次函数的图象和性质是解答关键． 22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线为常数，且与直线交于两点，与轴的另一个交点为，与轴交于点． (1)求拖物线的函数表达式； (2)连接，点是直线上方抛物线上的一个动点，连接，是否存在点使得 ？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在；或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题主要考查了二次函数与几何图形，求二次函数的关系式，二次函数与一元二次方程， （1）先求出点D的坐标，再将点A，D的坐标代入二次函数关系式，求出解即可； （2）过点作轴交于点，先求出点B的坐标，进而求出，可得，再设点的坐标为，表示点的坐标，然后表示出，根据得出方程，求出解即可． 【详解】（1）解：将代入，得， 点的坐标为． 将和代入， 得 解得 抛物线的函数表达式为． （2）解：存在点使得． 过点作轴交AD于点， 令，则， 解得， 点的坐标为，则， ， ． 设点的坐标为，则点的坐标为， ． ， ，即， 解得， 点的横坐标为或． 23．如图，抛物线交轴于点，交轴于点，连接，若． (1)求抛物线的解析式； (2)点是第一象限抛物线上的一点，连接，若的面积最大时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【知识点】面积问题(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的最值、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了二次函数与面积的综合问题，待定系数法求函数解析式等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）运用待定系数法即可求解； （2）首先的坐标为，求出直线的解析式为，过点作轴交与点，设，则可求，那么，即可求解最值． 【详解】（1）解：∵， ∴， 抛物线经过两点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：当时，， ∴的坐标为， 设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为， 过点作轴交与点， 设， ∵轴， ∴， ∴ ∵， ∵， ∴当时，的面积取得最大值，此时点． 24．如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点． (1)写出、、的坐标； (2)当时，求函数值的取值范围； (3)若点是第四象限内抛物线上一动点，连接、、，求的面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3)最大值为 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、求抛物线与x轴的交点坐标、求抛物线与y轴的交点坐标、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题考查二次函数的综合应用，二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）分别令，进行求解即可； （2）根据二次函数的增减性进行求解即可； （3）连接，分割法表示出的面积，利用二次函数求最值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，当时，解得：， ∴； （2）∵， ∴对称轴为直线， ∴当时，函数有最小值为， ∵， ∴当时，， 当时，， ∴当时，； （3）连接， ∵， ∴， 设点， ∴ ， ， ∵点P是第四象限内抛物线上一动点， ∴， ∴当时，S有最大值，最大值为． 题型四：二次函数与平行四边形存在性问题 25．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，且点坐标为，点坐标为． (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，若点是第二象限内抛物线上一动点，求点到直线距离的最大值； (3)如图2，若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，满足条件的点M的坐标有或或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】（1）将两个点的坐标代入关系式，求出解即可； （2）过作于点，过点作轴交于点，根据已知条件确定是等腰直角三角形，可得，根据最大时，最大，然后求出直线解析式，并表示出，讨论极值，可得答案； （3）当平行四边形以为平行四边形的边时和以为对角线时，讨论得出答案． 【详解】（1）解：∵点，点在抛物线 的图象上， ， 解得：，， 抛物线的解析式为． （2）解：过作于点，过点作轴交于点，如图1： ∵抛物线与轴交于点， ∴点的坐标为， 又， ， 是等腰直角三角形， ， 轴， ， 是等腰直角三角形， ， 当最大时，最大， 设直线解析式为， 将代入得， ， 直线解析式为， 设， 则， ， ， 当时，最大为， 此时最大为，即点到直线的距离值最大． （3）解：存在，满足条件点的坐标为或或，理由如下， 当以为平行四边形的边时，如图2， 点，， ， 即， 解得， ， 点的坐标为； 当以为平行四边形的边长时，如图3， 点，， ， 即， 解得， ， 点的坐标是； 当以为对角线时，如图4， ，， 线段的中点的坐标为，即， ， 解得， ， 点的坐标是． 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，待定系数法求二次函数关系式，等腰直角三角形的性质和判定，求直线解系式，平行四边形的判定，根据横坐标的差表示线段的长等，解题的关键是注意多种情况讨论，不能丢解． 26．在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点，与x轴交于A，B两点，对称轴是直线，连接，． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，若点M为直线上方的抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交于点N，过点M作x轴的平行线，交直线于点Q，求的最大值； (3)如图2，点E是抛物线上一点，点D在x轴上，若平面内以点A、D、C、E为顶点的四边形是平行四边形，求出点E的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出直线的解析式为；设，则，，求出，得出，，表示出，再由二次函数的性质求解即可； （3）由题意可设，，分三种情况：当为对角线时；当为边时，平行四边形为时；当为边时，平行四边形为时；分别利用平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与y轴交于点，对称轴是直线， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：在中，令，则， 解得：，， ∴，， 设直线的解析式为， 将，代入直线解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为； 设，则，， 在中，当时，， 解得，即， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，的值最大，为； （3）解：由题意可设，， ∵平面内以点A、D、C、E为顶点的四边形是平行四边形，， ∴当为对角线时，由平行四边形的性质可得， 解得：或（不符合题意，舍去）， 此时点的坐标为； 当为边时，平行四边形为时，由平行四边形的性质可得， 解得：或（不符合题意，舍去）， 此时点的坐标为； 当为边时，平行四边形为时，由平行四边形的性质可得， 解得：或， 此时点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、求一次函数的解析式、二次函数综合—线段周长问题、二次函数综合—特殊的四边形，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 27．如图，在平面直角坐标系中已知抛物线与直线都经过两点，该抛物线的顶点为． (1)求此抛物线的解析式． (2)设点是直线下方抛物线上的一动点，连接，，请求出的最大面积是多少． (3)设直线与该抛物线的对称轴交于点，点为射线上一点，过作轴的垂线交抛物线于点，是否存在点，使点，，，是平行四边形的四个顶点？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数求最值问题，平行四边形的性质，利用数形结合思想和分类讨论思想解决问题是本题的关键． （1）利用待定系数法求二次函数； （2）作轴交直线于点，求得直线的解析式，设，则，先表示出，利用三角形面积公式得到，然后根据二次函数的性质解决问题； （3）先求出点坐标和点坐标，则，分两种情况讨论：①若点在轴下方，四边形为平行四边形，则；②若点在轴上方，四边形为平行四边形，则，设，则，可分别得到方程求出点的坐标． 【详解】（1）解：抛物线经过两点， ，解得， 抛物线的解析式为， （2）如图，作轴交直线于点， 直线经过两点， ，解得， 直线的解析式为； 设，则， ， ， ， 当时，面积有最大值，最大值是； （3）存在，理由如下： ， 抛物线的顶点的坐标为， 轴， ， ， ①如图，若点在轴下方，四边形为平行四边形，则， 设，则， ， ， 解得：，舍去， ； ②如图，若点在轴上方，四边形为平行四边形，则， 设，则， ， ， 解得：或 舍去， ， 综上可得点的坐标为或． 28．如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，抛物线经过点A，B． (1)求k的值和点B的坐标； (2)求抛物线的表达式； (3)为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线及抛物线分别交于点P，N．若以O，B，N，P为顶点的四边形是平行四边形时，求m的值． 【答案】(1)，， (2) (3)或． 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数的综合运用和数形结合思想，理解二次函数最值的求法是解题的关键． （1）利用待定系数法将代入即可得到及函数解析式，进一步即可得到点B的坐标； （2）利用待定系数法求出答案即可； （2）根据平行四边形的性质即可得到，分两种情况得到的值． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴解得， ∴直线的解析式为， ∴， （2）把分别代入， 解得， ∴抛物线的解析式为， （3）解：∵， ∴P，N， 有两种情况： ①当点在点的上方时， ， ∵四边形为平行四边形， ∴，即， 解得， ②当点在点的下方时，， 同理，， 解得 ， 综上所述，的值为或． 29．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点F为抛物线上一点，点E为直线上一点，当以A，B，E，F为顶点的四边形是以为边的平行四边形时，求点F的坐标． 【答案】(1) (2)点F的坐标为，，， 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】此题考查了二次函数图象和性质、平行四边形的性质等知识，数形结合是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）画出图形根据平行四边形的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴将，，代入得： ， 解得， ∴该抛物线的函数表达式为； （2）∵点F为抛物线上一点， 设， ∵点E为上一点， 设， 当以A，B，E，F为顶点的四边形是以为边的平行四边形时， ，解得或， ∴点F的坐标为，，，． 30．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的表达式． (2)点是抛物线上位于线段下方的一个动点，连接，，求面积最大时点的坐标： (3)在平面内是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)点的坐标为 (3)存在，或或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、利用平行四边形的性质求解、面积问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】（1）利用抛物线的交点式直接代值求解即可得到答案； （2）过点作轴的垂线，交于，如图所示，由二次函数图象与性质，利用平面直角坐标系中三角形的面积求法得到 ，进而由二次函数最值的求法即可得到答案； （3）根据平行四边形的对角线互相平分，则逐个情况进行讨论，运用中点公式列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于，两点， 设抛物线的交点式为， 即抛物线的表达式为； （2）解：过点作轴的垂线，交于，如图所示： 由（1）知抛物线的表达式为， 抛物线与轴交于点， 设直线， 将、代入得， 解得， 直线， 点是抛物线上位于线段下方的一个动点， 设，则， ， ， 抛物线开口向下，当时，有最大值， 此时点的坐标为； （3）解：存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，过程如下： ∵、，，且点，，，为顶点的四边形是平行四边形， ∴当为对角线时，则， ∴， 解得， ∴点的坐标为； ∴当为对角线时，则， ∴， 解得， ∴点的坐标为； ∴当为对角线时，则， ∴， 解得， ∴点的坐标为； 综上所述：点的坐标为或或． 【点睛】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法确定函数解析式、二次函数图象与性质、平面直角坐标系中求三角形面积、二次函数最值、平行四边形的性质，中点公式，熟练掌握二次函数图象与性质、二次函数综合问题的解法是解决问题的关键． 31．如图，已知抛物线，与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，且，点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若抛物线的顶点为，抛物线的对称轴交直线于点，点为直线右侧抛物线上一点，点在直线上，是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的函数表达式为； (2)存在，点的坐标为或或． 【知识点】特殊四边形(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、求一次函数解析式 【分析】（）由，，，求出，，然后利用待定系数法即可求解； （）先求出直线解析式为，设，，则分当为边时，四边形为平行四边形时；当为边时，四边形为平行四边形时；当为对角线时，四边形为平行四边形时三种情况，然后根据中点坐标即可求解； 本题考查了二次函数和一次函数的性质，待定系数法求解析式，二次函数与平行四边形的关系，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵抛物线，与轴交于，两点与轴交于点， ∴，解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：存在点，理由如下， ∵，， ∴设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线解析式为， ∵点在直线上， ∴设， ∵点为直线右侧抛物线上一点， 设， 由抛物线的函数表达式为， ∴， ∴当时，， ∴， 当为边时，四边形为平行四边形时，如图， 由中点坐标可得：， 解得：或（舍去）， ∴点； 当为边时，四边形为平行四边形时，如图， 由中点坐标可得：， 解得：或（舍去）， ∴点； 当为对角线时，四边形为平行四边形时，如图， 由中点坐标可得：， 解得：或（舍去）， ∴点，此时与点重合； 综上可知：点的坐标为或或． 题型五：二次函数与菱形存在性问题 32．已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左边），与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)若将抛物线沿轴向右平移得到抛物线，平移后点的对应点为点，点是平面内任意一点，是否存在以、、、四个点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)存在，点的坐标为或或或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，菱形的性质，勾股定理，解题的关键是分类讨论． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出点，点，得到，过点作轴于点，根据菱形的性质求解即可． 【详解】（1）解：将点代入抛物线得：， 解得：， 抛物线的表达式为； （2）存在以、、、四个点为顶点的四边形是菱形，理由如下： ， 令，则， 解得：，， 点，点． ， 如图，当四边形为菱形时，，过点作轴于点， 四边形为菱形， ， ， ， ， 同理，如图，当四边形为菱形时，，， ． 同理，如图，当四边形为菱形时，，， ， 当四边形为菱形时，设交于点，则， ， ； 综上所述，点的坐标为或或或． 33．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，点，与轴交于点，点的坐标为，点是抛物线上一个动点． (1)求二次函数解析式； (2)连接，，并把沿翻折，那么是否存在点，使四边形为菱形；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)二次函数的解析式为； (2)存在，P（或． 【知识点】特殊四边形(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（）将点，点，代入，然后求解即可； （）设点，交于点，然后根据菱形的性质得，，最后解方程即可； 此题考查了待定系数法，二次函数与特殊四边形等知识，掌握知识点的应用及数形结合是解题的关键． 【详解】（1）解：将点，点，代入， 得， 解得， ∴二次函数的解析式为， （2）解：存在，如图，设点，交于点， 若四边形是菱形，连接，则，， ∴， 解得，， ∴或． 34．如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点，连接，点为线段上一个动点（不与点C，B重合），过点P作 轴交抛物线于点Q． (1)求抛物线的表达式和对称轴； (2)设P的横坐标为t，请用含t的式子表示线段的长，并求出线段的最大值； (3)已知点M是抛物线对称轴上的一个点，点N是平面直角坐标系内一点，当线段取得最大值时，是否存在这样的点M，N，使得四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，抛物线的对称轴为直线； (2)，的最大值为 (3)存在，点M的坐标为或．理由见解析 【知识点】特殊四边形(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的最值、y=ax²+bx+c的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）利用两点式写出函数解析式，再根据对称轴计算公式进行求解即可； （2）先求出直线的表达式，再设点，求出，最后利用二次函数的性质即可求出的最大值； （3）当四边形是菱形时，，设点，可列方程，求出m的值，即得答案． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为， 因为抛物线与x轴交于点，， 所以，则抛物线的对称轴为直线． （2）解：由抛物线表达式得：C点坐标为， 设直线的表达式为，将点B的坐标代入上式得， 故直线的表达式为， 设点，则点， 则， ，故有最大值，当时，的最大值为． （3）解：存在，理由如下： 当时，点， 设点，而点； 四边形是菱形，则， 即，解得：， 即点M的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的交点式、求一次函数的解析式、二次函数的图象与性质、菱形的性质等知识点，熟练掌握二次函数的图象及性质及菱形的性质是解题的关键． 35．如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，且，E是线段上的一个动点，过点E作直线垂直于x轴交直线和抛物线分别于点D、F． (1)求抛物线的解析式； (2)设点E的横坐标为m．当m为何值时，线段有最大值，并写出最大值为多少； (3)若点P是直线上的一个动点，在坐标平面内是否存在点Q，使以点P、Q、B、C为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，有最大值，且最大值为 (3)存在，或或或 【知识点】特殊四边形(二次函数综合)、线段周长问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、求一次函数解析式 【分析】（1）根据，，运用待定系数法即可求解； （2）根据，，求出直线的解析式，根据点的横坐标为，可用含的式子表示点，，的坐标，由此可得的长关于的二次函数，根据最值的计算方法即可求解； （3）首先求出，且，然后设，表示出，，，然后分，，三种情况讨论，然后分别根据菱形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，点的坐标为， ∴， ∵， ∴，则， 把，代入二次函数解析式得， ， 解得，， ∴二次函数解析式为； （2）解：由（1）可知，二次函数解析式为，且，， ∴设直线所在直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∵点的横坐标为，直线垂直于轴交直线和抛物线分别于点， ∴点的横坐标为， ∴，， ∴， ∴当时，有最大值，且最大值为； （3）解：∵二次函数的图象与轴交于两点，且， ∴令时，，则，， ∴，且 ∵直线的解析式为，点P是直线上的一个动点， ∴设 ∴，， ∴当时 ∴ ∴ ∴， ∴当时， ∴ ∴如图所示，当四边形是菱形时 ∴ ∴ ∴ ∴； 当时， ∴ ∴如图所示，当四边形是菱形时 ∴ ∴ ∴ ∴； ∴时 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴如图所示，四边形是菱形 ∴ ∴ ∴ ∴； 当时， ∴ ∴ ∴或（舍去） ∴当时， ∴ ∴如图所示，四边形是菱形 ∴ ∴ ∴ ∴； 综上所述，存在点使得以点为顶点的四边形是菱形，且Q的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查二次函数与特殊四边形的综合，勾股定理，掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，菱形的判定和性质等知识是解题的关键． 36．综合与探究 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)图2中，对称轴直线与轴交于点H，连接，求四边形的面积； (3)点是直线上一点，点是平面内一点，是否存在以BC为边，以点B，C，F，G为顶点的菱形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、用勾股定理解三角形、面积问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】（1）因为抛物线经过点，两点，所以由待定系数法即可求解； （2）先待定系数法求出直线的表达式为：，再由四边形的面积，即可求解； （3）分两种情况：①当为边，为对角线时；②当为边，为对角线时，根据菱形的性质即可求解． 【详解】（1）抛物线经过点，两点， ， 解得：， 抛物线的解析式为：． （2）解：由抛物线的表达式知，点，其对称轴为直线，点， 连接交直线于点， 设直线的表达式为 把，代入 得 解得 直线的表达式为：， 当时，， 即点， 则， 则四边形的面积 ； （3）解：由（2）得抛物线的对称轴为直线， 设点F的坐标为， ①当为边，为对角线时，， ， ， 解得， 点F的坐标为或； ②当为边，为对角线时，， ， ， 解得， 点F的坐标为或， 综上所述，点F的坐标为或或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式、二次函数与坐标轴的交点、面积的计算，菱形的性质，勾股定理等知识点，数形结合、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 37．如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形面积S的最大值及此时D点的坐标； (3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在，； 【知识点】特殊四边形(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合)、利用菱形的性质求线段长、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数，二次函数及其图象性质，勾股定理，菱形性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握相关二次函数和菱形性质． （1）先求得两点的坐标，再根据对称轴是直线，列方程组求解即可； （2）作于，交于，根据点和点坐标可表示出的长，进而表示出三角形的面积，进而表示出的函数关系式，进一步求得结果； （3）设点P的坐标为：，根据勾股定理求出，根据菱形性质可得，进而求得点的坐标，根据菱形性质，进一步求得点坐标． 【详解】（1）解：对于，当时，，当时，， ∴点A的坐标为，点C的坐标为， 又∵对称轴是直线：， ∴，解得：， ∴抛物线的表达式为：； （2）解：对于，当时，， 解得：，， ∴点B的坐标为， 又∵点，点， ∴，，， 过D作轴于E，交于E， ∵点D在第二象限内的抛物线上，且横坐标为m， ， ， ， ， ， ， 当时，S有最大值，， 当时， ； （3）存在点P和点Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形，理由如下： ∵点P在抛物线的对称轴上， ∴可设点P的坐标为：， ∵以A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形， ∴，与互相垂直平分， 设直线与x轴交于点F，过点P作轴，与交于点K， ∵点， ∴，，，， ∴，， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ， ， ∴， 解得：， ∴点P的坐标为， 设点K的坐标为， ∵点K为的中点， ∴，， 设点Q的坐标为， ∵点K为的中点， ∴，， 解得：，， ∴点Q的坐标为． 38．如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求三角形面积的最大值及此时点的坐标； (3)若点在抛物线对称轴上，是否存在点，，使以点，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出，两点的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)存在，， 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质： （1）令，时，分别代入，求得点，，的坐标，设抛物线的表达式为，将代入，即可求得答案； （2）作于点，交于，可得，可得，根据二次函数的图象和性质，即可求得答案； （3）设，可得，，根据，可求得，结合， 即可就得答案． 【详解】（1）解：令时，代入， ∴ ． ∴． 令时，代入， ∴ ． ∴ ． ∵对称轴为直线， ∴． 设抛物线的表达式：，将代入，得 ． ∴． ∴抛物线的表达式为：． （2）如图所示， 作于点，交于． ∴，．     ∴． ∴． ∴当时， ． ∴． （3）存在，理由如下： 设． ∵，， ∴，． ∵以，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形， ∴，即． ∴． ∴． ∴． ∵， ， ∴，． ∴． 39．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点，点B的坐标为，点P是抛物线上一个动点，且在直线的上方．    (1)求该二次函数的解析式； (2)求点A的坐标； (3)连接，当点P运动到什么位置时，的面积最大？请求出点P的坐标和面积的最大值； (4)连接，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)当点P的坐标为时，有最大值，且最大值为； (4)存在点P，使四边形为菱形；点P的坐标为 【知识点】特殊四边形(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合)、求抛物线与x轴的交点坐标、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）将、代入即可求解； （2）解一元二次方程即可； （3）过点作轴，求出直线的解析式，设点，则，根据即可建立函数关系式求解； （4）设点，交轴于点，若四边形为菱形，则，可推出，据此即可求解； 【详解】（1）解：将、代入得： ， 解得：， ∴ （2）解：令，解得， ∴点A的坐标 （3）解：设直线的解析式为：， 将代入得：， 解得：； ∴直线的解析式为：， 过点作轴，如图所示：      设点，则 ∴当，即点时，有最大值，且最大值为； （4）解：设点，交轴于点，如图所示：    若四边形为菱形，则， ∴ 即： ， 解得：（舍） ∴点P的坐标为 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，涉及了待定系数法，二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数与面积问题，二次函数与特殊四边形问题，掌握函数的性质是解题关键． 40．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于A，B点，与y轴交于点，点B的坐标为，点P是抛物线上一个动点． (1)求二次函数解析式； (2)若P点在第一象限运动，当P运动到什么位置时，的面积最大？请求出点P的坐标和面积的最大值； (3)连接，并把沿翻折，那么是否存在点P，使四边形为菱形；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标为，的面积最大． (3)存在，或 【知识点】特殊四边形(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法、二次函数图象与面积问题、二次函数与特殊四边形等知识，数形结合是解题的关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）设，求出直线的解析式为，设，得到，根据二次函数的性质解答即可； （3）设点，交于点E，若四边形是菱形，连接，则，，得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：将，代入， 得， 解得， ∴二次函数的解析式为． （2）设， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 设， ∴ 当时，的面积最大， ， 此时，点的坐标为，的面积最大值为． （3）存在．如图，设点，交于点E， 若四边形是菱形，连接，则，， ∴， 解得， ∴或 题型六：二次函数与矩形存在性问题 41．如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于、两点，抛物线经过、两点，且交轴于另一点．点为抛物线在第一象限内的一点，过点作，交于点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)设点的横坐标为，在点的移动过程中，存在，求出的值； (3)在抛物线上取点，在平面直角坐标系内取点，问是否存在以、、、为顶点且以为边的矩形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在以、、、为顶点且以为边的矩形，此时点的坐标为或． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、角度问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，矩形的性质等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）根据一次函数的解析式求出点的坐标，再利用待定系数法求解即可得； （2）先根据求出，从而可得，再根据平行线的判定可得，从而可得点的纵坐标与点的纵坐标相同，即为3，由此即可得； （3）设点的坐标为，分两种情况：①四边形是矩形，②四边形是矩形，先联立二次函数和一次函数的解析式求出点的坐标，再根据矩形的性质求解即可得． 【详解】（1）解：一次函数， 当时，，即， 当时，，解得，即， 把，代入得， 解得， 则抛物线的解析式为． （2）解：，， ， ， ， ， ， 点的纵坐标与点的纵坐标相同，即为3， 当时，，解得或（舍去）， 则． （3）解：存在，求解如下： 设点的坐标为， ①当四边形是矩形时，则， ∵直线的解析式为， ∴设直线的解析式为， 把点代入得， 直线的解析式为， 联立，解得或（即为点，舍去）， ， ②当四边形是矩形时，则， 设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， 则直线的解析式为， 联立，解得或（即为点，舍去）， ， 综上，存在以、、、为顶点且以为边的矩形，此时点的坐标为或． 42．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是x轴上一点，点E是平面内任意一点，当以点A、C、P、E为顶点的四边形是矩形时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】（1）由抛物线与x轴交于，两点，设，再把代入利用待定系数法求解即可； （2）分两种情况讨论：如图，当为矩形对角线时，当为对角线时，如图，再结合图形求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴设， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线为：； （2）如图，当为矩形对角线时， ∵，，矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴； 当为对角线时，如图， 由矩形可得， 此时，重合， ∴； 综上：或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，矩形的性质与判定，利用数形结合的方法解题是关键． 43．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于、两点，交轴于点． (1)求点、、的坐标； (2)将抛物线向右平移1个单位，得到新抛物线，点在坐标平面内，在新抛物线的对称轴上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)存在，点的坐标为或 【知识点】特殊四边形(二次函数综合)、求抛物线与y轴的交点坐标、求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】（1）分别令和，求解即可； （2）先求得平移后的抛物线的解析式，再分情况讨论：当为对角线时，当为对角线时，根据矩形的性质求解即可． 【详解】（1）解：令，则， 解得，， ， 令，则， ． （2） ， ， 对称轴为． 当为边时，分两种情况： 当为对角线时，连接，过点作的垂线，交于点，交轴于点， ，， ， ， ． 设所在直线解析式为， 将，代入得，， 解得， 所在直线解析式为， 当时，． ． 当为边时，同理过点作的垂线，交于点，交轴于点， 易得所在直线解析式为，则与对称轴l的交点坐标为． 当为对角线时，也为对角线，易得，由图可知此时点不可能在上， 此种情况不存在． 综上，在新抛物线的对称轴上存在点，使得以、、、为顶点的四边形是矩形，点的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，矩形的性质，分类讨论是解题的关键． 题型七：二次函数与等腰三角形存在性问题 44．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求直线和抛物线的解析式． (2)若是抛物线对称轴上的一点，是否存在点，使得以三点为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点M坐标为或或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、已知两点坐标求两点距离、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）直接利用待定系数法求解解析式即可； （2）先求出抛物线的对称轴为直线，设，可得，，，再分类讨论即可； 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，，与轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线为：； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设， ∵， ∴，， ， 当时， ∴， 解得：， ∴或； 当时， ∴， 解得：， ∴， 综上：点M坐标为或或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，勾股定理的应用，等腰三角形的定义，二次函数的图象与性质，清晰的分类讨论是解本题的关键． 45．如图，抛物线（a、c为常数，）与x轴交于点两点，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点P是抛物线上的一个动点，连接，若是以为底边的等腰三角形，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、等腰三角形的定义、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】本题考查用待定系数法解抛物线的解析式、抛物线与坐标轴的交点、求直线的解析式、直线与抛物线的交点、等腰三角形的性质、二元一次方程组的解法等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． （1）将点A，B代入抛物线解析式中，转化为解二元一次方程组，解方程组，即可解答； （2）求出点C的坐标，可判断出是等腰直角三角形．由是以为底边的等腰三角形，可知，连接，即平分．      过点P作轴于点D，轴于点E，则． 设点P的坐标为，则，求出m值，即可解答． 【详解】（1）解：将代入， 得                              解得 该抛物线的函数表达式为． （2）当时，，则点C的坐标为， 是等腰直角三角形．                         由是以为底边的等腰三角形，可知，连接， 点P，O在线段的垂直平分线上，则，即平分．      过点P作轴于点D，轴于点E，则． 设点P的坐标为，则， ，                                解得， 点P的坐标为或． 46．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，将抛物线向右平移4个单位长度得到的抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧）．    (1)求点的坐标和抛物线的函数解析式； (2)记抛物线的对称轴与轴交于点，在直线上是否存在点，使得以点、、为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，抛物线的函数解析式为 (2)存在，此时点的坐标为或或或 【知识点】特殊三角形问题(二次函数综合)、等腰三角形的定义、二次函数图象的平移、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象的平移、等腰三角形的定义，熟练掌握待定系数法和二次函数图象的平移规律是解题关键． （1）将点代入可求出抛物线的解析式，从而可得点的坐标，再根据二次函数图象的平移规律即可得抛物线的函数解析式； （2）先求出点的坐标，再设点的坐标为，分别求出的长，从而可得，则分两种情况：①和②，据此建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：将点代入抛物线得：， 解得， ∴抛物线的解析式为， 当时，，解得或， ∵抛物线与轴交于、两点， ∴点的坐标为， ∵将抛物线向右平移4个单位长度得到抛物线， ∴抛物线的函数解析式为． （2）解：对于抛物线， 当时，，解得或， ∵抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧）， ∴或， 抛物线的对称轴为直线， ∴可设点的坐标为， 由（1）已得：点的坐标为， ∴，，， ∴， 则分以下两种情况： ①当时，是等腰三角形， ∴，即， 解得， ∴此时点的坐标为或； ②当时，是等腰三角形， ∴，即， 解得， ∴此时点的坐标为或； 综上，在直线上存在点，使得以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，此时点的坐标为或或或． 47．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为，与y轴交于点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)在直线上找一点Q，使得为等腰三角形，写出Q点坐标． 【答案】(1)； (2)Q点坐标为或或或． 【知识点】特殊三角形问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法求解即可得； （2）设点的坐标为，利用两点之间的距离公式可得，，的值，再分、和三种情况，分别建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：将点代入二次函数得：， 解得， 则这个二次函数的表达式为； （2）解：设点的坐标为， ∵， ∴，，， ①当时，为等腰三角形， 则，即， 解得或（此时点与点重合，不符合题意，舍去）， 当时，， 所以此时点的坐标为； ②当时，为等腰三角形， 则，即， 解得或， 当时，，即， 当时，，即； ③当时，为等腰三角形， 则，即， 解得， 此时， 所以此时点的坐标为， 综上，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了求二次函数的解析式、二次函数的综合问题、等腰三角形的定义、一元二次方程的应用等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 48．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点 (1)求抛物线解析式； (2)若点为抛物线部分上一动点（可与，两点重合），过点作轴交直线于点，交轴于点．连接，当为等腰三角形时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)或或 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用)、求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出直线的解析式为，，由两点之间距离公式求得、、，然后分情况讨论等腰三角形的腰相等并分别计算即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴将点代入，得，解得， 抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 将点代入，得， 解得， ∴直线的解析式为． ∵点M在直线上，且点， ∴点M的坐标为． 将代入，则， ∴， ∴， ∴， ． 当为等腰三角形时， （ⅰ）若，则， 即，解得． （ⅱ）若，则， 即，解得或（舍去）． （ⅲ）若，则， 即，解得或（舍去）． 综上所述，或或． 【点睛】本题考查了二次函数的性质、待定系数法求函数解析式、两点之间距离公式、等腰三角形的性质、解一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用相关知识综合解决问题． 49．如图，抛物线的对称轴为直线，且经过两点，与x轴交于另一点B． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P为直线上方的抛物线上的一点，连接，求的面积的最大值，并求出此时点P的坐标； (3)在对称轴上是否存在点Q，使为等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的最大值是4，此时． (3)存在，点Q的坐标为或或． 【知识点】特殊三角形问题(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合)、等腰三角形的定义、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与面积综合、二次函数与几何综合等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键． （1）利用抛物线的对称性可求得点B的坐标；设抛物线的解析式为，然后将点C的坐标代入即可求得a的值即可； （2）如图∶过点P作轴，交于点Q，设点P，Q的横坐标为m，分别求得点P，Q的纵坐标，从而可得到线段，然后利用三角形的面积公式可求得，然后利用配方法可求得的最大值以及此时m的值，从而可求得点P的坐标； （3）设点，分、、三种情况分别运用两点间的距离公式求解即可． 【详解】（1）解：∵，由抛物线的对称性可知：点A与点B关于直线对称， ∴点B的坐标为， ∵抛物线过， ∴可设抛物线解析式为， 又∵抛物线过点， ∴，解得：， ∴． （2）解：设， 如图，过点P作轴交于点Q， ∵直线经过两点， ∴设的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为：， 则，则， ∴， ∴当时，的最大值是4，此时． （3）解：设点， ∵，， 当时，，解得：，即 当时，，该方程无解； 当时，，解得：，即或． 综上，当点Q的坐标为或或． 题型八：二次函数与直角三角形存在性问题 50．如图，抛物线与直线相交于两点，抛物线与x轴的另一个交点是点C． (1)求抛物线的解析式． (2)点P是抛物线上的一个动点（不与重合），过点P作轴于点D，交直线于点E，连接，是否存在点P，使为直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；否则，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在点P，使为直角三角形，且点P的坐标为或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式、函数图象上点的坐标特点、勾股定理、解一元二次方程等知识，熟练掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式、全面分类是解题的关键； （1）先求出点B的坐标，然后利用待定系数法求解即可； （2）先求出点C的坐标，然后设点，则，，利用两点间的距离公式表示出，再分三种情况：当、、时，利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】（1）解：把代入直线，得， ∴， 把代入抛物线的解析式可得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式是； （2）解：对于，当时，， 解得， ∴， 设点，则，， ∴，，， 若为直角三角形， 则当时，， ∴，即 解得：或（舍去）； 此时点P的坐标为； 当时，， ∴，即 解得：； 此时点P的坐标为； 当时，， ∴， 解得：（舍去）； 综上，存在点P，使为直角三角形，且点P的坐标为或． 51．如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数的图象与一次函数的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点，且点D坐标为． (1)求二次函数的解析式及顶点坐标； (2)求四边形的面积S； (3)在x轴上是否存在点P，使得是直角三角形？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2) (3)P的坐标为或或或 【知识点】特殊三角形问题(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】题目主要考查二次函数与一次函数综合问题，勾股定理解三角形，面积问题等，理解题意，进行分类讨论是解题关键． （1）根据题意得出，然后利用待定系数法确定函数解析式，化为顶点式求出顶点坐标即可； （2）根据两个函数得出，结合图象得出求解即可； （3）设点，根据题意得出，然后分三种情况：当P为直角顶点时，当B为直角顶点时，当C为直角顶点时，分别求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，当时，， ∴， 将， 代入得 ，解得， ∴二次函数的解析式， ∵， ∴顶点坐标为； （2）根据题意得：联立两个函数， 解得：或， ∴， ∴，， ∴四边形的面积为：； （3）设点， ∵， ∴， 当P为直角顶点时，， ∴， 解得：或， ∴或； 当B为直角顶点时，， ∴， 解得：， ∴； 当C为直角顶点时，， ∴， 解得：， ∴； 综上可得：P的坐标为或或或 ． 52．如图，已知抛物线经过点，，顶点为，与轴交于点，且与直线交于点 ． (1)求抛物线的解析式及顶点 的坐标； (2)求的面积； (3)若点为抛物线上的一个动点，是否存在以为直角边的直角三角形？ 若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，顶点的坐标为； (2)； (3)存在满足条件的 点，其坐标为或． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了两点间的距离，待定系数法求解析式，二次函数与一次函数的性质，二次函数与几何图形的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法求解析式即可； （）联立求出，则，过顶点作 轴的平行线与直线交于点，求出，所以，然后由即可求解； （）设，则，，，然后分当和当两种情况，再解方程即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴设抛物线的解析式为， 把点代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为，即， ∵， ∴顶点的坐标为； （2）解：联立， 解得：或， ∴， ∵， ∴， 如图， 过顶点作轴的平行线与直线交于点， ∴， ∴， ∴； （3）解：存在，理由如下， ∵，，点为抛物线上的一个动点， ∴设， ∴， ， ， 由于以为直角边的直角三角形， 当， ∴， 整理得：，即， 解得：或（舍去）， ∴， ∴点； 当， ∴， 整理得：，即， 解得：或（舍去）， ∴， ∴点， 综上可知：点的坐标为或． 53．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点．    (1)求该抛物线的函数解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得是以为一条直角边的直角三角形；若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 【知识点】特殊三角形问题(二次函数综合)、用勾股定理解三角形、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题主要考查了二次函数综合，勾股定理，待定系数法求二次函数解析式： （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出对称轴为直线，设，则，，，再分点A为直角顶点，点B为直角顶点，两种情况利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：把，，代入中得：， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵抛物线解析式为， ∴对称轴为直线， 设， ∵，， ∴，， ， 当时，则， ∴， 解得， ∴点M的坐标为； 当时，则， ∴， 解得， ∴点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或． 54．如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，抛物线经过点A，B，并与x轴交于另一点C，其顶点为P．    (1)求a，k的值． (2)求的面积． (3)抛物线的对称轴上是否存在一点N，使是以为斜边的直角三角形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在满足条件的N点，其坐标为或． 【知识点】特殊三角形问题(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】（1）由条件可先求得A、B坐标，代入抛物线解析式可求得a、k的值； （2）先求解C，P的坐标，可得的长，再利用三角形的面积公式计算即可； （3）可设N点坐标为，可分别表示出、、的长，由勾股定理可得到关于n的方程，可求得N点坐标． 【详解】（1）解：在中，令， ∴，解得， 令，可求得， ∴，， 分别代入， 可得， 解得； （2）由（1）得：， ∴抛物线的顶点坐标为：， 当时，则， 解得：，， ∴， ∴， ∴； （3）∵的对称轴为直线， 设N点坐标为， 而，， 则，，且，    当为以为斜边的直角三角形时，由勾股定理可得， ∴，解得或， 即N点坐标为或， 综上可知存在满足条件的N点，其坐标为或． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，涉及待定系数法、坐标与图形面积、勾股定理等知识点．在（1）中求得A、B两点的坐标是解题的关键，在（2）中确定出C点，P的坐标是解题的关键，在（3）中设出N点坐标，利用勾股定理得到方程是解题的关键．本题涉及知识点较多，综合性较强，难度适中． 题型九：二次函数与等腰直角三角形存在性问题 55．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，作直线，其中点，点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点在线段上运动（点不与点，重合），过点作轴的垂线，交抛物线于点，交轴于点，是否存在点使得为等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、已知两点坐标求两点距离、等腰三角形的定义、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程，掌握这些知识点的应用是解题的关键． （）把点， 点代入即可求解； （2）分当时和当时两种情况分析即可； 【详解】（1）解：∵抛物线过点，点， ∴，解得：， ∴该抛物线的解析式为； （2）存在，理由： 令，则， 解得， ∴，， 设直线的解析式为， ∵，， ∴，，解得， ∴，直线的解析式为， 设点E的坐标为，则，， ∵轴， ∴， ∴； 当时，，如图， ∴，即解得：，（舍去）， ∴此时； 当时，如图，作于点，则有， ∴，解得：，（舍去）， ∴此时； 综上可知：点的坐标为或． 56．【综合探究】 如图，抛物线 与轴交于， 两点，与轴交于点， 作直线， 其中点， 点． 若点在线段上运动（点 不与点，重合）， 过点作轴的垂线，交抛物线于点，交轴于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若，求此时点的坐标； (3)是否存在点使得为等腰直角三角形？ 若存在，请求出点的坐标； 若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，点的坐标为或． 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合)、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】（）把点， 点代入即可求解； （）由抛物线的解析式为，求出，再利用待定系数法求出直线解析式为，设，则，，故有，，再通过列出方程，然后解方程即可； （）分当时和当时两种情况分析即可； 本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的性质，一元二次方程，掌握这些知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，点， ∴，解得：， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：由（）得：抛物线的解析式为， 当时，， 解得：，， ∴， 设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线解析式为， 设，则，， ∴，， ∵， ∴，整理得：， 解得：，（舍去）， 当时，， ∴点的坐标为； （3）解：存在，理由： ∵，， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴； 当时，，如图， ∴，解得：，（舍去）， ∴此时； 当时，如图，作于点，则有， ∴，解得：，（舍去）， ∴此时； 综上可知：点的坐标为或． 57．如图，二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，点是抛物线上的动点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，当时，求的面积； (3)当时，求点的坐标； (4)如图2，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)3 (3)或 (4)的值是或 【知识点】特殊三角形问题(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合)、等腰三角形的性质和判定、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）把，点代入二次函数中列方程组可解答； （2）先计算点的坐标，利用待定系数法可得的解析式，最后利用面积和可得的面积； （3）分两种情况：当点P位于直线下方时，先计算，根据含角的直角三角形的性质和勾股定理可得：，则，从而根据直线和抛物线的交点坐标可解答，当点P位于直线上方时，作轴于E，于F，求出即可； （4）作辅助线构建全等三角形，过点作轴，交轴于，交对称轴于点，证明，得，列方程可解答． 【详解】（1）解：把，点代入二次函数中得： ， 解得：， ∴抛物线的表达式为：； （2）解：∵点是抛物线上的动点，， ∴， ∴， 设的解析式为：，与轴交于点， 把和代入得：， ∴， ∴的解析式为：， 当时，，解得：， ∴， ∴的面积； （3）解：如图1，当点位于直线下方时， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可求得的解析式为：， ∴， 解得：（舍），， ∴； 当点位于直线上方时，作轴于，于， 则，四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵，， 解得：或（不符合题意，舍去）， 此时，即． 综上，或． （4）解：如图2，过点作轴，交轴于，交对称轴于点， 由题意得：， ∵， ∴抛物线对称轴是直线， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（如图3），； 如图4，过点作轴，交轴于，交对称轴于点， 同理可得：， ∴， ∴， 解得：，， 综上，的值是或． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． 58．【建立模型]（1）如图1，在等腰直角三角形中，，，直线经过点，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为点，．求证：； 【类比迁移]（2）如图2，在中，，，与轴交于点，点C的坐标为，点A的坐标为，求B，D两点的坐标； 【拓展延伸]（3）如图3，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点M，使是以为斜边的等腰直角三角形?若存在，请求出点M的坐标?若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），；（3）或或或 【知识点】特殊三角形问题(二次函数综合)、全等三角形综合问题 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、二次函数与几何综合题，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）利用，即可证明； （2）过点B作轴于点F.证明,则，得到.  待定系数法求出直线的解析式为，当时，，即可得到 （3）求出，得到抛物线的对称轴为直线,设抛物线的对称轴交x轴于点H,过点M作轴于点N，分两种情况：当点M在x轴的下方和 点M在x轴的上方，分别进行解答即可． 【详解】（1）证明:∵， ∴ ∵, ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴ （2）解:如图,过点B作轴于点F.    由题意,得 ∵， ∴. ∴ 又∵, ∴, ∴. ∴ ∴..   设直线的解析式为, 将代入中,得, 解得 ∴直线的解析式为， 当时，， ∴ （3）解:∵ ∴抛物线的对称轴为直线, 设抛物线的对称轴交x轴于点H,过点M作轴于点N， ①当点M在x轴的下方时,如图，      ∵, ∴ ∴ 又∵， ∴. ∴.. 设， ∴， ∴， ∴， 将 代入中, 得, 解得或 ∴. 点M的坐标为或； ②当点M在x轴的上方时,如图,    同理可得，点M的坐标为或. 综上所述,点M的坐标为或或或. 题型十：二次函数的其他综合问题 59．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，已知． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P为抛物线上一点，且的面积为10，求点P的横坐标； (3)连接，将线段向右平移m个单位长度，若线段与抛物线没有交点，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)4或 (3)或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、其他问题(二次函数综合) 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想，进行求解，是解题的关键： （1）先求出点坐标，进而求出点，待定系数法求出函数解析式即可； （2）设点P的纵坐标为，根据的面积为10，结合三角形的面积公式求出，代入函数解析式，求出点的横坐标即可； （3）求出点关于对称轴的对称点，分点平移到点之前和点平移到点之后，两种情况进行讨论分析即可． 【详解】（1）解：将代入，得， ， ， ，， ，， 把，， 代入得： ，解得， 抛物线的解析式为； （2），， ， 设点P的纵坐标为， 的面积为10， ，得， ， 点P只能在x轴上方，故， 将代入，得， 解得，， 故点P的横坐标为4或； （3）， ∴对称轴为直线， 由（1）知：，， ∴点关于对称轴的对称点为， ∵将线段向右平移m个单位长度，线段与抛物线没有交点， ∴当点平移到点之前，满足题意，此时； 当点平移到点之后，满足题意，此时：； 故：或． 60．已知二次函数的图象经过点． (1)求m的值； (2)当时，求y的取值范围； (3)将该函数的图象沿着x轴向右平移得到一个新函数的图象，当时，新函数的最大值是12，请直接写出平移的距离． 【答案】(1) (2) (3)3 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、y=ax²+bx+c的图象与性质、其他问题(二次函数综合) 【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值等知识点，熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是解题的关键． （1）将点代入求解即可； （2）依据题意，由（1）可得二次函数为，从而当时，y取最小值为，结合当时，；当时，，然后判断即可解答； （3）依据题意，由二次函数为，从而可设向右平移后得到的新函数为，故新抛物线的对称轴是直线，进而分当时和当时两种情形解答即可． 【详解】（1）解：由题意：将点代入可得： ，解得：． （2）解：由（1）可得二次函数为， ∴当时，y取最小值为． 又∵当时，；当时，， ∴当时，y的取值范围为． （3）解：由题意，∵二次函数为， ∴可设向右平移后得到的新函数为． ∴新抛物线的对称轴是直线， ①当时，即， 又∵若当时，，则或（不合题意，舍去）； 若当时，，则（不合题意，舍去）或（不合题意，舍去）， ∴． ②当时，即， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴当时，，则或，均不合题意，舍去． 综上，． 答：平移的距离为3． 61．某课外小组利用几何画板来研究二次函数的图象，给出二次函数解析式，通过输入不同的b，c的值，在几何画板的展示区内得到对应的抛物线． (1)若输入，，得到如图1所示的抛物线，求顶点C的坐标及抛物线与x轴的交点A，B（点A在点B的左侧）的坐标； (2)已知输入． ①若输入的，得到抛物线，将（1）中抛物线移动，使其与重合，求移动的最短距离； ②无论b值如何变化，嘉淇发现抛物线的顶点在一条确定的曲线上，求该曲线的解析式． (3)若抛物线M的顶点E在抛物线N上，抛物线N的顶点F在抛物线M上（点E，F不重合），我们把这样的两条抛物线M，N互称为“伴随抛物线”，如图2，若（1）中得到的抛物线的伴随抛物线记为，的顶点为，将和构成的封闭图形记为G（加粗部分）．若直线将G上的整点（横、纵坐标都是整数）平分，直接写出k的取值范围． 【答案】(1)，，． (2)①，② (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、已知两点坐标求两点距离、其他问题(二次函数综合) 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式，二次函数与一次函数的综合问题等知识．掌握“伴随抛物线”的定义是解题的关键． （1）把函数解析式化为顶点式为，于是得到点C的坐标， 令，解方程即可得到结论； （2）①根据两点间的距离公式即可得到结论； ②根据抛物线的顶点的坐标即可得到结论. （3）根据“伴随抛物线”的定义求得的解析式为．根据是过原点的直线，且将G上的整点平分，于是得到结论． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∴点C的坐标为， 令， 解得，，， ∴，． （2）解：①，顶点的坐标为：， ∴移动的最短距离为； ②∵， ∴顶点的坐标为， 令，， ∴ 即该曲线的解析式为； （3）解：k的取值范围为，， ∵的顶点为， ∴当时，， ∴的顶点坐标为， 设的解析式为， 将代入解析式， 解得： ∴的解析式为． ∴G上的整点个数有4个，分别为：，，， ∵是过原点的直线，且将G上的整点平分， ∴直线在，之间， 令，解：， 令，得， ∴k的取值范围为． 62．【定义】若二次函数的顶点在直线上，则此二次函数叫做直线的开心函数．例如：二次函数的顶点为在直线上，所以二次函数是直线的开心函数． (1)若二次函数是直线的开心函数，求k的值； (2)若二次函数是直线的开心函数． ①求用含m的代数式表示； ②若当时，y的最小值为，求n的值． 【答案】(1) (2)①；②或3 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、其他问题(二次函数综合) 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到待定系数法求函数表达式，新定义等，分类求解是解题的关键． （1）由函数的表达式知，顶点坐标为：，将代入，即可求解； （2）①由函数的表达式知，顶点坐标为：，将代入得：，即可求解； ②当时，则抛物线在时，取得最小值，即，则舍去或3，即；当或时，同理可解． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为：， 将代入得：， ∴； （2）①∵， ∴抛物线的顶点坐标为：， 将代入得：， ∴； ②由①知，抛物线的表达式为：，顶点坐标为：， 当时，， 当时，同理可得：， 当，即：时，则抛物线在时，取得最小值， 即，则舍去或3，即； 当，即：时，则抛物线在顶点，取得最小值， 即，则； 当，即：时，时，函数取得最小值， 即，无解， 综上，或 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 二次函数与几何综合十种模型 题型一：二次函数与角综合问题 题型二：二次函数与线段/周长综合问题 题型三：二次函数与面积最值综合 题型四：二次函数与平行四边形存在性问题 题型五：二次函数与菱形存在性问题 题型六：二次函数与矩形存在性问题 题型七：二次函数与等腰三角形存在性问题 题型八：二次函数与直角三角形存在性问题 题型九：二次函数与等腰直角三角形存在性问题 题型十：二次函数的其他综合问题 题型一：二次函数与角综合问题 1．如图，已知抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点，抛物线的顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)若是直线下方抛物线上任意一点，过点作轴于点，与交于点，求线段长度的最大值． (3)若点在轴上，且，直接写出点的坐标． 2．如图，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线经过点B、C，与x轴另一交点为A． (1)求抛物线的解析式； (2)若点M是抛物线上的一点，使得，请求出点M的坐标； (3)点在第一象限的抛物线上，连接．在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 3．如图，抛物线经过点、，交轴于点，点是抛物线上一动点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)当点的坐标为时，求四边形的面积； (3)若，求点的坐标． 4．已知抛物线经过点和． (1)求抛物线的函数表达式； (2)抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，如图． ①求的面积； ②点在抛物线上，点在线段上（不与端点，重合），若，求点的坐标． 5．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于和B两点，与y轴交于点C． (1)求C点的坐标； (2)连接，D为抛物线上一点，当时，求点D的坐标． 6．如图1，抛物线与轴相交于两点，抛物线与轴相交于点． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)如图2，点是直线上方拋物线上一动点，求面积的最大值及此时点Q的坐标； (3)如图3，已知直线与轴分别相交于点，直线与相交于点，在第三象限内的抛物线上是否存在点P，使得？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由； 7．已知抛物线，经过点和点，抛物线上有一个点，它的横坐标为． (1)求此抛物线的解析式； (2)求的长； (3)若点是轴上方、轴左侧抛物线上的一个动点，是否存在这样的点，使？如果存在，请求出点坐标；如果不存在，请说明理由． 8．抛物线与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点．    (1)直接写出A，B，C三点的坐标为A______，B______，C______； (2)连接，若，求点P的坐标； (3)连接，是否存在点P，使得，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 题型二：二次函数与线段/周长综合问题 9．如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，E，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当的值最小时，点C的坐标是（   ） A． B． C． D． 10．已知二次函数 （1）该函数图象一定过定点，则该定点的坐标是 ． （2）已知点，若函数图象与线段有且只有一个公共点，则的取值范围是 ． 11．如图，已知二次函数的图象与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，作直线． (1)求直线的函数表达式； (2)P是第一象限内抛物线上一动点，过点P作于点Q，当线段取得最大值时，求点P的坐标． 12．如图，A、B为一次函数的图象与二次函数的图象的交点，点A在y轴上，点B的横坐标为5．P为二次函数的图象上的动点，且位于直线的下方． (1)求点A的坐标； (2)求二次函数的表达式； (3)过P作轴于点M，交直线于点N，设点M的横坐标为m，当时，求m的值． 13．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，点是直线上方的抛物线上的一个动点（不与点，重合），过作轴的垂线，垂足为，交直线于点． (1)求抛物线的表达式： (2)若点的横坐标为，用含的代数式表示； (3)过点作于点，当的值最大时，求点的坐标及的最大值． 14．如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴的负半轴交于点． (1)求二次函数的解析式． (2)若点是这个二次函数图象在第二象限内的一点，过点作轴的垂线与线段交于点，求线段长度的最大值． 15．如图，已知抛物线与x轴分别交于点，与y轴交于点C，点Q是抛物线上一点． (1)求抛物线的解析式： (2)若点Q在直线下方的抛物线上，过点Q作轴于点D，交直线于点E，作于点F，当时，求点Q的坐标． 16．如图，已知二次函数的图象经过、两点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使的周长最小？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； 17．【综合与实践】如图，抛物线与轴交于和两点，与轴交于点，直线的解析式为．点为线段上的一个动点，过作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为．探究线段的长度变化情况． （1）写出点的坐标，并求抛物线的解析式； 【类比操作】因为点在直线上，且点和的横坐标都为，所以把代入得，故点的坐标为． （2）用以上方法，请用含的式子表示点的坐标； 【探索发现】直线平行于轴，故线段的长度可以用点的纵坐标与点的纵坐标的差表示，线段的值随着点的运动而变化． （3）求线段的长度与的函数解析式，并求出它的最大值． 题型三：二次函数与面积最值综合 18．如图已知二次函数图象与x轴交于A，C两点，与y轴交于点B． (1)连接，求直线的解析式； (2)点P为该二次函数图象在第一象限上一点，当的面积最大时，求P点的坐标． 19．如图，已知二次函数经过点，，与轴交于另一点，抛物线的顶点为． (1)求此二次函数解析式； (2)抛物线与关于坐标原点对称，则在上是否存在点，使得？若存在，求出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 20．如图，已知二次函数 的图象与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，其中． (1)求二次函数的表达式； (2)若P是二次函数图象上的一点，且点P在第二象限，线段交x轴于点D，的面积是的面积的2倍，求点P的坐标． 21．已知，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点． (1)求点A、B、C三点的坐标； (2)过点A作交抛物线于点P，求四边形的面积； (3)在（2）的条件下，在线段上是否存在一点M，使的周长最小？若存在，请直接写出周长的最小值；若不存在，请说明理由． 22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线为常数，且与直线交于两点，与轴的另一个交点为，与轴交于点． (1)求拖物线的函数表达式； (2)连接，点是直线上方抛物线上的一个动点，连接，是否存在点使得 ？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 23．如图，抛物线交轴于点，交轴于点，连接，若． (1)求抛物线的解析式； (2)点是第一象限抛物线上的一点，连接，若的面积最大时，求点的坐标． 24．如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点． (1)写出、、的坐标； (2)当时，求函数值的取值范围； (3)若点是第四象限内抛物线上一动点，连接、、，求的面积的最大值． 题型四：二次函数与平行四边形存在性问题 25．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，且点坐标为，点坐标为． (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，若点是第二象限内抛物线上一动点，求点到直线距离的最大值； (3)如图2，若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 26．在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点，与x轴交于A，B两点，对称轴是直线，连接，． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，若点M为直线上方的抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交于点N，过点M作x轴的平行线，交直线于点Q，求的最大值； (3)如图2，点E是抛物线上一点，点D在x轴上，若平面内以点A、D、C、E为顶点的四边形是平行四边形，求出点E的坐标． 27．如图，在平面直角坐标系中已知抛物线与直线都经过两点，该抛物线的顶点为． (1)求此抛物线的解析式． (2)设点是直线下方抛物线上的一动点，连接，，请求出的最大面积是多少． (3)设直线与该抛物线的对称轴交于点，点为射线上一点，过作轴的垂线交抛物线于点，是否存在点，使点，，，是平行四边形的四个顶点？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 28．如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，抛物线经过点A，B． (1)求k的值和点B的坐标； (2)求抛物线的表达式； (3)为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线及抛物线分别交于点P，N．若以O，B，N，P为顶点的四边形是平行四边形时，求m的值． 29．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点F为抛物线上一点，点E为直线上一点，当以A，B，E，F为顶点的四边形是以为边的平行四边形时，求点F的坐标． 30．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的表达式． (2)点是抛物线上位于线段下方的一个动点，连接，，求面积最大时点的坐标： (3)在平面内是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 31．如图，已知抛物线，与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，且，点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若抛物线的顶点为，抛物线的对称轴交直线于点，点为直线右侧抛物线上一点，点在直线上，是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 题型五：二次函数与菱形存在性问题 32．已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左边），与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)若将抛物线沿轴向右平移得到抛物线，平移后点的对应点为点，点是平面内任意一点，是否存在以、、、四个点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 33．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，点，与轴交于点，点的坐标为，点是抛物线上一个动点． (1)求二次函数解析式； (2)连接，，并把沿翻折，那么是否存在点，使四边形为菱形；若不存在，请说明理由． 34．如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点，连接，点为线段上一个动点（不与点C，B重合），过点P作 轴交抛物线于点Q． (1)求抛物线的表达式和对称轴； (2)设P的横坐标为t，请用含t的式子表示线段的长，并求出线段的最大值； (3)已知点M是抛物线对称轴上的一个点，点N是平面直角坐标系内一点，当线段取得最大值时，是否存在这样的点M，N，使得四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 35．如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，且，E是线段上的一个动点，过点E作直线垂直于x轴交直线和抛物线分别于点D、F． (1)求抛物线的解析式； (2)设点E的横坐标为m．当m为何值时，线段有最大值，并写出最大值为多少； (3)若点P是直线上的一个动点，在坐标平面内是否存在点Q，使以点P、Q、B、C为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 36．综合与探究 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)图2中，对称轴直线与轴交于点H，连接，求四边形的面积； (3)点是直线上一点，点是平面内一点，是否存在以BC为边，以点B，C，F，G为顶点的菱形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 37．如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形面积S的最大值及此时D点的坐标； (3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由． 38．如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求三角形面积的最大值及此时点的坐标； (3)若点在抛物线对称轴上，是否存在点，，使以点，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出，两点的坐标． 39．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点，点B的坐标为，点P是抛物线上一个动点，且在直线的上方．    (1)求该二次函数的解析式； (2)求点A的坐标； (3)连接，当点P运动到什么位置时，的面积最大？请求出点P的坐标和面积的最大值； (4)连接，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 40．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于A，B点，与y轴交于点，点B的坐标为，点P是抛物线上一个动点． (1)求二次函数解析式； (2)若P点在第一象限运动，当P运动到什么位置时，的面积最大？请求出点P的坐标和面积的最大值； (3)连接，并把沿翻折，那么是否存在点P，使四边形为菱形；若不存在，请说明理由． 题型六：二次函数与矩形存在性问题 41．如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于、两点，抛物线经过、两点，且交轴于另一点．点为抛物线在第一象限内的一点，过点作，交于点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)设点的横坐标为，在点的移动过程中，存在，求出的值； (3)在抛物线上取点，在平面直角坐标系内取点，问是否存在以、、、为顶点且以为边的矩形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 42．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是x轴上一点，点E是平面内任意一点，当以点A、C、P、E为顶点的四边形是矩形时，求点P的坐标． 43．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于、两点，交轴于点． (1)求点、、的坐标； (2)将抛物线向右平移1个单位，得到新抛物线，点在坐标平面内，在新抛物线的对称轴上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型七：二次函数与等腰三角形存在性问题 44．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求直线和抛物线的解析式． (2)若是抛物线对称轴上的一点，是否存在点，使得以三点为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 45．如图，抛物线（a、c为常数，）与x轴交于点两点，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点P是抛物线上的一个动点，连接，若是以为底边的等腰三角形，求点P的坐标． 46．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，将抛物线向右平移4个单位长度得到的抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧）．    (1)求点的坐标和抛物线的函数解析式； (2)记抛物线的对称轴与轴交于点，在直线上是否存在点，使得以点、、为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 47．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为，与y轴交于点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)在直线上找一点Q，使得为等腰三角形，写出Q点坐标． 48．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点 (1)求抛物线解析式； (2)若点为抛物线部分上一动点（可与，两点重合），过点作轴交直线于点，交轴于点．连接，当为等腰三角形时，直接写出的值． 49．如图，抛物线的对称轴为直线，且经过两点，与x轴交于另一点B． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P为直线上方的抛物线上的一点，连接，求的面积的最大值，并求出此时点P的坐标； (3)在对称轴上是否存在点Q，使为等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 题型八：二次函数与直角三角形存在性问题 50．如图，抛物线与直线相交于两点，抛物线与x轴的另一个交点是点C． (1)求抛物线的解析式． (2)点P是抛物线上的一个动点（不与重合），过点P作轴于点D，交直线于点E，连接，是否存在点P，使为直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；否则，请说明理由． 51．如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数的图象与一次函数的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点，且点D坐标为． (1)求二次函数的解析式及顶点坐标； (2)求四边形的面积S； (3)在x轴上是否存在点P，使得是直角三角形？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由． 52．如图，已知抛物线经过点，，顶点为，与轴交于点，且与直线交于点 ． (1)求抛物线的解析式及顶点 的坐标； (2)求的面积； (3)若点为抛物线上的一个动点，是否存在以为直角边的直角三角形？ 若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 53．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点．    (1)求该抛物线的函数解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得是以为一条直角边的直角三角形；若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 54．如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，抛物线经过点A，B，并与x轴交于另一点C，其顶点为P．    (1)求a，k的值． (2)求的面积． (3)抛物线的对称轴上是否存在一点N，使是以为斜边的直角三角形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 题型九：二次函数与等腰直角三角形存在性问题 55．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，作直线，其中点，点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点在线段上运动（点不与点，重合），过点作轴的垂线，交抛物线于点，交轴于点，是否存在点使得为等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 56．【综合探究】 如图，抛物线 与轴交于， 两点，与轴交于点， 作直线， 其中点， 点． 若点在线段上运动（点 不与点，重合）， 过点作轴的垂线，交抛物线于点，交轴于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若，求此时点的坐标； (3)是否存在点使得为等腰直角三角形？ 若存在，请求出点的坐标； 若不存在，请说明理由． 57．如图，二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，点是抛物线上的动点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，当时，求的面积； (3)当时，求点的坐标； (4)如图2，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 58．【建立模型]（1）如图1，在等腰直角三角形中，，，直线经过点，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为点，．求证：； 【类比迁移]（2）如图2，在中，，，与轴交于点，点C的坐标为，点A的坐标为，求B，D两点的坐标； 【拓展延伸]（3）如图3，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点M，使是以为斜边的等腰直角三角形?若存在，请求出点M的坐标?若不存在，请说明理由． 题型十：二次函数的其他综合问题 59．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，已知． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P为抛物线上一点，且的面积为10，求点P的横坐标； (3)连接，将线段向右平移m个单位长度，若线段与抛物线没有交点，直接写出m的取值范围． 60．已知二次函数的图象经过点． (1)求m的值； (2)当时，求y的取值范围； (3)将该函数的图象沿着x轴向右平移得到一个新函数的图象，当时，新函数的最大值是12，请直接写出平移的距离． 61．某课外小组利用几何画板来研究二次函数的图象，给出二次函数解析式，通过输入不同的b，c的值，在几何画板的展示区内得到对应的抛物线． (1)若输入，，得到如图1所示的抛物线，求顶点C的坐标及抛物线与x轴的交点A，B（点A在点B的左侧）的坐标； (2)已知输入． ①若输入的，得到抛物线，将（1）中抛物线移动，使其与重合，求移动的最短距离； ②无论b值如何变化，嘉淇发现抛物线的顶点在一条确定的曲线上，求该曲线的解析式． (3)若抛物线M的顶点E在抛物线N上，抛物线N的顶点F在抛物线M上（点E，F不重合），我们把这样的两条抛物线M，N互称为“伴随抛物线”，如图2，若（1）中得到的抛物线的伴随抛物线记为，的顶点为，将和构成的封闭图形记为G（加粗部分）．若直线将G上的整点（横、纵坐标都是整数）平分，直接写出k的取值范围． 62．【定义】若二次函数的顶点在直线上，则此二次函数叫做直线的开心函数．例如：二次函数的顶点为在直线上，所以二次函数是直线的开心函数． (1)若二次函数是直线的开心函数，求k的值； (2)若二次函数是直线的开心函数． ①求用含m的代数式表示； ②若当时，y的最小值为，求n的值． 2 / 31 学科网（北京）股份有限公司 $$