1.2 直线的方程（题型专练）数学苏教版2019选择性必修第一册

1.2 直线的方程 题型一：直线的点斜式方程 1．（24-25高二上·江苏·期中）已知直线倾斜角为，且过，则在轴上的截距为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、直线的倾斜角、直线斜率的定义 【分析】利用直线的点斜式方程求出直线的方程即可得解. 【详解】直线的斜率为，方程为，当时，， 所以在轴上的截距为. 故选：B 2．（24-25高二上·江苏连云港·期中）过点且倾斜角为90°的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、直线的点斜式方程及辨析 【分析】根据斜率不存在且过点直接写出方程即可. 【详解】因为倾斜角为90°，所以该直线与x轴垂直，又过， 所以直线方程为，即. 故选：C 3．（24-25高二上·江苏盐城·期中）直线的方程是，则直线的纵截距是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】直线的斜截式方程及辨析 【分析】根据题意，令代入计算，即可得到结果. 【详解】因为直线的方程是，令，则， 所以直线的纵截距是. 故选：D 4．（24-25高二上·江苏·期中）过点，斜率为所在直线的点斜式方程为 ． 【答案】 【知识点】直线的点斜式方程及辨析 【分析】直接根据点斜式方程的定义得到答案. 【详解】根据点斜式方程的定义，所求的方程为. 故答案为：. 5．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）经过点，斜率为3的直线方程为 ． 【答案】 【知识点】直线的点斜式方程及辨析 【分析】直接由直线方程点斜式的定义即可得解. 【详解】由题意经过点，斜率为3的直线方程为，整理得. 故答案为：. 6．（多选）（24-25高二上·江苏淮安·阶段练习）下列结论正确的是（    ） A．直线l过点，倾斜角为90°，则其方程是 B．方程与方程可表示同一直线 C．直线l过点，斜率为0，则其方程是 D．所有的直线都有点斜式和斜截式方程 【答案】AC 【知识点】直线的斜截式方程及辨析、直线的点斜式方程及辨析、直线斜率的定义、直线的倾斜角 【分析】由斜率，倾斜角，点斜式与斜截式概念判断各选项正误； 【详解】A选项，因倾斜角为90°，则直线斜率不存在，又直线 过点，则其方程是，故A正确； B选项，方程与方程y－2＝k(x＋1)相比，不含点， 故B错误； C选项，因直线斜率为0，则直线形式为，又l过点， 则其方程是，故C正确； D选项，对于斜率不存在的直线，不存在相应的点斜式和斜截式方程，故D错误. 故选：AC 7．已知直线的倾斜角为，与轴的交点到坐标原点的距离为，求直线的斜截式方程. 【答案】或 【知识点】直线的斜截式方程及辨析 【分析】求出直线的斜率及其在轴上的截距，即可得出直线的斜截式方程. 【详解】解：因为直线的倾斜角为，则直线的斜率为， 因为直线与轴的交点到坐标原点的距离为， 所以，直线在轴上的截距为， 故直线的斜截式方程为或. 8．（24-25高二上·江苏泰州·期中）已知的两顶点坐标为，，是边的中点，是边上的高. (1)求所在直线的方程； (2)求高所在直线的方程. 【答案】(1)； (2). 【知识点】已知两点求斜率、直线的点斜式方程及辨析、已知直线垂直求参数 【分析】（1）求出点的坐标，直线的斜率，利用直线的点斜式方程求解. （2）由（1）求出直线的斜率，进而求出直线方程. 【详解】（1）由，边的中点，得点，又点， 则直线的斜率，直线的方程为，即， 所以所在直线的方程为. （2）由（1）知，直线的斜率， 所以高所在直线的方程为，即. 题型二：直线两点式方程 1．（24-25高二上·江苏扬州·期中）经过点的直线在轴上的截距是（ ） A．-10 B．10 C． D． 【答案】A 【知识点】直线截距式方程及辨析、已知两点求斜率 【分析】利用两点式直线方程，令，来求直线在轴上的截距． 【详解】由两点式直线方程得：， 整理得：，再令，解得， 故选：A． 2．（多选）（23-24高二上·安徽铜陵·期中）过点且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】直线截距式方程及辨析 【分析】利用截距式的求法，讨论截距的绝对值相等的情况，在进行截距式假设时，分截距为0，截距不为0进行假设. 【详解】当直线的截距不为0时，设直线的截距式方程为， 由题可得 所以或 解得或 所以直线方程为或，故A，C正确； 当直线的截距为0时，设直线方程为， 由题可知，故直线方程为，D正确． 故选：ACD 3.已知直线l经过点，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的斜截式方程． 【答案】或 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、直线的斜截式方程及辨析、直线截距式方程及辨析 【分析】由直线的斜率存在，把直线方程设为点斜式，求出在两坐标轴上的截距，利用截距相等得方程求出斜率k，可得直线方程. 【详解】依题意直线的斜率存在，设为k，直线方程为， 令得纵截距为，令得横截距为， 依题意得，，解得或， 所以直线方程为或. 4．（24-25高二上·江苏连云港·期中）平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标为为的中点. (1)求直线的方程和边上的高所在的直线方程； (2)过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率范围是？ 【答案】(1)直线的方程是，边上的高所在的直线方程是 (2) 【知识点】直线两点式方程及辨析、直线与线段的相交关系求斜率范围、直线的点斜式方程及辨析 【分析】（1）利用两点式、点斜式来求得正确答案. （2）求得直线的斜率，从而求得直线的斜率范围. 【详解】（1）依题意，，所以直线的方程为， 整理得. 直线的斜率为，所以边上的高所在的直线的斜率为， 所以边上的高所在的直线方程是. （2）直线的斜率为，直线的斜率为， 所以过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率范围是. 题型三：直线的一般式方程 1．（24-25高二上·江苏泰州·期中）直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】直线的一般式方程及辨析、直线的倾斜角 【分析】求出直线的斜率，进而求出其倾斜角. 【详解】直线的斜率为，所以直线的倾斜角为. 故选：B 2．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）直线分别交轴和于两点，若是线段的中点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】直线的一般式方程及辨析 【分析】由是线段的中点，可得两点坐标，后可得直线方程. 【详解】由题意，设因为是线段的中点，则， 解得，所以则直线l的方程为，即 故选：C. 3．（24-25高二上·江苏徐州·开学考试）过点且斜率为1的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】直线的一般式方程及辨析、直线的点斜式方程及辨析 【分析】由直线方程的点斜式可直接写出方程，化简即可. 【详解】根据题意可得直线为，化简得. 故选：D 4．（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）斜率为，且经过点的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、直线的一般式方程及辨析 【分析】根据直线的点斜式方程求解即可. 【详解】所求直线方程为，即. 故选：B. 5．（24-25高二上·江苏常州·阶段练习）若直线的倾斜角为，在轴上的截距为，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【知识点】直线的倾斜角、直线的一般式方程及辨析、直线斜率的定义 【分析】先由直线方程得直线的斜率和在轴上的截距，接着由斜率与倾斜角定义及其关系式即可得解. 【详解】由直线方程可得其斜率为，在轴上的截距为， 因为直线的倾斜角为，则且， 所以直线的倾斜角. 故选：B. 6.设直线l的方程为，若直线l在x轴和y轴上的截距相等，试求m的值. 【答案】 【知识点】直线的一般式方程及辨析 【分析】先求出直线的横纵截距，再构建方程，解之即可. 【详解】因为直线l的方程为， 即， 由题意可知：，即， 即直线l的方程为， 所以，当时，， 当时，， 由直线l在x轴和y轴上的截距相等，可知， 解得. 7.已知直线l经过点，，求直线l的点斜式、斜截式和一般式方程，并根据方程指出直线在x轴、y轴上的截距. 【答案】 点斜式方程为； 斜截式为：； 一般式为：； 在x轴上的截距为，在y轴上的截距为. 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、直线的斜截式方程及辨析、直线的一般式方程及辨析 【分析】首先求出直线l的斜率，由点斜式可直接写出直线方程，再转化为斜截式和一般式方程即可，令和可得直线l在x轴上的截距和在y轴上的截距. 【详解】因为， 所以点斜式方程为， 化为斜截式为：， 化为一般式为：， 令得， 令得， 所以直线l在x轴上的截距为，在y轴上的截距为. 题型四：直线一般式方程与其他形式之间的互化 1．（24-25高二上·江苏南通·期中）若直线的斜率为，在轴上的截距为，则（    ） A． B．， C． D．， 【答案】B 【知识点】直线一般式方程与其他形式之间的互化 【分析】根据一般方程与直线方程的斜截式互化可得结果. 【详解】由直线可化为， 因此可得，. 故选：B 2．（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】直线的倾斜角、直线一般式方程与其他形式之间的互化、直线斜率的定义 【分析】先将直线方程化成斜截式，求出其斜率，再求直线的倾斜角. 【详解】由，可得，故直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则，因，故. 故选：D. 3．（24-25高二上·江苏盐城·期中）已知，则直线经过 （    ） A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限 【答案】B 【知识点】直线一般式方程与其他形式之间的互化 【分析】将直线化为斜截式，即可求解. 【详解】由于，故直线可变形为， 故，因此直线经过第一、三、四象限， 故选：B 4．（24-25高二上·江苏淮安·期中）在轴，轴上的截距分别为的直线方程为 （用一般式表示） 【答案】 【知识点】直线截距式方程及辨析、直线一般式方程与其他形式之间的互化 【分析】直接由直线的截距式方程得答案. 【详解】∵直线在轴上的截距为2，在轴上截距为3， 由直线方程的截距式得：， 化为一般式：． 故答案为：． 5．（多选）（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．不经过原点的直线都可以表示为 B．若直线与两坐标轴交点分别为A、B，且的中点为，则直线l的方程为 C．过点且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线方程为或 D．直线的截距式方程为 【答案】BCD 【知识点】直线一般式方程与其他形式之间的互化、直线截距式方程及辨析 【分析】A选项，截距式方程不能表示与坐标轴垂直的直线，即可判断；B选项，直接利用截距式方程判断；C选项，直接求出过点且在两轴上截距相等的直线方程，即可判断；D选项，直接化为截距式方程判断． 【详解】对于A，与坐标轴垂直的直线也不能用截距式表示，故A选项错； 对于B，AB的中点为，则有，则直线l的方程为，故B选项对； 对于C，直线过点且过原点时，直线为，直线过点且不过原点时，直线为，故C选项对； 对于D，方程可化为，为直线的截距式方程，故D选项对． 故选：BCD. 6．求与直线平行，并且和两坐标轴在第一象限所围成的三角形面积是15的直线方程. 【答案】 【知识点】直线一般式方程与其他形式之间的互化、直线的斜截式方程及辨析 【分析】设所求直线方程为，分别令、，求出三角形的面积等于可得答案. 【详解】∵直线的斜率为， ∴设所求直线方程为， 令，得；令，得， 由题意，，，∴，∴， 故所求直线方程为，即. 7．求过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的方程. 【答案】或 【知识点】直线截距式方程及辨析、直线一般式方程与其他形式之间的互化 【分析】当直线在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时，设直线的方程为，代入点坐标可得答案；②当直线过原点时，设直线的方程为，代入点坐标可得答案. 【详解】①当直线在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时， 设直线的方程为，又过点， 所以，解得，所以直线的方程为， 即； ②当直线过原点时，设直线的方程为， 由于过点，所以，解得， 所以直线的方程为，即， 综上，直线的方程为或. 题型五：由一般式方程判断直线的平行 1．在平面直角坐标系中，直线与直线的位置关系为（    ） A．相交但不垂直 B．垂直 C．平行 D．重合 【答案】C 【知识点】由一般式方程判断直线的平行 【分析】根据两直线的位置关系确定正确答案. 【详解】直线，即； 直线，即. 由于，所以两直线平行. 故选：C 2．直线和的位置关系是（    ） A．平行 B．不平行 C．平行或重合 D．既不平行也不重合 【答案】C 【知识点】由一般式方程判断直线的平行 【分析】根据题意，由两直线位置关系的判断方法，代入计算，即可求解. 【详解】因为直线和， 当时，即，此时两直线重合， 当时，即，此时两直线平行， 所以直线和的位置关系是平行或重合. 故选：C 3．若直线与直线平行，则实数等于（     ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【知识点】由一般式方程判断直线的平行、已知直线平行求参数 【分析】利用一般式方程判定直线平行的条件进行求解. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，解得. 故选：B. 4．设、、分别是的对边长，则直线与的位置关系是 ． 【答案】重合 【知识点】由一般式方程判断直线的平行 【分析】利用正弦定理直接判断可知. 【详解】由正弦定理可知，， 所以直线与重合. 故答案为：重合. 题型六：由一般式方程判断直线的垂直 1．（23-24高二上·江苏镇江·期中）已知直线，，若，则实数（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【知识点】由一般式方程判断直线的垂直 【分析】由两直线垂直的关系求解. 【详解】因为，所以. 故选：C 2．直线与直线垂直，则的值为（    ） A． B．1 C． D．9 【答案】B 【知识点】由一般式方程判断直线的垂直 【分析】利用直线的一般式方程判定直线垂直的条件进行求解. 【详解】由题意，得，解得. 故选：B. 3.直线和直线的位置关系是（    ） A．相交且垂直 B．平行 C．相交且不垂直 D．不确定 【答案】A 【知识点】由一般式方程判断直线的垂直 【分析】根据和分类讨论即可． 【详解】解：当时， 当时，，， 则，则． 综上，知， 故选：A． 题型一：直线与坐标轴围成图形的面积问题 1.直线l的倾斜角是直线倾斜角的一半，且直线l与坐标轴所围成的三角形的面积为10，则直线l的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】直线与坐标轴围成图形的面积问题 【分析】根据正切的二倍角公式，结合三角形面积公式进行求解即可. 【详解】， 所以直线的斜率为负值，因此直线的倾斜角为钝角， 设直线l的倾斜角为，则 因为，所以或舍去 设直线l的方程为，则直线l与坐标轴的交点分别为，， 由，得， 故直线l的方程可能是，显然ABD不符合， ，或， 故选：C 2．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知直线 (1)求证：不论实数取何值，直线恒过一定点； (2)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积为6，求的方程. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【知识点】直线与坐标轴围成图形的面积问题、直线过定点问题、直线截距式方程及辨析 【分析】（1）利用提取参数，来求出方程的一个解，从而得到直线恒过一定点； （2）利用截距式方程来求解三角形的面积，再利用直线过定点，得到方程组即可求解. 【详解】（1）由直线变形得： ， 令，解得：， 由于不论实数取何值，总是方程的一个解， 所以直线恒过这一定点. （2）由于直线与两坐标轴的正半轴围成三角形， 所以可设直线的截距式方程为，且， 又由于直线恒过定点，所以， 由于直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积为6，则， 把，代入变形后的得：， 联立解得：， 所以直线的截距式方程为， 化简得的方程为. 3．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知直线过定点，根据下列条件求直线l的方程. (1)若直线l与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为16； (2)若直线l被两条直线和所截得的线段的中点恰好为P，求直线l的方程. 【答案】(1)或. (2) 【知识点】直线两点式方程及辨析、直线截距式方程及辨析、直线与坐标轴围成图形的面积问题 【分析】 (1)写出直线的截距式方程，代入点，再与面积联立，求解即可. (2)设出直线，与两条直线和，根据，求出点坐标，再根据两点式求解即可 【详解】（1）由题意可知直线斜率存在，设直线截距方程为， 则，与联立可得或. 故直线l的方程为或. （2）设直线l与交点为，与交点为， 所以①，② 因为点是线段中点，所以③，④ 将①代入③可得将之代入②，可得， 解之可得，再根据直线两点式可得， 化简可得. 故直线l的方程为. 4．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知直线过点，根据下列条件分别求出直线的方程． (1)在轴、轴上的截距互为相反数； (2)与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形面积最小． 【答案】(1)或； (2) 【知识点】直线截距式方程及辨析、直线与坐标轴围成图形的面积问题 【分析】（1）分直线过原点和不过原点两种情况求直线方程； （2）写出直线的截距式方程，代入点得，利用不等式即可求解取最值时的，． 【详解】（1）①当直线经过原点时，在轴、轴上的截距互为相反数都等于0，此时直线的方程为， ②当直线不经过原点时，设直线的方程为 在直线上，，，即． 综上所述直线的方程为或 （2）由题意可知直线与两坐标轴均交于正半轴，故设直线方程为，将代入可得， 故，故，当且仅当，即时等号成立， 故此时面积最小为, 故直线方程为，即 5.设为实数，若直线的方程为，根据下列条件分别确定的值： (1)直线的斜率为； (2)直线与两坐标轴在第二象限围成的三角形面积为. 【答案】(1) (2) 【知识点】已知斜率求参数、直线与坐标轴围成图形的面积问题 【分析】（1）根据直线的斜率可得出关于的等式，解之即可； （2）求出直线与两坐标轴的交点坐标，可得出关于的等式与不等式，即可解得的值. 【详解】（1）解：由题意可知，直线的斜率为，解得. （2）解：由题意可知，在直线的方程中，令，可得， 令时，可得， 所以，直线分别交、轴于点、， 由题意可得，解得. 由题意可得，整理可得， 因为，解得. 题型二：由两条直线平行求方程 1．（24-25高二上·江苏苏州·期中）经过点且与直线平行的直线方程是 . 【答案】 【知识点】由两条直线平行求方程 【分析】设出直线方程为，代入，求出，求出直线方程. 【详解】过点且与直线平行的直线设为， 再将代入得，解得， 故直线方程为. 故答案为： 2．（21-22高二上·江苏宿迁·期中）求符合下列条件直线的方程： (1)过点A（-3，-1），且倾斜角为． (2)过点P（3，4），且两点到这直线距离相等． 【答案】(1) (2)或 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、由两条直线平行求方程 【分析】（1）根据倾斜角得出直线斜率，利用点斜式求解即可； （2）分所求直线与MN平行，过MN中点两种情况求解即可. 【详解】（1）∵倾斜角为 ∴斜率为 由点斜式直线方程可得 即. （2）①与直线MN平行 ∴斜率 由点斜式直线方程可得 即 ②过MN中点 可求MN中点是（3，2） 又直线过P（3，4），则直线方程为x=3 综上得直线方程为或 题型三：由两条直线垂直求方程 1．（24-25高二上·江苏常州·期末）若的三个顶点为，则边上的高所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由两条直线垂直求方程 【分析】根据垂直关系，以及点斜式直线方程，即可求解. 【详解】，所以边上的高所在直线的斜率为， 所以边上的高所在直线的方程为，即. 故选：A 2．（24-25高二上·江苏盐城·期末）（1）求过，且与直线平行的直线的方程. （2）已知的三个顶点，，，求边上的高所在的直线方程. 【答案】（1）；（2）. 【知识点】由两条直线平行求方程、由两条直线垂直求方程、直线的点斜式方程及辨析 【分析】（1）根据直线的平行关系，可得所求直线斜率，运用点斜式方程，即可求得； （2）根据直线的垂直关系，可得所求直线斜率，运用点斜式方程，即可求得. 【详解】（1）已知直线的斜率是， 因为所求直线与已知直线平行，所以所求直线的斜率也是， 根据直线的点斜式方程，得所求直线的方程为，即； （2）由两点式，可得，边上高所在直线方程的斜率， 的高所在直线的直线方程，即. 3．（24-25高二上·江苏盐城·期中）三角形的三个顶点是． (1)求直线方程； (2)求边上的高所在直线的方程； (3)求边上的中线所在直线的方程． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】直线两点式方程及辨析、由两条直线垂直求方程 【分析】（1）由两点式即可求解； （2）由垂直关系确定斜率，再由点斜式即可求解； （3）确定中点坐标，再由两点式即可求解. 【详解】（1）根据题意可知， 则根据直线两点式方程可得，即； （2）设高BD所在的直线方程的斜率为，直线斜率为， 由（1）知直线斜率为，根据高所在的直线方程的斜率与斜率乘积为， 即，则可得，再由直线点斜式方程可得， 即，这就是所求的直线方程； （3）由，得线段的中点的坐标为， 则根据两点式可得直线方程为， 即. 4．（23-24高二上·江苏南京·开学考试）已知平面内两点，． (1)求过点且与直线垂直的直线的方程． (2)若是以为顶点的等腰直角三角形，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【知识点】由两条直线垂直求方程、已知两点求斜率、直线的点斜式方程及辨析 【分析】（1）利用斜率公式求出直线的斜率，再根据直线的斜率与直线垂直的直线的斜率乘积为和点斜式求解即可； （2）求出线段垂直平分线的方程为，故点在直线上，设点为，根据等腰直角三角形两直角边垂直，所在直线斜率存在，斜率之积为建立等式求解即可． 【详解】（1）由题意得，则直线的斜率为， 所以过点且与直线垂直的直线的方程为：， 即． （2）的中点坐标为， 由（1）可知线段垂线的斜率为，所以线段垂直平分线的方程为， 即． 因为是以为顶点的等腰直角三角形， 所以点在直线上， 故设点为， 由可得：， 解得或， 所以点坐标为或， 则直线的方程为或． 题型四：直线过定点问题 1.（24-25高二上·江苏·开学考试）直线恒过定点 【答案】 【知识点】直线过定点问题 【分析】整理直线方程，列出方程组，求出定点坐标即得. 【详解】直线，化为， 令，解得， 所以直线恒过定点， 故答案为： 2．（23-24高二上·江苏南通·期末）直线经过的定点坐标为 . 【答案】 【知识点】直线过定点问题 【分析】把方程化为关于的等式，然后由恒等式知识求解． 【详解】已知直线方程化为， 由得，所以直线过定点． 故答案为：． 3.过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则 ． 【答案】5 【知识点】由一般式方程判断直线的垂直、直线过定点问题 【分析】由已知求出A，B的坐标，由两直线垂直的条件知两直线垂直，然后结合勾股定理即可求解． 【详解】由已知， 直线的方程可以写成， 由得， 即， 又， 所以两直线垂直． 所以． 故答案为:5． 4．（多选）（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）已知点，直线与线段相交，则的取值可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【知识点】直线过定点问题、直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】求出直线经过的定点，根据直线与线段相交，求出对应的直线斜率，从而得出直线斜率的取值范围. 【详解】直线的方程为，可化为， 所以直线过定点， 直线与线段相交，如图所示． 则， ， 直线与线段相交时，斜率的取值范围是， 直线的斜率的取值可以为，，. 故选：ABC 5．（24-25高二上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知，，，直线． (1)证明直线经过某一定点，并求此定点坐标； (2)若直线等分的面积，求直线的一般式方程； 【答案】(1)证明见解析；定点为 (2) 【知识点】三角形面积公式及其应用、直线过定点问题、直线的点斜式方程及辨析、直线一般式方程与其他形式之间的互化 【分析】（1）方程整理得，可得方程组，解之即得定点坐标； （2）判断为正三角形，推理点为的三等分点（靠近点），由求得，设，利用求出点坐标，即得直线方程. 【详解】（1）由，整理得， 由解得，即直线经过定点； （2） 如图，因，，，,可得：, 即为正三角形，又由，可知点为的三等分点（靠近点）， 则,由题意，直线必与边相交（否则若与边相交于点,则,不合题意）， 设交点为，依题意，由，可得, 解得，则.设点， 由,可得，解得，即, 于是，,故直线的方程为：， 即. 6．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）在直角坐标平面中，已知直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，记的面积为. (1)求直线经过的定点的坐标； (2)证明：； (3)是否存在直线，使得，若存在，求直线的方程；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在， 【知识点】基本不等式求和的最小值、由两条直线垂直求方程、直线过定点问题 【分析】（1）直线方程化为，令解方程组即可； （2）法一过点分别向轴和轴作垂线，垂足为、，利用矩形的面积小于三角形的面积即可证明；法二分别求出点坐标，再结合基本不等式求解即可； （3）求出，设存在直线，问题转化为，再利用两直线垂直得到斜率关系，最后求出直线方程即可； 【详解】（1）直线方程化为， 由解得， 所以直线经过的定点. （2） （法一）过点分别向轴和轴作垂线，垂足为、， 则矩形的面积， 而的面积大于矩形的面积，所以. （法二）由题意，得， 令，得，则， 令，得，则， 所以的面积 ， 当且仅当，即时取等号. 所以的面积. （3）由得， 假设存在直线，使得， 即存在直线，使得， 由同一三角形面积相等可得此时，由得直线斜率， 直线的方程为，即. 7．（23-24高二上·江苏·期中）已知直线分别交轴、轴的正半轴于点A，B，O为坐标原点． (1)若直线过定点M，且M是线段AB的中点，求实数的值； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知两点求斜率、基本不等式“1”的妙用求最值、直线截距式方程及辨析、直线过定点问题 【分析】（1）由题意可得，再结合M为AB的中点，由此即可得解. （2）设直线AB的方程可写成， 将代入得， 结合基本不等式即可得解，注意取等条件. 【详解】（1）由题意易得直线AB过定点，又M为AB的中点， 故， 故． （2）设，，其中，，则直线AB的方程可写成， 将代入得，， 故， 当且仅当，即，亦即时取等号， 故的最小值为． 一、多选题 1．（24-25高二上·江苏扬州·期中）下列说法正确的是（    ） A．如果，，则直线不通过第二象限 B．直线过点，它在轴上的截距是在轴上的截距的倍，则此直线方程为 C．无论取任何实数，直线必过定点 D．的一条内角平分线的方程为，，，则顶点的坐标为 【答案】AC 【知识点】直线截距式方程及辨析、直线图象的辨析、直线过定点问题、向量夹角的计算 【分析】利用给定条件结合一次函数性质判断A，利用截距式方程结合分类讨论判断B， 对给定直线化简，令含参部分和其他部分同时为求解定点判断C， 利用角平分线性质得到两个角相等，再利用平面向量的夹角公式建立方程，求解参数判断D即可. 【详解】对于A，易得，直线方程可化为， 因为，，所以与符号相反，与符号相同， 则与符号相反，故直线的斜率，在y轴上的截距， 则直线不经过第二象限，故A正确； 对于B，设直线方程在轴上的截距为， 因为它在轴上的截距是在轴上的截距的倍， 所以它在轴上的截距是， 当时，设直线方程为， 将代入直线方程，得到，解得， 故直线方程为，化简得， 当时，则直线方程必过原点，设直线方程为， 将代入直线方程，得到，解得， 故直线方程为，化简得， 综上，此直线方程为或，故B错误， 对于C，因为， 所以， 故得， 即有，， 解得， 故原直线必过定点，故C正确， 对于D，因为的一条内角平分线的方程为， 且设顶点的坐标为，由题意得，， 因为是的一条内角平分线，所以， 而，， 而的方程为，故设， 因为，所以， 所以， 故得， 解得，故顶点的坐标为，故D错误. 故选：AC 2．（24-25高二上·江苏宿迁·期中）设为实数，直线：，点，，则下列说法正确的有（    ） A．直线过定点 B．若点，到直线的距离相等，则 C．直线与轴一定相交 D．若直线不过第二象限，则 【答案】AC 【知识点】直线过定点问题、由两条直线平行求方程 【分析】根据直线过定点的求法判断A，由特殊情况直线与两点连线平行判断B，分析直线不能写成的形式判断C，取特例判断D. 【详解】由直线：，可得， 当，即时，方程恒成立， 即直线过定点，故A正确； 当直线与平行（或重合 ）或直线过的中点时，点，到直线的距离相等， 由，可知时，直线为，与平行，符合题意，故B错误； 由直线：可知，直线倾斜角不可能 为0，所以一定与x轴相交，故C正确； 直线不过第二象限，当时，直线方程为，满足题意，故D错误. 故选：AC 3．（24-25高二上·江苏连云港·期中）下列说法正确的是（    ） A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 B．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 C．点关于直线的对称点为 D．过，两点的直线方程为 【答案】AC 【知识点】直线截距式方程及辨析、求点关于直线的对称点、直线两点式方程及辨析、直线与坐标轴围成图形的面积问题 【分析】选项A，分别令和，求出直线与坐标轴交点，再结合面积公式判断即可；选项B，特殊情况不成立；选项C，求出对称点坐标即可判断；选项D，利用两点式的前提条件可判断. 【详解】A，令得，令得， 则直线与两坐标轴围成的三角形的面积，故A正确； B，经过点且在轴和轴上截距都相等的直线还有过原点的直线，故B错误； C，设关于直线对称点坐标为， 则，解得，故C正确； D，两点式使用的前提是，故D错误； 故选：AC. 4．（22-23高二上·江苏徐州·阶段练习）已知直线在轴和轴上的截距相等，则的值可能是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】AC 【知识点】直线一般式方程与其他形式之间的互化、直线截距式方程及辨析 【分析】由题设得，再求出截距并列方程求参数值即可. 【详解】当时，不满足题设，故， 令，则；令，则， 所以，可得或. 故选：AC 二、填空题 5．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知直线和直线都过点，求过点和点的直线方程 ． 【答案】 【知识点】直线的一般式方程及辨析 【分析】根据，得出所求直线方程. 【详解】因为直线和直线都过点， 所以，. 由上式可得点和点都在直线上， 即过点和点的直线方程为. 故答案为： 6．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知直线：的倾斜角为，直线的倾斜角为，且直线在轴上的截距为3，则直线的一般式方程为 . 【答案】 【知识点】直线的一般式方程及辨析 【分析】确定，计算，得到直线斜率，再计算直线方程得到答案. 【详解】直线：的倾斜角为，则， 故，故直线的斜率为，截距为， 故直线方程为，即. 故答案为： 7．已知直线，若直线l不经过第三象限，则k的最大值是 . 【答案】0 【知识点】直线过定点问题、斜率与倾斜角的变化关系 【分析】根据题意求出直线过定点，数形结合得解. 【详解】直线的方程可化为， 令，所以， 所以直线过定点，所以， 由直线可得：， 若不经过第三象限，则. 所以的最大值为. 故答案为：0.    8．过坐标原点作直线：的垂线，垂足为，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】直线的一般式方程及辨析、求二次函数的值域或最值 【分析】根据给定条件，将表示成的函数，求出函数的值域即可. 【详解】依题意，，直线的方向向量，则有， 解得， 因此， 因当时，取最小值， 则有， 所以的取值范围是. 故答案为： 9．（24-25高二上·江苏无锡·阶段练习）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为 【答案】或 【知识点】直线一般式方程与其他形式之间的互化、直线截距式方程及辨析、直线的点斜式方程及辨析 【分析】根据两坐标轴上的截距之和为零，先设直线方程，再根据点在线上求参即可得出直线方程. 【详解】因为直线在两坐标轴上的截距之和为零 所以设直线方程为或, 再因为直线过点可得， ,可得. 所以直线方程为或. 故答案为：或. 10．（24-25高二上·江苏·阶段练习）的顶点坐标分别为，则角的平分线所在的直线方程为 . 【答案】 【知识点】直线两点式方程及辨析、向量坐标的线性运算解决几何问题 【分析】设角的平分线与交于点，利用角平分线定理确定点的位置，根据向量之间的关系求点的坐标，计算角平分线所在直线方程. 【详解】 如图，角的平分线与交于点. 由题意得，，. 由角平分线定理得，， ∴, 设点坐标为，则， ∴， ∴， ∴直线方程为：，整理得. 故答案为：. 三、解答题 11．（22-23高二上·江苏盐城·期中）已知直线l过定点，且交x轴负半轴于点A、交y轴正半轴于点B．点O为坐标原点． (1)若的面积为4，求直线l的方程； (2)求的最小值，并求此时直线l的方程． 【答案】(1) (2)； 【知识点】基本不等式求和的最小值、直线的点斜式方程及辨析 【分析】（1）根据题意设直线方程为，分别令，，得到，，再由求解； （2）由，利用基本不等式求解. 【详解】（1）解：由题意得：直线l的斜率存在，设为 ， 则直线方程为， 令，得；令，得， 所以， 解得， 此时直线方程为，即； （2）， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为，此时直线方程为， 即. 12．（23-24高二上·江苏扬州·开学考试）已知直线的方程为： (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)过点引直线，使它与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积最小，求的方程． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】基本不等式求和的最小值、直线过定点问题、直线与坐标轴围成图形的面积问题 【分析】（1）将直线方程改写成形式，解方程组即可. （2）设出直线的方程，分别令、求出相对于的y值、x值，结合三角形面积公式及基本不等式即可求得结果. 【详解】（1）证明：由可得：， 令， 所以直线过定点． （2）由（1）知，直线恒过定点， 所以设直线的方程为， 令，则；令，则， 所以， 当且仅当，即时，三角形面积最小， 此时的方程为． 13．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知的顶点，顶点在轴上，边上的高所在的直线方程为. (1)求直线的方程； (2)若边上的中线所在的直线方程为，求的值. 【答案】(1)； (2). 【知识点】直角坐标系中的基本公式、由两条直线垂直求方程 【分析】（1）求出直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程； （2）设点，利用的中点在直线上，求出值，再由点在直线上求出值. 【详解】（1）依题意，由边上的高所在的直线的斜率为，得直线的斜率为， 又，所以直线的方程为，即. （2）由点在轴上，设，则线段的中点， 由点在直线上，得，得，即， 又点在直线上，因此，解得， 所以的值为. 14．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）设为实数，直线． (1)求证：不论为何值，直线必过定点，并求出定点的坐标； (2)过点引直线，使它与两坐标轴的正半轴的截距之和最小，求的方程． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、直线过定点问题、直线截距式方程及辨析 【分析】（1）列出方程，解方程组，可求出定点； （2）设出直线的方程，将点代入，可得，利用基本不等式可求得取最小值时的，，从而得解. 【详解】（1）因为直线， 所以，对恒成立， 从而由，解得，从而直线过定点. （2）由题意设， 因为直线过定点，所以， 与两坐标轴的正半轴的截距之和为， ，当且仅当， 即时等号成立， 从而的方程为，即. 15．（23-24高二上·江苏南京·开学考试）已知直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点. (1)当时，求直线的方程； (2)当的面积为时，求直线的方程. 【答案】(1)； (2)或 【知识点】直线截距式方程及辨析 【分析】（1）设直线的截距式为，由题意列出方程组，求出截距即可得解； （2）利用截距表示出三角形面积，再联立方程求出截距，即可得解. 【详解】（1）设直线的方程为，且 由，得，由直线过点，得，解得， 所以直线的方程为. （2）设直线的方程为，且直线不经过原点， 由题意知，，，解得或， 所以直线的方程为或. 16．（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知直线经过点． (1)若直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线的方程； (2)若直线在轴上的截距是在轴上的截距的倍，求直线的方程. 【答案】(1)或 (2)或 【知识点】直线一般式方程与其他形式之间的互化、直线截距式方程及辨析 【分析】（1）利用截距式，设直线的方程为，再根据面积和经过的得到方程组，解出即可； （2）分直线过原点和不过原点讨论即可. 【详解】（1）由题意可设直线的方程为， 代入有，又由题意得，则， 联立解得或， 则直线的方程为或， 即或. （2）当直线经过原点时，则，则，即； 当直线不经过原点时，设，代入，则有，解得， 即. 综上所述直线的方程为或. 17．（23-24高二上·江苏无锡·阶段练习）如图，平面直角坐标系内，为坐标原点，点在轴正半轴上，点B在第一象限内，. (1)若，求的面积的最大值和取得面积最大值时的直线的方程； (2)设，若，求证：直线过一定点，并求出此定点的坐标. 【答案】(1)， (2)证明见解析，直线恒过定点. 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、直线过定点问题 【分析】（1）设，由距离公式结合基本不等式得出，进而得出的面积的最大值，并由取等条件得出直线AB方程； （2）讨论直线的斜率，设出直线方程，由得出，进而得出定点. 【详解】（1）设. 由，得，即. ， 当且仅当时取等号. 所以的面积， 当的面积取最大值时，， 直线的方程为：，即. （2） 若直线的斜率不存在，有，又，解得， 即直线的方程为； 若直线的斜率存在，则直线的方程， 化简得， 两边同除，又， 所以，整理得， 得过定点所以直线恒过定点. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2 直线的方程 题型一：直线的点斜式方程 1．（24-25高二上·江苏·期中）已知直线倾斜角为，且过，则在轴上的截距为（   ） A． B． C．1 D． 2．（24-25高二上·江苏连云港·期中）过点且倾斜角为90°的直线方程为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·江苏盐城·期中）直线的方程是，则直线的纵截距是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·江苏·期中）过点，斜率为所在直线的点斜式方程为 ． 5．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）经过点，斜率为3的直线方程为 ． 6．（多选）（24-25高二上·江苏淮安·阶段练习）下列结论正确的是（    ） A．直线l过点，倾斜角为90°，则其方程是 B．方程与方程可表示同一直线 C．直线l过点，斜率为0，则其方程是 D．所有的直线都有点斜式和斜截式方程 7．已知直线的倾斜角为，与轴的交点到坐标原点的距离为，求直线的斜截式方程. 8．（24-25高二上·江苏泰州·期中）已知的两顶点坐标为，，是边的中点，是边上的高. (1)求所在直线的方程； (2)求高所在直线的方程. 题型二：直线两点式方程 1．（24-25高二上·江苏扬州·期中）经过点的直线在轴上的截距是（ ） A．-10 B．10 C． D． 2．（多选）（23-24高二上·安徽铜陵·期中）过点且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为（    ） A． B． C． D． 3.已知直线l经过点，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的斜截式方程． 4．（24-25高二上·江苏连云港·期中）平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标为为的中点. (1)求直线的方程和边上的高所在的直线方程； (2)过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率范围是？ 题型三：直线的一般式方程 1．（24-25高二上·江苏泰州·期中）直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）直线分别交轴和于两点，若是线段的中点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·江苏徐州·开学考试）过点且斜率为1的直线方程是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）斜率为，且经过点的直线方程为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·江苏常州·阶段练习）若直线的倾斜角为，在轴上的截距为，则（   ） A．， B．， C．， D．， 6.设直线l的方程为，若直线l在x轴和y轴上的截距相等，试求m的值. 7.已知直线l经过点，，求直线l的点斜式、斜截式和一般式方程，并根据方程指出直线在x轴、y轴上的截距. 题型四：直线一般式方程与其他形式之间的互化 1．（24-25高二上·江苏南通·期中）若直线的斜率为，在轴上的截距为，则（    ） A． B．， C． D．， 2．（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·江苏盐城·期中）已知，则直线经过 （    ） A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限 4．（24-25高二上·江苏淮安·期中）在轴，轴上的截距分别为的直线方程为 （用一般式表示） 5．（多选）（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．不经过原点的直线都可以表示为 B．若直线与两坐标轴交点分别为A、B，且的中点为，则直线l的方程为 C．过点且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线方程为或 D．直线的截距式方程为 6．求与直线平行，并且和两坐标轴在第一象限所围成的三角形面积是15的直线方程. 7．求过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的方程. 题型五：由一般式方程判断直线的平行 1．在平面直角坐标系中，直线与直线的位置关系为（    ） A．相交但不垂直 B．垂直 C．平行 D．重合 2．直线和的位置关系是（    ） A．平行 B．不平行 C．平行或重合 D．既不平行也不重合 3．若直线与直线平行，则实数等于（     ） A． B． C．或 D． 4．设、、分别是的对边长，则直线与的位置关系是 ． 题型六：由一般式方程判断直线的垂直 1．（23-24高二上·江苏镇江·期中）已知直线，，若，则实数（    ） A．2 B． C． D． 2．直线与直线垂直，则的值为（    ） A． B．1 C． D．9 3.直线和直线的位置关系是（    ） A．相交且垂直 B．平行 C．相交且不垂直 D．不确定 题型一：直线与坐标轴围成图形的面积问题 1.直线l的倾斜角是直线倾斜角的一半，且直线l与坐标轴所围成的三角形的面积为10，则直线l的方程可能是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知直线 (1)求证：不论实数取何值，直线恒过一定点； (2)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积为6，求的方程. 3．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知直线过定点，根据下列条件求直线l的方程. (1)若直线l与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为16； (2)若直线l被两条直线和所截得的线段的中点恰好为P，求直线l的方程. 4．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知直线过点，根据下列条件分别求出直线的方程． (1)在轴、轴上的截距互为相反数； (2)与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形面积最小． 5.设为实数，若直线的方程为，根据下列条件分别确定的值： (1)直线的斜率为； (2)直线与两坐标轴在第二象限围成的三角形面积为. 题型二：由两条直线平行求方程 1．（24-25高二上·江苏苏州·期中）经过点且与直线平行的直线方程是 . 2．（21-22高二上·江苏宿迁·期中）求符合下列条件直线的方程： (1)过点A（-3，-1），且倾斜角为． (2)过点P（3，4），且两点到这直线距离相等． 题型三：由两条直线垂直求方程 1．（24-25高二上·江苏常州·期末）若的三个顶点为，则边上的高所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江苏盐城·期末）（1）求过，且与直线平行的直线的方程. （2）已知的三个顶点，，，求边上的高所在的直线方程. 3．（24-25高二上·江苏盐城·期中）三角形的三个顶点是． (1)求直线方程； (2)求边上的高所在直线的方程； (3)求边上的中线所在直线的方程． 4．（23-24高二上·江苏南京·开学考试）已知平面内两点，． (1)求过点且与直线垂直的直线的方程． (2)若是以为顶点的等腰直角三角形，求直线的方程． 题型四：直线过定点问题 1.（24-25高二上·江苏·开学考试）直线恒过定点 2．（23-24高二上·江苏南通·期末）直线经过的定点坐标为 . 3.过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则 ． 4．（多选）（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）已知点，直线与线段相交，则的取值可能为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知，，，直线． (1)证明直线经过某一定点，并求此定点坐标； (2)若直线等分的面积，求直线的一般式方程； 6．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）在直角坐标平面中，已知直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，记的面积为. (1)求直线经过的定点的坐标； (2)证明：； (3)是否存在直线，使得，若存在，求直线的方程；若不存在，说明理由. 7．（23-24高二上·江苏·期中）已知直线分别交轴、轴的正半轴于点A，B，O为坐标原点． (1)若直线过定点M，且M是线段AB的中点，求实数的值； (2)求的最小值． 一、多选题 1．（24-25高二上·江苏扬州·期中）下列说法正确的是（    ） A．如果，，则直线不通过第二象限 B．直线过点，它在轴上的截距是在轴上的截距的倍，则此直线方程为 C．无论取任何实数，直线必过定点 D．的一条内角平分线的方程为，，，则顶点的坐标为 2．（24-25高二上·江苏宿迁·期中）设为实数，直线：，点，，则下列说法正确的有（    ） A．直线过定点 B．若点，到直线的距离相等，则 C．直线与轴一定相交 D．若直线不过第二象限，则 3．（24-25高二上·江苏连云港·期中）下列说法正确的是（    ） A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 B．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 C．点关于直线的对称点为 D．过，两点的直线方程为 4．（22-23高二上·江苏徐州·阶段练习）已知直线在轴和轴上的截距相等，则的值可能是（    ） A．1 B． C．2 D． 二、填空题 5．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知直线和直线都过点，求过点和点的直线方程 ． 6．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知直线：的倾斜角为，直线的倾斜角为，且直线在轴上的截距为3，则直线的一般式方程为 . 7．已知直线，若直线l不经过第三象限，则k的最大值是 . 8．过坐标原点作直线：的垂线，垂足为，则的取值范围是 . 9．（24-25高二上·江苏无锡·阶段练习）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为 10．（24-25高二上·江苏·阶段练习）的顶点坐标分别为，则角的平分线所在的直线方程为 . 三、解答题 11．（22-23高二上·江苏盐城·期中）已知直线l过定点，且交x轴负半轴于点A、交y轴正半轴于点B．点O为坐标原点． (1)若的面积为4，求直线l的方程； (2)求的最小值，并求此时直线l的方程． 12．（23-24高二上·江苏扬州·开学考试）已知直线的方程为： (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)过点引直线，使它与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积最小，求的方程． 13．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知的顶点，顶点在轴上，边上的高所在的直线方程为. (1)求直线的方程； (2)若边上的中线所在的直线方程为，求的值. 14．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）设为实数，直线． (1)求证：不论为何值，直线必过定点，并求出定点的坐标； (2)过点引直线，使它与两坐标轴的正半轴的截距之和最小，求的方程． 15．（23-24高二上·江苏南京·开学考试）已知直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点. (1)当时，求直线的方程； (2)当的面积为时，求直线的方程. 16．（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知直线经过点． (1)若直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线的方程； (2)若直线在轴上的截距是在轴上的截距的倍，求直线的方程. 17．（23-24高二上·江苏无锡·阶段练习）如图，平面直角坐标系内，为坐标原点，点在轴正半轴上，点B在第一象限内，. (1)若，求的面积的最大值和取得面积最大值时的直线的方程； (2)设，若，求证：直线过一定点，并求出此定点的坐标. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$