江西省南昌市第二中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题

南昌二中2024-2025学年度下学期高一数学期末试卷 命题人： 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（ ） A． B． C． D． 2．在半径为的圆中，面积为的扇形的圆心角等于（ ） A． B． C． D． 3．已知单位向量的夹角为，则（ ） A． B． C． D． 4．设是两个不同的平面，则的一个充分条件是（ ） A．平行于同一条直线 B．平行于同一个平面 C．垂直于同一个平面 D．内有无数条直线与平行 5．若点是函数图象的一个对称中心，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 6．如图，已知是正三角形，和都垂直于平面，且，分别是和的中点，则下列结论错误的是（ ） A．∥平面 B．平面 C． D．平面平面 7．已知的角所对的边分别为，若，，，则的面积为（ ） A． B． C． D． 8．已知函数的部分图象如图所示，将函数图象上所有的点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若在上单调递增，且对在上都不单调，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 10．如图，点为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中满足直线平面的是（ ） A B C D 11．已知锐角三个内角的对应边分别为，且，，则下列结论正确的是（ ） A．的取值范围为 B．的最小值为 C．的值可能为 D．的面积最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．如图是斜二测画法下水平放置的平面图形的直观图，若是边长为2的正方形，则平面图形的周长为________． 13．已知与的比是，则________． 14．在中，，，若，则的最小值为_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在平面直角坐标系中，已知. （1）若四边形是平行四边形，求的坐标； （2）若，求的值． 16．（15分） 如图，要把半径为的半圆形木料截成矩形，记. （1）求矩形周长的最大值； （2）当取何值时，矩形的面积最大，并求出最大值. 17．（15分） 如图，是的直径，点为该圆上的点，，所在的平面. （1）求证：平面平面； （2）若，求异面直线与所成角的余弦值． 18．（17分） 在中，角的对边分别为，且. （1）求； （2）若，点为的中点，且，求； （3）若为锐角三角形，点在内，且，求的取值范围． 19．（17分） 如图，斜三棱柱中，，四边形是菱形，为的中点，平面，． （1）求证：四边形为矩形； （2）在上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； （3）若分别为的中点，求此斜三棱柱被平面所截的截面面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$期末考试试卷 高一数学 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 （21 页练习 1）1． 16π sin( ) 3 − =（ ） A． 1 2 − B． 3 2 − C． 1 2 D． 3 2 【解析】D；因为 16π 2π 18π 2π 3 sin( ) sin( ) sin 3 3 3 3 2 − = − = = . （12 页 B 组第 2 题）2．在半径为R的圆中，面积为 22R 的扇形的圆心角等于（ ） A．4 B．3 C． 2 D．1 【解析】A；因为 2 2 1 2 2 S R R=  = ，所以 4 = . （106 页例 8）3．已知单位向量 ,a b的夹角为60，则 | 2 |a b− = A．1 B． 2 C． 3 D．3 【解析】C； 2 2 | 2 | 4 4 3a b a a b b− = −  + = . 4．设 ,  是两个不同的平面，则 ∥ 的一个充分条件是（ ） A． ,  平行于同一条直线 B． ,  平行于同一个平面 C． ,  垂直于同一个平面 D． 内有无数条直线与  平行 【解析】B；平行与同一个平面的两平面平行. （61 页思考与交流）5．若点 ( ,0)( 0)a a  是函数 5π 2 tan( ) 4 y x= + 图象的一个对称中心， 则 a的最小值为（ ） A． 3π 4 B． π 3 C． π 4 D． π 6 【答案】C；因为 5π π 2 tan( ) 2 tan( ) 4 4 y x x= + = + ，则 π π 4 2 k x + = ， Zk ， 当 1k = 时， π 4 x = ，选 C. （253 页 11 题）6．如图，已知 ABC 是正三角形，EA和DC都垂直于平面 ABC，且 2EA AB DC= = ， ,F G分别是EB和 AB的中点，则下列结论错误的是（ ） A．FD∥平面 ABC B． FG ⊥平面 ABC C． FC AB⊥ D．平面 EBC ⊥平面EAB G F E D C B A 【解析】D； （115 页例 9）7．已知 ABC 的角 , ,A B C所对的边分别为 , ,a b c，若 ab a b= + ， 2c = ， 60C = ，则 ABC 的面积为（ ） A．1 B． 3 C． 2 D． 2 3 【解析】B；由 2c = ， 60C = ，所以 2 2 24 ( ) 3a b ab a b ab= + − = + − ， 因为 ab a b= + ，所以 2( ) 3 4 0ab ab− − = ，所以 4ab = 或 1ab = − （舍） 所以 ABC 的面积为 1 sin 3 2 ab C = . 8．已知函数 ( ) sin(2 )( 0,| | π)f x A x A = −   的部分图象如图所示，将函数 ( )f x 图象上 所有的点的横坐标变为原来的 1  ，纵坐标不变，得到函数 ( )g x 的图象，若 ( )g x 在 (0, π 3 ) 上单调递增，且对 R, ( )a g x  在 ( , π)a a + 上都不单调，则的取值范围为（ ） A. ( 1 5 , ] 2 2 B. ( 1 5 , ] 2 4 C. ( 5 1, ] 2 D. ( 5 1, ] 4 【解析】B； 二、选择题：本题共 3小题，每题 6分，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。 （24 页例 3）9．已知 1 sin(π ) 3 + = ， π ( ,0) 2   − ，则下列结论正确的是（ ） A． 1 sin 3  = − B． 2 2 cos(π ) 3 + = − C． tan(π ) 2 2− = D． 7 cos 2 9  = 【解析】ABD；因为 1 sin(π ) 3 + = ， π ( ,0) 2   − ， 所以 1 sin 3  = − ， 2 2 cos 3  = ， 2 tan 4  = − ， 所以 2 2 cos(π ) 3 + = − ， 7 cos 2 9  = . （253 页 B 组第 1 题）10．如图，点 , , , ,A B C M N 为正方体的顶点或所在棱锥的中点， 则下列各图中满足直线MN∥平面 ABC的是 x y 7π 6 O A B C D 【答案】AD 【解析】选项 A，取 BC的中点为D，可以证明MN AD∥ ，因为MN不在平面 ABC内， 所以MN∥平面 ABC； 选项 B，将直线MN平移使得点N 与点C重合，则显然可知MN与平面 ABC不平行； 选项 C，因为MN在平面 ABC内，所以MN与平面 ABC不平行； 选项 D，取 BC的中点为 E，可以证明MN AE∥ ，因为MN不在平面 ABC内，所以MN∥ 平面 ABC； 故选 AD. 11．已知锐角 ABC 三个内角 , ,A B C的对应边分别为 , ,a b c，且 π 3 C = ， 2b = ，则下 列结论正确的是（ ） A． B的取值范围为 ( , ) 6 2   B．BA BC 的最小值为 1 4 − C． c的值可能为3 D． ABC 的面积最大值为 2 3 【解析】AC； A 选项，因为 π 3 C = ，锐角 ABC ，所以 B的取值范围为 ( , ) 6 2   ； B 选项，因为 π 3 C = ， 2b = ，由余弦定理可知 2 2 4 1 4 2 a c a − + = ， 所以 2 2 2 4a c a− − = − ，所以 2 2 24 2 a c BA BC a a + −  = = − ， 因为 π 2sin( ) 2sin 33 1 (1,4) sin sin tan B A a B B B + = = = +  ， 所以BA BC 的最小值不是 1 4 − ； C 选项， 3 ( 3,2 3) sin c B =  ，所以c的值可能为3； D 选项， 1 3 3 sin ( ,2 3) 2 2 2 ABCS ab C a = =  ，故最大值不是2 3 . 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。 12．如图是斜二测画法下水平放置的平面图形 ABCD的直观图 A B C D   ，若 A B C D    是边长为 2 的正方形，则平面图形 ABCD的周长为________． A NB M C B A NC M N M B C A N MA C B 【解析】将直观图还原为原来的图形，则四边形 ABCD如下图： 所以 4, 2 2AB CD BD= = = ，则 2 6AD BC= = ， 所以平面图形 ABCD的周长为8 4 6+ . （158 页 B 组第 4 题）13．已知 sin 与 sin 2  的比是8 : 5，则 cos = ________． 【解析】因为 sin 与 sin 2  的比是8 : 5，设 sin 8 ,sin 5 2 k k   = = ， 则 2sin cos 8 2 2 k   = ，则10 cos 8 2 k k  = ，则 4 cos 2 5  = ， 所以 2 7cos 2cos 1 2 25   = − = . 14．在 ABC 中，AD DC= ， 2CB BE= ，若 AB DE⊥ ，则cosC的最小值为_________. 【解析】 3 2 ； AB CB CA= − ， 3 1 2 2 DE DC CE CB CA= + = − ， 因为 AB DE⊥ ，所以 3 1 ( )( ) 0 2 2 CB CA CB CA− − = ， 所以 2 2 3 1 2 cos 2 2 a b ab C+ = ， 即 2 23 1 3 3 32 2cos 2 2 4 4 4 4 2 a b a b a b C ab b a b a + = = +   = ， C' D' y' x'B' O' A' D C B A O y x 即 cosC的最小值为 3 2 . 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 （129 页第 6 题）15．（13 分） 在平面直角坐标系 xOy中，已知 (2,1), (3, 1), ( 3,0)A B C . （1）若四边形 ABCD是平行四边形，求D的坐标； （2）若 ( )OC tOB OA，求 t的值． 【解析】（1）设 ( , )D x y ，因为 (2,1), (3, 1), ( 3,0)A B C ， 所以 (1, 2)AB = − ， ( 3 , )DC x y= − − − ， 因为四边形 ABCD是平行四边形，所以 AB DC， 4 2 x y = −  = ，则D的坐标为 ( 4,2)− ； （2）因为 (2,1), (3, 1), ( 3,0)A B C ， 所以 (2,1), (3, 1), ( 3,0)OA OB OC ， 所以 ( 3 3 , )OC tOB t t ，因为 ( )OC tOB OA， 所以 6 6 0t t− − + = ，所以 6 5 t = − . （155 页例 3）16．（15 分） 如图，要把半径为3的半圆形木料截成矩形 ABCD，记 AOB  = . （1）求矩形 ABCD周长的最大值； （2）当 取何值时，矩形 ABCD的面积最大，并求出最大值. 【解析】（1）因为半径为3， AOB  = ， 所以 3sinAB = ， 3cosOB = ， 所以 6sin 12cos 6 5 sin( )AB BC CD DA    + + + = + = + ， 当且仅当 1 tan 2  = 时，矩形 ABCD周长取得最大值6 5 ； （2）因为 3sinAB = ， 3cosOB = ， 所以矩形 ABCD的面积为2 3sin 3cos 9sin 2    = ， 当且仅当sin 2 1 = 时，即 π 4  = 时， 矩形 ABCD的面积最大，最大面积为9 . θ O D C B A （229 页练习 3）17．（15 分） 如图， AB是 O的直径，点C为该圆上的点， 120AOC = ， SA ⊥ O所在的 平面. （1）求证：平面 SBC ⊥平面 SAC； （2）若 SA AB= ，求异面直线 AB与CD所成角的余弦值． 【解析】（1）因为 AB是 O的直径，点C为该圆上的点， 所以 AC CB⊥ ， 因为 SA ⊥ O所在的平面， 所以 SA BC⊥ ，因为 AC SA A= ， 所以 BC ⊥平面 SAC， 因为BC 平面 SBC， 所以平面 SBC ⊥平面 SAC； （2）取 SA的中点为H，连接 , ,CH DH DO，设 2SA AB= = ， 所以 1DH = ， 因为 SA ⊥ O所在的平面，所以DO ⊥ O所在的平面， 所以 2DC = ， 因为 120AOC = ，所以 3AC = ， 所以 2CH = ，所以 1 2 4 2 cos 42 1 2 HDC + −  = = −   ， 所以异面直线 AB与CD所成角的余弦值为 2 4 . （123 页第 4 题改编）18．（17 分） 在 ABC 中，角 , ,A B C的对边分别为 , ,a b c，且2 2 cosc a B b= + . （1）求 A； （2）若 2AB = ，点F为 AB的中点，且 2CF AC BC=  ，求b； （3）若 ABC 为锐角三角形，点D在 ABC 内，且 2, 30AD DBA DCA=  =  = ， 求 BD DC+ 的取值范围． 【解析】（1）因为 2 2 cosc a B b= + ，所以 2sin 2sin cos sinC A B B= + ， 2sin cos 2cos sin 2sin cos sinA B A B A B B+ = + ，则 1 cos 2 A = ， 因为 (0,π)A ，所以 π 3 A = ， （2）因为 2AB = ， π 3 A = ， 在 AFC 中，由余弦定理可知， 21CF b b= + − ， 在 ABC 中，由余弦定理可知， 24 2BC b b= + − ， 因为 2CF AC BC=  ， 所以 2 21 4 2b b b b b+ − = + − ， 整理得 2 2 1 0b b+ − = ，解得 2 1b = − 或 2 1b = − − （舍）； （3）设 DAC  = ，则在 ADC 中，因为 2, 30AD DCA=  = ， D O C BA S 所以 2 sin sin 30 CD  =  ，所以 4sinCD = ， 在 ADB 中，因为 2, 30 , 60AD DBA BAD =  =   = − ， 所以 2 sin(60 ) sin 30 BD  = −  ，所以 4sin(60 )CD = − ， 所以 4sin 4sin(60 ) 4sin( 60 )BD DC   + = + − = +  ，因为 (0 ,60 )    ， 所以 BD DC+ 的取值范围为 (2 3,4] . 19．（17 分） 如图，斜三棱柱 1 1 1ABC ABC− 中，AB BC⊥ ，四边形 1 1ABB A是菱形，D为 AB的中 点， 1AD ⊥平面 ABC， 1 2 2BB BC= = ． （1）求证：四边形 1 1CBBC 为矩形； （2）在 1 1AC 上是否存在点Q，使得 1BQ ⊥平面 1ADC，若存在，求出 1 1 AQ QC 的值， 若不存在，请说明理由； （3）若 ,E F分别为 1,AA AC的中点，求此斜三棱柱被平面 1B EF所截的截面面积． 【解析】（1）因为 1AD ⊥平面 ABC，所以 1AD BC⊥ ， 因为 AB BC⊥ ， 1AD AB D= ，所以BC ⊥平面 1 1ABB A， 所以 1BC BB⊥ ，所以四边形 1 1CBBC 为矩形； （2）如图，过点B作CD的垂线交 AC于点P， 因为 1AD ⊥平面 ABC，所以 1AD BP⊥ ， 因为 1AD BP⊥ ，DC BP⊥ ， 1AD DC D= ， 所以 1B P ⊥平面 1ADC， 过点 1B 作BP的平行线交 1 1AC 于点Q，连接 1 ,BQ PQ， 所以 1BQ ⊥平面 1ADC， 在平面 ABC中以B为原点， BC为 x轴建立平面直角坐标系， 所以 (0,0), (1,0), (0, 1), (0, 2)B C D A− − ， 设 AP AC= ，则 ( ,2 2)P   − ， 所以 ( ,2 2)BP  = − ， ( 1, 1)CD = − − ， 因为BP CD⊥ ，所以 0BP CD = ， F E A B C A1 B1 C1 D C1B1 A1 C B A P Q D C1B1 A1 C B A 即 2 2 0 − + − = ，解得 2 3  = ， 在 1 1AC 上是存在点Q，当 1 1 2 1 AQ AP QC PC = = 时， 1BQ ⊥平面 1ADC； （3）延长 1,EF CC 交于点M ，连接 1MB 交BC于点N， 连接 1 ,B N FN，则四边形 1B EFN即为所得截面， 因为四边形 1 1ABB A是菱形，D为 AB的中点， 1AD ⊥平面 ABC， 所以 1ABA 是等边三角形，则 1 1 2AB AB AA= = = ， 因为 1BC = ，所以 1 1 1 5AC AC AC= = = ， 在 1 1AB E 中，因为 1 1 120B AE = ， 由余弦定理可知 1 7B E = ， 因为 ,E F分别为 1,AA AC的中点， 所以 5 2 EF = ， 5EM = ， 1 10MB = ， 在 1B EM 中，由余弦定理可知 2 2 2 1 1 1 1 2 2 cos 2 5 EM MB B E EMB EM MB + −  = =  ， 所以 1 17 sin 5 EMB = ， 所以 1 1 1 1 1 17 34 sin 5 10 2 2 5 2 B EMS EM MB EMB =    =    = ， 因为EF FM= ， 1 1 2 3 B N BM= ， 所以 1 1 5 5 34 6 12 B EFN B EMS S= = . N M F E A B C A1 B1 C1