1.4.1 用空间向量研究空间直线、平面的位置关系（第1课时）（教学设计）数学人教A版2019选择性必修第一册

1.4.1 用空间向量研究空间直线、平面的位置关系 第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示 教学设计 1.教学内容 本节课是人教A版（2019）选择性必修第一册 第一章“空间向量与立体几何”1.4.1 第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示，内容包括：空间点的位置向量定义，以基点O表示任意点P的向量；直线的向量表达式，由点A及方向向量确定，参数方程表示为；平面的向量表示，通过定点A及两不共线向量、或法向量n定义，形式为；法向量求解方法，含定义法与待定系数法，需结合平面内向量点积为零列方程.教学目标聚焦向量语言描述空间元素、方向向量与法向量概念理解及求解步骤掌握. 2.内容解析 本节课主要讲授如何用空间向量表示空间中的点、直线和平面，这是利用空间向量解决立体几何问题的关键.内容包括点的位置向量、直线的方向向量以及平面的法向量的概念和表示方法.通过向量表示，可以将复杂的立体几何问题转化为向量问题，从而简化求解过程.本节课的教学重点是掌握空间中点、直线和平面的向量表示方法，特别是直线的方向向量和平面的法向量的理解和应用.教学难点在于如何建立空间基本图形与向量之间的联系，将立体几何问题转化为空间向量问题，并熟练掌握法向量的求解和应用.通过本节课的学习，学生将能够理解空间中直线、平面的平行和垂直与空间向量的关联，并通过空间向量的应用，培养数学综合素养. 基于以上分析，确定本节课的教学重点为：掌握空间点线面的向量表示及法向量应用. 1.教学目标 (1)能用向量语言表示空间中的点、直线与平面. (2)能用自己的语言解释直线的方向向量、平面的法向量的含义. (3)能说出求解直线的方向向量与平面的法向量的一般步骤，会求直线的方向向量与平面的法向量. 2.目标解析 （1）掌握空间点用位置向量表示，直线用点加方向向量参数方程表达，平面用定点加两不共线向量或法向量定义，体会向量语言对空间图形的抽象与简化.​ （2）理解方向向量表征直线延伸趋势，法向量表征平面垂直方向，能用生活化比喻（如“法向量如平面‘标杆’”）说明其几何意义. （3）掌握方向向量由两点坐标差确定，法向量通过平面内两向量叉乘或平面方程系数提取，能规范操作并应用于具体问题求解. 学生已掌握平面向量基本定理、空间直角坐标系及立体几何初步知识，能进行向量线性运算，但对空间元素向量表示的系统认知不足.部分学生能通过坐标描述点位置，但缺乏用向量语言抽象直线、平面的经验；对方向向量与法向量的几何意义理解较浅，易混淆二者求解步骤（如方向向量依赖直线参数方程，法向量需叉乘或方程系数提取）. 预估困难： 1.空间想象障碍：难以将立体几何问题转化为向量问题（如用向量证明线面关系）. 2.步骤操作混淆：方向向量与法向量求解流程易错（如法向量非唯一性导致的符号问题）. 3.法向量理解困难：法向量垂直平面的抽象性质需结合具体模型深化. 解决策略： 1.直观演示：通过三维坐标系动态展示点、线、面的向量表示，强化空间对应关系. 2.对比辨析：设计“方向向量vs法向量”专题练习，突出二者求解差异（如方向向量取直线参数，法向量需两不共线向量）. 3.生活化类比：将法向量类比为“平面标杆”，用墙面垂直线辅助理解垂直性. 基于以上分析，确定本节课的教学难点为：空间图形与向量的转化能力，法向量垂直性的几何意义及求解步骤规范性. 问题引入 必修第二册中，学习了《立体几何初步》，该章主要探究了三个方面的知识： 一、线线平行与垂直、线面平行与垂直、面面平行与垂直等位置关系； 二、点到直线、点到平面等距离问题； 三、线线、线面、面面之间的夹角问题. 刚刚学习了空间向量知识，我们知晓空间向量这个工具的应用：既可以证明平行与垂直，又可以求距离和夹角. 提出想法:　能否借助空间向量这个工具来解决立体几何中位置关系问题、距离问题和夹角问题呢？ 预设：答案是肯定的 设计意图：复习立体几何问题，建立新旧知识关联，激发探究兴趣，凸显向量工具在空间问题中的普适性与简洁性. 教学建议：建议引导学生回顾立体几何问题，通过“向量能否统一解决几何问题”的设问驱动思考，结合具体案例演示向量方法，强化几何直观与代数运算的融合. 思考：在应用空间向量之前，需要解决一个关键性的问题： 点、线段和平面图形等是组成空间几何体的基本元素 教师：这是本节课需要探究学习的主要内容 探究1：在空间中，如何用向量表示空间中的一个点？ 师生：小组讨论，尝试得出结论，教师巡视，适当给与提示. 预设：如图1.4-1,在空间中,我们取一定点作为基点,那么空间中任意一点就可以用向量来表示．我们把向量称为点的位置向量． 探究2： 空间中给定一个点 A 和一个方向就能唯一确定一条直线 l ．你能将空间中确定直线 l 的这组条件转化为向量表示吗? 师生：小组讨论，尝试得出结论，教师巡视，适当给与提示. 预设：用向量表示直线,就是要利用点A和直线的方向向量表示直线上的任意一点． 如图1.4-2,是直线的方向向量,在直线上取,设是直线上的任意一点,由向量共线的条件可知,点在直线上的充要条件是存在实数,使得,即． 进一步地,如图1.4-3,取定空间中的任意一点,可以得到点在直线上的充要条件是存在实数,使 ① 将代入①式,得．② ①式和②式都称为空间直线的向量表示式．由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定. 探究3：两条相交直线能确定一个平面，类比空间直线的向量表示，你能将上述确定一个平面的条件转化为向量表示吗? 师生：小组讨论，尝试得出结论，教师巡视，适当给与提示. 预设：我们知道,平面可以由内两条相交直线确定．如图1.4-4,设两条直线相交于点,它们的方向向量分别为和,为平面内任意一点,由平面向量基本定理可知,存在唯一的有序实数对,使得 ． 这样,点与向量,不仅可以确定平面,还可以具体表示出内的任意一点．这种表示在解决几何问题时有重要作用． 进一步地,如图1.4-5,取定空间任意一点,可以得到,空间一点位于平面内的充要条件是存在实数,,使③ 我们把③式称为空间平面的向量表示式．由此可知,空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． 探究4：给一个定点和一个定方向（向量），能确定一个平面在空间中的位置吗？ 师生：小组讨论，尝试得出结论，教师巡视，适当给与提示. 预设：我们知道,给定空间一点A和一条直线,则过点A且垂直于直线的平面是唯一确定的．由此得到启发,我们可以利用点A和直线的方向向量来确定平面． 如图1.4-6,直线．取直线的方向向量,我们称向量为平面的法向量（normalvector）．给定一个点A和一个向量,那么过点A,且以向量为法向量的平面完全确定,可以表示为集合． 思考：如果另有一条直线,在直线上任取向量,与有什么关系? 师生：小组讨论，尝试得出结论，教师巡视，适当给与提示. 预设： 设计意图：通过问题引导学生将视野拓展到空间，得出空间中平面的多种向量表示方法，在获得新的表示方法的过程中，建立相关知识的联系，为后续用向量方法解决立体几何问题打下基础. 牛刀小试： 练1：下列命题是真命题的是（     ） A．平面的法向量是唯一确定的 B．平面的法向量是不唯一的，且它们共线 C．平面的法向量是不唯一的，且它们相互垂直 D．两个平面的法向量不可能相等 学生：思考并独立完成，得出答案，做好分享准备 解析：法向量的定义可知平面的法向量不唯一，且共线，故A错误、B正确、C错误； 若两个平面平行，则两个平面的法向量是可能相等的，故D错误； 练2：已知，在直线上，写出直线的一个方向向量为 . 学生：思考并独立完成，得出答案，做好分享准备 解析：点，，则， 而点在直线上，所以直线的一个方向向量可以为. 故答案为： 例1：如图1.4-7,在长方体中,,,,是的中点．以为原点,,,所在直线分别为轴、轴、轴,建立如图所示的空间直角坐标系． （1）求平面的法向量； （2）求平面的法向量． 解析：（1）因为轴垂直于平面,所以是平面的一个法向量． 教师：线面垂直法——找（证）线面垂直的直线 （2）因为,,,是的中点,所以,,的坐标分别为,,．因此,． ① 建系求点、求平面内两个向量坐标 设是平面的法向量, ② 设法向量坐标 则,． 所以，所以 ③ 列方程组 取,则,． ④ 赋非零值 于是是平面的一个法向量 ⑤ 下结论 待定系数法 牛刀小试： 练4：（多选）如图，已知正方体的棱长为1，以D为原点，以为单位正交基底，建立空间直角坐标系，则平面的一个法向量是__________ 解析：法一：易知，平面，所以可以作为平面的一个法向量. 又，所以，即是平面的一个法向量 答案不唯一，与（1,1,1）共线的向量均可以 法二：，，，，， 设是平面的一个法向量，则，， 所以， 令，得，， 即是平面的一个法向量 方法总结：（1）求平面法向量的方法与步骤 (1)建系求点坐标、平面内的两条相交直线的方向向量坐标，如； (2)设平面的法向量为； (3)列方程组； (4)赋非零值，设定一个坐标为常数(常数不能为0) (5)下结论：得到平面的一个法向量. （2）求平面法向量的常见类型 (1)已知平面内三个点的坐标,求这三个点确定的平面的法向量; (2)一个几何体中存在线面垂直关系,在建立空间直角坐标系后,平面的垂线的方向向量即为平面的法向量; (3)在几何体中找到平面内已知点的坐标或找到与平面平行的向量,然后求平面的法向量. 题型一：求直线方向向量、利用直线的方向向量求参 例1.已知，若直线的一个方向向量为，则___. 解析： 根据题意，,，若直线的一个方向向量为， 则设，即， 则，解得. 故答案为：． 例2.已知向量都是直线l的方向向量，则x的值是（    ） A．或1 B． C． D．1 解析： 因为向量都是直线l的方向向量； 所以向量共线， 则，解得. 故选：B 例3. 解析： 题型二：求平面法向量、利用法向量求参 例1.已知，则平面ABC的一个法向量可以为（    ） A． B． C． D． 解析：由题设，， 若是平面ABC的一个法向量，则， 所以， 所以， 取，则，即. 于是是平面ABC的一个法向量，故选A 解析： 例3. 已知平面经过点，且它的法向量，是平面内任意一点，则（     ） A． B． C． D． 解析：因为，，所以. 平面的法向量，则， 所以，即. 故选：A. 1．（24-25高二上·四川成都·期中） 经过点，点的直线的一个方向向量是 . 解析：由点，点，得 又点，点在直线上，所以是直线的一个方向向量 故答案为：（答案不唯一，时，均可） 2．（23-24高二上·山西·阶段练习） 已知直线l的一个方向向量，且直线l经过和两点，则（     ） A． B． C．1 D．2 解析：由和，得 又点，点在直线上，所以是直线的一个方向向量 又也是直线一个方向向量，所以向量与向量为共线， 所以，解得，，所以，故选：A. 3．（24-25高二上·河北石家庄·期末） 已知平面，其中点，平面的法向量，则下列各点中在平面内的是（     ） A． B． C． D． 解析：对于A， ，则 ， 则此点在平面 内，故A正确； 对于B， ，则 ， 则此点不在平面 内吗，故B错误； 同理可判断，C、D错误，故选A 4．（24-25高二上·四川凉山·期末） 平面内三点坐标分别为，则平面的一个法向量为 ． 解析： 由，则 设向量是平面的一个法向量， 所以，令，则 故答案为： 5．（24-25高二上·海南·期中） 已知平面以为法向量，且经过坐标原点和点，则（     ） A． B． C． D． 解析： 由 . 故选：B 6．（24-25高二下·江苏南京·期中） （多选）已知点，，则（    ） A．为 B．线段的中点坐标为 C．点B到x轴的距离为5 D．直线的一个方向向量为 解析：对A，由，则，故A正确； 对B，线段的中点坐标为，即，故B正确； 对C，点B到x轴的距离为，故C正确； 对D，因为，且，则与向量不共线，故D错误. 1．空间中，点的向量表示 在空间中，我们取一定点O作为 ，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示，向量 称为点P的 ． 答案：基点 位置向量 2．点在直线上的向量表示 如图，是直线的方向向量，在直线上取，取定空间中的任意一点，点在直线上的充要条件是存在实数，使 . 答案： 3．点在平面内的向量表示 如图，取定空间任意一点，空间一点位于平面内的充要条件是存在实数，，使 . 答案： 4．平面内的法向量 直线，取直线的 ，则叫做平面的法向量.过空间点，且以向量为法向量的平面，可以用集合表示为 . 答案： 5．求平面法向量的步骤： （1）设向量：设平面的法向量为 . （2）选向量：在平面内选取两个不共线向量. （3）列方程组：由 列出方程组. （4）解方程组. （5）赋非零值：取的其中一个为 (常取). （6）得结论：得到平面的一个法向量. 答案： 巩固作业：教科书第29页练习第1题 ； 教科书第41页习题第1、2题.  1.4.1 空间中点、直线和平面的向量表示 1. 空间中点的向量表示： 2. 空间中直线的向量表示： 3. 空间中平面的向量表示： 4. 平面法向量的求法： 5. 例题区：（学生板演区域） 本节课通过向量工具架起了立体几何与代数运算的桥梁.教学中以动态坐标系演示点、线、面向量表示，结合必修二立体几何问题（如线面垂直判定）的向量转化，有效突破了“空间图形代数化”的认知障碍.学生能主动运用向量语言重构几何问题，但在法向量求解的规范性（如叉乘方向确定）和向量符号的几何解释上仍存在混淆.需加强“法向量垂直性验证”的变式训练，增设“向量步骤评分细则”引导学生规范表达.课后反馈显示，85%的学生能独立完成直线方向向量求解，但仅60%的学生准确构建平面法向量方程，后续需针对性设计法向量专题纠错练习，强化向量方法在空间问题中的系统性应用. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$