第03讲 多边形和圆的初步认识（6大知识点+9大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）讲义2025-2026学年七年级上册数学（北师大版2024）

第03讲 多边形和圆的初步认识（6大知识点+9大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 多边形的概念与分类 典型例题二 圆的基本概念辨析 典型例题三 多边形截角后的边数问题 典型例题四 多边形对角线的条数问题 典型例题五 圆心角概念辨析及简单运算 典型例题六 多边形的周长 典型例题七 对角线分成的三角形个数问题 典型例题八 网格中多边形面积比较 典型例题九 圆的周长和面积问题 知识点01 多边形 1. 多边形的概念：在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形. 2. 多边形的相关概念： 多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边. 多边形的顶点：相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点. 多边形的内角：多边形相邻两边所组成的在多边形内部的角叫做多边形的内角，简称多边形的角. 多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角，叫做多边形的外角. 多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线. 【补充】 1）多边形的边数、顶点数及角的个数相等； 2）把多边形问题转化成三角形问题求解的常用方法是连接对角线； 3）多边形对角线条数：从n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，这（n-3）条对角线把多边形分成了(n-2)个三角形，其中每条对角线都重复算一次，所以n边形共有条对角线. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）下列图形中，不是凸多边形的是（    ） A．B．C． D． 【即时训练】 2．（23-24七年级上·山西太原·期末）如图，五边形中，是它的一条对角线．小颎观察图形得出结论“”，她依据的基本事实是 ． 知识点02 正多边形 正多边形的定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形. 【补充】 （1）正n边形有n条对称轴． （2）对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称中心是多边形的中心. 【即时训练】 1．（2025七年级下·全国·专题练习）画示意图表示下列概念之间的关系：多边形；正五边形；四边形；梯形；等腰三角形；直角三角形（示意图中用序号表示对应概念） 【即时训练】 2．（2025·重庆·模拟预测）如图是由3个完全相同的正五边形无缝隙拼接而成的图形，则∠1的度数为 ． 知识点03 多边形内角和定理 多边形内角和定理：n边形的内角和为. 【即时训练】 1．（2025·广东珠海·模拟预测）如图1是化学实验中利用酒精灯给试管中液体加热的实验装置图，如图2是其简化示意图．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）四边形中，，则的度数为 ． 知识点04 多边形外角和定理 多边形外角和定理：多边形的外角和恒等于360°，与边数的多少没有关系. 【即时训练】 1．（2025·云南楚雄·模拟预测）如图，一个正n边形被树叶遮掩了一部分，若直线a，b所夹锐角的度数为，则n的值是（ ） A．8 B．7 C．6 D．5 【即时训练】 2．（24-25七年级下·江苏南京·期末）图中表示被撕掉一块的正边形纸片．若，则的值是 ． 知识点05 多边形的对角线 n 边形一个顶点的对角线数： n-3；n 边形的对角线总数： 【即时训练】 1．（24-25七年级上·广东揭阳·期末）学习了多边形后，我们知道过多边形的一个顶点可作若干条对角线（三角形除外）．如图，四边形有1条对角线，五边形有2条对角线，过十二边形一个顶点的对角线有（　　） A．11条 B．10条 C．9条 D．8条 【即时训练】 2．（23-24七年级下·全国·假期作业）填空 （1）从四边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将四边形分成 个三角形； （2）从五边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将五边形分成 个三角形； （3）从六边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将六边形分成 个三角形． 知识点06 圆的周长 通过操作和计算，我们发现圆的周长都是直径的固定的倍数，我们把这个倍数叫做圆周率，用字母表示，读作“pai”；圆周率是个无限不循环小数，． 圆的周长直径 = 圆周率． 用字母C表示圆的周长，d表示直径，r表示半径，那么：或 【即时训练】 1．（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）为方便销售，售货员把直径都为7cm的啤酒瓶捆成如图的形状，如果每组分别捆5圈（接头处不计），每组至少需要绳子（    ）cm．（π取3.14）    A．49.98 B．249.9 C．179.9 D．332.325 【即时训练】 2．（23-24六年级上·黑龙江大庆·阶段练习）一个圆形花坛的半径是米，直径是 米，它的面积是 平方米，绕花坛走一圈，走了 米． 【典型例题一 多边形的概念与分类】 【例1】（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示的图形中，属于多边形的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【例2】（2025·河北沧州·模拟预测）用一张长方形纸片，把一个正多边形按如图所示摆放，则正多边形纸片的边数为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【例3】（24-25七年级上·全国·单元测试）如图所示的多边形分别是 、 、 、 和 ．    1．（23-24七年级上·山东临沂·期末）定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，如图1，，∴四边形是邻等四边形，如图2，在的方格纸中，三点均在格点上，若四边形是邻等四边形，点在图中的格点上，符合条件的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25七年级上·河南周口·期中）如图，伸缩晾衣架利用的几何原理是四边形的 ． 3．（24-25七年级下·广东梅州·开学考试）仔细数一数图中有几个直角三角形，几个正方形，几个长方形． 4．（24-25七年级上·全国·单元测试）如图，你能数出多少个不同的四边形？ 【典型例题二 圆的基本概念辨析】 【例1】（2025·江苏连云港·模拟预测）一张圆形的纸，要想找到它的圆心，至少要对折（　　）次． A．1 B．2 C．4 D．8 【例2】（2025·河北沧州·模拟预测）如图，已知四条弧线，点在其中一条弧线所在的圆上，则点在（   ）    A．所在的圆上 B．所在的圆上 C．所在的圆上 D．所在的圆上 【例3】（2024七年级上·全国·专题练习）一个圆中有三个扇形甲、乙、丙，其中甲、乙所占圆的总面积的百分比如图所示，那么扇形丙的圆心角是 ． 【例4】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图所示的两段弧中，位于上方的弧半径为，下方的弧半径为，则 ．（填“”， “”，“”） 1．（24-25七年级上·安徽淮南·期中）如图所示，求证：直径是中最长的弦． 2．（24-25七年级下·山西大同·开学考试）实践一：化曲为直是一种重要的数学转化思想．下图中，直径是的圆从点出发，沿直线（单位：）向右滚动一圈半到达点，点大约在哪里？请在图中用↓表示出来．      3．（2024七年级上·江苏·专题练习）设，作图说明满足下列要求的图形： (1)到点A和点B的距离都等于的所有点组成的图形． (2)到点A的距离小于且到点B的距离大于的所有点组成的图形． 【典型例题三 多边形截角后的边数问题】 【例1】（23-24七年级上·广东深圳·期中）下列图形中，能通过切正方体得出来的共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例2】（24-25七年级上·河北唐山·期中）若一个多边形截去一个角后，变成四边形，则原来的多边形的边数可能为（　　） A．4或5 B．3或4 C．3或4或5 D．4或5或6 【例3】（24-25七年级上·重庆綦江·期中）一张七边形卡片剪去一个角后得到的多边形卡片可能的边数为 ． 【例4】（24-25七年级上·四川绵阳·阶段练习）若一个多边形截去一个角后，得到的新多边形为十五边形，则原来的多边形边数为 ． 1．（23-24七年级上·全国·课堂例题）如图，四边形去掉后，剩下的新图形是几边形？请画出图形．    2．（24-25七年级·全国·单元测试）用平面截正方体，其截面可能是某些多边形，如果截去的几何体是三棱锥，剩下的几何体还有多少个顶点？试在图8中画出形状不相同的几种．（至少画三种）              3．（23-24七年级上·河北石家庄·阶段练习）已知一个多边形纸片的内角和比外角和多 (1)求这个多边形的边数． (2)将此多边形裁去一个角，直接写出它的边数与外角和． (3)若这个多边形是正多边形，通过计算说明：每个内角比相邻的外角大还是小？大或小多少度？ 【典型例题四 多边形对角线的条数问题】 【例1】（24-25六年级下·山东淄博·期中）过九边形的一个顶点有（    ）条对角线． A．4 B．5 C．6 D．7 【例2】（24-25七年级上·云南昭通·期中）已知过n边形的一个顶点有6条对角线，一个m边形的内角和是，则（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 【例3】（24-25六年级下·山东烟台·期中）一个正多边形的边长是8，从一个顶点可以引出4条对角线，则这个正多边形的周长是 ． 【例4】（2025·广东江门·模拟预测）三角形具有稳定性，所以要使如图所示的五边形木架不变形，至少要钉上 根木条． 1．（24-25七年级上·湖北恩施·期末）玛丽在进行一个的内角和计算时，求得的内角和为，当发现错误之后，她立即检查发现少加了一个内角．已知该边形的对角线有条，试求的值． 2．（24-25七年级上·河北邢台·期中）现在有一个正八边形． (1)求其每个外角的度数； (2)把该正八边形剪掉一个角，发现从一个顶点引出的对角线比原来多了一条．求新多边形的内角和． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，从多边形任意一边的中点出发，分别连接这个点与其余各顶点（左右相邻顶点除外），可以得到若干条线段，我们把这样的线段叫作“对边线”． 数一数每个多边形中所得“对边线”的条数，你能发现什么规律？ 【问题思考】 （1）结合所给图形思考，从多边形的一边中点出发，可以得到的“对边线”数量，并填写下表： 多边形边数 三 四 五 六 “对边线”条数 __________ ___________ _____________ ____________ 【问题探究】 （2）试着总结边形的“对边线”条数； （3）猜想边形所有边上一共有多少条“对边线”？ 【典型例题五 圆心角概念辨析及简单运算】 【例1】（24-25七年级上·全国·课后作业）下图中是圆心角的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·全国·假期作业）如图所示的圆中，下列各角是圆心角的是（　　） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级上·全国·课后作业）“顶点在圆内的角叫做圆心角”是 的．（选填“正确”或“错误”） 【例4】（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在中，劣弧的度数为，则圆心角 . 1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示，表示圆心角的是（   ） A．B． C． D． 2．（24-25七年级上·浙江湖州·期末）如图，在中，弧弧，，点在上，连接，则 ． 3．（24-25六年级下·山东淄博·期中）如图，圆心角． (1)判断和的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 【典型例题六 多边形的周长】 【例1】（24-25七年级上·四川眉山·期末）若长方形的一边长为，另一边长为，则该长方形的周长为（　） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）正六边形的边长是1，则这个正六边形的周长是 ． 【例3】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知正八边形的周长是，则这个多边形的边长等于 ． 【例4】（24-25七年级下·四川南充·阶段练习）如图是一块电脑主板，每一个转角处都是直角，数据如图所示，单位是，则该主板的周长为 ． 1．（23-24七年级上·河北邯郸·期末）一个正多边形的周长为60，边长为a，一个外角为b°． (1)若，求b的值； (2)若，求a的值． 2．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）如图，有3张卡片，用它们拼成各种形状不同的多边形（相同长度的边拼靠在一起，卡片不重叠）． (1)这些拼成的多边形的周长有哪几种不同的结果？ (2)这些结果中，最长的周长和最短的周长分别是多少？请说明理由． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）已知正n边形的周长为60，边长为a （1）当n=3时，请直接写出a的值； （2）把正n边形的周长与边数同时增加7后，假设得到的仍是正多边形，它的边数为n+7，周长为67，边长为b．有人分别取n等于3，20，120，再求出相应的a与b，然后断言：“无论n取任何大于2的正整数，a与b一定不相等．”你认为这种说法对吗？若不对，请求出不符合这一说法的n的值． 【典型例题七 对角线分成的三角形个数问题】 【例1】（24-25七年级下·全国·假期作业）要使得一个多边形具有稳定性，从多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点转化得到2023个三角形，则这个多边形的边数为（ ） A．2021 B．2025 C．2024 D．2026 【例2】（24-25七年级上·广西河池·期末）如图，要使木架（用5根木条钉成）不变形，至少需要再钉木条（    ） A．2根 B．3根 C．4根 D．5根 【例3】（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）过一个多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成2025个三角形，则这个多边形的边数为 ． 【例4】（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）从一个n边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，若把这个多边形分割成8个三角形，则n的值是 ． 1．（2024七年级上·全国·专题练习）若过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，过k边形一个顶点的对角线能把k边形分成3个三角形．求代数式的值． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）从一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余不相邻的顶点，分割下面的多边形，数一数它的边数，再数一数分割所得的三角形的个数，看一看多边形的边数与三角形的个数之间的关系． 3．（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）如图，在五边形的边上，连接，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？ 【典型例题八 网格中多边形面积比较】 【例1】（24-25七年级下·广西河池·期中）如图，网格图中每个小正方形的边长均为1，以为半径的扇形经过平移到达扇形的位置，那么图中阴影部分的面积是（　　）．    A．8 B．6 C．6.5 D．7.5 【例2】（23-24八年级·江苏·假期作业）如图所示的方格（每个小方格面积为1）中阴影部分为两个轴对称型的汉字，图①中汉字面积为，图②中汉字的面积为，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D． 【例3】（2025·北京海淀·模拟预测）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点．若AB=1，则四边形ABCD的面积为 ． 【例4】（2025·北京平谷·模拟预测）如图所示的网格是正方形网格，是网格线交点，则的面积与的面积的大小关系为： (填“>”，“=”或“<”) . 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，把向上平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到三角形． (1)画出； (2)连接，求四边形的面积． 2．（24-25七年级下·天津和平·期末）如图，在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，，正方形、正方形的顶点均在格点上．    利用面积计算线段 ， ，则，，三条线段的数量关系为 ． 3．（23-24七年级下·广东中山·期末）【阅读理解】在平面直角坐标系中，将横、纵坐标均为整数的点称为格点．若一个多边形的顶点都在格点上，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L．如图，是格点三角形， 其对应的，，． (1)【学以致用】图中格点四边形对应的______，______，______ ； (2)【拓展研究】已知格点多边形的S，N，L存在 的数量关系，其中a，b为常数． ①试求出a，b的值； ②若某格点多边形对应的面积S为79，内部的格点数N为71，请求出该格点多边形边界上的格点数 L 的值． 【典型例题九 圆的周长和面积问题】 【例1】（24-25七年级上·山东临沂·开学考试）周长是的圆，面积是（　　）平方厘米． A．50.24 B．12.42 C．25.12 D．28.26 【例2】（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，一块四边形绿化园地，四角都做有半径为R的圆形喷水池，则这四个喷水池占去的绿化园地的面积为（    ）    A． B． C． D．不能确定 【例3】（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）平面内，长为的线段绕着端点旋转一周，线段的中点M所经过的路径长为 【例3】（2025·江苏镇江·模拟预测）如图，半径为的沿着边长为的正方形的边作无滑动地滚动一周回到原来的位置，自身转动的圈数是 ．（用含的代数式表示） 1．（2025六年级上·上海·专题练习）如图所示，已知半圆的半径为3厘米，那么半圆形的周长为多少厘米？ 2．（24-25七年级上·湖北孝感·阶段练习）求出下图阴影部分的周长和面积．单位：厘米（圆周率用π表示） 3．（24-25七年级上·全国·单元测试）某中学原计划修一个半径为10米的圆形花坛，为使花坛修得更加美观，决定向全校征集方案，在众多方案中最后选出两种方案： 方案A如图1所示，先画一条直径，再分别以两条半径为直径修两个圆形花坛； 方案B如图2所示，先画一条直径，然后在直径上取一点，把直径分成2：3的两部分，再以这两条线段为直径修两个圆形花坛；（花坛指的是图中实线部分） (1)如果按照方案A修，修的花坛的周长是 ．（保留π） (2)如果按照方案B修，与方案A比，省材料吗？为什么？（保留π） (3)如果按照方案B修，学校要求在5天内完成，甲工人承包了此项工程，甲每天能完成工程的，他做了1天后，发现不能完成任务，就请乙来帮忙，乙的速度是甲的2倍，乙加入后，甲的速度也提高了，结果正好按时完成任务，若修1米花坛可得到10元钱，修完花坛后，甲，乙各得到多少钱？（π取3） 1．（24-25七年级上·浙江宁波·开学考试）下列说法中，正确的是（     ）． A．同心圆的周长相等 B．相等的圆心角所对的弧相等 C．面积相等的圆是等圆 D．平分弧的弦一定经过圆心 2．（24-25六年级下·山东济宁·期中）从一个多边形的任何一个顶点出发都只有5条对角线，则它的边数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 3．（24-25七年级上·上海·期中）从一个九边形的一个顶点出发的对角线把这个九边形分割成的三角形个数是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·山东泰安·期中）如图两个半径都是的圆外切于点C，一只蚂蚁由点A开始依A、B、C、D、E、F、C、G、A的顺序沿着圆周上的8段长度相等的路径绕行，蚂蚁在这8段路径上不断爬行，直到行走后才停下来，则蚂蚁停的那一个点为（    ）    A．D点 B．E点 C．F点 D．G点 5．（2025·湖北武汉·模拟预测）“低多边形风格”是一种数字艺术设计风格，它将整个区域分割成若干个三角形，通过把相邻三角形涂上不同颜色，产生立体及光影的效果，随着三角形数量的增加，效果更为斑斓绚丽（如图1）． 如图2，当正五边形内有1个点时，可分得5个三角形；当正五边形内有2个点时，可分得7个三角形（不计被分割的三角形）．受此启发，小广提出如下问题：设多边形中，有m个点，连接它们成一张互相毗邻的三角形网．若称每个小三角形为一个“网眼”，则网中“网眼”的个数t，多边形的边数n，多边形内点的个数m之间存的数量关系为（    ） A． B． C． D． 6．（2024七年级上·全国·专题练习）已知正六边形的周长是，则这个多边形的边长等于 ． 7．（24-25七年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图是用木棍首尾连接好的六边形，但六边形始终无法固定形态，若要使该六边形稳定，则至少需要再钉上 根木棍． 8．（23-24七年级上·全国·课后作业）学校有一个圆形花坛，要求将它三等分，以便在上面种植三种不同的花，你认为下列所给图中符合设计要求的图案是 ．（将所有符合设计要求的图案序号填上） 9．（24-25七年级下·浙江金华·期末）如图，将四边形ABCD沿BD、AC剪开，得到四个全等的直角三角形，已知，OA＝4，OB＝3，AB＝5将这四个直角三角形拼为一个没有重叠和缝隙的四边形，则重新拼成的四边形的周长为 ． 10．（23-24七年级上·河北保定·开学考试）“转化”是一种重要的数学思想方法，在学习中经常用到．例如：在探究圆面积计算公式时（如下图），把一个圆平均分成若干等份，剪开拼成一个近似的长方形．这个长方形的长相当于( )，长方形的宽就是圆的( )，因此圆的面积是( )．    11．（24-25七年级上·全国·课后作业）画出下列多边形的对角线． 12．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，把一个圆分成三个扇形，你能求出这三个扇形的圆心角吗？    3．（23-24七年级上·河南新乡·阶段练习）探究归纳题： (1)如图1，经过四边形的一个顶点可以作 条对角线，它把四边形分成 个三角形； (2)如图2，经过五边形的一个顶点可以作 条对角线，它把五边形分成 个三角形； (3)探索归纳：对于边形，过一个顶点可以作 条对角线，它把边形分成 个三角形；（用含的式子表示） (4)如果经过多边形的一个顶点可以作100条对角线，那么这个多边形的边数为 ． 14．（24-25七年级·全国·假期作业）如图，直径为1个单位的圆片上有一点A与数轴上的原点重合，AB是圆片的直径． （1）把圆片沿数轴向左滚动1周，点A到达数轴上点C的位置，点C表示的数是　 　数（填“无理”或“有理”），这个数是　 　； （2）把圆片沿数轴滚动2周，点A到达数轴上点D的位置，点D表示的数是　 　； （3）圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：+2，﹣1，+3，﹣4，﹣3 ①第几次滚动后，A点距离原点最近？第几次滚动后，A点距离原点最远？ ②当圆片结束运动时，A点运动的路程共有多少？此时点A所表示的数是多少？ 15．（24-25七年级下·广东深圳·期末）随着科技的发展，在公共区域内安装“智能全景摄像头”成为保护人民生命财产安全的有效手段．如图1所示，这是某仓库的平面图，点是图形内任意一点，点是图形内的点，连接，若线段总是在图形内或图形上，则称是“完美观测点”，此处便可安装摄像头，而不是“完美观测点”．    (1)如图2，以下各点是完美观测点的是_______（只有一个选项是正确的）    A．    B．    C．    D． (2)如图3，在图形内作出两个完美观测点，并分别用字母、表示；    (3)图4是某景观大楼的平面图，请作出该图形中由所有“完美观测点”组成的图形，并用阴影表示．    学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 多边形和圆的初步认识（6大知识点+9大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 多边形的概念与分类 典型例题二 圆的基本概念辨析 典型例题三 多边形截角后的边数问题 典型例题四 多边形对角线的条数问题 典型例题五 圆心角概念辨析及简单运算 典型例题六 多边形的周长 典型例题七 对角线分成的三角形个数问题 典型例题八 网格中多边形面积比较 典型例题九 圆的周长和面积问题 知识点01 多边形 1. 多边形的概念：在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形. 2. 多边形的相关概念： 多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边. 多边形的顶点：相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点. 多边形的内角：多边形相邻两边所组成的在多边形内部的角叫做多边形的内角，简称多边形的角. 多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角，叫做多边形的外角. 多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线. 【补充】 1）多边形的边数、顶点数及角的个数相等； 2）把多边形问题转化成三角形问题求解的常用方法是连接对角线； 3）多边形对角线条数：从n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，这（n-3）条对角线把多边形分成了(n-2)个三角形，其中每条对角线都重复算一次，所以n边形共有条对角线. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）下列图形中，不是凸多边形的是（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查凸多边形的定义，正确理解凸多边形的定义是解决此类问题的关键．根据凸多边形的定义进行判断即可． 【详解】解： 选项B、C、D中，画出这个多边形的任意一条边所在的直线，整个多边形都在这条直线的同一侧，所以都是凸多边形，只有选项A不符合凸多边形的定义，不是凸多边形． 故选：A． 【即时训练】 2．（23-24七年级上·山西太原·期末）如图，五边形中，是它的一条对角线．小颎观察图形得出结论“”，她依据的基本事实是 ． 【答案】两点之间线段最短 【分析】本题考查线段的性质，根据两点之间，线段最短，进行作答即可． 【详解】解：依据的基本事实是：两点之间线段最短； 故答案为：两点之间线段最短． 知识点02 正多边形 正多边形的定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形. 【补充】 （1）正n边形有n条对称轴． （2）对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称中心是多边形的中心. 【即时训练】 1．（2025七年级下·全国·专题练习）画示意图表示下列概念之间的关系：多边形；正五边形；四边形；梯形；等腰三角形；直角三角形（示意图中用序号表示对应概念） 【答案】见解析 【分析】本题考查多边形及其相关特殊图形（正五边形、四边形、梯形、等腰三角形、直角三角形 ）的概念及分类关系．解题关键是明确各图形概念，依据包含关系绘制示意图来准确呈现它们之间的逻辑联系． 牢记多边形、正五边形、四边形、梯形、等腰三角形、直角三角形的定义．确定多边形包含其他各类图形；四边形是多边形的一类，梯形属于四边形；等腰三角形和直角三角形是三角形的不同类型，且都属于多边形 ．用图形直观呈现上述包含关系，大圈表示多边形，内部嵌套表示不同层级包含关系的小圈． 【详解】解：示意图如下： 【即时训练】 2．（2025·重庆·模拟预测）如图是由3个完全相同的正五边形无缝隙拼接而成的图形，则∠1的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查正多边形的内角问题，求出一个正五边形的内角的度数，再根据周角的度数进行计算即可． 【详解】解：∵正五边形的每个内角的度数为， ∴． 故答案为：． 知识点03 多边形内角和定理 多边形内角和定理：n边形的内角和为. 【即时训练】 1．（2025·广东珠海·模拟预测）如图1是化学实验中利用酒精灯给试管中液体加热的实验装置图，如图2是其简化示意图．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了四边形内角和定理，根据垂线的定义得到，再根据四边形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【即时训练】 2．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）四边形中，，则的度数为 ． 【答案】90 【详解】本题主要考查了多边形的内角和外角，解题关键是熟练掌握多边形的内角和公式． 先根据多边形的内角和公式求出四边形的内角和，从而根据已知条件求出即可． 【解答】解：∵四边形的内角和为， ∴， ∵， ∴， 故答案为：90． 知识点04 多边形外角和定理 多边形外角和定理：多边形的外角和恒等于360°，与边数的多少没有关系. 【即时训练】 1．（2025·云南楚雄·模拟预测）如图，一个正n边形被树叶遮掩了一部分，若直线a，b所夹锐角的度数为，则n的值是（ ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】D 【分析】根据已知条件和三角形内角和定理得出，根据正多边形的每个外角相等即可得出，再根据多边形的外角和即可求出这个正多边形的边数．本题考查了三角形内角和定理，正多边形的内角与外角，熟练掌握正多边形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图， 由题意得， ， ， 正多边形每个外角都相等， ， 正多边形的外角和是， 它的边数为：， 即， 故选：D 【即时训练】 2．（24-25七年级下·江苏南京·期末）图中表示被撕掉一块的正边形纸片．若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形的内角和，多边形的外角和，正多边形的性质，熟练掌握相关公式和性质是解题的关键．延长、交于点，根据得到，于是可以得到正多边形的一个外角为，进而可得正多边形的边数． 【详解】解：如图，延长，交于点， ， ， ∵是正边形纸片， ∴， 即正多边形的一个外角为， ， 故答案为：． 知识点05 多边形的对角线 n 边形一个顶点的对角线数： n-3；n 边形的对角线总数： 【即时训练】 1．（24-25七年级上·广东揭阳·期末）学习了多边形后，我们知道过多边形的一个顶点可作若干条对角线（三角形除外）．如图，四边形有1条对角线，五边形有2条对角线，过十二边形一个顶点的对角线有（　　） A．11条 B．10条 C．9条 D．8条 【答案】C 【分析】本题考查了多边形对角线的条数问题，掌握相关知识是解题的关键． 根据从一个多边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是边数，即可得出答案． 【详解】解：四边形从一个顶点出发，可以画1条对角线， 五边形从一个顶点出发，可以画2条对角线， 六边形从一个顶点出发，可以画3条对角线， ∴边形从一个顶点出发，可以画条对角线， ∴十二边形从一个顶点出发，可以画9条对角线； 故选：C． 【即时训练】 2．（23-24七年级下·全国·假期作业）填空 （1）从四边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将四边形分成 个三角形； （2）从五边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将五边形分成 个三角形； （3）从六边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将六边形分成 个三角形． 【答案】 1 2 2 3 3 4 【分析】本题主要考查多边形的对角线，掌握从一点引对角线的数量，一共顶点，它本身不能作出对角线，与它相邻的顶点作不出对角线成为解题的关键． 先分别画出四边形、五边形、六边形的一个顶点可引出的对角线，然后根据统计即可解答． 【详解】解：（1）如图： 从四边形的一个顶点出发，可以引1条对角线，将四边形分成2个三角形， 故答案为：1，2． （2）如图： 从五边形的一个顶点出发，可以引2条对角线，将四边形分成3个三角形， 故答案为：2，3． （3）解：如图： 从六边形的一个顶点出发，可以引3条对角线，将四边形分成4个三角形． 故答案为：3，4． 知识点06 圆的周长 通过操作和计算，我们发现圆的周长都是直径的固定的倍数，我们把这个倍数叫做圆周率，用字母表示，读作“pai”；圆周率是个无限不循环小数，． 圆的周长直径 = 圆周率． 用字母C表示圆的周长，d表示直径，r表示半径，那么：或 【即时训练】 1．（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）为方便销售，售货员把直径都为7cm的啤酒瓶捆成如图的形状，如果每组分别捆5圈（接头处不计），每组至少需要绳子（    ）cm．（π取3.14）    A．49.98 B．249.9 C．179.9 D．332.325 【答案】B 【分析】根据一圈绳子长=一个圆周长+一个正方形周长，列出算式，进而即可求解． 【详解】解：一圈的长度为：（cm）， 5圈的长度为：． 故选：B． 【点睛】本题主要考查几何图形的周长问题，掌握圆周长公式是关键． 【即时训练】 2．（23-24六年级上·黑龙江大庆·阶段练习）一个圆形花坛的半径是米，直径是 米，它的面积是 平方米，绕花坛走一圈，走了 米． 【答案】 【分析】根据圆的基础知识即可求解． 【详解】解：圆形花坛的半径是米， ∴直径是（米）， ∴面积为（平方米），周长为（米）， 故答案为：，，． 【点睛】本题主要考查圆的基础知识，掌握圆的半径与直径的数量关系，圆面积的计算公式，圆周长的计算公式是解题的关键． 【典型例题一 多边形的概念与分类】 【例1】（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示的图形中，属于多边形的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查多边形，根据多边形定义，逐个验证即可得到答案． 【详解】解：所示的图形中，多边形共有2个， 故选：A． 【例2】（2025·河北沧州·模拟预测）用一张长方形纸片，把一个正多边形按如图所示摆放，则正多边形纸片的边数为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的概念，将正多边形补齐即可解答，熟知正多边形的概念是解题的关键． 【详解】解：根据正多边形的意义将图形补充完整如图． ， 由图形可得这个正多边形是八边形． 故选：D． 【例3】（24-25七年级上·全国·单元测试）如图所示的多边形分别是 、 、 、 和 ．    【答案】 四边形 五边形 八边形 四边形 五边形 【分析】根据多边形的定义，数出边数即可求解． 【详解】解：如图所示的多边形分别是（1）四边形；（2）五边形；（3）八边形；（4）四边形；（5）五边形； 故答案为：（1）四边形；（2）五边形；（3）八边形；（4）四边形；（5）五边形． 【点睛】本题考查了多边形的定义，熟练掌握多边形的定义是解题的关键．由在同一平面且不在同一直线上的三条或三条以上的 线段 首尾顺次连接且不 相交 所组成的封闭图形叫做多边形． 1．（23-24七年级上·山东临沂·期末）定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，如图1，，∴四边形是邻等四边形，如图2，在的方格纸中，三点均在格点上，若四边形是邻等四边形，点在图中的格点上，符合条件的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查多边形，根据“邻等四边形”以及网格特点的意义在网格中找出符合条件的点的位置即可，理解“邻等四边形”的定义是正确解题的关键． 【详解】解：如图，根据“邻等四边形”以及网格特点的意义可得： ， 所有符合条件的点共有个，即图形中的、、， 故选：C． 2．（24-25七年级上·河南周口·期中）如图，伸缩晾衣架利用的几何原理是四边形的 ． 【答案】灵活性． 【分析】根据四边形的灵活性，可得答案． 【详解】我们常见的晾衣服的伸缩晾衣架，是利用了四边形的灵活性， 故答案为灵活性． 【点睛】此题考查多边形，解题关键在于掌握四边形的灵活性. 3．（24-25七年级下·广东梅州·开学考试）仔细数一数图中有几个直角三角形，几个正方形，几个长方形． 【答案】32个直角三角形，7个正方形，4个长方形 【分析】应按照一定规律来找：先找单个的，再找两两组合的，四个组合的． 【详解】解：根据图示图中共有：32个直角三角形，7个正方形，4个长方形． 【点睛】本题考查了几何图形，需注意正方形指的是四条边相等，四个角是直角的四边形，长方形指长与宽不相等的长方形． 4．（24-25七年级上·全国·单元测试）如图，你能数出多少个不同的四边形？ 【答案】27 【分析】根据四边形的组成方式，分别数出由单个的四边形，由2个四边形，3个四边形，4个四边形，5个四边形，6个四边形，7个四边形组成的大四边形，从而可得答案． 【详解】解：单个的四边形：一共有9个， 由2个四边形组成的四边形有6个， 由3个四边形组成的四边形有4个， 由4个四边形组成的四边形有1个， 由5个四边形组成的四边形有4个， 由6个四边形组成的四边形有2个， 由7个四边形组成的四边形有1个， 故一共有27个四边形． 【点睛】本题主要考查了认识平面图形，做到不重复不遗漏的数图形是解题关键． 【典型例题二 圆的基本概念辨析】 【例1】（2025·江苏连云港·模拟预测）一张圆形的纸，要想找到它的圆心，至少要对折（　　）次． A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了找圆心，沿不同的折痕把圆对折两次，这两条折痕的交点即为圆心，据此可得答案． 【详解】解：∵圆的圆心一定在其直径上， ∴沿不同的折痕把圆对折两次，这两条折痕的交点即为圆心， ∴一张圆形的纸，要想找到它的圆心，至少要对折2次， 故选：B． 【例2】（2025·河北沧州·模拟预测）如图，已知四条弧线，点在其中一条弧线所在的圆上，则点在（   ）    A．所在的圆上 B．所在的圆上 C．所在的圆上 D．所在的圆上 【答案】A 【分析】本题考查了圆的特征，把各弧延长即可判断． 【详解】解：如图，    故选A． 【例3】（2024七年级上·全国·专题练习）一个圆中有三个扇形甲、乙、丙，其中甲、乙所占圆的总面积的百分比如图所示，那么扇形丙的圆心角是 ． 【答案】/108度 【分析】本题考查圆的认识，根据题意得，扇形丙的圆心角占的，计算即可得到答案． 【详解】解：根据题意得，， 故答案为： ． 【例4】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图所示的两段弧中，位于上方的弧半径为，下方的弧半径为，则 ．（填“”， “”，“”） 【答案】 【分析】本题考查了过确定圆的条件，熟练掌握不在同一直线上的三点确定一个圆是解题的关键，分别在两段弧上各选三个点，作出过这三个点的圆． 【详解】解：如图，分别在两段弧上各选三个点，作出过这三个点的圆，显然．， 故答案为：． 1．（24-25七年级上·安徽淮南·期中）如图所示，求证：直径是中最长的弦． 【答案】见解析 【分析】本题考查了圆的概念，在中，由三角形任意两边之和大于第三边有，结合，故大于，即可得出结论． 【详解】证明：如图，是中的任一直径，是圆内任意一条弦， 连接， 则， ∵， ∴， ∴直径是圆中最长的弦． 2．（24-25七年级下·山西大同·开学考试）实践一：化曲为直是一种重要的数学转化思想．下图中，直径是的圆从点出发，沿直线（单位：）向右滚动一圈半到达点，点大约在哪里？请在图中用↓表示出来．      【答案】见解析． 【分析】根据圆的周长公式：，把数据代入公式求出这个圆的周长，据此在图中标出此位置即可． 【详解】如图，(厘米)，    【点睛】此题考查了圆的周长公式，解题的关键是熟记公式及灵活运用公式． 3．（2024七年级上·江苏·专题练习）设，作图说明满足下列要求的图形： (1)到点A和点B的距离都等于的所有点组成的图形． (2)到点A的距离小于且到点B的距离大于的所有点组成的图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）． （1）分别以点为圆心，为半径画和，则到点A和点B的距离都等于的点为两圆的公共部分，即它们的交点； （2）到点A的距离小于的点在以A点为圆心，为半径圆内；到点B的距离大于的所有点在以B点为圆心，为半径的圆外． 【详解】（1）解：如图1， 分别以点为圆心，为半径画和，它们的交点为所求； （2）解：以A点为圆心，为半径画；以B点为圆心，为半径画， 如图2，和相交于P和Q，则在内，除去与的公共部分为所求． 【典型例题三 多边形截角后的边数问题】 【例1】（23-24七年级上·广东深圳·期中）下列图形中，能通过切正方体得出来的共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了截一个几何体．根据正方体的截面形状判断即可． 【详解】解：正方体的截面形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形， ∴上列图形中，能通过切正方体得出来的共有：4个， 故选：D． 【例2】（24-25七年级上·河北唐山·期中）若一个多边形截去一个角后，变成四边形，则原来的多边形的边数可能为（　　） A．4或5 B．3或4 C．3或4或5 D．4或5或6 【答案】C 【分析】根据多边形截去一个角的位置可得：比原多边形可能少1条边，可能边的条数不变，也可能增加1条边；据此求解即可． 【详解】解：当多边形是五边形时，截去一个角时，可能变成四边形； 当多边形是四边形时，截去一个角时，可能变成四边形； 当多边形是三角形时，截去一个角时，可能变成四边形； 所以原来的多边形的边数可能为：3或4或5． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了多边形，解题的关键是理解多边形截去一个角的位置可得：比原多边形可能少1条边，可能边的条数不变，也可能增加1条边． 【例3】（24-25七年级上·重庆綦江·期中）一张七边形卡片剪去一个角后得到的多边形卡片可能的边数为 ． 【答案】6或7或8 【分析】存在三种情况，根据图示进行分析． 【详解】解：七边形卡片剪去一个角，存在以下三种，如图1、图2、图 一个七边形卡片剪去一个角后可以变成的多边形卡片可能的边数为6或7或8， 故答案为：6或7或8． 【点睛】本题主要考查多边形，解题的关键是进行分类讨论进行求解． 【例4】（24-25七年级上·四川绵阳·阶段练习）若一个多边形截去一个角后，得到的新多边形为十五边形，则原来的多边形边数为 ． 【答案】14或15或16 【分析】分三种情况进行讨论，得出答案即可． 【详解】解：如图，一个多边形减去一个角后，比原来多边形少了一条边， ∴此时原多边形的边数为； 如图，一个多边形减去一个角后，与原来多边形的边数相同， ∴此时原多边形的边数为15； 如图，一个多边形减去一个角后，比原来多边形多了一条边， ∴此时原多边形的边数为； 综上分析可知，原来的多边形边数为14或15或16． 故答案为：14或15或16． 【点睛】本题主要考查了多边形的边数问题，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 1．（23-24七年级上·全国·课堂例题）如图，四边形去掉后，剩下的新图形是几边形？请画出图形．    【答案】三角形或四边形或五边形，图形见解析． 【分析】设线段上一点为（点不与点，点重合），线段上一点为（点不与点，点重合），分三种情况讨论：沿直线切割；沿直线切割；沿直线或切割． 【详解】设线段上一点为（点不与点，点重合），线段上一点为（点不与点，点重合）． ①如图所示，沿直线切割，得到，新图形为三角形．    ②如图所示，沿直线切割，得到五边形，新图形为五边形．    ③如图所示，沿直线或切割，得到四边形或四边形，新图形为四边形．    综上所述，新图形是三角形或四边形或五边形． 【点睛】本题主要考查多边形，能根据题意分类讨论是解题的关键． 2．（24-25七年级·全国·单元测试）用平面截正方体，其截面可能是某些多边形，如果截去的几何体是三棱锥，剩下的几何体还有多少个顶点？试在图8中画出形状不相同的几种．（至少画三种）              【答案】剩下的几何体可能有7个、8个、9个、10个顶点 见解析 【分析】截去正方体的一个顶点，根据截面是否过与该顶点最近的三个顶点可知需要分四种情况. 【详解】剩下的几何体可能有7个、8个、9个、10个顶点，如图所示．（答案不唯一） 【点睛】本题考查平面截几何体,解题的关键是知道平面截正方体时,穿过了几个面或与几条棱相交. 3．（23-24七年级上·河北石家庄·阶段练习）已知一个多边形纸片的内角和比外角和多 (1)求这个多边形的边数． (2)将此多边形裁去一个角，直接写出它的边数与外角和． (3)若这个多边形是正多边形，通过计算说明：每个内角比相邻的外角大还是小？大或小多少度？ 【答案】(1)7 (2)边数可以是6或7或8，外角和仍然是 (3)每个内角比相邻的外角大，大． 【分析】（1）设这个多边形的边数为n．根据内角和比外角和多列方程求解即可； （2）7边形裁去一个角，它的边数可以是6或7或8，外角和仍然是； （3）求出每个内角和每个外角的度数，即可得到答案． 【详解】（1）解：设这个多边形的边数为n．根据题意得， ， 解得， 答：这个多边形的边数是7． （2）7边形裁去一个角，它的边数可以是6或7或8，外角和仍然是． （3）若这个多边形是正七边形，则每个内角为，相邻的外角是， 则， ∴每个内角比相邻的外角大，大． 【点睛】此题考查了多边形的内角和与外角和，熟练掌握内角和公式与外角和定理是解题的关键． 【典型例题四 多边形对角线的条数问题】 【例1】（24-25六年级下·山东淄博·期中）过九边形的一个顶点有（    ）条对角线． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的对角线，牢记n边形从一个顶点出发可引出条对角线是解题的关键，据此求解即可． 【详解】解：从九边形的一个顶点出发，可以向与这个顶点不相邻的6个顶点引对角线，即能引出条对角线． 故选：C． 【例2】（24-25七年级上·云南昭通·期中）已知过n边形的一个顶点有6条对角线，一个m边形的内角和是，则（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】D 【分析】本题主要考查多边形对角线及内角和问题，熟练掌握多边形对角线及内角和公式是解题的关键；因此此题可根据过多边形的一个顶点有条对角线，多边形内角和公式可进行求解． 【详解】解：由题意得：，， ∴， ∴； 故选：D． 【例3】（24-25六年级下·山东烟台·期中）一个正多边形的边长是8，从一个顶点可以引出4条对角线，则这个正多边形的周长是 ． 【答案】56 【分析】本题考查了多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．熟记n边形从一个顶点出发可引出条对角线是解题的关键． 由n边形从一个顶点出发可引出条对角线，可求出多边形的边数即可解答． 【详解】解：∵从一个顶点可以引出4条对角线， ∴这个多边形有条边， ∴此正多边形的周长为． 故答案为：56． 【例4】（2025·广东江门·模拟预测）三角形具有稳定性，所以要使如图所示的五边形木架不变形，至少要钉上 根木条． 【答案】2 【分析】本题考查三角形具有稳定性，多边形的对角线．要使五边形木架不变形需把它分成三角形，即过五边形的一个顶点作对角线，有几条对角线，就至少要钉上几根木条． 【详解】解：∵过五边形的一个顶点作对角线，有2条对角线， ∴至少要钉上2根木条， 故答案为：2． 1．（24-25七年级上·湖北恩施·期末）玛丽在进行一个的内角和计算时，求得的内角和为，当发现错误之后，她立即检查发现少加了一个内角．已知该边形的对角线有条，试求的值． 【答案】1 【分析】本题考查了多边形的内角和公式和对角线公式熟记公式是解题的关键根据多边形的内角和公式．多边形的内角一定大于0度，小于度，据此求得m的值，继而根据对角线公式求出n的值，代入计算可得． 【详解】解∶设边形少加的度数为度．则 ， 即． ，， ， ． 边形的对角线条数为． ． 2．（24-25七年级上·河北邢台·期中）现在有一个正八边形． (1)求其每个外角的度数； (2)把该正八边形剪掉一个角，发现从一个顶点引出的对角线比原来多了一条．求新多边形的内角和． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和，掌握多边形的外角和等于以及内角和公式是解题关键． （1）根据正八边形的外角和为求解即可； （2）根据题意得出新多边形是九边形，再根据多边形内角和公式求解即可． 【详解】（1）解：正八边形的外角和为， 每个外角； （2）解：八边形剪掉一个角可以得七边形或八边形或九边形，且从一个顶点引出的对角线比原来多一条， 新多边形是九边形， 内角和． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，从多边形任意一边的中点出发，分别连接这个点与其余各顶点（左右相邻顶点除外），可以得到若干条线段，我们把这样的线段叫作“对边线”． 数一数每个多边形中所得“对边线”的条数，你能发现什么规律？ 【问题思考】 （1）结合所给图形思考，从多边形的一边中点出发，可以得到的“对边线”数量，并填写下表： 多边形边数 三 四 五 六 “对边线”条数 __________ ___________ _____________ ____________ 【问题探究】 （2）试着总结边形的“对边线”条数； （3）猜想边形所有边上一共有多少条“对边线”？ 【答案】（1）1，2，3，4；（2）由表可以得出边形的“对边线”有条；（3）条． 【分析】此题考查了多边形的性质，解题的关键是掌握“对边线”的概念． （1）根据“对边线”的概念求解即可； （2）根据（1）中的结果总结求解即可； （3）由题意得到边形一条边上有条“对边线”，然后结合边形有m条边求解即可． 【详解】（1）根据题意得，三角形有1条“对边线”，四边形有2条“对边线”，五边有3条“对边线”，六边形有4条“对边线”， 列表如下： 多边形边数 三 四 五 六 “对边线”条数 1 2 3 4 （2）由（1）得，边形的“对边线”条数为； （3）根据题意得，边形一条边上有条“对边线” ∵边形有m条边 ∴边形所有边上一共有条“对边线”． 【典型例题五 圆心角概念辨析及简单运算】 【例1】（24-25七年级上·全国·课后作业）下图中是圆心角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆心角的概念：圆心角是指在中心为O的圆中,过弧AB两端的半径构成的∠AOB, 称为弧AB所对的圆心角进行判断. 【详解】解：A、不是圆心角，故不符合题意； B、不是圆心角，故不符合题意； C、是圆心角，故符合题意； D、不是圆心角，故不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查的是圆心角的概念，掌握顶点在圆心的角叫作圆心角是解题的关键． 【例2】（24-25七年级上·全国·假期作业）如图所示的圆中，下列各角是圆心角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆心角的概念，确定一个角是否是圆心角，只要看这个角的顶点是否在圆心上，顶点在圆心上的角就是圆心角，否则不是． 【详解】解：根据圆心角的概念，、、的顶点分别是B、A、C，都不是圆心O，因此都不是圆心角．只有B中的的顶点在圆心，是圆心角． 故选：B． 【例3】（24-25七年级上·全国·课后作业）“顶点在圆内的角叫做圆心角”是 的．（选填“正确”或“错误”） 【答案】错误 【分析】顶点在圆心的角是圆心角，根据圆心角的定义即可求解. 【详解】∵顶点在圆心的角是圆心角， ∴顶点在圆内的角叫做圆心角说法错误， 故答案为：错误. 【点睛】本题主要考查圆心角的定义，解决本题的关键是要熟练掌握圆心角的定义. 【例4】（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在中，劣弧的度数为，则圆心角 . 【答案】 【分析】的度数即为所对圆心角的度数； 【详解】解：的度数即为所对圆心角的度数； ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了弧与圆心角的关系；正确理解圆心角的定义是解题的关键． 1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示，表示圆心角的是（   ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆心角的判断，根据定义解答即可.顶点在圆心，角的两边与圆周相交的角，叫作圆心角． 【详解】解：图D中是圆心角． 故选：D． 2．（24-25七年级上·浙江湖州·期末）如图，在中，弧弧，，点在上，连接，则 ． 【答案】/20度 【分析】本题考查了同圆中等弧所对的圆心角相等，圆周角定理．熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 如图，连接，则，根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 3．（24-25六年级下·山东淄博·期中）如图，圆心角． (1)判断和的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】（1）根据条件和，即可求解； （2）根据第（1）问的结论和即可求解． 【详解】（1）解：； ∵，，， ∴ （2）解：∵，，，， ∴， ∴； 【点睛】本题考查了简单几何问题，灵活运用所学知识是关键． 【典型例题六 多边形的周长】 【例1】（24-25七年级上·四川眉山·期末）若长方形的一边长为，另一边长为，则该长方形的周长为（　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据长方形周长的计算公式求解． 【详解】解：∵2（2m+3n）=4m+6n， 故选C． 【点睛】本题考查长方形的应用，熟练掌握长方形周长的意义和计算公式是解题关键． 【例2】（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）正六边形的边长是1，则这个正六边形的周长是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了多边形的周长，根据正多边形的每条边都相等，求出正六边形的周长即可． 【详解】解：正六边形的边长是1， 这个正六边形的周长是：， 故答案为：． 【例3】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知正八边形的周长是，则这个多边形的边长等于 ． 【答案】4； 【分析】本题考查正多边形的定义，根据每条边都相等，每个内角都相等的多边形叫正多边形求解即可得到答案； 【详解】解：∵正八边形的周长是， ∴这个多边形的边长为：， 故答案为：4． 【例4】（24-25七年级下·四川南充·阶段练习）如图是一块电脑主板，每一个转角处都是直角，数据如图所示，单位是，则该主板的周长为 ． 【答案】96 【分析】本题考查了求周长，需合理分析图形，利用的是矩形的周长公式．题目中是一个多边形，求周长应把图中的多边形分成各个矩形求解或把多边形变为整体一个矩形求解即可． 【详解】解：如图： 矩形的长为， ， ， ∴主板的周长为， 故答案为：96． 1．（23-24七年级上·河北邯郸·期末）一个正多边形的周长为60，边长为a，一个外角为b°． (1)若，求b的值； (2)若，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正多边形，多边形的内角与外角， （1）根据正多边形的周长为，边长为，求得边数为，于是得到； （2）根据多边形的外角和等于，求得边数为，根据正多边形的周长为，边长为，于是得到结论． 【详解】（1）解：正多边形的周长为，边长为， 边数为， 一个外角为， ； （2）一个外角为，＝， ， 正多边形的周长为，边长为， ． 2．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）如图，有3张卡片，用它们拼成各种形状不同的多边形（相同长度的边拼靠在一起，卡片不重叠）． (1)这些拼成的多边形的周长有哪几种不同的结果？ (2)这些结果中，最长的周长和最短的周长分别是多少？请说明理由． 【答案】(1)，， (2)周长最大，最短，理由见解析 【分析】（1）画出图形可得结论； （2）根据（1）中结论结合，再判断即可． 【详解】（1）解：如图， 图形有四种情形，周长为：或或. （2）周长的最大值为，最小值为. 理由：由题意可得：， 因为，所以， 因为，所以， ∴， 周长的最大值为，最小值为. 【点睛】本题考查图形的拼剪，不等式的性质，长方形的性质，多边形的周长等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）已知正n边形的周长为60，边长为a （1）当n=3时，请直接写出a的值； （2）把正n边形的周长与边数同时增加7后，假设得到的仍是正多边形，它的边数为n+7，周长为67，边长为b．有人分别取n等于3，20，120，再求出相应的a与b，然后断言：“无论n取任何大于2的正整数，a与b一定不相等．”你认为这种说法对吗？若不对，请求出不符合这一说法的n的值． 【答案】（1）20（2）不正确 【详解】试题分析：分析：（1）根据正多边形的每条边相等，可知边长=周长÷边数； （2）分别表示出a和b的代数式，让其相等，看是否有相应的值. 试题解析：（1）a=60÷3=20； （2）此说法不正确． 理由如下：尽管当n=3、20、120时，a＞b或a＜b， 但可令a=b，得， ∴60n+420=67n， 解得n=60， 经检验n=60是方程的根． ∴当n=60时，a=b，即不符合这一说法的n的值为60． 点睛：本题考查分式方程的应用，关键是以边长作为等量关系列方程求解，也考查了正多边形的知识点. 【典型例题七 对角线分成的三角形个数问题】 【例1】（24-25七年级下·全国·假期作业）要使得一个多边形具有稳定性，从多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点转化得到2023个三角形，则这个多边形的边数为（ ） A．2021 B．2025 C．2024 D．2026 【答案】C 【分析】本题考查多边形分割为三角形的数量关系，正确理解题意，找出三角形个数与多边形边数的关系是解题的关键．当从多边形一条边上的一点（非顶点）出发连接各顶点时，分割得到的三角形个数等于多边形的边数减1，据此列方程求解即可． 【详解】解：设多边形的边数为， 根据题意，从一条边上某点（非顶点）出发连接各顶点，可将多边形分成个三角形，题目中给出分割得到2023个三角形， 因此可得， 解得：， 故该多边形的边数为2024． 故选：C． 【例2】（24-25七年级上·广西河池·期末）如图，要使木架（用5根木条钉成）不变形，至少需要再钉木条（    ） A．2根 B．3根 C．4根 D．5根 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性，多边形对角线分三角形问题，三角形具有稳定性，所以要使五边形木架不变形需把它分成两个角形，即过六边形的一个顶点作对角线，有几条对角线，就至少要钉上几根木条，据此可得答案． 【详解】解：过五边形的一个顶点作对角线，有条对角线， ∴至少要钉上2根木条． 故选：A． 【例3】（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）过一个多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成2025个三角形，则这个多边形的边数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多边形的对角线，经过n边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成个三角形，根据此关系式求边数． 【详解】解：设多边形有n条边，则 ， 解得：． 故这个多边形的边数是． 故答案为：． 【例4】（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）从一个n边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，若把这个多边形分割成8个三角形，则n的值是 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查的是多边形对角线的性质，根据从一个n边形的某个顶点出发，可分为的三角形作答． 【详解】解：根据题意可知：， 解得：， 故答案为：10 1．（2024七年级上·全国·专题练习）若过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，过k边形一个顶点的对角线能把k边形分成3个三角形．求代数式的值． 【答案】代数式的值为125． 【分析】本题考查多边形的性质．由多边形的对角线条数，可以得到方程，解出数值代入代数式求值即可． 【详解】解：因为m边形从一个顶点发出的对角线有条，所以， 因为n边形没有对角线，所以， 因为过k边形一个顶点的对角线能把k边形分成3个三角形，所以， 所以． 故代数式的值为125． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）从一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余不相邻的顶点，分割下面的多边形，数一数它的边数，再数一数分割所得的三角形的个数，看一看多边形的边数与三角形的个数之间的关系． 【答案】见解析 【分析】本题考查了多边形的对角线，熟记过多边形的一个顶点的对角线把多边形分成个三角形多边形是解此类题目的关键． 根据过多边形的一个顶点的对角线把多边形分成个三角形解答即可． 【详解】解：分割如图，五边形，过多边形的一个顶点的对角线把多边形分成个三角形； 六边形，过多边形的一个顶点的对角线把多边形分成个三角形； 八边形，过多边形的一个顶点的对角线把多边形分成个三角形； 故边数为n，分割成的三角形个数为． 3．（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）如图，在五边形的边上，连接，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？ 【答案】可以得到4个三角形，三角形的个数等于边数减1 【分析】根据图形找出三角形的个数，再分析出三角形个数与边数的关系即可． 【详解】解：根据图形可知， 图中共有4个三角形，三角形的个数等于边数减1． 【点睛】本题主要考查了多边形的知识，正确找出三角形的个数是解题关键． 【典型例题八 网格中多边形面积比较】 【例1】（24-25七年级下·广西河池·期中）如图，网格图中每个小正方形的边长均为1，以为半径的扇形经过平移到达扇形的位置，那么图中阴影部分的面积是（　　）．    A．8 B．6 C．6.5 D．7.5 【答案】B 【分析】如图：连接和，可以发现，然后求得平行四边形的面积即可解答． 【详解】解：连接和，则 ．    故选：B． 【点睛】本题主要考查了求阴影部分的面积，将阴影部分的面积转换成求平行四边形的面积是解答本题的关键． 【例2】（23-24八年级·江苏·假期作业）如图所示的方格（每个小方格面积为1）中阴影部分为两个轴对称型的汉字，图①中汉字面积为，图②中汉字的面积为，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】D 【分析】利用割补法分别求出和的面积，再作差即可． 【详解】解：如图， ， ， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查不规则图形的面积，掌握割补法求不规则图形的面积是解题关键． 【例3】（2025·北京海淀·模拟预测）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点．若AB=1，则四边形ABCD的面积为 ． 【答案】 【分析】由图可得S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC，利用网格来计算两个三角形的面积相加即可． 【详解】解：S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC= 故答案为： 【点睛】本题是求三角形的面积问题，解题关键是熟练对不规则三角形进行分割． 【例4】（2025·北京平谷·模拟预测）如图所示的网格是正方形网格，是网格线交点，则的面积与的面积的大小关系为： (填“>”，“=”或“<”) . 【答案】= 【分析】根据图形可知=，=，然后由图易知△ABC和△ADC同底等高，所以△ABC和△ADC面积相等从而得到△ABO和△DCO的关系． 【详解】解：由图易有：=，=， ∵△ABC和△ADC同底等高， ∴， ∴=． 故答案为：= 【点睛】本题考查了三角形的面积，判断所求三角形的计算方法是本题的关键． 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，把向上平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到三角形． (1)画出； (2)连接，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查作图-平移变换、四边形的面积等知识点，灵活运用利用分割法求四边形的面积是解题的关键． （1）利用平移变换分别作出A、B、C的对应点，然后顺次连接即可解答； （2）利用分割法求四边形面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图：连接． ． 2．（24-25七年级下·天津和平·期末）如图，在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，，正方形、正方形的顶点均在格点上．    利用面积计算线段 ， ，则，，三条线段的数量关系为 ． 【答案】 【分析】根据网格，计算正方形、正方形的面积，利用面积计算线段，，从而得到，，三条线段的数量关系． 【详解】解：，正方形、正方形的顶点均在格点上， 正方形面的积，正方形的面积，， ，， ， 故答案为：，，． 【点睛】本题主要考查了网格图形面积计算，正方形面积与边长关系，算术平方根计算，熟练掌握网格图形面积计算是解题的关键． 3．（23-24七年级下·广东中山·期末）【阅读理解】在平面直角坐标系中，将横、纵坐标均为整数的点称为格点．若一个多边形的顶点都在格点上，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L．如图，是格点三角形， 其对应的，，． (1)【学以致用】图中格点四边形对应的______，______，______ ； (2)【拓展研究】已知格点多边形的S，N，L存在 的数量关系，其中a，b为常数． ①试求出a，b的值； ②若某格点多边形对应的面积S为79，内部的格点数N为71，请求出该格点多边形边界上的格点数 L 的值． 【答案】(1)3；1；6； (2)①；②18 【分析】本题主要考查了新定义问题、平面直角坐标系中利用网格求图形面积、解二元一次方程组．求平面直角坐标系中图形面积时，常用的方法是割补法，即在图形外补出一个规则图形或者将所求图形分割成若干规则小图形． （1）利用网格即可求出四边形的面积S，根据图形数出内部的格点数N，边界上的格点数L即可． （2）①分别把，，和，，代入，建立健全二元一次方程组，即可求出，的值． ②先把a、b值代入，得，再把，代入求解即可． 【详解】（1）解：由图可得：， ， ； 故答案为：3；1；6． （2）解：①分别把，，和，，代入，得 ，解得：， ②由①知：， 当，时，则， 解得：． 【典型例题九 圆的周长和面积问题】 【例1】（24-25七年级上·山东临沂·开学考试）周长是的圆，面积是（　　）平方厘米． A．50.24 B．12.42 C．25.12 D．28.26 【答案】D 【分析】根据圆的周长公式，，得出，将周长18.84厘米代入，由此即可求出圆的半径，根据圆的面积公式，，将半径代入，即可求出圆的面积． 此题主要考查了圆的周长公式的灵活应用与圆的面积公式的实际应用．熟练掌握圆的周长公式和面积公式是解题的关键． 【详解】解：（厘米）， （平方厘米） 故选：D． 【例2】（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，一块四边形绿化园地，四角都做有半径为R的圆形喷水池，则这四个喷水池占去的绿化园地的面积为（    ）    A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】根据图形的特征，四边形内角和为，可得四个喷水池的面积之和正好等于一个半径为R的圆的面积． 【详解】解：因为四边形内角和为， 所以四个喷水池的面积之和正好等于一个半径为R的圆的面积， 即这四个喷水池占去的绿化园地的面积为． 故选：C 【点睛】本题主要考查了四边形的内角和以及圆面积公式，解答本题的关键是根据四边形的内角和为°得到四个喷水池的面积之和正好等于一个半径为R的圆的面积． 【例3】（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）平面内，长为的线段绕着端点旋转一周，线段的中点M所经过的路径长为 【答案】 【分析】先分析出M的路径是圆，根据题意求出圆M的周长即可．本题考查圆的相关性质，得到M的轨迹是解题的关键。 【详解】解：由题意得P的路径是O为圆心，5为半径的圆， 则中点M的路径是O为圆心，为半径的圆， 所以圆M的周长为， 故答案为：． 【例3】（2025·江苏镇江·模拟预测）如图，半径为的沿着边长为的正方形的边作无滑动地滚动一周回到原来的位置，自身转动的圈数是 ．（用含的代数式表示） 【答案】/ 【分析】本题主要考查圆的基础知识，根据正方形的边长可得正方形的周长，结合圆的周长计算，即可求解，掌握圆的基础知识是解题的关键． 【详解】解：的周长为：，正方形的周长为：， ∴自身转动的圈数是， 故答案为：． 1．（2025六年级上·上海·专题练习）如图所示，已知半圆的半径为3厘米，那么半圆形的周长为多少厘米？ 【答案】厘米 【分析】由题意知厘米，求得半圆的长度与直径的长度之和即可． 【详解】厘米． 【点睛】此题考查了封闭图形的四周长称为周长，解题的关键是求得半圆的长度与直径的长度之和，计算的时候不要忘了直径． 2．（24-25七年级上·湖北孝感·阶段练习）求出下图阴影部分的周长和面积．单位：厘米（圆周率用π表示） 【答案】阴影部分的周长为（6π+16）厘米，面积为（48-9π）平方厘米 【分析】根据阴影部分的周长＝一个圆的周长+矩形长的2倍，阴影部分的面积＝矩形的面积﹣一个圆面积计算即可． 【详解】解：由题意知，周长＝π×6+2×8＝6π+16（厘米）； 面积＝8×6﹣π×＝48﹣9π（平方厘米）， 答：阴影部分的周长为（6π+16）厘米，面积为（48-9π）平方厘米． 【点睛】本题主要考查圆的周长和面积公式，熟练掌握圆的周长和面积公式是解题的关键． 3．（24-25七年级上·全国·单元测试）某中学原计划修一个半径为10米的圆形花坛，为使花坛修得更加美观，决定向全校征集方案，在众多方案中最后选出两种方案： 方案A如图1所示，先画一条直径，再分别以两条半径为直径修两个圆形花坛； 方案B如图2所示，先画一条直径，然后在直径上取一点，把直径分成2：3的两部分，再以这两条线段为直径修两个圆形花坛；（花坛指的是图中实线部分） (1)如果按照方案A修，修的花坛的周长是 ．（保留π） (2)如果按照方案B修，与方案A比，省材料吗？为什么？（保留π） (3)如果按照方案B修，学校要求在5天内完成，甲工人承包了此项工程，甲每天能完成工程的，他做了1天后，发现不能完成任务，就请乙来帮忙，乙的速度是甲的2倍，乙加入后，甲的速度也提高了，结果正好按时完成任务，若修1米花坛可得到10元钱，修完花坛后，甲，乙各得到多少钱？（π取3） 【答案】(1)米 (2)不能省材料，理由见解析 (3)甲得到280元，乙得到320元 【分析】本题考查圆的周长公式，有理数混合运算解决实际问题． （1）根据圆的周长公式：，把数据代入公式求此直径是10米的两个圆的周长即可； （2）求出B方案中两个小花坛的直径，再根据圆的周长公式即可两个小花坛的周长之和，与（1）进行比较即可； （3）根据甲每天能完成工程的可求出甲原来每天的效率，进而可求出甲总共修花坛的工作量，进而求出其所得钱数，同理求出乙总共修花坛的工作量，进而求出其所得钱数． 【详解】（1）解：∵大圆花坛的半径为10米，则直径为20米， ∴两个小圆花坛的直径为（米）， ∴修两个花坛的周长为（米）． 故答案为：米 （2）解：不能省材料，理由如下： 根据B方案，两个小圆花坛的直径分别为： （米）， （米）， 它们的周长之和为（米） ∴方案B与方案A修的花坛的周长相等， ∴按照方案B修，与方案A比，不能省材料． （3）解：整项工程为（米）， 甲原来每天可以修（米）， 甲总共修了（米）， 甲得到的工资为（元）； 乙总共修了（米）， 乙得到的工资为（元）， 答：甲得到280元，乙得到320元． 1．（24-25七年级上·浙江宁波·开学考试）下列说法中，正确的是（     ）． A．同心圆的周长相等 B．相等的圆心角所对的弧相等 C．面积相等的圆是等圆 D．平分弧的弦一定经过圆心 【答案】C 【分析】本题考查的是对圆的认识，主要考查的是直径，弦，弧，半圆，等弧，等圆，这几个基本概念．掌握以上几个基本概念是解答本题的关键． A周长相等的两个圆，半径就相等，就能重合，所以是等圆，不是同心圆；B在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，不能缺少“在同圆或等圆中”这个条件；C利用等圆的条件进行分析解答；D根据垂径定理即可得出结论． 【详解】解：A、圆心相同，半径不相等的圆是同心圆，所以周长不相等，故A选项错误，不符合题意； B、在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故B选项错误，不符合题意； C、面积相等的圆半径一定相等，所以是等圆，故C选项正确，符合题意； D、平分弧的弦不一定经过圆心，故D选项错误，不符合题意； 故选：C． 2．（24-25六年级下·山东济宁·期中）从一个多边形的任何一个顶点出发都只有5条对角线，则它的边数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的对角线，如果一个多边形有条边，那么从边形的一个顶点出发可以引条对角线，根据这个知识点作答即可得出答案，熟练掌握该知识点是解题的关键． 【详解】解：设这个多边形有条边，那么从一个顶点出发可以引条对角线，依题意，可知， ， 故选：C． 3．（24-25七年级上·上海·期中）从一个九边形的一个顶点出发的对角线把这个九边形分割成的三角形个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的对角线，根据边形从一个顶点引出的对角线条数为条，可分成个三角形即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：从一个九边形的一个顶点出发的对角线把这个九边形分割成的三角形个数为个， 故选：． 4．（24-25七年级上·山东泰安·期中）如图两个半径都是的圆外切于点C，一只蚂蚁由点A开始依A、B、C、D、E、F、C、G、A的顺序沿着圆周上的8段长度相等的路径绕行，蚂蚁在这8段路径上不断爬行，直到行走后才停下来，则蚂蚁停的那一个点为（    ）    A．D点 B．E点 C．F点 D．G点 【答案】A 【分析】先求出蚂蚁爬行一圈所走的路程，再根据停下来时重复的圈数和余数，进而求解即可． 【详解】解：根据题意，每段长度为四分之一的圆周长，即，又知绕行8段为一循环，则爬行一圈的路程为， ∵，， ∴行走后才停下来，那一个点为D点， 故选：A． 【点睛】本题考查圆的周长，图形类规律探究，解答的关键是理解题意，能根据爬行一圈的路程得出重复的圈数，再由余数确定最终的位置． 5．（2025·湖北武汉·模拟预测）“低多边形风格”是一种数字艺术设计风格，它将整个区域分割成若干个三角形，通过把相邻三角形涂上不同颜色，产生立体及光影的效果，随着三角形数量的增加，效果更为斑斓绚丽（如图1）． 如图2，当正五边形内有1个点时，可分得5个三角形；当正五边形内有2个点时，可分得7个三角形（不计被分割的三角形）．受此启发，小广提出如下问题：设多边形中，有m个点，连接它们成一张互相毗邻的三角形网．若称每个小三角形为一个“网眼”，则网中“网眼”的个数t，多边形的边数n，多边形内点的个数m之间存的数量关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，画出n的值为5时对应的图形并数出对应的三角形个数，据此可得t的值等于2倍的m的值加上n的值减2． 【详解】解：如图所示，当时， 当时，， 当时，， 当时，， ……， 以此类推可知，． 故选：A． 6．（2024七年级上·全国·专题练习）已知正六边形的周长是，则这个多边形的边长等于 ． 【答案】6 【分析】本题考查正多边形的定义，根据每条边都相等，每个内角都相等的多边形叫正多边形求解即可得到答案，熟知在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形是解题的关键． 【详解】解：∵正六边形的周长是， ∴这个多边形的边长为， 故答案为：6． 7．（24-25七年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图是用木棍首尾连接好的六边形，但六边形始终无法固定形态，若要使该六边形稳定，则至少需要再钉上 根木棍． 【答案】/三 【分析】本题考查了三角形的稳定性，过多边形的一个顶点的对角线的条数．根据三角形的稳定性，需要的木条数等于过多边形的一个顶点的对角线的条数． 【详解】解：∵过边形的一个顶点可以作条对角线，把多边形分成个三角形， ∴要使一该六边形稳定，至少需要根木条固定． 故答案为：． 8．（23-24七年级上·全国·课后作业）学校有一个圆形花坛，要求将它三等分，以便在上面种植三种不同的花，你认为下列所给图中符合设计要求的图案是 ．（将所有符合设计要求的图案序号填上） 【答案】②③④ 【分析】本题考查了圆的基本性质，根据圆的旋转不变性即可解决． 【详解】解：∵要求将它三等分 ∴①是不正确的； ②和③都是首先把圆三等分， 根据圆的旋转不变性，在每一部分内做了相同的图形； ④是把圆六等分，每一种占其中的2份． ∴②③④符合要求． 故答案为：②③④ 9．（24-25七年级下·浙江金华·期末）如图，将四边形ABCD沿BD、AC剪开，得到四个全等的直角三角形，已知，OA＝4，OB＝3，AB＝5将这四个直角三角形拼为一个没有重叠和缝隙的四边形，则重新拼成的四边形的周长为 ． 【答案】20，22，26，28 【分析】以直角三角形边长相等的边为公共边，拼接四边形，再计算周长； 【详解】解：①如图周长=20； ②如图周长=22； ③如图周长=26； ④如图周长=28； ⑤如图周长=22； ∴四边形的周长为：20，22，26，28； 故答案为：20，22，26，28． 【点睛】本题考查了图形的拼接，四边形的周长；作出拼接图形是解题关键． 10．（23-24七年级上·河北保定·开学考试）“转化”是一种重要的数学思想方法，在学习中经常用到．例如：在探究圆面积计算公式时（如下图），把一个圆平均分成若干等份，剪开拼成一个近似的长方形．这个长方形的长相当于( )，长方形的宽就是圆的( )，因此圆的面积是( )．    【答案】 圆周长的一半 半径 【分析】根据圆拼成的长方形的过程可知:近似长方形的长相当于圆周长的一半，长方形的宽相当于圆的半径，然后根据长方形的面积公式推导出圆的面积公式.据此解答． 【详解】解：近似长方形的长相当于圆周长的一半，宽相当于圆的半径， 圆的面积近似长方形的面积长宽． 故答案为：圆周长的一半，半径，． 【点睛】本题主要考查了学生利用知识的迁移推导圆面积公式的过程，正确理解转化的思想是解答本题的关键． 11．（24-25七年级上·全国·课后作业）画出下列多边形的对角线． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查多边形对角线．理解多边形的对角线是解答关键． 连接多边形两个不相邻顶点的线段叫做多边形的对角线． 根据图形找出不相邻的顶点，连接这些顶点，即可求解． 【详解】每个图形中，连接任意不相邻的两个顶点，即得，如图所示： 12．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，把一个圆分成三个扇形，你能求出这三个扇形的圆心角吗？    【答案】． 【分析】根据扇形所占的百分比即可求出圆心角． 【详解】∵周角是360°， ∴， ， ． 【点睛】此题考查了扇形所占的百分比和扇形圆心角之间的关系，解题的关键是熟练掌握扇形所占的百分比和扇形圆心角之间的关系．扇形的圆心角=360°×百分比． 13．（23-24七年级上·河南新乡·阶段练习）探究归纳题： (1)如图1，经过四边形的一个顶点可以作 条对角线，它把四边形分成 个三角形； (2)如图2，经过五边形的一个顶点可以作 条对角线，它把五边形分成 个三角形； (3)探索归纳：对于边形，过一个顶点可以作 条对角线，它把边形分成 个三角形；（用含的式子表示） (4)如果经过多边形的一个顶点可以作100条对角线，那么这个多边形的边数为 ． 【答案】(1)1；2 (2)2；3 (3)； (4)103 【分析】本题考查多边形的对角线、边及三角形分割等规律探究． （1）根据题意画出对图中的一个顶点的对角线即可得到结论； （2）根据题意画出对图中的一个顶点的对角线即可得到结论； （3）根据（1）（2）中的结论，可找到规律即可得到结论； （4）将100代入（3）的结论中即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，经过1个顶点可以作1条对角线，它把四边形分为2个三角形， 故答案为：1，2； （2）解：如图所示，经过五边形一个顶点，共有2条对角线，将这个多边形分为3个三角形； 故答案为：2，3． （3）解：∵经过四边形的一个顶点可以作条对角线，它把四边形分成个三角形； 经过五边形的一个顶点可以作条对角线，它把五边形分成个三角形； 经过六边形的一个顶点可以作条对角线，它把六边形分成个三角形； 经过七边形的一个顶点可以作条对角线，它把七边形分成个三角形； …… ∴经过n边形的一个顶点可以作条对角线，它把n边形分成个三角形； 故答案为：，． （4）∵过多边形的一个顶点可以作100条对角线， ∴根据（3）中结论可得，， ∴， 故答案为：103． 14．（24-25七年级·全国·假期作业）如图，直径为1个单位的圆片上有一点A与数轴上的原点重合，AB是圆片的直径． （1）把圆片沿数轴向左滚动1周，点A到达数轴上点C的位置，点C表示的数是　 　数（填“无理”或“有理”），这个数是　 　； （2）把圆片沿数轴滚动2周，点A到达数轴上点D的位置，点D表示的数是　 　； （3）圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：+2，﹣1，+3，﹣4，﹣3 ①第几次滚动后，A点距离原点最近？第几次滚动后，A点距离原点最远？ ②当圆片结束运动时，A点运动的路程共有多少？此时点A所表示的数是多少？ 【答案】（1）无理，﹣π；（2）±2π或0；（3）①第四次，第三次；②13π，﹣3π 【分析】（1）利用圆的半径以及滚动周数即可得出滚动距离； （2）根据圆的直径以及滚动周数分三种情形讨论即可得出答案； （3）①求出每一次滚动后所表示的数，然后得出最大值和最小值； ②将各数的绝对值进行求和，然后根据圆的周长计算公式得出答案；将各数进行相加，乘以圆的周长得出答案.； 【详解】解：（1）把圆片沿数轴向左滚动1周，点A到达数轴上点C的位置，点C表示的数是无理数，这个数是﹣π； 故答案为：无理，﹣π； （2）分三种情况： ①当把圆片沿数轴向右滚动2周，点A到达数轴上点D的位置，点D表示的数是2π ②当把圆片沿数轴向左滚动2周，点A到达数轴上点D的位置，点D表示的数是－2π ③当先把圆片沿数轴向右滚动1周，再向左滚动1周或者先把圆片沿数轴向左滚动1周，再向右滚动1周，点A到达数轴上点D的位置，点D表示的数是0 故答案为±4π或0． （3）①∵圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：+2，﹣1，+3，﹣4，﹣3， ∴第4次滚动后，A点距离原点最近，第3次滚动后，A点距离原点最远； ②∵|+2|+|﹣1|+|+3|+|﹣4|+|﹣3|=13， ∴13×π×1=13π， ∴A点运动的路程共有13π； ∵（+2）+（﹣1）+（+3）+（﹣4）+（﹣3）=﹣3， （﹣3）×π=﹣3π， ∴此时点A所表示的数是：﹣3π． 【点睛】本题考查数轴上的动点问题、圆的周长公式，旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 15．（24-25七年级下·广东深圳·期末）随着科技的发展，在公共区域内安装“智能全景摄像头”成为保护人民生命财产安全的有效手段．如图1所示，这是某仓库的平面图，点是图形内任意一点，点是图形内的点，连接，若线段总是在图形内或图形上，则称是“完美观测点”，此处便可安装摄像头，而不是“完美观测点”．    (1)如图2，以下各点是完美观测点的是_______（只有一个选项是正确的）    A．    B．    C．    D． (2)如图3，在图形内作出两个完美观测点，并分别用字母、表示；    (3)图4是某景观大楼的平面图，请作出该图形中由所有“完美观测点”组成的图形，并用阴影表示．    【答案】(1)D (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据完美观测点的定义作出完美观测点所在的区域，进而可得答案； （2）根据完美观测点的定义作出完美观测点所在的区域，进而可得答案； （3）根据完美观测点的定义作出完美观测点所在的区域，进而可得答案． 【详解】（1）解：如图2，阴影部分的区域（含边界）内的点都是完美观测点， 即是完美观测点， 故选：D；    （2）如图，点，点落在图中阴影部分的区域（含边界）即可；    （3）如图所示：阴影部分即为所求.    【点睛】本题考查了多边形的应用，正确理解“完美观测点”的意义是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$