1.3.1 空间直角坐标系（题型专练）数学人教A版2019选择性必修第一册

1.3.1 空间直角坐标系 题型一：求空间点的坐标 1．如图，在长方体中，. 以这个长方体的顶点为坐标原点，射线分别为轴，轴和轴的正半轴，建立空间直角坐标系，则长方体顶点的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．如图，正方体的棱长为2，，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在长方体中，，，，点为棱的中点，以点为原点，分别以，，所在直线为轴､轴､轴建立空间直角坐标系.求点，，，，，，，，及的坐标. 4．已知正方体是 ，的中点，且正方体棱长为1．请建立适当坐标系，写出正方体各顶点及的坐标． 5．在长方体中，，，，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系． (1)求点，，，的坐标； (2)若为的中点，试求点的坐标． 题型二：求空间向量的坐标 1．如图，垂直于正方形所在的平面，，分别是，的中点，并且，试建立适当的空间直角坐标系，并求向量的坐标． 2．在直三棱柱中，，，，，为的中点，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，求，的坐标． 3．在棱长为1的正方体中，，分别是，的中点，在棱上，且，为的中点，建立适当的坐标系． (1)写出，，，的坐标； (2)写出向量，的坐标． 题型一：点在坐标平面内的射影坐标 1．在空间直角坐标系中，点在坐标平面内的射影的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．在空间直角坐标系中，求点在三个坐标平面上的射影的坐标． 题型二：空间直角坐标系中的对称点坐标 1．已知点，求： (1)点关于各坐标平面对称的点的坐标； (2)点关于各坐标轴对称的点的坐标； (3)点关于坐标原点对称的点的坐标． 题型三：空间中动点坐标的处理 1. 如图，正方体的棱长为1，动点M在线段上，动点P在平面上，请表示动点M与动点P的坐标，并求出的坐标. 13．已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中，． 是线段上的动点，且．求点、向量 的坐标. 1．（多选）已知正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则（    ） A．点的坐标为（2，0，2） B． C．的中点坐标为（1，1，1） D．点关于y轴的对称点为（－2，2，－2） 2．在长方体中，若，即向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．已知正方体的棱长为2，，分别为棱，的中点，建立空间直角坐标系，如图所示. (1)写出正方体各顶点的坐标； (2)写出向量，，的坐标； (3)求向量在向量上的投影向量的坐标. 4．设点分别是棱长为2的正方体的棱的中点.如图，以为坐标原点，，，为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，点分别是线段与线段上的动点，引入适当的参数求出动点、和的坐标. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3.1 空间直角坐标系 题型一：求空间点的坐标 1．如图，在长方体中，. 以这个长方体的顶点为坐标原点，射线分别为轴，轴和轴的正半轴，建立空间直角坐标系，则长方体顶点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间直角坐标系的定义求出坐标. 【详解】因为，，， 所以，， 因为点在平面上的射影是，点的横坐标、纵坐标和点的横坐标、纵坐标相同， 又点在轴上的射影是，它的竖坐标与点的竖坐标相同， 所以点的坐标为. 故选：A. 2．如图，正方体的棱长为2，，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，，所以， 所以 . 故选：D 3．如图，在长方体中，，，，点为棱的中点，以点为原点，分别以，，所在直线为轴､轴､轴建立空间直角坐标系.求点，，，，，，，，及的坐标. 【答案】答案见解析 【分析】根据空间直角坐标的表示方法直接得出即可. 【详解】由题意，知. 由于点在轴上，且，则它的横坐标为4，又它的纵坐标和竖坐标都为0，所以点的坐标为.同理可得，. 由于点在平面内，则它的竖坐标为0，点在轴､轴上的投影依次为点､点，又，，所以点的横坐标和纵坐标依次为4，3，即点的坐标为.同理可得，. 点在轴､轴和轴上的投影依次为点､点和点，所以点的坐标为. 又为的中点，所以点的坐标为，即. 4．已知正方体是 ，的中点，且正方体棱长为1．请建立适当坐标系，写出正方体各顶点及的坐标． 【答案】A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，C1(0,1,1)，D1(0,0,1)，E（ 0，0，），F（ ，，0，），G（ 1，1，）． 【分析】以D为原点，DA、DC、DD1所在的直线建立空间直角坐标系，由棱长写出各个顶点坐标，由中点坐标求法，求出各中点坐标. 【详解】以D为原点，DA、DC、DD1所在的直线建立空间直角坐标系如图所示： 因为正方体棱长为1，所以A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，C1(0,1,1)，D1(0,0,1). 因为是 ，的中点，所以E（ 0，0，），F（ ，，0，），G（ 1，1，）． 5．在长方体中，，，，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系． (1)求点，，，的坐标； (2)若为的中点，试求点的坐标． 【答案】(1)的坐标是，，，． (2) 【分析】（1）根据空间直角坐标系中点的位置，依次找到其横、纵、竖坐标，同理可求得，，的坐标； （2）写出两点的坐标，根据中点坐标公式，计算可得点坐标. 【详解】（1）设．过点向三个坐标平面，，作垂线，分别交平面，，于点，，，故，，，由图可知，，均为正数，故点的坐标是， 同理可求得，，； （2）因为是的中点，，，所以由中点坐标公式得点的坐标为． 题型二：求空间向量的坐标 1．如图，垂直于正方形所在的平面，，分别是，的中点，并且，试建立适当的空间直角坐标系，并求向量的坐标． 【答案】坐标系见解析， 【分析】以点为原点，建立空间直角坐标系，由空间向量的线性运算求出 ，即可得出答案. 【详解】因为，平面，， 所以，，是两两垂直的单位向量． 以点为原点，以，，为标准正交基方向，均以1为单位长度，建立空间直角坐标系． 因为 ， 所以． 2．在直三棱柱中，，，，，为的中点，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，求，的坐标．    【答案】； 【分析】根据空间向量的线性运算可得，，进而结合题设求解即可. 【详解】由题意 ， 所以. 又， 所以 3．在棱长为1的正方体中，，分别是，的中点，在棱上，且，为的中点，建立适当的坐标系． (1)写出，，，的坐标； (2)写出向量，的坐标． 【答案】(1)坐标为，点坐标为，点坐标为，点坐标为 (2)，． 【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，求解点的坐标即可； （2）由向量的坐标表示计算求解即可. 【详解】（1） 以为原点建立如图所示的空间直角坐标系． 点在轴上，它的坐标、坐标均为0，而为的中点，故其坐标为． 由作，，垂足分别为，， 由平面几何知识知，， 故点坐标为．点在轴上，其轴、轴坐标均为0， 又，故点坐标为． 由作于，由于为的中点， 故，，所以， 故点坐标为． （2），． 题型一：点在坐标平面内的射影坐标 1．在空间直角坐标系中，点在坐标平面内的射影的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据坐标平面内投影点坐标的特点可得结果. 【详解】在空间直角坐标系中，点在坐标平面内的射影的坐标为. 故选：D. 2．在空间直角坐标系中，求点在三个坐标平面上的射影的坐标． 【答案】见解析 【分析】投影面对应的两个坐标轴所表示的坐标不变，剩余一个坐标变为相反数. 【详解】过点作平面，则射影为，即点在平面上的射影为．同理，点在平面上的射影为，点在平面上的射影为． 题型二：空间直角坐标系中的对称点坐标 1．已知点，求： (1)点关于各坐标平面对称的点的坐标； (2)点关于各坐标轴对称的点的坐标； (3)点关于坐标原点对称的点的坐标． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】（1）根据点关于面对称性质求解； （2）根据点关于线对称性质求解； （3）根据点关于点对称性质求解； 【详解】（1）设点关于坐标平面的对称点为， 则点在轴上的坐标及在轴上的坐标与点的坐标相同，而点在轴上的坐标与点在轴上的坐标互为相反数． 所以，点关于坐标平面的对称点的坐标为． 同理，点关于，坐标平面的对称点的坐标分别为，． （2）设点关于轴的对称点为， 则点在轴上的坐标与点的坐标相同，而点在轴上的坐标及在轴上的坐标与点在轴上的坐标及在轴上的坐标互为相反数． 所以，点关于轴的对称点的坐标为． 同理，点关于轴、轴的对称点的坐标分别为，． （3）点关于坐标原点的对称点的坐标为． 题型三：空间中动点坐标的处理 1. 如图，正方体的棱长为1，动点M在线段上，动点P在平面上，请表示动点M与动点P的坐标，并求出的坐标. 【答案】见解析 【详解】如图，以D为坐标原点，DA、DC、所在直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标 系，则，，． 设，，则，． 13．已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中，． 是线段上的动点，且．求点、向量 的坐标. 【答案】见解析 【详解】因为平面，平面， 所以，又， 所以两两垂直， 以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 因为，， 则， 所以， 因为，所以， 所以， 1．（多选）已知正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则（    ） A．点的坐标为（2，0，2） B． C．的中点坐标为（1，1，1） D．点关于y轴的对称点为（－2，2，－2） 【答案】BCD 【分析】根据空间直角坐标系，可求点的坐标，由此判断A;求出的坐标，可判断B; 利用中点坐标公式求得的中点坐标，可判断C;根据空间点关于坐标轴的对称点的特点可判断D. 【详解】根据题意可知点的坐标为，故A错误； 由空间直角坐标系可知： ,故B正确； 由空间直角坐标系可知：,故的中点坐标为（1，1，1），故C正确； 点坐标为，关于于y轴的对称点为（－2，2，－2），故D正确， 故选：BCD 2．在长方体中，若，即向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的线性与空间向量的基本定理即可求解 【详解】因为， 所以向量在单位正交基底下的坐标为， 故选：A 3．已知正方体的棱长为2，，分别为棱，的中点，建立空间直角坐标系，如图所示. (1)写出正方体各顶点的坐标； (2)写出向量，，的坐标； (3)求向量在向量上的投影向量的坐标. 【答案】(1) (2)，， (3). 【分析】（1）直接利用空间直角坐标系求出结果； （2）利用向量的坐标运算的应用求出结果； （3）根据投影向量的定义与空间向量坐标运算求解即可. 【详解】（1）由题知 （2）因为E，F分别为棱BB1，DC的中点，所以， 所以：，，． （3）易知向量, 在向量上的投影向量为， 所以向量在向量上的投影向量的坐标为. 4．设点分别是棱长为2的正方体的棱的中点.如图，以为坐标原点，，，为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，点分别是线段与线段上的动点，引入适当的参数求出动点、和的坐标. 【答案】答案见解析 【详解】在给定空间直角坐标系中，相关点及向量坐标为 ， ， 设，且，； 则， ， 所以，， 故， 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$