1.3.1 空间直角坐标系（导学案）数学人教A版2019选择性必修第一册

1.3.1 空间直角坐标系 导学案 （1）在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性，会用空间直角坐标系刻画点的位置. （2）借助空间直角坐标系理解空间中点的坐标和向量的坐标的概念及坐标表示. 第一环节 情境引入 上节课，复兴哥发现了复兴星，并得到该星的位置代码： 新星系位置=3A+2B−4C 复兴哥在研究破解这串位置代码时，联想到平面直角坐标系中，每个位置可以用坐标表示，那么： 思考：复兴星的位置代码是否也可以用一个坐标表示呢？ 第二环节 合作探究 定点 单位 正交基底 原点 正方向 单位长度 数轴 坐标系 平面 直角 坐标系 𝑂 {} 𝑂 的方向 的长度 𝑥轴 𝑦轴 回顾：在平面向量中，我们以平面直角坐标系中与x轴、y轴方向相同的两个单位向量为基底，建立了向量的坐标与点的坐标的一一对应关系. 探究1：类比以上表格，完成以下表格，建立空间直角坐标系. 定点 单位 正交基底 原点 正方向 单位长度 数轴 坐标系 空间 直角 坐标系 𝑂 𝑂 定义：空间直角坐标系 在空间选定一点和一个单位正交基底(图1.3-2).以点为 ,分别以 的方向为正方向、以它们的长为 建立三条数轴: 轴， 轴， 轴,它们都叫做 .这时我们就建立了一个 辨析定义：① 叫做 , 都叫做 ； ② 通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为 平面(黄色), 平面（绿色）, 平面（紫色）,它们把空间分成 个部分. 思考：如何画空间直角坐标系？ 画空间直角坐标系时,一般使 (或), . 定义：右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向 轴的正方向，食指指向 轴的正方向，如果中指指向 轴的正方向，则称这个坐标系为 . 探究2：在平面直角坐标系中,每一个点和向量都可用一对有序实数（即它的坐标）表示.对空间直角坐标系中的每一个点和向量,是否也有类似的表示呢? 在空间直角坐标系中(图1.3-3),为坐标向量,对空间任意一点,对应一个向量,且点的位置由向量唯一确定,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组 ,使 . 在单位正交基底下与向量对应的有序实数组,叫做点在空间直角坐标系中的 ,记作 其中叫做点的 ,叫做点的 ,叫做点的 . 思考：类比平面向量的坐标表示，空间直角坐标系中的每一个向量是否也能用坐标表示? 在空间直角坐标系中,给定向量,作 (图1.3-4).由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组,使，有序实数组叫做在空间直角坐标系中的坐标,上式可简记作 这样,在空间直角坐标系中,空间中的点和向量都可以用 表示. 思考：在空间直角坐标系中,对空间任意一点,或任意一个向量,你能借助几何直观确定它们的坐标吗? 事实上,如图1.3-5,过点分别作垂直于轴、轴和轴的平面,依次交轴、轴和轴于点和.可以证明在轴、轴、轴上的投影向量分别为,,,= ,设点和在轴、轴、轴上的坐标分别是、和,那么点(向量)的坐标为 . 牛刀小试： 练1：设是空间向量的一个单位正交基底，则向量，的坐标分别是 ； . 练2： 设{，，}是是空间向量的一个单位正交基底，， ，则的坐标是 ． 练3： 已知，其中，，，是空间向量的一个单位正交基底，则点A的坐标为（     ） A． B． C． D． 练4： 如图，在长方体中，，，，为棱的中点，分别以所在的直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系． （1）求点的坐标； （2）求点的坐标． 例1：如图1.3-6，在长方体中，，，，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系． （1） 写出，C，，四点的坐标； （2）写出向量，，，的坐标． 方法总结： 1.在空间中根据点的坐标确定点的位置的方法 根据点的坐标确定点的位置,要先确定点(x0,y0)在Oxy平面上的位置,再由竖坐标确定点(x0,y0,z0)在空间直角坐标系中的位置. 2.建立空间直角坐标系时应遵循的原则 (1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内; (2)充分利用几何图形的特性. 3.求点的坐标的方法 一般先找出这一点在某一坐标平面上的射影,确定其两个坐标,再找出它在另一坐标轴上的射影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正号或负号),确定第三个坐标. 变式训练： 1.在长方体中．，，，与相交于点P，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz． （1）写出点C，，P的坐标； （2）写出向量，的坐标． 方法总结：用坐标表示空间向量的步骤 变式训练： 在长方体中，，，，建立如图所示的空间直角坐标系， (1)求点，，，的坐标； (2)若为的中点，试求点的坐标． 题型二：空间直角坐标系中的对称性问题 1. 在空间直角坐标系中,已知点的坐标为. (1)求点关于轴对称的点的坐标; (2)求点关于平面对称的点的坐标; (3)求点关于点对称的点的坐标. 方法总结： 1、求对称点的坐标可按以下规律写出：“关于谁对称谁不变，其余的符号均相反．”在空间直角坐标系中，任一点P(a，b，c)的几种特殊的对称点的坐标如下： 对称轴或对称中心 对称点坐标 P(a，b，c) x轴 (a，－b，－c) y轴 (－a，b，－c) z轴 (－a，－b，c) xOy平面 (a，b，－c) yOz平面 (－a，b，c) xOz平面 (a，－b，c) 坐标原点 (－a，－b，－c) 2、在空间直角坐标系中，若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则线段AB的中点坐标为. 变式训练： 设是空间直角坐标系Oxyz中的一点，写出满足下列条件的点的坐标； （1）与点M关于轴对称的点； （2）与点M关于y轴对称的点； （3）与点M关于z轴对称的点； （4）与点M关于原点对称的点． 1．（24-25高二下·甘肃定西·阶段练习）点在空间直角坐标系中的（     ） A．轴上 B．平面上 C．平面上 D．第一象限内 2．（21-22高二上·北京·阶段练习）在空间直角坐标系中，，，则 （     ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·上海·期末）在空间直角坐标系中，已知，，则点和点关于（     ） A．轴对称 B．平面对称 C．轴对称 D．平面对称 4．（23-24高二下·甘肃庆阳·期中）已知点，求： (1)点A在平面、x轴上的投影点的坐标； (2)求点A关于平面、x轴、原点的对称点的坐标. 1、在空间选定一点和一个单位正交基底(图1.3-2).以点为原点,分别以的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴:轴，轴，轴,它们都叫做 .这时我们就建立了一个 ，叫做 , 都叫做 ,通过每两条坐标轴的平面叫做 ,分别称为 平面（黄色）, 平面（绿色）, 平面（紫色）,它们把空间分成 八个部分. 画空间直角坐标系时,一般使(或),. 在空间直角坐标系中,让右手拇指指向轴的正方向,食指指向轴的正方向,如果中指指向轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系.本书建立的坐标系都是 . 2．在空间直角坐标系中(图1.3-3),为坐标向量,对空间任意一点,对应一个向量,且点的位置由向量唯一确定,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组,使 在单位正交基底下与向量对应的有序实数组,叫做点在空间直角坐标系中的_______,记作,其中叫做点的_______,叫做点的_______,叫做点的_______. 3. 在空间直角坐标系中,给定向量,作 (图1.3-4).由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组,使，有序实数组叫做在空间直角坐标系中的坐标,上式可简记作 这样,在空间直角坐标系中,空间中的点和向量都可以用三个有序实数表示. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3.1 空间直角坐标系 导学案 （1）在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性，会用空间直角坐标系刻画点的位置. （2）借助空间直角坐标系理解空间中点的坐标和向量的坐标的概念及坐标表示. 第一环节 情境引入 上节课，复兴哥发现了复兴星，并得到该星的位置代码： 新星系位置=3A+2B−4C 复兴哥在研究破解这串位置代码时，联想到平面直角坐标系中，每个位置可以用坐标表示，那么： 思考：复兴星的位置代码是否也可以用一个坐标表示呢？ 第二环节 合作探究 定点 单位 正交基底 原点 正方向 单位长度 数轴 坐标系 平面 直角 坐标系 𝑂 {} 𝑂 的方向 的长度 𝑥轴 𝑦轴 回顾：在平面向量中，我们以平面直角坐标系中与x轴、y轴方向相同的两个单位向量为基底，建立了向量的坐标与点的坐标的一一对应关系. 探究1：类比以上表格，完成以下表格，建立空间直角坐标系. 定点 单位 正交基底 原点 正方向 单位长度 数轴 坐标系 空间 直角 坐标系 𝑂 {} 𝑂 的方向 的长度 𝑥轴 𝑦轴 z轴 定义：空间直角坐标系 在空间选定一点和一个单位正交基底(图1.3-2).以点为原点,分别以的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴:轴，轴，轴,它们都叫做坐标轴.这时我们就建立了一个空间直角坐标系 辨析定义：① 叫做原点, 都叫做坐标向量； ② 通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为平面(黄色),平面（绿色）,平面（紫色）,它们把空间分成八个部分. 思考：如何画空间直角坐标系？ 预设：画空间直角坐标系时,一般使(或),. 定义：右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系. 探究2：在平面直角坐标系中,每一个点和向量都可用一对有序实数（即它的坐标）表示.对空间直角坐标系中的每一个点和向量,是否也有类似的表示呢? 预设：在空间直角坐标系中(图1.3-3),为坐标向量,对空间任意一点,对应一个向量,且点的位置由向量唯一确定,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组,使 在单位正交基底下与向量对应的有序实数组,叫做点在空间直角坐标系中的坐标,记作,其中叫做点的横坐标,叫做点的纵坐标,叫做点的坚坐标. 思考：类比平面向量的坐标表示，空间直角坐标系中的每一个向量是否也能用坐标表示? 预设：在空间直角坐标系中,给定向量,作 (图1.3-4).由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组,使，有序实数组叫做在空间直角坐标系中的坐标,上式可简记作 这样,在空间直角坐标系中,空间中的点和向量都可以用三个有序实数表示. 思考：在空间直角坐标系中,对空间任意一点,或任意一个向量,你能借助几何直观确定它们的坐标吗? 预设：事实上,如图1.3-5,过点分别作垂直于轴、轴和轴的平面,依次交轴、轴和轴于点和.可以证明在轴、轴、轴上的投影向量分别为,,,=++,设点和在轴、轴、轴上的坐标分别是、和,那么点(向量)的坐标为. 牛刀小试： 练1：设是空间向量的一个单位正交基底，则向量，的坐标分别是 ； . 解析：由是空间向量的一个单位正交基底， 则， 故答案为：，. 练2： 设{，，}是是空间向量的一个单位正交基底，， ，则的坐标是 ． 解析：由是空间向量的一个单位正交基底， 因为， ； 所以 则， 故答案为： 练3： 已知，其中，，，是空间向量的一个单位正交基底，则点A的坐标为（     ） A． B． C． D． 解析：因为，，，， 是空间向量的一个单位正交基底， 所以. 所以点A的坐标为，故选：A 练4： 如图，在长方体中，，，，为棱的中点，分别以所在的直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系． （1）求点的坐标； （2）求点的坐标． 解析：（1）为坐标原点，则，点在轴的正半轴上，且， 同理可得：， 点在坐标平面内，，，， 同理可得：，， 与的坐标相比，点的坐标中只有坐标不同，，． 综上所述：，，，，，，，. （2）由（1）知：，，则的中点为，即. 例1：如图1.3-6，在长方体中，，，，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系． （1） 写出，C，，四点的坐标； （2）写出向量，，，的坐标． 预设：（1）点在z轴上，且，所以．所以点的坐标是， 同理，点C的坐标是 点在x轴、y轴、z轴上的射影分别为A，O，，它们在坐标轴上的坐标分别为3，0，2， 所以点的坐标是． 点在x轴、y轴、z轴上的射影分别为A，C，， 它们在坐标轴上的坐标分别为3，4，2， 所以点的坐标是． （2）； 方法总结： 1.在空间中根据点的坐标确定点的位置的方法 根据点的坐标确定点的位置,要先确定点(x0,y0)在Oxy平面上的位置,再由竖坐标确定点(x0,y0,z0)在空间直角坐标系中的位置. 2.建立空间直角坐标系时应遵循的原则 (1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内; (2)充分利用几何图形的特性. 3.求点的坐标的方法 一般先找出这一点在某一坐标平面上的射影,确定其两个坐标,再找出它在另一坐标轴上的射影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正号或负号),确定第三个坐标. 变式训练： 1.在长方体中．，，，与相交于点P，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz． （1）写出点C，，P的坐标； （2）写出向量，的坐标． 解析：（1）因为，，，所以 （2）因为，，， 题型一：建适当的空间直角坐标系求点坐标 1．已知正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为10，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标． 解析：以正四棱锥的底面中心为原点，平行于BC，AB所在的直线分别为x轴、y轴，垂直于平面的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，如图所示 由题意，正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为10，设与的交点为，则正四棱锥的高为 ， 则正四棱锥各顶点的坐标分别为. （答案不唯一，建系不同，点的坐标会有不同） 方法总结：用坐标表示空间向量的步骤 变式训练： 在长方体中，，，，建立如图所示的空间直角坐标系， (1)求点，，，的坐标； (2)若为的中点，试求点的坐标． 解析：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系． 设．过点向三个坐标平面，，作垂线，分别交平面，，于点，，，故，，，由图可知，，均为正数，故点的坐标是，同理可求得，，. （2）因为是的中点，，，所以由中点坐标公式得点的坐标为． 题型二：空间直角坐标系中的对称性问题 1. 在空间直角坐标系中,已知点的坐标为. (1)求点关于轴对称的点的坐标; (2)求点关于平面对称的点的坐标; (3)求点关于点对称的点的坐标. 解析：(1)因为点关于轴对称后,它在轴对应的数不变,在轴、轴对应的数变为原来的相反数,所以对称点的坐标为 (2)因为点关于平面对称后,它在轴、轴对应的数不变,在轴对应的数变为原来的相反数,所以对称点的坐标为. (3)设对称点的坐标为,则为线段的中点, 所以 所以点的坐标为 方法总结： 1、求对称点的坐标可按以下规律写出：“关于谁对称谁不变，其余的符号均相反．”在空间直角坐标系中，任一点P(a，b，c)的几种特殊的对称点的坐标如下： 对称轴或对称中心 对称点坐标 P(a，b，c) x轴 (a，－b，－c) y轴 (－a，b，－c) z轴 (－a，－b，c) xOy平面 (a，b，－c) yOz平面 (－a，b，c) xOz平面 (a，－b，c) 坐标原点 (－a，－b，－c) 2、在空间直角坐标系中，若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则线段AB的中点坐标为. 变式训练： 设是空间直角坐标系Oxyz中的一点，写出满足下列条件的点的坐标； （1）与点M关于轴对称的点； （2）与点M关于y轴对称的点； （3）与点M关于z轴对称的点； （4）与点M关于原点对称的点． 解析：若是空间直角坐标系Oxyz中的一点，则 （1）与点M关于轴对称的点为 （2）与点M关于y轴对称的点为 （3）与点M关于z轴对称的点为 （4）与点M关于原点对称的点为 1．（24-25高二下·甘肃定西·阶段练习）点在空间直角坐标系中的（     ） A．轴上 B．平面上 C．平面上 D．第一象限内 解析：因为点的竖坐标为0，所以该点在平面上. 故选：B. 2．（21-22高二上·北京·阶段练习）在空间直角坐标系中，，，则 （     ） A． B． C． D． 解析：因为，，所以 所以 故选：A 3．（24-25高二上·上海·期末）在空间直角坐标系中，已知，，则点和点关于（     ） A．轴对称 B．平面对称 C．轴对称 D．平面对称 解析：因为点和的纵坐标相等，其余两个坐标互为相反数， 所以点和点关于轴对称. 故选：C 4．（23-24高二下·甘肃庆阳·期中）已知点，求： (1)点A在平面、x轴上的投影点的坐标； (2)求点A关于平面、x轴、原点的对称点的坐标. 解析： （1）点A在平面、x轴上的投影点的坐标分别为，. （2）点A关于平面、x轴、原点的对称点的坐标分别为：，，. 1、在空间选定一点和一个单位正交基底(图1.3-2).以点为原点,分别以的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴:轴，轴，轴,它们都叫做 .这时我们就建立了一个 ，叫做 , 都叫做 ,通过每两条坐标轴的平面叫做 ,分别称为 平面（黄色）, 平面（绿色）, 平面（紫色）,它们把空间分成 八个部分. 画空间直角坐标系时,一般使(或),. 在空间直角坐标系中,让右手拇指指向轴的正方向,食指指向轴的正方向,如果中指指向轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系.本书建立的坐标系都是 . 答案：坐标轴 空间直角坐标系 原点 坐标向量 坐标平面 右手直角坐标系 2．在空间直角坐标系中(图1.3-3),为坐标向量,对空间任意一点,对应一个向量,且点的位置由向量唯一确定,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组,使 在单位正交基底下与向量对应的有序实数组,叫做点在空间直角坐标系中的_______,记作,其中叫做点的_______,叫做点的_______,叫做点的_______. 3. 在空间直角坐标系中,给定向量,作 (图1.3-4).由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组,使，有序实数组叫做在空间直角坐标系中的坐标,上式可简记作 这样,在空间直角坐标系中,空间中的点和向量都可以用三个有序实数表示. 答案：坐标 横坐标 纵坐标 坚坐标 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$