1.3.1 空间直角坐标系（教学设计）数学人教A版2019选择性必修第一册

1.3.1 空间直角坐标系 教学设计 1.教学内容 本节课是人教A版（2019）选择性必修第一册 第一章“空间向量与立体几何”1.3.1 空间直角坐标系，内容包括：空间向量基本定理的表述，即任意空间向量可由三个不共面向量唯一线性表示；通过类比平面直角坐标系，引入原点、单位正交基底{i,j,k}及x、y、z轴，建立空间直角坐标系，将空间点与有序实数组(x,y,z)对应，实现空间位置代数化表示，为空间向量运算及立体几何问题解决奠定基础，重点掌握坐标表示及右手系判定. 2.内容解析 本节课通过类比平面直角坐标系，引入空间直角坐标系的概念，明确其由原点、单位正交基底{i,j,k}及x、y、z轴构成.重点讲解空间点与有序实数组(x、y、z)的一一对应关系，实现空间位置代数化表示.通过右手系判定法则，强化坐标系方向性理解.结合实例，说明空间直角坐标系在描述空间几何体位置、计算向量坐标及解决立体几何问题中的应用，如求两点间距离、判断点线面位置关系等.同时，通过对比平面与空间坐标系的异同，加深学生对三维空间结构的认知，为后续空间向量运算及立体几何证明奠定基础. 基于以上分析，确定本节课的教学重点为：掌握空间直角坐标系构建方法，理解空间点坐标表示及右手系判定. 1.教学目标 （1）在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性，会用空间直角坐标系刻画点的位置. （2）借助空间直角坐标系理解空间中点的坐标和向量的坐标的概念及坐标表示. 2.目标解析 （1）引导学生从平面坐标系自然过渡到空间直角坐标系，通过类比迁移理解三维空间定位的必要性.教学中需突出空间直角坐标系由原点、单位正交基底及坐标轴构成，强调其通过有序实数组(x,y,z)唯一确定空间点位置的功能.通过实例（如确定长方体顶点坐标）帮助学生感悟坐标系在解决立体几何问题中的工具性价值，培养数学抽象与直观想象素养.​ （2）聚焦坐标系的核心应用，要求学生理解空间点坐标与向量坐标的内在联系.需通过图形演示与代数推导相结合的方式，明确“点坐标为位置标定，向量坐标为位移标定”的本质区别.结合具体问题（如求两点间距离、向量模长），引导学生掌握坐标运算规则，体会代数方法在处理立体几何问题中的简洁性，发展数学运算与逻辑推理素养. 学生在初中已掌握平面直角坐标系基础，能熟练用二维坐标描述点位置；高中必修阶段学习了向量概念及立体几何初步，具备一定空间想象能力.但三维空间思维尚待发展，对坐标轴方向性（如右手定则）、点与向量坐标的区分可能存在认知模糊.此外，将几何问题代数化的思维转换（如用坐标表示异面直线关系）可能成为障碍. 预估困难： 1. 空间直角坐标系构建抽象，学生易混淆坐标轴方向或原点位置； 2. 动态想象能力不足，难以通过坐标刻画点、向量位置关系； 3. 坐标表示与几何直观脱节，如求某三等分点的点坐标. 解决策略： 1. 借助实物模型（如教室角落）或动态软件演示坐标系构建，强化右手定则； 2. 设计对比任务（如平面与空间点坐标差异），突出z轴作用； 3. 通过“坐标-图形”双向转化练习（如给定坐标描点、根据图形写坐标），培养数形结合能力； 4. 分解复杂问题为步骤化操作（如先建系、再标点），规范解题流程. 基于以上分析，确定本节课的教学难点为：空间直角坐标系中点的坐标确定与向量坐标的表示. 情境引入 上节课，复兴哥发现了复兴星，并得到该星的位置代码： 新星系位置=3A+2B−4C 复兴哥在研究破解这串位置代码时，联想到平面直角坐标系中，每个位置可以用坐标表示，那么： 思考：复兴星的位置代码是否也可以用一个坐标表示呢？ 设计意图：创设问题情境，类比迁移平面直角坐标系，激发探究兴趣，自然引出空间直角坐标系概念. 教学建议：结合学生已有认知，设问引导（如“如何将三维位置转化为坐标？”），促进主动建构空间直角坐标系概念. 定点 单位 正交基底 原点 正方向 单位长度 数轴 坐标系 平面 直角 坐标系 𝑂 {} 𝑂 的方向 的长度 𝑥轴 𝑦轴 回顾：在平面向量中，我们以平面直角坐标系中与x轴、y轴方向相同的两个单位向量为基底，建立了向量的坐标与点的坐标的一一对应关系. 探究1：类比以上表格，完成以下表格，建立空间直角坐标系. 定点 单位 正交基底 原点 正方向 单位长度 数轴 坐标系 空间 直角 坐标系 𝑂 {} 𝑂 的方向 的长度 𝑥轴 𝑦轴 z轴 定义：空间直角坐标系 在空间选定一点和一个单位正交基底(图1.3-2).以点为原点,分别以的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴:轴，轴，轴,它们都叫做坐标轴.这时我们就建立了一个空间直角坐标系， 学生：理解概念，并辨析定义. 预设：① 叫做原点, 都叫做坐标向量； ② 通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为平面(黄色),平面（绿色）,平面（紫色）,它们把空间分成八个部分. 思考：如何画空间直角坐标系？ 学生：小组讨论，并尝试着自主化直角坐标系，展示同学们不同的画法 预设：画空间直角坐标系时,一般使(或),. 定义：右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向 轴的正方向，食指指向 轴的正方向，如果中指指向 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系. 设计意图：通过问题，唤醒学生已有的学习经验，回顾平面向量坐标表示的完整过程，突出单位正交基底及平面向量基本定理在平面向量坐标表示中的作用；通过类比平面直角坐标系，引导学生利用空间向量单位正交基建立空间直角坐标系，通过阅读教科书完善相关概念，让学生回顾空间图形直观图的画法，明确空间直角坐标系的斜二测画法. 探究2：在平面直角坐标系中,每一个点和向量都可用一对有序实数（即它的坐标）表示.对空间直角坐标系中的每一个点和向量,是否也有类似的表示呢? 师生：在空间直角坐标系中(图1.3-3),为坐标向量,对空间任意一点,对应一个向量,且点的位置由向量唯一确定,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组,使 在单位正交基底下与向量对应的有序实数组,叫做点在空间直角坐标系中的坐标,记作,其中叫做点的横坐标,叫做点的纵坐标,叫做点的坚坐标. 思考：类比平面向量的坐标表示，空间直角坐标系中的每一个向量是否也能用坐标表示? 师生：在空间直角坐标系中,给定向量,作 (图1.3-4).由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组,使，有序实数组叫做在空间直角坐标系中的坐标,上式可简记作 这样,在空间直角坐标系中,空间中的点和向量都可以用三个有序实数表示. 思考：在空间直角坐标系中,对空间任意一点,或任意一个向量,你能借助几何直观确定它们的坐标吗? 师生：事实上,如图1.3-5,过点分别作垂直于轴、轴和轴的平面,依次交轴、轴和轴于点和.可以证明在轴、轴、轴上的投影向量分别为,,,=++,设点和在轴、轴、轴上的坐标分别是、和,那么点(向量)的坐标为. 设计意图：使学生借助长方体这个基本空间几何体，直观理解空间向量在坐标轴上的投影，结合向 量回路运算，借助几何直观确定空间中点和向量的坐标. 牛刀小试： 练1：设是空间向量的一个单位正交基底，则向量，的坐标分别是 ； . 学生：思考并独立完成，得出答案，做好分享准备 解析：由是空间向量的一个单位正交基底， 则， 故答案为：，. 练2： 设{，，}是是空间向量的一个单位正交基底，， ，则的坐标是 ． 学生：思考并独立完成，得出答案，做好分享准备 解析：由是空间向量的一个单位正交基底， 因为， ； 所以 则， 故答案为： 练3：练3： 已知，其中，，，是空间向量的一个单位正交基底，则点A的坐标为（     ） A． B． C． D． 学生：思考并独立完成，得出答案，做好分享准备 解析：因为，，，， 是空间向量的一个单位正交基底， 所以. 所以点A的坐标为，故选：A 练4： 如图，在长方体中，，，，为棱的中点，分别以所在的直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系． （1）求点的坐标； （2）求点的坐标． 学生：思考并独立完成，得出答案，做好分享准备 解析：（1）为坐标原点，则，点在轴的正半轴上，且， 同理可得：， 点在坐标平面内，，，， 同理可得：，， 与的坐标相比，点的坐标中只有坐标不同，，． 综上所述：，，，，，，，. （2）由（1）知：，，则的中点为，即. 例1：如图1.3-6，在长方体中，，，，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系． （1） 写出，C，，四点的坐标； （2）写出向量，，，的坐标． 预设：（1）点在z轴上，且，所以．所以点的坐标是， 同理，点C的坐标是 点在x轴、y轴、z轴上的射影分别为A，O，，它们在坐标轴上的坐标分别为3，0，2， 所以点的坐标是． 点在x轴、y轴、z轴上的射影分别为A，C，， 它们在坐标轴上的坐标分别为3，4，2， 所以点的坐标是． （2）； 方法总结： 1.在空间中根据点的坐标确定点的位置的方法 根据点的坐标确定点的位置,要先确定点(x0,y0)在Oxy平面上的位置,再由竖坐标确定点(x0,y0,z0)在空间直角坐标系中的位置. 2.建立空间直角坐标系时应遵循的原则 (1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内; (2)充分利用几何图形的特性. 3.求点的坐标的方法 一般先找出这一点在某一坐标平面上的射影,确定其两个坐标,再找出它在另一坐标轴上的射影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正号或负号),确定第三个坐标. 变式训练： 1.在长方体中．，，，与相交于点P，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz． （1）写出点C，，P的坐标； （2）写出向量，的坐标． 解析：（1）因为，，，所以 （2）因为，，， 题型一：建适当的空间直角坐标系求点坐标 1．已知正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为10，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标． 解析：以正四棱锥的底面中心为原点，平行于BC，AB所在的直线分别为x轴、y轴，垂直于平面的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，如图所示 由题意，正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为10，设与的交点为，则正四棱锥的高为 ， 则正四棱锥各顶点的坐标分别为. （答案不唯一，建系不同，点的坐标会有不同） 方法总结：用坐标表示空间向量的步骤 变式训练： 在长方体中，，，，建立如图所示的空间直角坐标系， (1)求点，，，的坐标； (2)若为的中点，试求点的坐标． 解析：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系． 设．过点向三个坐标平面，，作垂线，分别交平面，，于点，，，故，，，由图可知，，均为正数，故点的坐标是，同理可求得，，. （2）因为是的中点，，，所以由中点坐标公式得点的坐标为． 题型二：空间直角坐标系中的对称性问题 1. 在空间直角坐标系中,已知点的坐标为. (1)求点关于轴对称的点的坐标; (2)求点关于平面对称的点的坐标; (3)求点关于点对称的点的坐标. 解析：(1)因为点关于轴对称后,它在轴对应的数不变,在轴、轴对应的数变为原来的相反数,所以对称点的坐标为 (2)因为点关于平面对称后,它在轴、轴对应的数不变,在轴对应的数变为原来的相反数,所以对称点的坐标为. (3)设对称点的坐标为,则为线段的中点, 所以 所以点的坐标为 方法总结： 1、求对称点的坐标可按以下规律写出：“关于谁对称谁不变，其余的符号均相反．”在空间直角坐标系中，任一点P(a，b，c)的几种特殊的对称点的坐标如下： 对称轴或对称中心 对称点坐标 P(a，b，c) x轴 (a，－b，－c) y轴 (－a，b，－c) z轴 (－a，－b，c) xOy平面 (a，b，－c) yOz平面 (－a，b，c) xOz平面 (a，－b，c) 坐标原点 (－a，－b，－c) 2、在空间直角坐标系中，若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则线段AB的中点坐标为. 变式训练： 设是空间直角坐标系Oxyz中的一点，写出满足下列条件的点的坐标； （1）与点M关于轴对称的点； （2）与点M关于y轴对称的点； （3）与点M关于z轴对称的点； （4）与点M关于原点对称的点． 解析：若是空间直角坐标系Oxyz中的一点，则 （1）与点M关于轴对称的点为 （2）与点M关于y轴对称的点为 （3）与点M关于z轴对称的点为 （4）与点M关于原点对称的点为 1．（24-25高二下·甘肃定西·阶段练习）点在空间直角坐标系中的（     ） A．轴上 B．平面上 C．平面上 D．第一象限内 解析：因为点的竖坐标为0，所以该点在平面上. 故选：B. 2．（21-22高二上·北京·阶段练习）在空间直角坐标系中，，，则 （     ） A． B． C． D． 解析：因为，，所以 所以 故选：A 3．（24-25高二上·上海·期末）在空间直角坐标系中，已知，，则点和点关于（     ） A．轴对称 B．平面对称 C．轴对称 D．平面对称 解析：因为点和的纵坐标相等，其余两个坐标互为相反数， 所以点和点关于轴对称. 故选：C 4．（23-24高二下·甘肃庆阳·期中）已知点，求： (1)点A在平面、x轴上的投影点的坐标； (2)求点A关于平面、x轴、原点的对称点的坐标. 解析： （1）点A在平面、x轴上的投影点的坐标分别为，. （2）点A关于平面、x轴、原点的对称点的坐标分别为：，，. 1、在空间选定一点和一个单位正交基底(图1.3-2).以点为原点,分别以的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴:轴，轴，轴,它们都叫做 .这时我们就建立了一个 ，叫做 , 都叫做 ,通过每两条坐标轴的平面叫做 ,分别称为 平面（黄色）, 平面（绿色）, 平面（紫色）,它们把空间分成 八个部分. 画空间直角坐标系时,一般使(或),. 在空间直角坐标系中,让右手拇指指向轴的正方向,食指指向轴的正方向,如果中指指向轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系.本书建立的坐标系都是 . 答案：坐标轴 空间直角坐标系 原点 坐标向量 坐标平面 右手直角坐标系 2．在空间直角坐标系中(图1.3-3),为坐标向量,对空间任意一点,对应一个向量,且点的位置由向量唯一确定,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组,使 在单位正交基底下与向量对应的有序实数组,叫做点在空间直角坐标系中的_______,记作,其中叫做点的_______,叫做点的_______,叫做点的_______. 思考：类比平面向量的坐标表示，空间直角坐标系中的每一个向量是否也能用坐标表示? 师生：在空间直角坐标系中,给定向量,作 (图1.3-4).由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组,使，有序实数组叫做在空间直角坐标系中的坐标,上式可简记作 这样,在空间直角坐标系中,空间中的点和向量都可以用三个有序实数表示. 答案：坐标 横坐标 纵坐标 坚坐标 巩固作业：教科书第18页练习第1、2、3、4题 1.3.1 空间直角坐标系 1. 定义： 2. 画法：一般使(或),. 3. 右手直角坐标系 4. 空间向量坐标表示： 5. 例题区：（学生板演区域） 本节课通过复兴星位置代码的情境导入，成功激发了学生的学习兴趣，帮助他们从平面直角坐标系自然过渡到空间直角坐标系.讲授过程中，结合PPT课件详细讲解了空间直角坐标系的概念、构建方法及右手定则，并通过实例演示了空间点坐标和向量坐标的确定方法，有效促进了学生的理解和掌握.探究学习环节的设置，引导学生自主探究空间直角坐标系的应用，培养了他们的解决问题的能力.课后作业的布置既巩固了所学知识，又拓展了学生的应用能力.然而，部分学生在空间向量坐标的理解与运算上仍存在困难，未来教学中需加强个别辅导和针对性练习. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$