2025年中考数学真题完全解读（天津卷）

2025年中考数学真题完全解读（天津卷） 2025年天津市中考数学试卷依托《义务教育数学课程标准（2022年版）》的要求，充分展示了对学生核心素养的考查。整卷共设置了两个部分：第Ⅰ卷为客观性试题（选择题），包括 12 个小题，每题 3 分，共 36 分；第Ⅱ卷为主观性试题（填空题与解答题），共 13 题，总计 84 分。全卷满分为 120 分，考试时长 100 分钟。 从整体上看，本试卷表现出以下几个特点： · 结构合理且题型多样 本卷题型主要包括选择题、填空题与解答题三大类，并在解答题中融合了图形几何、函数应用、数据统计、综合实践等多种题型。在题量分布上，前后衔接合理，既有基础题，也有拓展题，既兼顾知识覆盖全面，又注重思维拓展。与往年相比，基础题依旧占主要比例，但在后续大题中融入了更多与实际情境相结合的综合应用题，彰显了适度的区分度。 · 难易梯度均衡，突出思维过程 选择题部分从第1题到第12题，既涵盖了二次根式、分式运算等基础知识，也考查了函数增减性、轴对称图形等概念。题目由易到难，梯度明显，让不同层次的考生都有发挥机会。填空题与解答题既要求学生对基础运算、几何推证和数据分析等进行熟练掌握，也注重对学生的数学表达和条理性提出更高要求。最后几道题如第25题等，考查了二次函数的综合运用、平行四边形的性质等，需要学生具备较强的抽象思维与综合解题能力，难度相对较高，能有效区分不同水平考生。 · 充分体现课程标准的理念与要求 试卷注重与实际生活、学科交叉的结合。例如，有关“行程问题”的应用题，将古典问题与现实场景巧妙融合；几何部分涉及旋转、尺规作图，反映了对空间观念与几何直观能力的关注；数据分析与概率部分考查学生对样本数据平均数、众数、中位数及加权平均的掌握与理解，培养学生从统计图解读社会信息的能力。这些设置符合新课标中“数学建模”与“数学应用”方面的要求，也呼应了当代素养教育中数据信息处理及建模意识的培养目标。 · 关注学生的综合素养与创新思维 纵观全卷，命题不再局限于纯框架式解答，而是通过实际情境激活学生对知识的调度与迁移。比如第Ⅱ卷中对函数图象平移、三角函数求值、相似几何体求面积等，常常设计情景化或者结合实际测量、真实调查的数据，让学生通过阅读、分析并提炼出关键的数量关系。与此同时，这些试题也需要学生在解题时注重多步骤推理、严密的逻辑与规范化的表达，体现出对思维方式的高层次要求，进一步激发了学生的创新能力和数学探究能力。 总体而言，2025年天津市中考数学试卷在题型、难度、知识覆盖和素养考查方面均实现了稳中有进的变化，既保持了对基础知识的重视，也强化了应用与创新意识的培养。对日常教学而言，教师需要加大对深度思维与学科融合的关注，引导学生在解决丰富多元的问题中提升数学素养与核心思维能力。 与2024年相比，2025年天津市中考数学依然保持12道选择题 + 6道填空题 + 7道解答题的总体架构，分值与时长配置未发生明显改变。 第Ⅰ卷（选择题）36分，第Ⅱ卷（非选择题）84分，满分120分；考试时长为100分钟。 · 知识点分布广 从数与代数到图形与几何、从统计与概率到综合探究，各板块内容均有涉猎，基本涵盖了中学数学中的主干知识。例如： · 数与代数部分注重基础运算，含有 等基本恒等变形，也出现了对分式、一次函数、二次函数及反比例函数的考查。 · 几何部分涉及全等与相似、三角函数计算、平移与旋转、圆的性质与切线、矩形判定与勾股定理等；还出现了对轴对称、水平平移、视图三视图等较新颖的题目设计。 · 统计与概率部分则利用扇形统计图、条形统计图等综合分析计算平均数、众数与中位数，兼具实用性与趣味性。 · 中档题扎实，压轴题强调综合 · 试卷中的中档题大多出现在第Ⅱ卷前端与第Ⅰ卷后端，这些题的难度适中，需要运用初中阶段较常见的几何推断、一次二次方程等基本解题思维。压轴题如第25题，以二次函数为载体，融合了平行四边形、对称轴与几何变换的思想，要求学生对函数与几何的交融具备较强的整体把握，且思维跨度大，能很好地体现拔高考生能力、区分顶尖水平的作用。 · 情境设置更贴近生活 · 在选择题与填空题中，出现了统计、概率与图形间转换等实际应用场景（如志愿服务时长、交通出行数据等），强调对数据信息的提取和建模能力。 · 知识融合度提升 · 第Ⅱ卷部分解答题，将几何作图（如旋转、轴对称、平移）与函数思想（特别是二次函数与反比例函数）结合考查，要求学生综合运用多章节知识进行推理论证。 · 几何题目深度有所加大 · 在圆、相似形、矩形综合性题目中，引入了多步推导和复杂的辅助线构造；尤其注重对几何变换（旋转、平移、对称）的灵活应用，深化空间想象与推理。 · 数据分析题加入估计与决策 · 统计与概率类题目不仅要求读图、填数，还结合了“抽样估计整体”“频数与频率分布”等概念，对学生分析与反思能力提出更高要求。 · 贴近当地学情与社会实际 · 题目中出现天津市跨区域人员流动量、大众出行场景等，既满足天津地区学生的熟悉情境，也能激起学生对生活与数学联系的思考。 · 落实素养，注重思维过程 · 试卷以中等难度题为主体，兼具一定层次的思维挑战题目，能够促使教师在日常教学中更加关注数学思维与方法引导，避免只局限于死记硬背公式与机械刷题。 · 对今后备考教学的建议 · 重视基础运算与规范表达，尤其是在代数与几何推理中，培养严谨的解题过程。 · 加强综合能力与思维拓展训练，引导学生用函数观点、几何变换、统计建模等多角度解决问题。 · 适度引入实践活动及社会话题，将课本知识应用于探究真实情境，切合学科核心素养的培养目标。 · 应用意识与跨章节调动 · 试题强调函数与几何、概率与统计等多知识点交叉，要求学生熟练掌握基础概念并能灵活迁移，注重整体思路与综合解题策略。 · 推理链条与表达规范 · 对于几何作图和函数优化等问题，逻辑推理步骤更为细腻；学生需要条理化地表达过程，并准确运用几何与代数语言。 · 注重实践与探究 · 部分新颖的情境题（如测量高度、行程分析）要求学生具有一定的实践操作与模型抽象能力，会用函数、方程等进行量化描述与评价。 · 时间与速度的调配 · 题目综合度增加，学生需规划好解题顺序与答题速度，在准确审题的同时，合理分配解题时间，提升应试效率。 下面从整体结构、各题考查内容及难易程度来分析本套试卷。 本套“2025年天津市中考数学真题”共分为第Ⅰ卷与第Ⅱ卷。 · 第Ⅰ卷为选择题，共 12 题，每题 3 分，总计 36 分。 · 第Ⅱ卷为非选择题，包括填空题 6 题（每题 3 分，共 18 分）和解答题 7 题（共 66 分），两部分合计 84 分。 试卷满分 120 分，考试时间 100 分钟。 从题型来看，选择题占 30%（36/120），填空题占 15%（18/120），解答题占 55%（66/120）。题目难度在易、中、难三类中搭配合理，兼顾了基础知识、基本技能与综合能力的考查。 下面的表格按题号顺序（1–25）列示出每题的分值、题型、考查内容以及难易分析，便于考生和老师从整体上把握本套试卷的知识分布与难度结构。 题号 分值 题型 考查内容 难易分析 1 3 选择题 易 2 3 选择题 易 3 3 选择题 易 4 3 选择题 易 5 3 选择题 易 6 3 选择题 易 7 3 选择题 易 8 3 选择题 易 9 3 选择题 易 10 3 选择题 中 11 3 选择题 中 12 3 选择题 较难 13 3 填空题 易 14 3 填空题 易 15 3 填空题 易 16 3 填空题 易 17 3 填空题 中 18 3 填空题 较难 19 8 解答题 易 20 8 解答题 易 21 10 解答题 中 22 10 解答题 中 23 10 解答题 中 24 10 解答题 较难 25 10 解答题 难 · 难度比例 · 易：约占 45% · 中：约占 30% · 难：约占 25% · 不同难度题目的典型特点 · 易： 例如第 1、2、3、4、5 题，大多考查基础知识与基本技能，如有理数运算、简单图形的三视图、无理数估算或者科学记数法等，学生只要掌握常规运算和基础概念即可相对容易地得分。 · 中： 例如第 10、11、17 题，这些题目在基础运算或基础几何上稍作延伸，需要结合多种知识进行适度推理或计算，对学生理解和推理能力有一定要求。 · 难： 如第 12、24、25 题，通常涉及函数与几何的综合、较复杂的图形变换或方程式推导，综合性强，逻辑要求高，需要学生在数学思想（如数形结合、分类讨论、方程思想、函数思想）方面具备熟练的运用能力。 本套试卷总体难度适当，既覆盖了初中阶段的核心知识点，也注重考查了学生对数学思想方法的综合运用。建议考生在复习备考时，先巩固基础，注重对中档题目方法与技巧的训练，最后再攻关难度较高的综合性试题。祝各位考生在后续的学习和考试中取得优异成绩！ 本套试卷综合考查了初中数学常见的函数与方程（如型的反比例函数、一元一次不等式组、二次函数）、几何图形（如等腰三角形、矩形、组合体的视图）以及统计与概率等内容，体现了对学生多方面能力的考查。以下从知识、方法、心态三方面，为同学们的后续复习提出建议：重点知识板块 · 函数与方程： · 试卷对、这类函数均有涉及，同时还考查了一元一次不等式组及其实际应用。复习时，要系统掌握一次函数、反比例函数和二次函数的图象形状与性质，尤其关注增减性、对称轴、顶点坐标的求法，以及方程组或不等式组在实际情境中的应用思路。 · 几何与三角： · 本卷涵盖了旋转、轴对称、平行四边形性质、等腰三角形判定与性质、矩形的对角线特征及三角函数值的计算等。要熟练运用勾股定理、三角函数、全等与相似三角形等知识，并灵活结合坐标几何方法来解题。 · 统计与概率： · 概率中常见的“从个球中随机取出个”的题型，要注意列出所有等可能结果，并正确求出所求情况数；对于统计图表类题，需熟悉条形图、扇形图、折线图等的特点，学会计算平均数、中位数与众数等统计量。易错与易混知识点 · 函数图象增减性判断： · 反比例函数中，当或时，增减走势不同，很多同学容易混淆。务必结合象限和正负性，严格区分。 · 三角函数特殊角运算： · 比如、、等，要牢记准确的值，运算前先审清题目是否涉及角平分、倍角或邻补角关系。 · 尺规作图与几何推理： · 作辅助线后，别忘了运用等腰三角形、外角定理等基本结论。有同学作图后忽略必要标注，导致推理链条断裂或混淆。不同题型的解题技巧 · 选择题： · 先通过排除法快速判断错误选项（可代入简单值或引用特殊情形），再结合准确计算。遇到几何直观题，可先草图演示，留意捕捉关键特征。 · 填空题： · 注意运算步骤的简洁与准确，特别是分式和根式运算要避免漏写或漏约分。若涉及科学记数法，应仔细检查小数点移动的位数。 · 解答题： (1) 书写规范：定义、定理引用务必写明条件。 (2) 画图精确：辅助线要合理，标注清晰。 (3) 分步表述：先写已知条件，再展开推理，最终得出结论，保证逻辑层次分明。规划理调适 · 分阶段复习： · 第一阶段：系统梳理，按章节或知识板块复习，针对错题及时查漏补缺。 · 第二阶段：综合提升，模拟整卷训练，注重时间分配与答题顺序的合理安排。 · 第三阶段：临考归纳，重复易错题型和核心公式，保持做题手感。 · 心态调整： · 在紧张复习中，适当做些放松活动或短暂休息，有助于提升专注度。若遇到瓶颈题目或模考失利，要以平常心看待，总结经验后继续前进。命题趋势与关注要点 · 融合创新： · 考题往往会将函数、几何与数理统计结合在真实场景中，需要同学们会“建模”，即从文字中抽象数学关系，并恰当使用所学知识求解。 · 运算转化与几何分析： · 通过坐标法解决几何问题、把空间想象与代数运算相结合，依然是出题热点。 · 综合实践与探究： · 未来题目可能更突出探究与实验，如“旋转结合平行四边形”或“实际测量结合三角函数”，务必多加留意。 总之，同学们在备考过程中，要狠抓基础、强化综合运用，并保持积极心态。祝大家在中考中发挥稳定，取得理想成绩！ 2025年天津市中考数学真题 本试卷分为第I卷（选择题）、第II卷（非选择题）两部分．第I卷为第1页至第3页，第II卷为第4页至第8页．试卷满分120分．考试时间100分钟． 答卷前，请务必将自己的姓名、考生号、考点校、考场号、座位号填写在“答题卡”上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和“答题卡”一并交回． 祝你考试顺利！ 第I卷 注意事项： 1．每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点． 2．本卷共12题，共36分． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 计算的结果等于（ ） A B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查有理数的除法运算，利用除法的运算法则进行计算即可． 【详解】解：； 故选B． 2. 如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要查了简单组合体的三视图．根据从前面看到的图形是主视图，即可求解． 【详解】解：根据题意得：它的主视图是 故选：D 3. 估计的值在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查无理数的估算，夹逼法求出无理数的范围，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的值在3和4之间； 故选C． 4. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要查了轴对称图形．根据轴对称图形得定义，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，故本选项符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：B 5. 据年月日《天津日报》报道，今年“五一”小长假，全市跨区域人员流动量达到人次．将数据用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，解题的关键是熟记科学记数法的定义：将一个数表示成的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数． 【详解】解：将数据用科学记数法表示应为． 故选：B． 6. 的值等于（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的计算，代入各特殊角的三角函数值后按运算顺序计算，即可求解． 【详解】解： 故选：A． 7. 若点都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查比较反比例函数的函数值的大小关系，根据反比例函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象过二，四象限，在每一个象限内，随着的增大而增大， ∵点都在反比例函数的图象上，且， ∴； 故选D． 8. 《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马天可以追上慢马，则可以列出的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，属于行程问题中的追及问题．解题的关键是找到两马路程相等的等量关系． 设快马用天追上慢马，快马的总路程为里，慢马的总路程为里，根据题意，列出方程即可． 【详解】解：设快马用天追上慢马，快马的总路程为里，慢马的总路程为里，根据题意得： ． 故选：A 9. 计算的结果等于（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式的加法运算，先通分化为同分母，再进行计算，最后约分化简即可． 【详解】解：原式 ； 故选A． 10. 如图，是△ABC的角平分线．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点，与边相交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，与边相交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点；④作射线，与相交于点，与边相交于点．则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要查了尺规作图，等腰三角形的判定，三角形外角的性质．由作法可得：，再结合三角形外角的性质，等腰三角形的判定解答，即可． 【详解】解：由作法得：， 根据题意无法得到与的大小关系， 所以无法确定与的大小关系，故A选项错误； ∵是△ABC的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴，故D选项正确； 题干中没有说明的大小关系， ∴无法判断的大小关系，则无法得到的度数，故B选项错误； 根据题意无法得到的大小关系，故C选项错误； 故选：D 11. 如图，在△ABC中，，将△ABC绕点顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为的延长线与边相交于点，连接．若，则线段的长为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的判定、旋转的性质、勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题关键．连接，交于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，再证出垂直平分，则可得，，然后利用勾股定理和三角形的面积公式求出的长，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，交于点， 由旋转的性质得：，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：D． 12. 四边形中，，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点M，N的位置如图所示．有下列结论： ①当时，； ②当时，的最大面积为； ③有两个不同的值满足的面积为．其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要查了二次函数的性质，一元二次方程的应用．当时，点M在上，求出，可判断①；当时，点M在上，利用三角形面积公式求出的面积，利用二次函数的性质，可判断②；分两种情况：当点M在上时，点M在上，结合的面积为，列出方程，可判断③． 【详解】解：根据题意得：点M在上的运动时间为，点M在上的运动时间为，点N在上的运动时间为， ①当时，点M在上， 此时，， ∴， ∴，故①正确； ②当时，点M在上， 此时，， ∴， ∴， ∵， ∴当时，随t的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为， 即当时，的最大面积为，故②错误； ③当点M在上时， ∵的面积为， ∴， 解得：（舍去）， ∴当时，的面积为； 当点M在上时， ∵，， ∴，即， 此时， 解得：， ∴当时，的面积为； ∴有两个不同的值满足的面积为，故③正确． 故选：C 第II卷 注意事项： 1．用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题卡”上（作图可用铅笔）． 2．本卷共13题，共84分． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 不透明袋子中装有13个球，其中有3个红球、4个黄球、6个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比，解题的关键是掌握概率公式． 用绿球的个数除以总球的个数即可得出答案． 【详解】解：袋子中绿球的个数为6， 球的总数为13， 所以抽到绿球的概率为， 故答案为：． 14. 计算的结果为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查合并同类项，根据合并同类项的法则，进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：． 15. 计算的结果为____________． 【答案】60 【解析】 【分析】本题主要考查了利用平方差公式进行二次根式的运算，解题的关键是熟练掌握平方差公式． 利用平方差公式进行计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：60． 16. 将直线向上平移个单位长度，若平移后的直线经过第三、第二、第一象限，则的值可以是____________（写出一个即可）． 【答案】2（答案不唯一，满足即可） 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象的平移，根据直线经过的象限，求参数的范围，根据平移规则求出新的解析式，根据图象经过第三、第二、第一象限，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，平移后的解析式为：， ∵平移后的直线经过第三、第二、第一象限， ∴， ∴； ∴的值可以是2； 故答案为：2（答案不唯一，满足即可） 17. 如图，在矩形中，，，点在边上，且． （1）线段的长为____________； （2）为的中点，为的中点，为上一点，若，则线段的长为____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，解直角三角形，全等三角形的性质与判定等等，熟知矩形的性质与勾股定理是解题的关键． （1）求出，再利用勾股定理即可求出答案； （2）过点M作于H，由矩形的性质得到，，证明，得到，，则可证明，可得，则；由勾股定理得，则，解直角三角形求出的长，进而可求出的长． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图所示，过点M作于H， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点P，A均在格点上． （1）线段的长为____________； （2）直线与的外接圆相切于点．点在射线上，点在线段的延长线上，满足，且与射线垂直．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，N，并简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明）____________． 【答案】 ①. ②. 见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，圆周角定理的推论，等腰三角形的性质，正方形的性质，三角形中位线的判定和性质，相似三角形的判定和性质等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）利用勾股定理进行求解即可； （2）利用圆周角定理的推论，正方形的性质确定圆心，再根据全等三角形和等腰三角形的三线合一确定线段的中点，利用网格确定点为线段的中点，则为三角形的中位线，利用一组平行线确定点为线段的中点，证明和，得出，即，最后利用切线的性质和等腰三角形的性质，得出为等腰三角形，再利用等腰三角形的性质得出． 【详解】解：（1）由勾股定理得， 故答案为：； （2）如图所示，点即为所求， 作法：直线PA与射线BC的交点为；取圆与网格线的交点和，连接；取格点，连接，与相交于点；连接并延长，与相交于点，与直线相交于点；连接并延长，与网格线相交于点，连接，与网格线相交于点；连接，与线段的延长线相交于点，则点M，N即为所求． 理由：∵， ∴为圆的直径， ∵为正方形的对角线， ∴, ∴垂直平分线段， ∴点为圆的圆心， ∴， 又， ， ， 平分， ∴点为线段的中点， 由网格可知点为线段的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴点为线段的中点， ∵AB=BC，BH=BH，， ， ∴AH=CH，， ∴， 又， ∴， , 即， 延长交于点， ∵， ∴, ， ∴ ∵为圆的切线， ∴， ， , ∴， 即， ∵， ， ∴为等腰三角形， ∴， ∴点即为所求． 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得____________； （2）解不等式②，得____________； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为____________． 【答案】（1） （2） （3）作图见解析 （4） 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集， （1）根据移项，合并同类项即可得解； （2）根据移项，合并同类项即可得解； （3）根据不等式的解集在数轴上表示的方法：“”空心圆点向右画折线，“”实心圆点向右画折线，“”空心圆点向左画折线，“”实心圆点向左画折线，据此画出图形； （4）根据一元一次不等式组的解集确定的原则：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到，据此确定不等式组的解集； 解题的关键是掌握：①不等式的解集在数轴上表示的方法；②一元一次不等式组的解集确定的原则． 【小问1详解】 解：移项，得：， 合并同类项，得：， ∴解不等式①，得：， 故答案为：； 【小问2详解】 移项，得：， 合并同类项，得：， ∴解不等式②，得：， 故答案为：； 【小问3详解】 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来如图所示： 【小问4详解】 原不等式组的解集为：， 故答案为：． 20. 为了解某校学生每月参加志愿服务的时间（单位：h），随机调查了该校名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：的值为____________，图①中的值为____________，统计的这组学生每月参加志愿服务的时间数据的众数和中位数分别为____________和____________； （2）求统计的这组学生每月参加志愿服务的时间数据的平均数； （3）根据样本数据，若该校共有1000名学生，估计该校学生每月参加志愿服务的时间是4h的人数约为多少？ 【答案】（1）40，25，4，3 （2）这组数据的平均数是 （3）估计该校学生每月参加志愿服务的时间是4h的人数约为350 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图和条形统计图的结合，求总数，部分的百分比，众数，中位数，加权平均数，利用样本频数预估总体频数等内容，解题的关键是熟练掌握以上概念和公式，并灵活应用． （1）利用求总数，部分的百分比，众数，中位数的公式和定义进行求解即可； （2）利用加权平均数公式进行求解即可； （3）利用样本频数预估总体频数即可． 【小问1详解】 解：； 3小时人数所占的百分比为， ∴； ∵在该组数据中4出现的次数最多， ∴众数为4； 中位数为排序后的第20位和21位的平均数， ∴中位数为； 故答案为：40，25，4，3； 【小问2详解】 解：该组数据平均数为， ∴这组数据的平均数是； 【小问3详解】 解：在所抽取的样本中，每月参加志愿服务的时间是4h的学生占， 根据样本数据，估计该校1000名学生中，每月参加志愿服务的时间是4h的学生约占，有. 估计该校学生每月参加志愿服务的时间是4h的人数约为350． 21. 已知与相切于点与相交于点D，E为上一点． （1）如图①，求的大小； （2）如图②，当时，与相交于点，延长与相交于点，若的半径为3，求和的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）连接，切线的性质得到，三线合一，求出的度数，圆周角定理求出的度数即可； （2）平行线的性质，结合三角形的外角的性质，得到，直径得到，解，进行求解即可． 【小问1详解】 解：连接． 与相切于点， ．又， 平分． ∴． ， ． 在中，， ． 【小问2详解】 由（1）知：． ， ． 为的一个外角， ． 由题意，为直径， ． 又的半径为3，则：． 在中，， ． 22. 综合与实践活动中，要用测角仪测量天津站附近世纪钟建筑的高度（如图①）． 某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点，，依次在同一条水平直线上，，，且．在处测得世纪钟建筑顶部的仰角为，在处测得世纪钟建筑顶部的仰角为，．根据该学习小组测得的数据，计算世纪钟建筑的高度（结果取整数）． 参考数据：，． 【答案】世纪钟建筑的高度约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．延长与相交于点，在Rt和中，分别求得和，再根据，列式计算求解即可． 【详解】解：如图，延长与相交于点， 根据题意，可得， 有，，，，， 在Rt中，， ， 在中，， ． ， ． ． ． 答：世纪钟建筑的高度约为． 23. 已知小华的家、书店、公园依次在同一条直线上，书店离家，公园离家．小华从家出发，先匀速步行了到书店，在书店停留了，之后匀速步行了到公园，在公园停留后，再用匀速跑步返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： （1）①填表： 小华离开家的时间 1 6 18 50 小华离家的距离 ②填空：小华从公园返回家的速度为____________； ③当时，请直接写出小华离家的距离关于时间的函数解析式； （2）若小华的妈妈与小华同时从家出发，小华的妈妈以的速度散步直接到公园．在从家到公园的过程中，对于同一个的值，小华离家的距离为，小华的妈妈离家的距离为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】（1）①②③ （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了函数的图形，数形结合的数学思想，求分段函数的解析式，一次函数和不等式相结合等内容，解题的关键是准确从图形中获取信息． （1）①理解题意，从图形中获取准确信息即可； ②理解题意，从图形中获取准确信息利用速度公式进行计算即可； ③理解题意，从图形中获取准确信息，并利用待定系数法进行分段求函数解析式即可； （2）求出相关解析式，列出等式求解，并结合图形即可求出不等式的解集． 【小问1详解】 解：①小华去书店的速度为， 1分钟时小华离家的距离为； 由图可知18分钟时，小华离家的距离为； 50分钟时，小华离家距离为； 故答案为：； ②小华返回家的速度为 故答案：； ③由①得小华去书店的速度为， ∴当时，； 由图可知，当时，； 当时，假设直线解析式为， 将代入解析式得， 解得 ∴； 综上，； 【小问2详解】 解：如图所示，为妈妈的图形， 根据题意可知，小华妈妈的速度为， 所以其直线解析式为， 当时， 令， 解得，经验证，符合题意； 令， 解得，经验证，符合题意； 结合图形，当时，． 24. 在平面直角坐标系中，为原点，等边的顶点，点在第一象限，等边的顶点，顶点在第二象限． （1）填空：如图①，点的坐标为____________，点的坐标为____________； （2）将等边沿水平方向向右平移，得到等边，点的对应点分别为．设． ①如图②，若边与边相交于点，当与重叠部分为四边形时，试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围； ②设平移后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】（1） （2）①，② 【解析】 【分析】（1）作于点，作于点，根据等边三角形的性质，结合勾股定理进行求解即可； （2）平移的性质，得到，求出的长，解直角三角形求出的长，线段的和差表示出的长，当点落在轴上之后，直至点与点重合之前，重叠部分为四边形，求出的范围即可； （3）分，和三种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：作于点，作于点， ∵均为等边三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 ①∵平移， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当点落在轴上时，此时，点为的中点，则：， 当点与点重合时，， ∴当与重叠部分为四边形时，； ②当时，则重叠的部分为四边形，如图，作轴， 由（1）和（2）①可知：，，， ∴， ∴当时，的值最小，为； ∴； 设交轴于点，则：， ∴当时，此时点于重合，与点重合， 重叠的部分恰为， ∴； 当，随着的增大而减小， ∴当时，有最小值，此时点轴，如图： 此时重叠部分为五边形，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由平移可得：，， ∴， ∴， ∴， 同法可得：， ∴； 综上：． 【点睛】本题考查坐标与图形，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，二次函数求最值等知识点，熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 25. 已知抛物线为常数，． （1）当时，求该抛物线顶点的坐标； （2）点和点为抛物线与轴的两个交点，点为抛物线与轴的交点． ①当时，若点在抛物线上，，求点的坐标； ②若点，以为边的的顶点在抛物线的对称轴上，当取得最小值为时，求顶点的坐标． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，平行四边形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）①根据，得出抛物线解析式为，点在第四象限，过点作轴于点，证明，进而得出点的坐标为，代入解析式，解方程，即可求解； ②在轴上点的左侧取点，使，连接．在中，根据勾股定理，，得出,根据题意，点和点关于直线对称，点在直线上，得．根据平行四边形的性质得出当点在线段上时，取得最小值，即，勾股定理可得，进而代入，求得点，可得直线的解析式为．求得点的坐标为，根据平移的性质即可得出点的坐标为． 【小问1详解】 解： ， ∴该抛物线的解析式为， ， ∴该抛物线顶点的坐标为； 【小问2详解】 ①∵点在抛物线上， ∴，即， 又，点， ， ∴抛物线解析式为， 如图，点在第四象限，过点作轴于点， ， ∴， ， ∴． ∴， 又， ∴， ， ∵， ∴， ∴点的坐标为， ∵点在抛物线上， ， 整理得，， 解得 ∵， ∴不合，舍去， ∴， ∴点的坐标为； ②∵， ∴， 在轴上点的左侧取点，使，连接． ，得． ， ． ∴，则． 在中，根据勾股定理，， ． ∴． ． 又点，得． ．即 根据题意，点和点关于直线对称，点在直线上，得． 又中，．得． ． 当点在线段上时，取得最小值，即． 在中，， ． 将代入，得． 解得（舍）． ∴． 点． 直线的解析式为． 设点的横坐标为，则．得． 点的坐标为． 线段可以看作是由线段经过平移得到的， 点的坐标为． 9 学科网（北京）股份有限公司 $$