专题4.1 实数指数幂及指数函数（讲义）- 湖南省2026年对口招生考试一轮复习《数学知识点清单》（原卷版+解析版）

编写说明：湖南省2026年对口招生考试一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写.本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型.整套资料共包含13个模块共46个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题. 本专题是湖南省2026年对口招生考试一轮复习《数学知识点清单》的第四章不等式的第1个专题：实数指数幂及指数函数.本专题涵盖实数指数幂、指数函数等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测. 湖南省2026年对口招生考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题4.1 实数指数幂及指数函数（讲义） 知识点1 实数指数幂 1.根式的概念和性质 （1）根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根. ①0的n次方根为0,记作. ②为奇数时，的符号和的符号一致; 为偶数时， （2） 根式的性质 ① ② 2.分数指数幂和根式的互化 （1） （2） 3.实数指数幂的运算法则 （1） （2） （3） （4） （5） 1．（2025全国对口升学）已知，则（   ） A．7 B．10 C．1 D．3 【答案】B 【分析】根据指数运算法则即可得出结果. 【详解】． 故选:B. 2．（2023宁夏职教高考）下列各式中，值为零的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数幂的运算和对数运算，即可求解. 【详解】选项A中，，错误， 选项B中，，错误， 选项C中，，错误， 选项D中，，正确， 故选：D 3．（2023宁夏职教高考）下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由指数幂的运算法则逐项判断即可得解. 【详解】选项，，故错误； 选项，，故错误； 选项，，故正确； 选项，，故错误， 故选：. 4．（2022天津职教高考）若，则实数（   ） A． B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】结合指数幂的运算及指数函数的性质即可求解. 【详解】因为，所以. 故选：C. 5．（2022黑龙江对口升学）已知，，则（    ） A．8 B．12 C．18 D．24 【答案】C 【分析】利用实数指数幂的运算性质进行求解. 【详解】 故选：C 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的运算的运算性质，即可求解. 【详解】选项A中，，错误， 选项B中，，正确， 选项C中，，错误， 选项D中，，错误， 故选：B． 2．计算的结果是（   ） A． B． C．14 D． 【答案】D 【分析】根据实数指数幂的运算法则求解即可. 【详解】． 故选：D. 3．已知，化简的结果为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】利用偶次根式和绝对值的数学意义化简即可. 【详解】因为，所以，， 所以． 故选：B. 4．已知．若，则x的值为（   ） A．8 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合指数幂的运算，即可求解. 【详解】， 又，， 即， . 故选：C. 5．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据多项式的运算法则计算即可. 【详解】已知， 则 ， 故选：B. 6．下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合指数幂的运算，及多项式的化简，即可判断求解. 【详解】对于A，，故本选项正确，不符合题意； 对于B，，故本选项正确，不符合题意； 对于C，，与不是同类项，不能合并，故本选项错误，符合题意； 对于D，，故本选项正确，不符合题意； 故选：C. 7．将分数指数幂写成根式的形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式指数幂和根式指数幂的互化即可求解. 【详解】. 故选：A. 8．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用根式与指数幂的互化化简，进而利用具体函数定义域的求法即可得解. 【详解】因为， 所以，即， 所以的定义域是. 故选：B. 9． （．） 【答案】 【分析】根据根式的定义及运算即可求解. 【详解】因为，所以. 故答案为：. 10． ． 【答案】 【分析】根据指数幂的运算法则计算即可. 【详解】 ， 故答案为：. 11．已知，，则 ． 【答案】10 【分析】根据题意，结合指数和对数的运算，即可求解. 【详解】因为，， 所以，， 所以． 故答案为：. 12．若，则 ． 【答案】/ 【分析】根据题意求出，结合指数幂的运算公式即可得解. 【详解】因为，所以或（舍）， 则， 故答案为：. 13．求下列函数的定义域： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用分母不为零偶次根号下大于等于零可求； （2）利用对数函数真数大于零及偶次根号下大于等于零可求. 【详解】（1）要使函数有意义， 只需，即， 则定义域为； （2）要使函数有意义， 只需，即， 则定义域为. 14．已知函数， (1)求； (2)若，求a的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（）将代入函数解析式中即可得解. （）分类讨论和的情况，结合即可得解. 【详解】（1）函数， 则. （2）函数，， 当时，，解得， 当时，，解得， 所以或. 15．已知，求下列各式的值： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，结合，即可求解； （2）根据题意，结合立方和公式，结合求解. 【详解】（1）因为， 又， 因为， 所以； （2）由（1）知， 所以. 知识点2 指数函数 1.指数函数的定义 一般地，函数称为指数函数，其中是自变量，函数的定义域是R. 2.指数函数的图像和性质 函数 指数函数 图像 性质 定义域：R 值域： 定点： 大“1”增，小“1”减 在R上单调递减 在R上单调递增 当时, 当时, 当时, 当时, 1.（2020湖南对口升学）函数，若，则a的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据函数的单调性求参数值、由函数奇偶性解不等式、函数奇偶性的定义与判断、判断指数函数的单调性 【分析】分析函数是偶函数，且在上单调增，从而得到，解之即可得解. 【详解】因为，定义域为， 又，所以是偶函数， 当时，，单调递增， 因为， 所以，则，解得. 所以a的取值范围是. 故选：B. 2.（2021湖南对口升学）已知函数 (1)画出函数的图象； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析； (2) 【分析】（1）根据指数函数的图象特点作出的图象，再根据一次函数的特点作出的图象即可； （2）当时，解不等式，当，解不等式即可求解. 【详解】（1）函数的图象如图所示：    （2）， 当时， ，可得：， 当，，可得：， 所以的解集为：， 所以的取值范围为. 3.（2022湖南对口升学）已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数的单调性比较指数幂的大小即可. 【详解】∵指数函数底数，为减函数， 且， ∴， ∵底数，为增函数，且， ∴， 故， 即， 故选：D. 4.（2023湖南对口升学）已知函数 ，且满足，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将自变量代入可求函数解析式，然后解指数不等式即可. 【详解】已知函数 ，且满足， 则有， 所以函数解析式为， 令， 故不等式的解集是， 故选：C 5.（20243湖南对口升学）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数幂的运算性质，以及指数函数和对数单调性即可求解 【详解】， 因为在R上为增函数， 因为，所以， 因为在上为减函数， 因为，所以， 所以. 故选：D. 1．若，，，则a，b，c之间的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数函数与对数函数、正弦函数的单调性即可得解. 【详解】因为，， 又，即， 所以. 故选：D. 2．已知指数函数，若，则的表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将代入解析式中求出的值即可. 【详解】已知指数函数， 由，得， 因为，所以， 则的表达式是， 故选：A. 3．已知为正实数，则下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数幂和对数的运算可求. 【详解】，AB错误； ，C错误； ，D正确． 故选：D. 4．下列函数中为指数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数函数的定义即可得解. 【详解】因为形如且的函数为指数函数， 对于A，的指数是，不是常数，故A错误； 对于B，的底数为，不满足，故B错误； 对于C，的系数为，不是，故C错误； 对于D，满足指数函数的定义，故D正确. 故选：D. 5．下列结论中正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂运算性质，逐一计算得到答案. 【详解】选项A, ，该选项错误； 选项B，，该选项错误； 选项C，，该选项错误； 选项D，，该选项正确， 故选：D. 6．下列计算正确的有（   ） ①        ②        ③        ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据指数幂的运算公式即可得解. 【详解】①，故正确；②，故正确； ③，故错误；④，故正确， 所以正确的个数为个， 故选：. 7．若关于的函数的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数的性质，分析所给图象的特征即可得解. 【详解】根据题意，在上单调递减，且， 所以在上单调递减，则， 又当时，，即， 由，可得， 综上，，故B正确. 故选：B. 8．已知函数若关于的方程恰有3个不同的解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】函数解析式作出图像结合题意即可得解. 【详解】 如图所示，根据题意作出图像， 令，显然是单调函数， 则方程变为， 有图可知，当时，方程有三个解，即方程有三个解， 所以的取值范围为. 故答案为：. 9．化简： ．（用分数指数幂表示） 【答案】 【分析】将根式转化为指数幂的形式，结合指数幂的运算即可得解. 【详解】， 故答案为：. 10．计算： ． 【答案】 【分析】利用指数幂的运算可求. 【详解】． 故答案为：. 11．已知指数函数（且）的图像经过点，则= ． 【答案】 【分析】代点求出指数函数解析式，再根据解析式代值求解即可. 【详解】指数函数（且）的图像经过点， 则有，解得（舍去）， 则， ， 故答案为：. 12．已知函数在区间上的最大值为9，最小值为2. (1)求实数的值； (2)设函数，试判断函数的奇偶性. 【答案】(1) (2)奇函数 【分析】（1）利用指数函数的单调性得到关于的方程组，解之即可得解； （2）结合（1）中结论，利用奇函数的判定方法，结合指数的运算法则即可判断. 【详解】（1）因为，所以函数在上单调递增， 则在上的最小值为，最大值为， 所以，解得， 所以. （2）是奇函数，理由如下： 由（1）知， 则，其定义域为，关于原点对称， 又， 所以函数是奇函数. 13．求不等式的解集． 【答案】 【分析】根据指数函数的单调性，一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】由题意得，函数在上单调递增，又，所以， 则，解得，所以不等式的解集是. 14．已知函数． (1)判断的奇偶性； (2)求的值． 【答案】(1)偶函数 (2) 【分析】（1）根据函数的奇偶性的定义判断即可. （2）将代入函数解析式求值即可. 【详解】（1）已知函数， 定义域为，关于原点对称， 且， 所以为偶函数. （2）已知函数， 则. 15．已知函数且过点. (1)求的解析式； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入即可得函数的解析式； （2）由（1）可得函数解析式为：，然后依据函数的单调性以及即可得的取值范围. 【详解】（1）函数且过点， ， ， . （2）由（1）知：， 在上单调递减， 又， ， . 故的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：湖南省2026年对口招生考试一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写.本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型.整套资料共包含13个模块共46个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题. 本专题是湖南省2026年对口招生考试一轮复习《数学知识点清单》的第四章不等式的第1个专题：实数指数幂及指数函数.本专题涵盖实数指数幂、指数函数等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测. 湖南省2026年对口招生考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题4.1 实数指数幂及指数函数（讲义） 知识点1 实数指数幂 1.根式的概念和性质 （1）根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根. ①0的n次方根为0,记作. ②为奇数时，的符号和的符号一致; 为偶数时， （2） 根式的性质 ① ② 2.分数指数幂和根式的互化 （1） （2） 3.实数指数幂的运算法则 （1） （2） （3） （4） （5） 1．（2025全国对口升学）已知，则（   ） A．7 B．10 C．1 D．3 2．（2023宁夏职教高考）下列各式中，值为零的是（   ） A． B． C． D． 3．（2023宁夏职教高考）下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2022天津职教高考）若，则实数（   ） A． B．4 C．5 D．6 5．（2022黑龙江对口升学）已知，，则（    ） A．8 B．12 C．18 D．24 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．计算的结果是（   ） A． B． C．14 D． 3．已知，化简的结果为（   ） A． B．1 C． D． 4．已知．若，则x的值为（   ） A．8 B．4 C． D． 5．若，则（   ） A． B． C． D． 6．下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 7．将分数指数幂写成根式的形式为（    ） A． B． C． D． 8．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 9． （．） 10． ． 11．已知，，则 ． 12．若，则 ． 13．求下列函数的定义域： (1)； (2) 14．已知函数， (1)求； (2)若，求a的值． 15．已知，求下列各式的值： (1) (2) 知识点2 指数函数 1.指数函数的定义 一般地，函数称为指数函数，其中是自变量，函数的定义域是R. 2.指数函数的图像和性质 函数 指数函数 图像 性质 定义域：R 值域： 定点： 大“1”增，小“1”减 在R上单调递减 在R上单调递增 当时, 当时, 当时, 当时, 1.（2020湖南对口升学）函数，若，则a的取值范围是（） A． B． C． D． 2.（2021湖南对口升学）已知函数 (1)画出函数的图象； (2)若，求的取值范围. 3.（2022湖南对口升学）已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4.（2023湖南对口升学）已知函数 ，且满足，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 5.（2024湖南对口升学）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 1．若，，，则a，b，c之间的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．已知指数函数，若，则的表达式是（   ） A． B． C． D． 3．已知为正实数，则下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 4．下列函数中为指数函数的是（    ） A． B． C． D． 5．下列结论中正确的是（  ） A． B． C． D． 6．下列计算正确的有（   ） ①        ②        ③        ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．若关于的函数的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 8．已知函数若关于的方程恰有3个不同的解，则的取值范围是 ． 9．化简： ．（用分数指数幂表示） 10．计算： ． 11．已知指数函数（且）的图像经过点，则= ． 12．已知函数在区间上的最大值为9，最小值为2. (1)求实数的值； (2)设函数，试判断函数的奇偶性. 13．求不等式的解集． 14．已知函数． (1)判断的奇偶性； (2)求的值． 15．已知函数且过点. (1)求的解析式； (2)若，求的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$