数列增减项问题及应用讲义-2026届高三数学一轮复习

53.数列增减项问题及应用 一．基本原理 1.添加项问题 给定两个数列，增添项问题一般的形式为在数列中，将第项之间插入个（个）相同的数，或者其他的形式，构成一个新的数列，求数列的前项和. 此时求和的方法就是分组（并项）求和，需要解决两个关键点：第一个是数列的前项和有多少，第一个是数列的前项和有多少个插入项，第一个问题很好计数，第二个问题就涉及到先对求和，估计出最大的值，然后再确定会有多少个，最后分组求和即可. 特别地，在求和项数较少的条件下，枚举也是一个很好的方法. 2.删减项问题 给定两个数列，删减项问题一般的形式为在数列中，删掉后构成一个新的数列，这个中，有可能只是中的个别项被删掉（类似函数的交点问题），或者有明显的规律，核心就是做估计和找规律. 3.方法点拨：这类问题把握好两点，先枚举找规律，再做好满足题意的估计，最后利用相关数列的求和公式分组求和即可. 二．典例分析 例1．某中学响应政府号召，积极推动“公益一小时”，鼓励学生利用暑假时间积极参与社区服务，为了保障学生安全，与社区沟通实行点对点服务．原计划第一批派遣18名学生，以后每批增加6人．由于志愿者人数暴涨，学校与社区临时决定改变派遣计划，具体规则为：把原计划拟派遣的各批人数依次构成的数列记为，在数列的任意相邻两项与之间插入个2，使它们和原数列的项构成一个新的数列．按新数列的各项依次派遣支教学生．记为派遣了50批学生后参加公益活动学生的总数，则的值为（    ） A．198 B．200 C．240 D．242 例2．已知数列满足，在，之间插入首项为，公差为的等差数列的前项，构成数列，记数列的前n项和为，则（    ） A．105 B．125 C．220 D．240 例3．已知数列满足，在和之间插入个1，构成数列：，则数列的前18项的和为（    ） A．43 B．44 C．75 D．76 例4．已知数列的各项均为正数，且，对于任意的，均有， .若在数列中去掉的项，余下的项组成数列，则（    ） A．599 B． C．554 D．568 例5．已知数列的通项公式为，保持数列中各项顺序不变，对任意的，在数列的与项之间，都插入个相同的数，组成数列，记数列的前n项的和为，则（    ） A．4056 B．4096 C．8152 D．8192 例6．已知数列的通项公式，在数列的任意相邻两项与之间插入个4，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记新数列的前n项和为，则的值为__________ 例7．已知数列的前n项和为，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）在任意相邻两项与（其中）之间插入个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列．记为数列的前n项和，求的值． 例8．已知是等差数列，是公比不为1的等比数列，，，，且是与的等差中项． （1）求数列和的通项公式． （2）若对于数列、，在和之间插入个，组成一个新的数列，记数列的前n项和为，求． 例9．已知等比数列满足，且成等差数列，记． （1）求数列的通项公式； （2）若在数列任意相邻两项之间插入一个实数，从而构成一个新的数列．若实数满足，求数列的前2n项和． 例10．已知是正项数列的前项和，满足，. （1）若，求正整数的值； （2）若，在与之间插入中从开始的连续项构成新数列， 学科网（北京）股份有限公司 $$ 53.数列增减项问题及应用 一．基本原理 1.添加项问题 给定两个数列，增添项问题一般的形式为在数列中，将第项之间插入个（个）相同的数，或者其他的形式，构成一个新的数列，求数列的前项和. 此时求和的方法就是分组（并项）求和，需要解决两个关键点：第一个是数列的前项和有多少，第一个是数列的前项和有多少个插入项，第一个问题很好计数，第二个问题就涉及到先对求和，估计出最大的值，然后再确定会有多少个，最后分组求和即可. 特别地，在求和项数较少的条件下，枚举也是一个很好的方法. 2.删减项问题 给定两个数列，删减项问题一般的形式为在数列中，删掉后构成一个新的数列，这个中，有可能只是中的个别项被删掉（类似函数的交点问题），或者有明显的规律，核心就是做估计和找规律. 3.方法点拨：这类问题把握好两点，先枚举找规律，再做好满足题意的估计，最后利用相关数列的求和公式分组求和即可. 二．典例分析 例1．某中学响应政府号召，积极推动“公益一小时”，鼓励学生利用暑假时间积极参与社区服务，为了保障学生安全，与社区沟通实行点对点服务．原计划第一批派遣18名学生，以后每批增加6人．由于志愿者人数暴涨，学校与社区临时决定改变派遣计划，具体规则为：把原计划拟派遣的各批人数依次构成的数列记为，在数列的任意相邻两项与之间插入个2，使它们和原数列的项构成一个新的数列．按新数列的各项依次派遣支教学生．记为派遣了50批学生后参加公益活动学生的总数，则的值为（    ） A．198 B．200 C．240 D．242 解析：由已知原计划第一批派遣18名学生，以后每批增加6人．所以数列为等差数列，且，数列的公差，所以,数列为数列的任意相邻两项与之间插入个2所得，所以数列满足条件，，当时，， ，当时，，，当时，，，当时，，所以数列的前项的和为，故选：B. 例2．已知数列满足，在，之间插入首项为，公差为的等差数列的前项，构成数列，记数列的前n项和为，则（    ） A．105 B．125 C．220 D．240 解析：由题意可得数列为： ，记数列中及其后连续项的和为， 则， 则 .故选：B. 例3．已知数列满足，在和之间插入个1，构成数列：，则数列的前18项的和为（    ） A．43 B．44 C．75 D．76 解析：在，之间插入个1，构成数列，所以共有个数，当时，， 当时，，由于，所以．故选：C. 例4．已知数列的各项均为正数，且，对于任意的，均有， .若在数列中去掉的项，余下的项组成数列，则（    ） A．599 B． C．554 D．568 解析：因为，所以，又因为，所以， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以，即， 所以，，所以数列是首项为1，公差为2的等差数列，即，所以，，由得，所以，所以 .故选：D. 例5．已知数列的通项公式为，保持数列中各项顺序不变，对任意的，在数列的与项之间，都插入个相同的数，组成数列，记数列的前n项的和为，则（    ） A．4056 B．4096 C．8152 D．8192 解析：插入组共个，∵，∴前面插入12组数，最后面插入9个． ，∵， ∴，又数列的前13项和为 故选：C． 例6．已知数列的通项公式，在数列的任意相邻两项与之间插入个4，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记新数列的前n项和为，则的值为__________ 解析：因为与之间插入个4，，，，，， 其中，之间插入2个4，，之间插入4个4，，之间插入8个4，，之间插入16个4，，之间插入32个4，由于，故数列的前60项含有的前5项和55个4，故.故答案为：370. 例7．已知数列的前n项和为，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）在任意相邻两项与（其中）之间插入个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列．记为数列的前n项和，求的值． 解析：（1）由题设，则，当时，，而满足上式，所以的通项公式为. （2）由题意，在到之间3的个数为，故在处共有个元素，所以前36项中含及31个3，故. 例8．已知是等差数列，是公比不为1的等比数列，，，，且是与的等差中项． （1）求数列和的通项公式． （2）若对于数列、，在和之间插入个，组成一个新的数列，记数列的前n项和为，求． 解析：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，，由，则，故，所以，则，由，则，又由是与的等差中项，所以，即，解得或（舍去），故， （2）根据题意可得，则，故，则， 故当时，成立，当时，成立， 所以共有项，共有个，则 例9．已知等比数列满足，且成等差数列，记． （1）求数列的通项公式； （2）若在数列任意相邻两项之间插入一个实数，从而构成一个新的数列．若实数满足，求数列的前2n项和． 解析：（1）设等比数列的公比为，由于成等差数列， 所以，则，由于，解得，所以，则. （2）由（1）得，则，所以，所以. 例10．已知是正项数列的前项和，满足，. （1）若，求正整数的值； （2）若，在与之间插入中从开始的连续项构成新数列，即为，求的前30项的和. 解析：（1）由已知可得，当时， 有. 又因为，，所以有.又时，也满足.所以，是以为首项，2为公差的等差数列，所以，. 又，所以.又 ，所以，，所以，， 即，即，解得，. （2）由已知可得，数列中，项及以前共有项， 其中数列中有项，数列中有项.且，， 即数列中，项及以前共有28项，其中数列中有7项，数列中有21项. 所以，，.所以，的前30项的和. 学科网（北京）股份有限公司 $$