（温故知新篇）专题02 长方体和正方体的表面积和体积（导图+技巧点拨+11个高频考点+真题强化 共53题）-2025年人教版数学五升六年级暑假衔接金牌培优讲义（学生版+教师版）

五年级/下册 小学数学 · 2025-2026学年数学五升六年级暑期学习金牌培优讲义【温故知新篇】 专题02 长方体和正方体的表面积和体积 专题02 长方体和正方体的表面积和体积 人教版 暑假衔接 导图+技巧点拨+考点讲练+真题强化 （共53题） 考点讲练练 浏览知识 知晓考点 真题强化 思维导图 技巧点拨 真题汇编 查漏补缺 重点难点 优选题型 知识梳理 方法提炼 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 同学，你好！该份讲义主要以复习五年级下学期内容为主，选取重点难点专题内容强化复习，讲义包含导图指引，知识梳理，解题技巧点拨，高频考点真题讲练，优选题培优训练20题等5大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 核心知识点梳理 知识梳理01：长方体和正方体的认识 1、两个面相交的边叫做棱。三条棱相交的点叫做顶点。相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。 2、由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形叫做长方体。在一个长方体中，相对的面完全相同，相对的棱长度相等。 3、由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体（也叫做立方体）。正方体有12条棱，它们的长度都相等，所有的面都完全相同。 4、长方体和正方体都有6个面、12条棱和8个顶点，只是正方体的棱长都相等。正方体可以说是长、宽、高都相等的长方体，它是一种特殊的长方体。 知识梳理02：长方体和正方体的表面积 1、长方体或正方体6个面的总面积叫做它的表面积。 2、长方体公式：棱长和＝（长＋宽＋高）×4 底面积（占地面积）＝长×宽 　　　 侧面积（左面、右面）＝宽×高　　前（后）面积＝长×高 　　　 表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2 　　　 没盖的表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2 3、正方体公式：棱长和＝棱长×12 棱长＝棱长和÷12 　　　 表面积＝棱长×棱长×6　（任意一个面积×6） 　　　 没盖的表面积＝棱长×棱长×5 知识梳理03：长方体和正方体的体积 1、物体所占空间的大小叫做物体的体积。 2、容器所能容纳物体的体积通常叫做它们的容积。 10、长方体的体积（容积）＝长×宽×高＝底面积×高 字母公式：v=abh v=sh 3、正方体的体积（容积）＝棱长×棱长×棱长＝底面积×棱长 4、 读作“a的立方”表示3个a相乘，（即a× a× a）。 5、计量体积要用体积单位，常用的体积单位有立方厘米，立方分米和立方米，可以写成，，。 6、计量液体的体积，如水、油等，常用容积单位升和毫升，也可以写成L和ml。 7、高级单位化成低级单位乘进率；低级单位化成高级单位除以进率。 8、体积和容积单位之间的进率：　 1立方米＝1000立方分米　　1立方分米＝1000立方厘米 1立方米＝1000立方分米＝1000000立方厘米 1立方分米＝1升 1立方厘米＝1毫升 1升＝1000毫升 字母表示：1 =1000 1 =1000 1L=1000ml 1L=1 1ml=1 9、长方体或正方体容积的计算方法，跟体积计算方法相同。但要从容器里面量长、宽、高。 解题技巧点拨（实际问题） 技巧点拨1：包装问题 明确是否需要覆盖所有面（如无盖纸盒需减去一个面）。 结合表面积公式，计算所需材料面积。 技巧点拨2：切割与拼接问题 切割一次增加2个面，拼接一次减少2个面。 结合表面积变化，计算新增或减少的面积。 技巧点拨3：排水法求不规则物体体积 记录物体放入前后水位变化，计算上升部分水的体积。 公式：V=S×Δh 技巧点拨4：最大最小问题 通过画图、分步计算，明确题目中的限制条件。 结合表面积或体积公式，求解最优解。 高频考点讲练01：长方体表面积的计算 【典例精讲】（24-25五年级下·安徽黄山·期中）如图，一个长方体的上、下底面是正方形，侧面展开图也是正方形。 （1）这个长方体的棱长之和是多少分米？ （2）这个长方体的表面积是多少平方分米？ 【演练1】（24-25五年级下·安徽黄山·期中）一个长方体，用下面三种不同的方法分别将其切成了两个完全一样的长方体。切后两个长方体的表面积总和分别比原来增加了60、40和48。求原来长方体的表面积列式正确的是（    ）。 A．60＋40＋48 B．（60＋40＋48）＋2 C．（60＋40＋48）×2 D．以上都不正确 【演练2】（23-24五年级下·北京西城·期末）一个长方体纸箱，它的上面和下面都是由两个完全一样的长方形纸板拼成的，如图1。 图1 （1）沿粘合处把纸箱拆开后，除了粘合处，其余部分恰好形成一个长方形，这个长方形比纸箱的表面多出A、B、C、D四个相同的面，如图2，请把相关数据填写在图2的括号里。     图2 （2）算上粘合处，制作这个纸箱需要多少平方厘米的纸板？ 高频考点讲练02：长方体表面积公式的应用 【典例精讲】（23-24五年级下·安徽黄山·期末）把两个表面积都是18平方分米的正方体拼成一个长方体，拼成的长方体的表面积是( )平方分米。 【演练1】（2024五年级下·广东广州·专题练习）义蓬小区新建了一个游泳池，长50米，是宽的2倍，深2米。现在要在游泳池的四周和底面贴上瓷砖，一共需要多少平方米的瓷砖？如果用边长是50厘米的正方形瓷砖铺贴，至少需要准备多少块这样的瓷砖？ 【演练2】（23-24五年级下·浙江·期末）如图，有一个长方体物体，底面是正方形，中间是空心的正方形。如果把这个物体浸没在水中，它与水接触的面积是多少平方厘米？ 高频考点讲练03：正方体的表面积的计算 【典例精讲】（24-25五年级下·湖南岳阳·期中）用铁丝焊接一个棱长总和为60厘米的正方体框架，至少需要多长的铁丝？如果用彩纸包装，至少需要多少平方厘米彩纸？ 【演练1】（24-25五年级下·北京东城·期中）把一个正方体平均分成两个一样的长方体，其中一个长方体的表面积是48cm2，原来正方体的表面积是（    ）cm2。 A．96 B．80 C．72 D．64 【演练2】（24-25五年级下·北京大兴·期中）如下图所示，用棱长1厘米的小正方体摆立体图形。第4个立体图形的表面积是( )平方厘米，第6个立体图形的表面积是( )平方厘米，第n个立体图形的表面积是( )平方厘米。 高频考点讲练04：正方体的表面积公式的应用 【典例精讲】（24-25五年级下·宁夏银川·期中）方方用厚卡纸制作了一个漂亮的正方体包装盒，这个包装盒的棱长是20cm。做一个这样的包装盒至少需要厚卡纸（    ）cm2。 A．2400 B．2000 C．8000 【演练1】（24-25五年级下·福建三明·期中）火树银花元夕夜，彩灯万盏增霞流。为弘扬传统文化，元宵节前夕军军和同学们用一根铁丝扎成一个长7cm，宽5cm，高3cm的长方体花灯框架。如果用同样长的铁丝扎成一个正方体花灯框架，这个正方体的棱长是( )cm。军军想给这个正方体花灯框架表面贴上纸片（上面不贴），至少需要( )cm2的纸片。 【演练2】（2024六年级·全国·专题练习）如下图，一个正方体木块的表面积是40平方厘米，如果把它截成体积相等的8个小正方体木块，每个小正方体木块的表面积是多少平方厘米？ 高频考点讲练05：立体图形的拼切 【典例精讲】（23-24五年级下·重庆丰都·期末）东东家有一个高12分米的长方体木块，如果把这个木块从下面锯掉5分米，则剩下的木块比原来的木块表面积减少了120平方分米，原来木块的棱长总和是多少分米？ 【演练1】（22-23五年级下·河北保定·期末）一个长方体的高增加5米后就变成了一个正方体，表面积增加了160平方米。原来长方体的长是（    ）。 A．3米 B．8米 C．32 平方米 【演练2】（21-22五年级下·广东韶关·期中）用3个完全一样的正方体拼成一个长方体，这个长方体的棱长总和是160厘米，这个长方体的表面积是多少平方厘米？ 高频考点讲练06：组合体的表面积 【典例精讲】（2025五年级下·全国·专题练习）把17个棱长为1厘米的正方体重叠起来，堆成如图所示的立体图形，这个立体图形的表面积是多少平方厘米？ 【演练1】（23-24五年级下·贵州黔东南·期中）如图，从由8个棱长是1厘米的小正方体拼成的大正方体中拿走一个小正方体，这时的表面积与原来的大正方体相比，是（    ）。 A．减少了 B．增加了 C．一样的 高频考点讲练07：表面涂色的正方体 【典例精讲】（24-25五年级下·河北邢台·期中）先把一些棱长1厘米的小正方体拼成一个大正方体后，再把大正方体的表面涂色。 (1)一共使用了 个小正方体。 (2)小正方体中三面涂色的有 个，两面涂色的有 个，一面涂色的有 个，所有面都未涂色的有 个。 【演练1】（2024六年级·全国·竞赛）用棱长1cm的小正方体摆成如上的正方体后把它的表面染上颜色。三面涂色的小正方体有（    ）个。两面涂色的小正方体有（    ）个。 A．7；8 B．8；12 C．12；8 D．16；12 【演练2】（23-24五年级下·全国·课后作业）在一个正方体木块的6个面涂上红色后，把它分割成若干个棱长是1厘米的小正方体木块，如果两面涂红色的小正方体共有108个，那么只有一面涂红色的小正方体有多少个？ 高频考点讲练08：体积的等积变形 【典例精讲】（24-25五年级下·河南南阳·期中）实践课上，老师布置了一个任务：已知一个长和宽均为8分米的长方体透明鱼缸（厚度忽略不计），鱼缸内水深5分米。聪聪将一个长6分米、宽4分米的长方体石块竖直立入鱼缸中（接触面之间无缝隙），并记录水位变化。石块放入后，水面迅速上升，聪聪惊呼：“现在水的高度是多少呢？”结合以前你所学知识，帮助聪聪解决这个问题。 【演练1】（23-24五年级下·广东佛山·期中）有一块棱长是80厘米的正方体铁块，现在要把它熔铸成一个长15厘米，宽20厘米的长方体，这个长方体的高是多少厘米？ 【演练2】（23-24五年级下·甘肃平凉·期中）淘气用一块橡皮泥捏了一个长方体，又用其捏了一个正方体。下面关于长方体和正方体说法正确的是（    ）。 A．长方体体积大 B．体积相等，表面积也相等 C．体积相等，表面积不一定相等 高频考点讲练09：立体图形的切拼（长方体与正方体的体积） 【典例精讲】（2025六年级下·吉林·专题练习）一个棱长为8的正方体，由若干个棱长为1的小正方体组成，那么这个大正方体含有（    ）个这样的小正方体。 A．296 B．384 C．328 D．512 【演练1】（23-24五年级下·湖南益阳·期中）用4个棱长1米的正方体拼成一个长方体，表面积减少了( )平方米，表面积是( )平方米，体积是( )立方米。 【演练2】（23-24五年级下·山东济南·期末）如图，将一个长方体木块的中间挖掉一个小正方体木块，下面的说法正确的是（    ）。 A．体积减少了，表面积也减少了。 B．体积减少了，表面积增加了。 C．体积减少了，表面积不变。 高频考点讲练10：组合体体积的计算 【典例精讲】（24-25五年级下·湖南衡阳·期中）求下面几何体的表面积和体积。（单位：cm） 【演练1】2024五年级下·全国·专题练习）求下列组合图形的体积。（单位：cm） 【演练2】（24-25六年级下·海南海口·期末）如图，由棱长是3和5的两个正方体搭成的图形，它的表面积是( )，体积是( )。 高频考点讲练11：不规则物体的体积计算方法 【典例精讲】（23-24五年级下·安徽黄山·期末）甲鱼缸内有一条鳜鱼，量得鱼缸的长是40厘米，宽是40厘米，水面高度是25厘米。将鱼捞出放入乙鱼缸后，甲鱼缸水面高度下降到22厘米。你能求出乙鱼缸放入鱼后水面上升了多少厘米吗？ 【演练1】（22-23五年级下·福建莆田·期中）如图是测量一颗铁球体积的过程。 ①将400mL的水倒进一个容量为600mL的杯子中； ②将四颗相同的铁球放入水中，结果水没有满； ③再将一颗同样的铁球放入水中，结果水满溢出。 根据以上过程，推测这样一颗铁球的体积大约在（    ）。 A．50cm3～60cm3 B．30cm3～40cm3 C．40cm3～50cm3 D．20cm3～30cm3 【演练2】（24-25五年级下·河南信阳·期中）一个无水观赏鱼缸（如图）中放有一块高为28厘米、体积为4200立方厘米的假山石，如果自来水管以每分钟3000毫升的流量向鱼缸内注水，那么至少需要多少分钟才能将假山石完全淹没？ 1．（23-24五年级下·安徽黄山·期末）根长方体木料，长4米，宽0.4米，厚3分米，把它锯成4段，表面积最少增加（    ）平方分米。 A．12 B．48 C．64 D．72 2．（24-25五年级下·河南郑州·期中）下面图形（    ）不能沿线折成正方体。 A． B． C． D． 3．（24-25五年级下·安徽黄山·期中）一名油漆工粉刷一个长方体的小箱子，需要用3罐油漆，现在他要粉刷一个长、宽、高都是原来4倍的大长方体箱子，需要用（    ）罐油漆。 A．12 B．16 C．32 D．48 4．（22-23五年级下·福建莆田·期末）把11块相同的长方体砖如图所示拼成一个大长方体，已知每块砖的体积是288立方厘米，大长方体的表面积是（    ）平方厘米。 A．1368 B．1974 C．2014 D．2054 5．（24-25五年级下·安徽黄山·期中）涛涛在一个长方体玻璃容器中摆了若干个体积为1立方厘米的小正方体（如图），这个玻璃容器的容积是( )立方厘米。再摆( )个这样的小正方体就能把长方体装满。 6．（24-25五年级下·天津南开·期中）下图这个长方体纸箱高是3dm，长和宽都是1dm，在它的四周贴上商标（上下面不贴），商标纸的面积是( )dm2，纸箱的体积是( )dm3。 7．（24-25五年级下·北京东城·期中）一个正方体玻璃容器从里面量长、宽均为20厘米，向容器中倒入5升水，再把一个苹果放入水中，这时量得容器内的水深是17厘米。这个苹果的体积是( )立方厘米。 8．（23-24五年级下·北京密云·期末）一个长方体，如果长增加2厘米，则体积增加12立方厘米；如果宽增加3厘米，则体积增加30立方厘米；如果高增加4厘米，则体积增加60立方厘米。那么这个长方体的表面积是( )平方厘米。 9．（23-24五年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）一张A4纸很薄，它不是长方体。( )（判断对错） 10．（23-24五年级下·江西宜春·期末）长方体的长、宽、高都扩大到原来的3倍，表面积就扩大到原来的27倍。( )（判断对错） 11．（23-24五年级下·重庆丰都·期末）求下面图形的体积是多少？（单位cm） 12．（23-24五年级下·云南楚雄·期末）一间多媒体教室长15米，宽8米，高4米，现在要粉刷这间教室的墙壁和天花板（门窗除外）。门窗的面积是32平方米，如果每平方米需花8元涂料费，粉刷完这间教室需要涂料费多少钱？ 13．（23-24五年级下·贵州铜仁·期末）火树银花元夕夜，彩灯万盏增霞流。为弘扬传统文化，元宵节前夕小军和同学们用一根铁丝扎成一个9分米，宽6分米，高3分米的长方体花灯框架。如果用同样长的铁丝扎成一个正方体花灯框架，这个正方体的棱长是多少分米？（接头处忽略不计） 14．（23-24五年级下·河南驻马店·期末）蒲公英可以入药，泡水喝有清热解毒作用。李阿姨采了一些蒲公英，淘洗晒干后准备寄给外地的朋友。为表心意，她用彩色硬纸板做了个礼盒，并在礼盒上系了丝带做装饰，如图所示。 （1）做这个礼盒至少需要多少彩色硬纸板（重合部分忽略不计）？ （2）若打结处丝带长12厘米，李阿姨需要准备多长的丝带？ 15．（24-25五年级下·河南郑州·期中）李师傅要为学校制作一个颁奖台，探探小组的同学已经帮他设计好了。这个颁奖台是由三个长方体合并而成的，把它的前面，后面涂黄色油漆，其他露出来的面涂红色油漆。（下底面不涂） ①涂黄色油漆和红色油漆的面积各是多少平方米？ ②这个颁奖台的体积是多少立方米？ 16．（2025五年级下·全国·专题练习）要把6个长17厘米，宽7厘米，高3厘米的长方体物体拼装成一个大的长方体包装物，怎样包装最省包装纸？表面积最小时的包装纸的面积是多少平方厘米？（重叠处忽略不计） 17．（23-24五年级下·山西晋中·期中）介休有“琉璃之乡”的美誉。在众多的琉璃建筑中，艺术成就最高、保存最完好的则首推介休后土庙，它被建筑界公认为“琉璃建筑艺术的宝库”，堪称是“中国琉璃艺术的博物馆”。目前介休部分学校开设琉璃社团。聪聪也制作了一个琉璃工艺品准备送给舅舅。这个工艺品的长15厘米，宽8厘米，高12厘米，把它装在一个从里面量长18厘米，宽15厘米，容积为2.43立方分米长方体内，是否装得进去？说说你的理由。 18．（23-24五年级下·河北邢台·期末）小梅把一张长方形纸板（如图1），从四个角各剪去一个边长4厘米的正方形，用剩下的纸折成一个无盖收纳盆。这个收纳盆所用纸板的面积是多少平方厘米？她想把家里的小包装茶叶盒（如图2）放入收纳盒中，（茶叶盒不能超过收纳盒的上沿且不能挤压），收纳盒最多可以放多少个茶叶盒？ 19．（2024五年级下·全国·专题练习）有一个长40厘米、宽30厘米、高20厘米的长方体容器，容器中的水深10厘米。在容器中放入一个底面积为200平方厘米、高15厘米的长方体铁块，求水面上升的高度。 20．（18-19五年级下·浙江宁波·期末）一个长方体玻璃缸，长12分米，宽9分米，高8分米，水深3分米。如果投入一块棱长为6分米的正方体实心铁块，这时水深多少分米？ $$五年级/下册 小学数学 · 2025-2026学年数学五升六年级暑期学习金牌培优讲义【温故知新篇】 专题02 长方体和正方体的表面积和体积 专题02 长方体和正方体的表面积和体积 人教版 暑假衔接 导图+技巧点拨+考点讲练+真题强化 （共53题） 考点讲练练 浏览知识 知晓考点 真题强化 思维导图 技巧点拨 真题汇编 查漏补缺 重点难点 优选题型 知识梳理 方法提炼 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 同学，你好！该份讲义主要以复习五年级下学期内容为主，选取重点难点专题内容强化复习，讲义包含导图指引，知识梳理，解题技巧点拨，高频考点真题讲练，优选题培优训练20题等5大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 核心知识点梳理 知识梳理01：长方体和正方体的认识 1、两个面相交的边叫做棱。三条棱相交的点叫做顶点。相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。 2、由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形叫做长方体。在一个长方体中，相对的面完全相同，相对的棱长度相等。 3、由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体（也叫做立方体）。正方体有12条棱，它们的长度都相等，所有的面都完全相同。 4、长方体和正方体都有6个面、12条棱和8个顶点，只是正方体的棱长都相等。正方体可以说是长、宽、高都相等的长方体，它是一种特殊的长方体。 知识梳理02：长方体和正方体的表面积 1、长方体或正方体6个面的总面积叫做它的表面积。 2、长方体公式：棱长和＝（长＋宽＋高）×4 底面积（占地面积）＝长×宽 　　　 侧面积（左面、右面）＝宽×高　　前（后）面积＝长×高 　　　 表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2 　　　 没盖的表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2 3、正方体公式：棱长和＝棱长×12 棱长＝棱长和÷12 　　　 表面积＝棱长×棱长×6　（任意一个面积×6） 　　　 没盖的表面积＝棱长×棱长×5 知识梳理03：长方体和正方体的体积 1、物体所占空间的大小叫做物体的体积。 2、容器所能容纳物体的体积通常叫做它们的容积。 10、长方体的体积（容积）＝长×宽×高＝底面积×高 字母公式：v=abh v=sh 3、正方体的体积（容积）＝棱长×棱长×棱长＝底面积×棱长 4、 读作“a的立方”表示3个a相乘，（即a× a× a）。 5、计量体积要用体积单位，常用的体积单位有立方厘米，立方分米和立方米，可以写成，，。 6、计量液体的体积，如水、油等，常用容积单位升和毫升，也可以写成L和ml。 7、高级单位化成低级单位乘进率；低级单位化成高级单位除以进率。 8、体积和容积单位之间的进率：　 1立方米＝1000立方分米　　1立方分米＝1000立方厘米 1立方米＝1000立方分米＝1000000立方厘米 1立方分米＝1升 1立方厘米＝1毫升 1升＝1000毫升 字母表示：1 =1000 1 =1000 1L=1000ml 1L=1 1ml=1 9、长方体或正方体容积的计算方法，跟体积计算方法相同。但要从容器里面量长、宽、高。 解题技巧点拨（实际问题） 技巧点拨1：包装问题 明确是否需要覆盖所有面（如无盖纸盒需减去一个面）。 结合表面积公式，计算所需材料面积。 技巧点拨2：切割与拼接问题 切割一次增加2个面，拼接一次减少2个面。 结合表面积变化，计算新增或减少的面积。 技巧点拨3：排水法求不规则物体体积 记录物体放入前后水位变化，计算上升部分水的体积。 公式：V=S×Δh 技巧点拨4：最大最小问题 通过画图、分步计算，明确题目中的限制条件。 结合表面积或体积公式，求解最优解。 高频考点讲练01：长方体表面积的计算 【典例精讲】（24-25五年级下·安徽黄山·期中）如图，一个长方体的上、下底面是正方形，侧面展开图也是正方形。 （1）这个长方体的棱长之和是多少分米？ （2）这个长方体的表面积是多少平方分米？ 【答案】（1）48分米 （2）72平方分米 【思路引导】（1）根据题意，长方体展开图是正方形，则长方体的高等于长方体底面的周长，长方体的底面是正方形，所以长方体的长＝宽；长方体的高＝长方体的长×4，则长方体的长＝长方体的高÷4，即用8÷4，求出长方体的长和宽；再根据长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，求出长方体棱长总和。 （2）根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据，求出长方体的表面积。 【规范解答】（1）8÷4＝2（分米） （2＋2＋8）×4 ＝（4＋8）×4 ＝12×4 ＝48（分米） 答：长方体的棱长之和是48分米。 （2）（2×2＋2×8＋2×8）×2 ＝（4＋16＋16）×2 ＝（20＋16）×2 ＝36×2 ＝72（平方分米） 答：长方体的表面积是72平方分米。 【演练1】（24-25五年级下·安徽黄山·期中）一个长方体，用下面三种不同的方法分别将其切成了两个完全一样的长方体。切后两个长方体的表面积总和分别比原来增加了60、40和48。求原来长方体的表面积列式正确的是（    ）。 A．60＋40＋48 B．（60＋40＋48）＋2 C．（60＋40＋48）×2 D．以上都不正确 【答案】A 【思路引导】把一个长方体按三种不同的方法切成两个完全一样的长方体，切后增加的表面积分别是长方体前后2个面的面积和、左右2个面的面积和以及上下2个面的面积和，因此求原来长方体的表面积，也就是增加的这6个面的面积之和，据此解答。 【规范解答】第一种切法增加了前后2个面，第二种切法增加了左右2个面，第三种切法增加了上下2个面。 求原来长方体的表面积，也就是这6个面的面积总和，即60＋40＋48＝148（cm2）。 因此求原来长方体的表面积列式正确的是：60＋40＋48。 故答案为：A 【演练2】（23-24五年级下·北京西城·期末）一个长方体纸箱，它的上面和下面都是由两个完全一样的长方形纸板拼成的，如图1。 图1 （1）沿粘合处把纸箱拆开后，除了粘合处，其余部分恰好形成一个长方形，这个长方形比纸箱的表面多出A、B、C、D四个相同的面，如图2，请把相关数据填写在图2的括号里。     图2 （2）算上粘合处，制作这个纸箱需要多少平方厘米的纸板？ 【答案】（1）见详解（2）1268平方厘米 【思路引导】（1）首先，我们需要理解题目中的描述。A、B、C、D四个相同的面实际上就是纸箱的顶部和底部，在图2第一个图，仔细观察纸箱打开后，纸箱的顶部除了2个大的长方形，还有两个小的长方形，这两个小的长方形对应A、B两个图形，根据图1的数值和长方体的定义，顶和底是相同的，可以判断A的长为：10厘米，宽为：5厘米，粘合处的高度对应纸箱的高度，即为：12厘米。 （2）为了计算制作这个纸箱所需的纸板面积，根据题示，该纸箱平摊后的图形除去粘合处为一个长方形，所以，根据长方体的定义，对应的面都是相同的大小，根据长方形的面积计算公式：长×宽 ，长＝长方体的长＋A、B两个图形的宽， 宽＝长方体的宽＋A、C图形的宽，将两者的计算结果相乘，就得到长方形的面积，粘合处也为一个长方形，所以面积为12×3，将两者的得数相加即可得出纸箱需要多少平方厘米的纸板。 【规范解答】 （1） （2）纸箱的长为： 10＋18＋10＋18 ＝28＋10＋18 ＝38＋18 ＝56（厘米） 纸箱的宽为： 5＋12＋5 ＝17＋5 ＝22（厘米） 长方形的面积：56×22＝1232（平方厘米） 粘合处的面积：12×3＝36（平方厘米） 需要的纸板面积：1232＋36＝1268（平方厘米） 答：制作这个纸箱需要1268平方厘米的纸板。 【考点剖析】熟练掌握长方体摊开图形所对应的位置，观察图形摊开后变成了什么图形，根据图形计算面积。 高频考点讲练02：长方体表面积公式的应用 【典例精讲】（23-24五年级下·安徽黄山·期末）把两个表面积都是18平方分米的正方体拼成一个长方体，拼成的长方体的表面积是( )平方分米。 【答案】30 【思路引导】根据正方体的表面积公式的逆运算，用18除以6可得正方体每个面的面积，由题意可知，拼成的长方体的表面积比两个正方体的表面积之和少2个面，据此计算即可。 【规范解答】 （平方分米） 把两个表面积都是18平方分米的正方体拼成一个长方体，拼成的长方体的表面积是30平方分米。 【演练1】（2024五年级下·广东广州·专题练习）义蓬小区新建了一个游泳池，长50米，是宽的2倍，深2米。现在要在游泳池的四周和底面贴上瓷砖，一共需要多少平方米的瓷砖？如果用边长是50厘米的正方形瓷砖铺贴，至少需要准备多少块这样的瓷砖？ 【答案】1550平方米；6200块 【思路引导】已知长50米，长是宽的2倍，那么宽为50÷2＝25米；游泳池贴瓷砖只需算底面和四周，所以面积为底面面积（长×宽）加四周面积（两个长×高的面和两个宽×高的面）； 已知瓷砖边长是50厘米，50厘米＝0.5米；根据“正方形面积＝边长×边长”，计算出每块瓷砖面积为0.5×0.5＝0.25平方米，最后用贴瓷砖的总面积除以每块瓷砖的面积可得瓷砖数量。 【规范解答】宽：50÷2＝25（米） 50×25＋50×2×2＋25×2×2 ＝1250＋200＋100 ＝1550（平方米） 答：一共需要1550平方米的瓷砖。 50厘米＝0.5米 1550÷（0.5×0.5） ＝1550÷0.25 ＝6200（块） 答：至少需要准备6200块这样的瓷砖。 【演练2】（23-24五年级下·浙江·期末）如图，有一个长方体物体，底面是正方形，中间是空心的正方形。如果把这个物体浸没在水中，它与水接触的面积是多少平方厘米？ 【答案】1470平方厘米 【思路引导】从图中可知，这个长方体物体外面的侧面是4个长22厘米、宽10厘米的长方形，物体里面的侧面是4个长22厘米、宽5厘米的长方形，根据长方形的面积＝长×宽，求出一个面的面积，再乘4，分别求出长方体外面、里面的侧面积； 这个长方体物体的底面积＝边长为10厘米的正方形的面积－边长为5厘米的正方形的面积，根据正方形的面积＝边长×边长求解； 如果把这个物体浸没在水中，它与水接触的面积＝物体外面的侧面积＋物体里面的侧面积＋物体的底面积×2，据此求出物体与水接触的面积。 【规范解答】物体外面的侧面积：10×22×4＝880（平方厘米） 物体里面的侧面积：5×22×4＝440（平方厘米） 物体的两个底面积： （10×10－5×5）×2 ＝（100－25）×2 ＝75×2 ＝150（平方厘米） 物体与水接触的面积： 880＋440＋150＝1470（平方厘米） 答：它与水接触的面积是1470平方厘米。 【考点剖析】本题考查长方体表面积公式的灵活运用，分析出物体接触水的面是哪些面，再根据图形的面积公式求解。 高频考点讲练03：正方体的表面积的计算 【典例精讲】（24-25五年级下·湖南岳阳·期中）用铁丝焊接一个棱长总和为60厘米的正方体框架，至少需要多长的铁丝？如果用彩纸包装，至少需要多少平方厘米彩纸？ 【答案】60厘米；150平方厘米 【思路引导】铁丝长度相当于正方体棱长总和，正方体棱长＝棱长总和÷12，正方体表面积＝棱长×棱长×6，据此列式解答。 【规范解答】棱长：60÷12＝5（厘米） 表面积：5×5×6＝150（平方厘米） 答：至少需要60厘米的铁丝，如果用彩纸包装，至少需要150平方厘米彩纸。 【演练1】（24-25五年级下·北京东城·期中）把一个正方体平均分成两个一样的长方体，其中一个长方体的表面积是48cm2，原来正方体的表面积是（    ）cm2。 A．96 B．80 C．72 D．64 【答案】C 【思路引导】把一个正方体平均分成两个一样的长方体，分成的两个长方体比原正方体多两个面，那么这两个长方体的表面积之和就相当于正方体的8个面的面积之和，用一个长方体的表面积×2，再除以8，求出正方体一个面的面积，再乘6，即可解答。 【规范解答】48×2÷8×6 ＝96÷8×6 ＝12×6 ＝72（cm2） 把一个正方体平均分成两个一样的长方体，其中一个长方体的表面积是48cm2，原来正方体的表面积是72cm2。 故答案为：C 【演练2】（24-25五年级下·北京大兴·期中）如下图所示，用棱长1厘米的小正方体摆立体图形。第4个立体图形的表面积是( )平方厘米，第6个立体图形的表面积是( )平方厘米，第n个立体图形的表面积是( )平方厘米。 【答案】 18 26 4n＋2 【思路引导】第1个：1个正方体，表面积是： （1×1）×6 ＝1×6 ＝6（平方厘米） 表面积可以写成：4×1＋2； 第2个：两个正方体拼在一起，减少两个（1×1）平方厘米的面积，表面积是： （1×1）×（6×2－2） ＝1×（12－2） ＝1×10 ＝10（平方厘米） 表面积可以写成：4×2＋2 第3个：三个正方体拼在一起，减少四个（1×1）平方厘米的面积，表面积是： （1×1）×（6×3－4） ＝1×（18－4） ＝1×14 ＝14（平方厘米） 表面积可以写成：4×3＋2 …… 由此可知，每增加一个正方体，就多了4个面，可以看作小正方体的个数乘4，再加上左右两个面的面积就是立体图形的表面积，当n个正方体拼在一起，表面积是（4n＋2） 平方厘米，由此解答即可。 【规范解答】根据分析可知，第n个立体图形的表面积是（4n＋2）平方厘米。 n＝4时： 4×4＋2 ＝16＋2 ＝18（平方厘米） n＝6时： 4×6＋2 ＝24＋2 ＝26（平方厘米） 用棱长1厘米的小正方体摆立体图形。第4个立体图形的表面积是18平方厘米，第6个立体图形的表面积是26平方厘米，第n个立体图形的表面积是（4n＋2）平方厘米。 高频考点讲练04：正方体的表面积公式的应用 【典例精讲】（24-25五年级下·宁夏银川·期中）方方用厚卡纸制作了一个漂亮的正方体包装盒，这个包装盒的棱长是20cm。做一个这样的包装盒至少需要厚卡纸（    ）cm2。 A．2400 B．2000 C．8000 【答案】A 【思路引导】根据正方体表面积＝棱长×棱长×6，列式计算即可。 【规范解答】20×20×6＝2400（cm2） 做一个这样的包装盒至少需要厚卡纸2400cm2。 故答案为：A 【演练1】（24-25五年级下·福建三明·期中）火树银花元夕夜，彩灯万盏增霞流。为弘扬传统文化，元宵节前夕军军和同学们用一根铁丝扎成一个长7cm，宽5cm，高3cm的长方体花灯框架。如果用同样长的铁丝扎成一个正方体花灯框架，这个正方体的棱长是( )cm。军军想给这个正方体花灯框架表面贴上纸片（上面不贴），至少需要( )cm2的纸片。 【答案】 5 125 【思路引导】根据题意，用一根铁丝扎成一个长方体花灯框架，那么这根铁丝的长度就是长方体的棱长总和；根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，求出这根铁丝的长度； 再用同样长的铁丝扎成一个正方体花灯框架，那么这根铁丝的长度就是正方体的棱长总和；根据正方体的棱长总和＝棱长×12，可得正方体的棱长＝棱长总和÷12，据此求出这个正方体的棱长； 给这个正方体花灯框架表面贴上纸片（上面不贴），求至少需要纸片的面积，就是求正方体5个面的面积之和，根据“棱长×棱长×5”，代入数据计算求解。 【规范解答】铁丝的长度（长方体的棱长总和）： （7＋5＋3）×4 ＝15×4 ＝60（cm） 正方体的棱长： 60÷12＝5（cm） 纸片的面积： 5×5×5 ＝25×5 ＝125（cm2） 如果用同样长的铁丝扎成一个正方体花灯框架，这个正方体的棱长是（5）cm。军军想给这个正方体花灯框架表面贴上纸片（上面不贴），至少需要（125）cm2的纸片。 【演练2】（2024六年级·全国·专题练习）如下图，一个正方体木块的表面积是40平方厘米，如果把它截成体积相等的8个小正方体木块，每个小正方体木块的表面积是多少平方厘米？ 【答案】10平方厘米 【思路引导】把正方体截成8个相等的小正方体，可以看出切了三刀，每切一刀就增加两个相同的截面，一共增加了6个原正方体的面，也就是8个小正方体的表面积是2个原正方体的表面积，先用40乘2计算出2个原正方体的表面积，也就是8个小正方体的表面积和，再除以8即可；据此解答。 【规范解答】 ＝80÷8 ＝10（平方厘米） 答：每个小正方体木块的表面积是10平方厘米。 【考点剖析】本题考查的是对正方体特征的实际应用，注意切开后一共增加了6个原正方体的面是解答本题的关键。 高频考点讲练05：立体图形的拼切 【典例精讲】（23-24五年级下·重庆丰都·期末）东东家有一个高12分米的长方体木块，如果把这个木块从下面锯掉5分米，则剩下的木块比原来的木块表面积减少了120平方分米，原来木块的棱长总和是多少分米？ 【答案】96分米 【思路引导】由题意可知，表面积减少的是锯掉的小长方体的侧面积，将侧面积展开是一个长是长方体的长加宽的和的2倍，宽是5分米的长方形，已知该长方形的面积是120平方分米，根据长方形的面积公式，用120除以5再除以2，可得长加宽的和，根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据计算即可。 【规范解答】 （分米） 答：原来木块的棱长总和是96分米。 【演练1】（22-23五年级下·河北保定·期末）一个长方体的高增加5米后就变成了一个正方体，表面积增加了160平方米。原来长方体的长是（    ）。 A．3米 B．8米 C．32 平方米 【答案】B 【思路引导】根据题意可知，将一个长方体的高增加5米就成为一个正方体可知：原长方体的长＝宽＝正方体的棱长，这时表面积比原来增加160平方米，表面积增加的是高5米的长方体的4个侧面的面积，因此可以求出一个侧面的面积，进而求出原来长方体的长。据此解答。 【规范解答】160÷4÷5＝8（米） 原来长方体的长是8米。 故答案为：B 【演练2】（21-22五年级下·广东韶关·期中）用3个完全一样的正方体拼成一个长方体，这个长方体的棱长总和是160厘米，这个长方体的表面积是多少平方厘米？ 【答案】896平方厘米 【思路引导】通过观察图形可知，拼成的长方体的棱长总和比原来3个正方体的棱长总和减少了正方体的16条棱的长度，据此可以求出正方体的棱长；这个长方体的表面积比3个正方体的表面积之和减少了正方体的4个面的面积，根据正方体的表面积公式：S＝6a2，把数据代入公式解答。 【规范解答】160÷（12×3－16） ＝160÷（36－16） ＝160÷20 ＝8（厘米） 8×8×6×3－8×8×4 ＝64×6×3－64×4 ＝384×3－256 ＝1152－256 ＝896（平方厘米） 答：这个长方体的表面积是896平方厘米。 【考点剖析】此题主要考查长方体、正方体的棱长总和公式、表面积公式的灵活运用，求出正方体的棱长是解题的关键。 高频考点讲练06：组合体的表面积 【典例精讲】（2025五年级下·全国·专题练习）把17个棱长为1厘米的正方体重叠起来，堆成如图所示的立体图形，这个立体图形的表面积是多少平方厘米？ 【答案】50平方厘米 【思路引导】根据正方体的特征可知，正方体的每个面都是正方形。已知正方体的棱长是1厘米，根据正方形的面积公式S＝a2，求出一个面的面积。 分别找出从上下面、前后面、左右面看到的正方形的个数，再乘每个面的面积，就是这个立体图形的表面积。 【规范解答】上下面看到的正方形有：8×2＝16（个） 前后面看到的正方形有：9×2＝18（个） 左右面看到的正方形有：8×2＝16（个） 一共有：16＋18＋16＝50（个） 1×1×50＝50（平方厘米） 答：这个立体图形的表面积是50平方厘米。 【演练1】（23-24五年级下·贵州黔东南·期中）如图，从由8个棱长是1厘米的小正方体拼成的大正方体中拿走一个小正方体，这时的表面积与原来的大正方体相比，是（    ）。 A．减少了 B．增加了 C．一样的 【答案】C 【思路引导】由图可知，没有拿走小正方体之前，计算大正方体的表面积时，需要计算拿走小正方体上面、前面、右面3个面的面积，拿走小正方体之后，再计算表面积时，需要计算露出的下面、后面、左面3个面的面积，原来小正方体上面、前面、右面3个面的面积等于露出的下面、后面、左面3个面的面积，其它部分的面积不变，所以现在的表面积和原来的表面积相等，据此解答。 【规范解答】分析可知，从由8个棱长是1厘米的小正方体拼成的大正方体中拿走一个小正方体，拿走小正方体之后的表面积和原来大正方体的表面积相等。 故答案为：C 【演练2】（21-22五年级下·山西忻州·阶段练习）有一个形状如下的零件，求它的表面积。（单位：cm） 【答案】294cm2 【思路引导】零件的表面积可以看作一个长10cm、宽5cm、高（5＋2）cm的长方体的表面积减去4个边长为2cm的小正方形的面积；长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方形的面积＝边长×边长，据此解答。 【规范解答】长方体的高：5＋2＝7（cm） 长方体的表面积： （10×5＋10×7＋5×7）×2 ＝（50＋70＋35）×2 ＝155×2 ＝310（cm2） 4个小正方形的面积： 2×2×4 ＝4×4 ＝16（cm2） 零件的表面积：310－16＝294（cm2） 高频考点讲练07：表面涂色的正方体 【典例精讲】（24-25五年级下·河北邢台·期中）先把一些棱长1厘米的小正方体拼成一个大正方体后，再把大正方体的表面涂色。 (1)一共使用了 个小正方体。 (2)小正方体中三面涂色的有 个，两面涂色的有 个，一面涂色的有 个，所有面都未涂色的有 个。 【答案】(1)64 (2) 8 24 24 8 【思路引导】（1）由图观察可知，大正方体的每条棱上都有4个小正方体。因为正方体体积＝棱长×棱长×棱长，这里小正方体组成大正方体，所以小正方体总数＝每条棱上小正方体个数×每条棱上小正方体个数×每条棱上小正方体个数，即4×4×4＝64（个）。 （2）根据正方体顶点、棱长、面的位置特点来确定不同涂色情况的小正方体个数。 ①三面涂色的小正方体：在正方体中，顶点处的小正方体是三面涂色的。因为正方体有8个顶点，所以三面涂色的小正方体有8个。 ②两面涂色的小正方体：两面涂色的小正方体在每条棱的中间部分（除去顶点处的小正方体）。每条棱上有4个小正方体，除去2个顶点处的，每条棱上两面涂色的有：4－2＝2（个），正方体有12条棱，所以两面涂色的小正方体一共有：2×12＝24（个）。 ③一面涂色的小正方体：一面涂色的小正方体在每个面的中间部分（除去棱上的小正方体）。每个面上一面涂色的小正方体组成一个边长为4－2＝2（厘米）的正方形。那么每个面上一面涂色的小正方体有：2×2＝4（个）。正方体有6个面，所以一面涂色的小正方体一共有：4×6＝24（个）。 ④所有面都未涂色的小正方体：先求出大正方体中小正方体的总数为64个，然后减去三面涂色的8个、两面涂色的24个、一面涂色的24个，即64－8－24－24＝8（个）。 【规范解答】（1）4×4×4＝64（个） 即一共使用了64个小正方体。 （2）①三面涂色的小正方体：因为正方体有8个顶点，所以三面涂色的小正方体有8个。 ②两面涂色的小正方体：每条棱上两面涂色的有：4－2＝2（个），两面涂色的小正方体一共有：2×12＝24（个）。 ③一面涂色的小正方体：每个面上一面涂色的小正方体有：2×2＝4（个）。一面涂色的小正方体一共有：4×6＝24（个）。 ④所有面都未涂色的小正方体：64－8－24－24＝8（个）。 由上可知，小正方体中三面涂色的有8个，两面涂色的有24个，一面涂色的有24个，所有面都未涂色的有8个。 【演练1】（2024六年级·全国·竞赛）用棱长1cm的小正方体摆成如上的正方体后把它的表面染上颜色。三面涂色的小正方体有（    ）个。两面涂色的小正方体有（    ）个。 A．7；8 B．8；12 C．12；8 D．16；12 【答案】B 【思路引导】大正方体每条棱长上都有3个小正方体；根据立体图形的知识可知：两个面涂色的在每条棱的中间，三面涂色的在大正方体的顶点上，根据上面的结论，即可求得答案。 【规范解答】1×8＝8（个） （3－2）×12 ＝1×12 ＝12（个） 三面涂色的小正方体有8个。两面涂色的小正方体有12个。 故答案为：B 【考点剖析】此题考查了立方体的涂色问题；注意数形结合与正方体表面涂色的特点的应用。 【演练2】（23-24五年级下·全国·课后作业）在一个正方体木块的6个面涂上红色后，把它分割成若干个棱长是1厘米的小正方体木块，如果两面涂红色的小正方体共有108个，那么只有一面涂红色的小正方体有多少个？ 【答案】 486个 【思路引导】根据两面涂色的小正方体的个数＝正方体的棱长数×（棱长－2），可得大正方体的棱长；接下来再根据一面涂色的小正方体的个数＝正方体的面数×（棱长－2）即可得到答案。 【规范解答】正方体的棱长： 108÷12＋2 ＝9＋2 ＝11（厘米） 只有一面涂红色： ＝ ＝（个） 答：只有一面涂色的小正方体有486个。 【考点剖析】本题主要考查了染色问题，解题的关键是根据两面涂色的小正方体的个数＝正方体的棱长数×(棱长－2)，求出大正方体的棱长。 高频考点讲练08：体积的等积变形 【典例精讲】（24-25五年级下·河南南阳·期中）实践课上，老师布置了一个任务：已知一个长和宽均为8分米的长方体透明鱼缸（厚度忽略不计），鱼缸内水深5分米。聪聪将一个长6分米、宽4分米的长方体石块竖直立入鱼缸中（接触面之间无缝隙），并记录水位变化。石块放入后，水面迅速上升，聪聪惊呼：“现在水的高度是多少呢？”结合以前你所学知识，帮助聪聪解决这个问题。 【答案】8分米 【思路引导】已知长方体鱼缸长和宽均为8分米，水深5分米，根据长方体的体积＝长×宽×高，求出水的体积； 将一个长6分米、宽4分米的长方体石块竖直立入鱼缸中，石块占据部分底面积，导致水的底面积变成（8×8－6×4）平方分米，水的体积不变，根据长方体的高＝体积÷底面积，求出此时水的高度。 【规范解答】8×8×5 ＝64×5 ＝320（立方分米） 8×8－6×4 ＝64－24 ＝40（平方分米） 320÷40＝8（分米） 答：现在水的高度是8分米。 【演练1】（23-24五年级下·广东佛山·期中）有一块棱长是80厘米的正方体铁块，现在要把它熔铸成一个长15厘米，宽20厘米的长方体，这个长方体的高是多少厘米？ 【答案】厘米 【思路引导】正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，据此先算出铁块的体积，把它熔铸成一个长方体，铁块的体积不变，根据长方体的体积公式可知，长方体的高＝体积÷（长×宽），据此解答。 【规范解答】（立方厘米） （厘米） 答：这个长方体的高是厘米。 【演练2】（23-24五年级下·甘肃平凉·期中）淘气用一块橡皮泥捏了一个长方体，又用其捏了一个正方体。下面关于长方体和正方体说法正确的是（    ）。 A．长方体体积大 B．体积相等，表面积也相等 C．体积相等，表面积不一定相等 【答案】C 【思路引导】把一块长方体橡皮泥捏成一个正方体后，它的形状变了，但它所占空间的大小不变，所以体积不变；正方体的表面积会变小，因为正方体属于长方体的一种，而同体积时正方体是长方体中表面积最小的一种，据此解答。 【规范解答】由分析可得：淘气用一块橡皮泥捏了一个长方体，又用其捏了一个正方体。关于长方体和正方体说法正确的是体积相等，表面积不一定相等。 故答案为：C 高频考点讲练09：立体图形的切拼（长方体与正方体的体积） 【典例精讲】（2025六年级下·吉林·专题练习）一个棱长为8的正方体，由若干个棱长为1的小正方体组成，那么这个大正方体含有（    ）个这样的小正方体。 A．296 B．384 C．328 D．512 【答案】D 【思路引导】根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，分别求出大、小正方体的体积，再相除即可求出小正方体的个数。 【规范解答】（8×8×8）÷（1×1×1） ＝512÷1 ＝512（个） 这个大正方体含有512个这样的小正方体。 故答案为：D 【演练1】（23-24五年级下·湖南益阳·期中）用4个棱长1米的正方体拼成一个长方体，表面积减少了( )平方米，表面积是( )平方米，体积是( )立方米。 【答案】 6 18 4 【思路引导】 4个正方体拼成一个长方体，如图，表面积会减少6个正方形的面，减少的表面积＝原正方体的棱长×棱长×6；正方体表面积＝棱长×棱长×6，据此求出1个正方体的表面积，长方体表面积＝1个正方体的表面积×4－减少的表面积；长方体体积＝1个正方体的体积×4，正方体体积＝棱长×棱长×棱长。 【规范解答】1×1×6＝6（平方米） 1×1×6×4－6 ＝24－6 ＝18（平方米） 1×1×1×4＝4（立方米） 表面积减少了6平方米，表面积是18平方米，体积是4立方米。 【演练2】（23-24五年级下·山东济南·期末）如图，将一个长方体木块的中间挖掉一个小正方体木块，下面的说法正确的是（    ）。 A．体积减少了，表面积也减少了。 B．体积减少了，表面积增加了。 C．体积减少了，表面积不变。 【答案】B 【思路引导】剩下图形的体积＝长方体体积－正方体体积；剩下图形的表面积＝完整的长方体表面积＋正方体前后左右4个面的面积和，据此分析。 【规范解答】由分析得：将一个长方体木块从面的中间挖掉一个小正方体后，体积减少了，表面积增加了。 故答案为：B 高频考点讲练10：组合体体积的计算 【典例精讲】（24-25五年级下·湖南衡阳·期中）求下面几何体的表面积和体积。（单位：cm） 【答案】（1）308cm2；317cm3；（2）52cm2；23cm3 【思路引导】（1）通过平移，将正方体上边的面平移到下边，这个组合体的表面积＝完整的长方体表面积＋正方体4个面的面积和，长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2；组合体的体积＝长方体体积＋正方体体积，长方体体积＝长×宽×高，正方体体积＝棱长×棱长×棱长。 （2）长方体的顶点位置挖掉一个小正方体，表面积减少了3个正方形的面，里面又出现了同样的3个正方形，组合体的表面积＝完整的长方体表面积；组合体的体积＝长方体体积－正方体体积。 【规范解答】（1）（8×6＋8×4＋6×4）×2＋5×5×4 ＝（48＋32＋24）×2＋100 ＝104×2＋100 ＝208＋100 ＝308（cm2） 8×6×4＋5×5×5 ＝192＋125 ＝317（cm3） 组合体的表面积是308cm2，体积是317cm3。 （2）（4×3＋4×2＋3×2）×2 ＝（12＋8＋6）×2 ＝26×2 ＝52（cm2） 4×3×2－1×1×1 ＝24－1 ＝23（cm3） 组合体的表面积是52cm2，体积是23cm3。 【演练1】2024五年级下·全国·专题练习）求下列组合图形的体积。（单位：cm） 【答案】27cm3；232cm3 【思路引导】左边：组合图形的体积＝两个长方体体积之和，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据解答即可； 右边：组合图形的体积＝长方体的体积－正方体的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据解答即可。 【规范解答】5×3×1＋2×2×3 ＝15＋4×3 ＝15＋12 ＝27（cm3） 8×6×5－2×2×2 ＝48×5－4×2 ＝240－8 ＝232（cm3） 左边组合图形的体积为27cm3，右边组合图形的体积为232cm3。 【演练2】（24-25六年级下·海南海口·期末）如图，由棱长是3和5的两个正方体搭成的图形，它的表面积是( )，体积是( )。 【答案】 186 152 【思路引导】通过平移，将小正方体上面的面平移到下面，它的表面积＝大正方体的表面积＋小正方体1个面的面积×4，正方体表面积＝棱长×棱长×6；它的体积＝大正方体的体积＋小正方体的体积，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，据此列式计算。 【规范解答】5×5×6＋3×3×4 ＝150＋36 ＝186（） 5×5×5＋3×3×3 ＝125＋27 ＝152（） 它的表面积是186，体积是152。 高频考点讲练11：不规则物体的体积计算方法 【典例精讲】（23-24五年级下·安徽黄山·期末）甲鱼缸内有一条鳜鱼，量得鱼缸的长是40厘米，宽是40厘米，水面高度是25厘米。将鱼捞出放入乙鱼缸后，甲鱼缸水面高度下降到22厘米。你能求出乙鱼缸放入鱼后水面上升了多少厘米吗？ 【答案】 8厘米 【思路引导】根据不规则物体的体积计算方法可知，甲鱼缸下降的水的体积就是鳜鱼的体积，由题意可知，捞出鳜鱼后甲鱼缸水面下降了（厘米），根据，可求出鳜鱼的体积，再用鳜鱼的体积除以乙水缸的长与宽的积（或用用鳜鱼的体积除以乙水缸的长再除以宽）即可得解。 【规范解答】40×40×（25－22）÷（50×12） ＝40×40×3÷600 ＝8（厘米） 或40×40×（25－22）÷50÷12 ＝40×40×3÷50÷12 ＝8（厘米） 答：乙鱼缸放入鱼后水面上升了8厘米。 【演练1】（22-23五年级下·福建莆田·期中）如图是测量一颗铁球体积的过程。 ①将400mL的水倒进一个容量为600mL的杯子中； ②将四颗相同的铁球放入水中，结果水没有满； ③再将一颗同样的铁球放入水中，结果水满溢出。 根据以上过程，推测这样一颗铁球的体积大约在（    ）。 A．50cm3～60cm3 B．30cm3～40cm3 C．40cm3～50cm3 D．20cm3～30cm3 【答案】C 【思路引导】先根据进率1mL＝1cm3，将400mL换算成400cm3，600mL换算成600cm3； 根据题意，将4颗相同的铁球放入水中，结果水没有满，可知4个铁球的体积要小于（600－400）cm3，那么1个铁球的体积就小于（200÷4）cm3； 再将一颗同样的铁球放入水中，结果水满溢出，可知5个铁球的体积要大于（600－400）cm3，那么1个铁球的体积就大于（200÷5）cm3。据此推测出一颗铁球体积的范围。 【规范解答】400mL＝400cm3 600mL＝600cm3 600－400＝200（cm3） 200÷4＝50（cm3） 200÷5＝40（cm3） 40cm3＜一颗铁球的体积＜50cm3 所以，这样一颗铁球的体积大约在40cm3～50cm3。 故答案为：C 【考点剖析】明确水上升部分的体积等于几颗铁球的体积，进而求出铁球的体积范围。 【演练2】（24-25五年级下·河南信阳·期中）一个无水观赏鱼缸（如图）中放有一块高为28厘米、体积为4200立方厘米的假山石，如果自来水管以每分钟3000毫升的流量向鱼缸内注水，那么至少需要多少分钟才能将假山石完全淹没？ 【答案】7分钟 【思路引导】根据题意，当假山石完全淹没时，注入的水的体积与假山石的体积之和，等于长45厘米，宽20厘米，高28厘米的长方体的体积。根据长方体的体积＝长×宽×高，据此代入数据求出这个长方体的体积，再减去假山石的体积，即可求出注入的水的体积，并根据进率“1立方厘米＝1毫升”换算单位。 如果自来水管以每分钟3000毫升的流量向鱼缸内注水，根据除法的意义，用注入的水的体积除以3000，即可求出需要的时间。 【规范解答】45×20×28－4200 ＝25200－4200 ＝21000（立方厘米） 21000立方厘米＝21000毫升 21000÷3000＝7（分钟） 答：至少需要7分钟才能将假山石完全淹没。 1．（23-24五年级下·安徽黄山·期末）根长方体木料，长4米，宽0.4米，厚3分米，把它锯成4段，表面积最少增加（    ）平方分米。 A．12 B．48 C．64 D．72 【答案】D 【思路引导】​​切割次数与截面增加：将长方体锯成4段需锯3次，每次锯切增加2个新截面，共增加6个截面。​​最小表面积增加原则：为使表面积增加最少，应选择原长方体中最小的面（宽×厚）作为新增截面。​​单位统一与计算：将长度单位统一为分米（4米＝40分米，0.4米＝4分米，厚3分米），计算单个截面面积后乘新增截面数。 【规范解答】长：4米＝40分米 宽：0.4米＝4分米 厚：3分米 最小截面面积： 4×3＝12（平方分米） 新增表面积： 12×6＝72（平方分米） 故答案为：D 2．（24-25五年级下·河南郑州·期中）下面图形（    ）不能沿线折成正方体。 A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】正方体展开图一共有11种。 （1）“1－4－1”型： 中间4个一连串，两边各一随便放。 （2）“2－3－1”型： 二三紧连错一个，三一相连一随便。 （3）“2－2－2”型：两两相连各错一。 （4）“3－3”型：三个两排一对齐。 据此解答。 【规范解答】A．符合正方体展开图“1－4－1”型的特征，能沿线折成正方体； B．不符合正方体展开图的特征，不能沿线折成正方体； C．符合正方体展开图“2－3－1”型的特征，能沿线折成正方体； D．符合正方体展开图“3－3”型的特征，能沿线折成正方体。 故答案为：B 3．（24-25五年级下·安徽黄山·期中）一名油漆工粉刷一个长方体的小箱子，需要用3罐油漆，现在他要粉刷一个长、宽、高都是原来4倍的大长方体箱子，需要用（    ）罐油漆。 A．12 B．16 C．32 D．48 【答案】D 【思路引导】长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，粉刷一个长方体的小箱子，需要用3罐油漆，如果粉刷一个长、宽、高都是原来4倍的大长方体箱子，粉刷面积＝[（长×4）×（宽×4）＋（长×4）×（高×4）＋（宽×4）×（高×4）]×2＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2×4×4＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×32，是原来粉刷面积的32÷2＝16倍，那么需要的油漆数量也是原来的16倍，用3乘16即可解答。 【规范解答】通过分析可得：4×4＝16，他要粉刷一个长、宽、高都是原来4倍的大长方体箱子，需要的油漆数量是原来的16倍。 3×16＝48（罐） 则需要用48罐油漆。 故答案为：D 4．（22-23五年级下·福建莆田·期末）把11块相同的长方体砖如图所示拼成一个大长方体，已知每块砖的体积是288立方厘米，大长方体的表面积是（    ）平方厘米。 A．1368 B．1974 C．2014 D．2054 【答案】A 【思路引导】观察大长方体的正面，可知2a＝3b，观察大长方体的右面，可知a＝4h，将a＝4h代入2a＝3b，可得b＝h，根据长方体体积＝长×宽×高，确定h的值，将h的值分别代入a＝4h和b＝h，求出a和b的值，进而确定大长方体的长、宽、高，根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，求出大长方体的表面积。 【规范解答】观察大长方体的正面和右面，可得2a＝3b、a＝4h。 将a＝4h代入2a＝3b 可得2×（4h）＝3b 解：3b＝8h 3b÷3＝8h÷3 b＝h 将a＝4h、b＝h代入 abh＝288 可得4h×h×h＝288 解：h3＝288 h3÷＝288÷ h3＝288× h3＝27＝33 因此h＝3 a＝4h＝4×3＝12（厘米） b＝h＝×3＝8（厘米） 大长方体的长：2a＝2×12＝24（厘米） 大长方体的宽：4h＝4×3＝12（厘米） 大长方体的高：b＋h＝8＋3＝11（厘米） 大长方体的表面积：（24×12＋24×11＋12×11）×2 ＝（288＋264＋132）×2 ＝684×2 ＝1368（平方厘米） 大长方体的表面积是1368平方厘米。 故答案为：A 【考点剖析】本题关键是理清每块砖长宽高之间的关系，进而求出大长方体的长宽高。 5．（24-25五年级下·安徽黄山·期中）涛涛在一个长方体玻璃容器中摆了若干个体积为1立方厘米的小正方体（如图），这个玻璃容器的容积是( )立方厘米。再摆( )个这样的小正方体就能把长方体装满。 【答案】 90 78 【思路引导】棱长1厘米的正方体，体积是1立方厘米。看图可知，长方体玻璃容器的长是6厘米，宽5厘米，高3厘米，根据长方体体积（容积）＝长×宽×高，计算出玻璃容器的容积。 用玻璃容器的容积除以每个小正方体的体积，求出这个容器所需小正方体的个数，再减去已有小正方体的个数，即是需要再摆的小正方体个数。 【规范解答】6×5×3＝90（立方厘米） 90÷1＝90（个） 90－12＝78（个） 这个玻璃容器的容积是（90）立方厘米。再摆（78）个这样的小正方体就能把长方体装满。 6．（24-25五年级下·天津南开·期中）下图这个长方体纸箱高是3dm，长和宽都是1dm，在它的四周贴上商标（上下面不贴），商标纸的面积是( )dm2，纸箱的体积是( )dm3。 【答案】 12 3 【思路引导】由题意可知，长方体的上下面是正方形，则四个侧面是形状相同的长方形，求商标纸的面积就是求长方体四个侧面的面积之和；利用“长方体的体积＝长×宽×高”求出纸箱的体积，据此解答。 【规范解答】3×1×4＝12（dm2） 3×1×1＝3（dm3） 所以，商标纸的面积是12dm2，纸箱的体积是3dm3。 7．（24-25五年级下·北京东城·期中）一个正方体玻璃容器从里面量长、宽均为20厘米，向容器中倒入5升水，再把一个苹果放入水中，这时量得容器内的水深是17厘米。这个苹果的体积是( )立方厘米。 【答案】1800 【思路引导】通过实际操作可知当苹果完全浸没在水中时，上升部分水的体积就是苹果的体积，上升部分水的底面积等于容器的底面积，上升部分水的高＝放入苹果后水的高－原水的高，因此，长×宽＝容器的底面积，倒入的水的体积÷容器的底面积＝原水的高，容器的底面积×（放入苹果后水的高－原水的高）＝这个苹果的体积。 【规范解答】5升＝5000毫升＝5000立方厘米 20×20＝400（平方厘米） 5000÷400＝12.5（厘米） 400×（17－12.5） ＝400×4.5 ＝1800（立方厘米） 所以，这个苹果的体积是1800立方厘米。 8．（23-24五年级下·北京密云·期末）一个长方体，如果长增加2厘米，则体积增加12立方厘米；如果宽增加3厘米，则体积增加30立方厘米；如果高增加4厘米，则体积增加60立方厘米。那么这个长方体的表面积是( )平方厘米。 【答案】62 【思路引导】由题意，长增加2厘米，体积增加12立方厘米，可知宽×高＝12÷2＝6平方厘米；同理可知长×高＝30÷3＝10平方厘米，长×宽＝60÷4＝15平方厘米，根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，把数据分别代入公式解答。 【规范解答】（6＋10＋15）×2 ＝（16＋15）×2 ＝31×2 ＝62（平方厘米） 那么这个长方体的表面积是62平方厘米。 【考点剖析】此题关键是理解长增加宽和高不变，宽增加长和高不变，高增加长和宽不变．根据长方体的表面积公式解答即可。 9．（23-24五年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）一张A4纸很薄，它不是长方体。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】根据长方体和长方形的特征，一张薄纸它具备了长方体的特征，只能说一张薄纸的面是长方形，据此解答。 【规范解答】根据长方体和长方形的特征，一张薄纸它再薄也有一定的厚度，它也占有一定的空间，因此一张薄纸是长方体而不是长方形。 故答案为：× 10．（23-24五年级下·江西宜春·期末）长方体的长、宽、高都扩大到原来的3倍，表面积就扩大到原来的27倍。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】设长方体的长是a，宽是b，高是h，扩大后长方体的长是3a，宽是3b，高是3h；根据长方体表面积公式：表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，分别求出原来长方体的表面积和扩大后的表面积，再用扩大后长方体的表面积÷原来长方体表面积，即可解答。 【规范解答】设长方体的长是a，宽是b，高是h，扩大后长方体的长是3a，宽是3b，高是3h。 [（3a×3b＋3a×3h＋3b×3h）×2]÷[（a×b＋a×h＋b×h）×2] ＝[（9ab＋9ah＋9bh）×2]÷[（ab＋ah＋bh）×2] ＝[9×（ab＋ah＋bh）×2]÷[（ab＋ah＋bh）×2] ＝[18×（ab＋ah＋bh）]÷[2×（ab＋ah＋bh）] ＝18÷2 ＝9 长方体的长、宽、高都扩大到原来的3倍，表面积就扩大到原来的9倍。 原题干说法错误。 故答案为：× 11．（23-24五年级下·重庆丰都·期末）求下面图形的体积是多少？（单位cm） 【答案】232cm3 【思路引导】求图形的体积，用长8cm，宽5cm，高6cm的长方体体积减去棱长为2cm的正方体体积；根据长方体和体积＝长×宽×高，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数值计算分别计算出长方体的体积和正方体的体积，再相减即可解答。 【规范解答】8×5×6－2×2×2 ＝40×6－4×2 ＝240－8 ＝232（cm3） 图形的体积是232cm3。 12．（23-24五年级下·云南楚雄·期末）一间多媒体教室长15米，宽8米，高4米，现在要粉刷这间教室的墙壁和天花板（门窗除外）。门窗的面积是32平方米，如果每平方米需花8元涂料费，粉刷完这间教室需要涂料费多少钱？ 【答案】2176元 【思路引导】根据题意，粉刷教室的墙壁和天花板，即粉刷的是长方体的上面、前后面、左右面共5个面；根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”求出这5个面的面积之和，再减去门窗的面积，就是需粉刷的面积；最后用每平方米的涂料费乘粉刷的面积，求出粉刷完这间教室需要涂料费。 【规范解答】15×8＋15×4×2＋8×4×2 ＝120＋120＋64 ＝304（平方米） 304－32＝272（平方米） 8×272＝2176（元） 答：粉刷完这间教室需要涂料费2176元。 13．（23-24五年级下·贵州铜仁·期末）火树银花元夕夜，彩灯万盏增霞流。为弘扬传统文化，元宵节前夕小军和同学们用一根铁丝扎成一个9分米，宽6分米，高3分米的长方体花灯框架。如果用同样长的铁丝扎成一个正方体花灯框架，这个正方体的棱长是多少分米？（接头处忽略不计） 【答案】6分米 【思路引导】根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数值计算出这个长方体花灯框架的棱长总和，也就是这根铁丝的总长度，铁丝的总长度不变，把它扎成一个正方体花灯框架，根据正方体的棱长总和＝棱长×12，用棱长总和÷12，所得结果即为这个正方体的棱长是多少分米。 【规范解答】（9＋6＋3）×4÷12 ＝18×4÷12 ＝72÷12 ＝6（分米） 答：这个正方体的棱长是6分米。 14．（23-24五年级下·河南驻马店·期末）蒲公英可以入药，泡水喝有清热解毒作用。李阿姨采了一些蒲公英，淘洗晒干后准备寄给外地的朋友。为表心意，她用彩色硬纸板做了个礼盒，并在礼盒上系了丝带做装饰，如图所示。 （1）做这个礼盒至少需要多少彩色硬纸板（重合部分忽略不计）？ （2）若打结处丝带长12厘米，李阿姨需要准备多长的丝带？ 【答案】（1）3240平方厘米；（2）184厘米 【思路引导】（1）硬纸板的面积等于长为30厘米、宽为26厘米、高为15厘米的长方体的表面积，长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，把数据代入计算即可解答。 （2）观察上图可知，礼盒上丝带系了两圈，一圈长度与长为26厘米、宽为15厘米长方形面的周长相等，一圈长度与长为30厘米、宽为15厘米的长方形面的周长相等，长方形的周长＝（长＋宽）×2，把数据代入求出两圈的长度，然后相加，再加打结处的长度即等于需要准备丝带的长度，据此即可解答。 【规范解答】（1）（30×26＋30×15＋26×15）×2 ＝（780＋450＋390）×2 ＝1620×2 ＝3240（平方厘米） 答：做这个礼盒至少需要3240平方厘米彩色硬纸板。 （2）（26＋15）×2＋（30＋15）×2＋12 ＝41×2＋45×2＋12 ＝82＋90＋12 ＝172＋12 ＝184（厘米） 答：李阿姨需要准备184厘米的丝带。 15．（24-25五年级下·河南郑州·期中）李师傅要为学校制作一个颁奖台，探探小组的同学已经帮他设计好了。这个颁奖台是由三个长方体合并而成的，把它的前面，后面涂黄色油漆，其他露出来的面涂红色油漆。（下底面不涂） ①涂黄色油漆和红色油漆的面积各是多少平方米？ ②这个颁奖台的体积是多少立方米？ 【答案】涂黄色油漆面积是6.48平方米；涂红色油漆的面积是3.6平方米； 颁奖台的体积是1.944立方米 【思路引导】根据题意，需结合图形结构，拆分计算各部分面积与体积：黄色油漆（前、后面）：前、后面形状相同，均由长120厘米、高分别为90厘米、120厘米、60厘米的三个长方形组成，先算一个面的面积，再乘2，最后换算单位。 红色油漆（其他露出面）：包括上面（3个长120厘米、宽60厘米的长方形）和侧面（2个长120厘米、宽60厘米的长方形），求和后换算单位。 体积：三个长方体体积之和，利用V＝长×宽×高计算，最后换算单位。 【规范解答】单位换算基础（1平方米＝10000平方厘米，1立方米＝1000000立方厘米） （1）黄色油漆面积（前、后面）： 一个前面面积： 120×（90＋120＋60） ＝120×270 ＝32400（平方厘米） 前、后面总面积：32400×2＝64800（平方厘米） 换算为平方米：64800÷10000＝6.48（平方米） 红色油漆面积（其他露出面）： 上面面积： 120×60×3 ＝7200×3 ＝21600（平方厘米） 侧面面积＝ 60×120×2＝14400（平方厘米） 红色油漆总面积＝ 21600＋14400＝36000（平方厘米） 换算为平方米：36000÷10000＝3.6（平方米） 答：涂黄色油漆的面积是6.48平方米，红色油漆的面积是3.6平方米。 （2）体积计算： 120×60×（90＋120＋60） ＝120×60×270 ＝7200×270 ＝1944000（立方厘米） 换算为立方米：1944000÷1000000＝1.944（立方米） 答：这个颁奖台的体积是1.944立方米。 【考点剖析】解决组合体问题，需明确各面的组成与尺寸，利用长方形面积公式和长方体体积公式，结合单位换算求解，核心是对组合体结构的拆分与公式的应用。 16．（2025五年级下·全国·专题练习）要把6个长17厘米，宽7厘米，高3厘米的长方体物体拼装成一个大的长方体包装物，怎样包装最省包装纸？表面积最小时的包装纸的面积是多少平方厘米？（重叠处忽略不计） 【答案】拼装成长17厘米，宽14厘米，高9厘米的长方体包装物最省包装纸；1034平方厘米 【思路引导】列举以上5种包装方案：长17厘米，宽7厘米，高18厘米；长34厘米，宽7厘米，高9厘米；长21厘米，宽17厘米，高6厘米；长51厘米，宽7厘米，高6厘米；长17厘米，宽14厘米，高9厘米，根据长方体的表面积＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2，分别求出它们的面积，通过计算比较，发现怎样包装最省包装纸。 【规范解答】（1）（17×7＋17×18＋7×18）×2 ＝（119＋306＋126）×2 ＝551×2 ＝1102（平方厘米） （2）（34×7＋34×9＋7×9）×2 ＝（238＋306＋63）×2 ＝607×2 ＝1214（平方厘米） （3）（21×17＋21×6＋17 ×6）×2 ＝（357＋126＋102）×2 ＝585×2 ＝1170（平方厘米） （4）（51×7＋51 ×6 ＋7×6）×2 ＝（357＋306＋42）×2 ＝705×2 ＝1410（平方厘米） （5）（17×14＋17×9＋14×9）×2 ＝（238＋153＋126）×2 ＝517×2 ＝1034（平方厘米） 1034＜1102＜1170＜1214＜1410 答：拼装成长17厘米，宽14厘米，高9厘米的长方体包装物最省包装纸，表面积最小时的包装纸的面积是1034平方厘米。 17．（23-24五年级下·山西晋中·期中）介休有“琉璃之乡”的美誉。在众多的琉璃建筑中，艺术成就最高、保存最完好的则首推介休后土庙，它被建筑界公认为“琉璃建筑艺术的宝库”，堪称是“中国琉璃艺术的博物馆”。目前介休部分学校开设琉璃社团。聪聪也制作了一个琉璃工艺品准备送给舅舅。这个工艺品的长15厘米，宽8厘米，高12厘米，把它装在一个从里面量长18厘米，宽15厘米，容积为2.43立方分米长方体内，是否装得进去？说说你的理由。 【答案】能装得进去 【思路引导】由题意可知，要知道这个工艺品是否能装进长方体内，就要去对比这个工艺品和长方体的长、宽、高，已知长方体的容积是2.43立方分米，根据长方体的体积＝长×宽×高可变形为高＝长方体体积÷长÷宽，求出这个长方体的高，最后再比较长宽高：最长的棱长和最长的棱长相比，中等长度的棱长和中等长度的棱长相比，最短的棱长和最短的棱长相比，据此解答即可。 【规范解答】能装得进去； 理由如下： 2.43立方分米＝2430立方厘米 2430÷18÷15 ＝135÷15 ＝9（厘米） 18＞15，9＞8，15＞12 答：能装得进去。 【考点剖析】能不能装的下，我们不能简单的比较体积大小，要根据实际情况来分析。 18．（23-24五年级下·河北邢台·期末）小梅把一张长方形纸板（如图1），从四个角各剪去一个边长4厘米的正方形，用剩下的纸折成一个无盖收纳盆。这个收纳盆所用纸板的面积是多少平方厘米？她想把家里的小包装茶叶盒（如图2）放入收纳盒中，（茶叶盒不能超过收纳盒的上沿且不能挤压），收纳盒最多可以放多少个茶叶盒？ 【答案】656平方厘米；28个 【思路引导】纸板的面积等于原来长方形的纸板的面积减去4个小正方形的面积，根据长方形的面积公式：S＝ab，正方形的面积公式：S＝a2，把数据代入公式解答；收纳盒的长为（30－4×2＝22）厘米，宽为（24－4×2＝16）厘米，高为4厘米，收纳盒的长和茶叶盒的高重合可以放（22÷3）个茶叶盒，收纳盒的宽和茶叶盒的宽重合可以放（16÷4）个茶叶盒，收纳盒的高和茶叶盒的长重合可以放（4÷4）个茶叶盒，最后相乘求出收纳盒放置茶叶盒的总数量。 【规范解答】30×24－4×4×4 ＝720－16×4 ＝720－64 ＝656（平方厘米） （30－4×2）÷3 ＝（30－8）÷3 ＝22÷3 ＝7（个）……1（厘米） （24－4×2）÷4 ＝（24－8）÷4 ＝16÷4 ＝4（个） 4÷4＝1（个） 4×7×1＝28（个） 答：这个收纳盆所用纸板的面积是656平方厘米，收纳盒最多可以放28个茶叶盒。 【考点剖析】计算容器里面最多可以装多少物体时，如果所装物体的形状固定，那么需要考虑实际情况，不能简单地用除法解决问题。 19．（2024五年级下·全国·专题练习）有一个长40厘米、宽30厘米、高20厘米的长方体容器，容器中的水深10厘米。在容器中放入一个底面积为200平方厘米、高15厘米的长方体铁块，求水面上升的高度。 【答案】2厘米 【思路引导】题干中没有注明是否完全浸没，首先假设完全浸没，长方体铁块完全浸没在水中会使与之体积相同的水上升，已知上升的水（铁块）的体积和容器底面积，即可求出上升的高度。根据长方体的体积V＝Sh，求出长方体铁块的体积，再用长方体铁块的体积÷长方体容器底面积＝水面上升高度。通过判断水面上升的高度，来判断是否完全浸没，如果完全浸没，则计算结束； 如果没有完全浸没，则根据放入前后水的体积不变，但是放入长方体铁块之后，长方体容器的底面积变小了，由此用水的体积÷（长方体容器底面积－长方体铁块的底面积）得出此时水面的高度，再减去原水面高度即可得出水面上升的高度。 【规范解答】假设铁块完全浸没： 200×15÷（40×30） ＝3000÷1200 ＝2.5（厘米） 10＋2.5＝12.5（厘米） 12.5厘米＜15厘米 所以，说明铁块没有完全浸没。 40×30×10÷（40×30－200） ＝12000÷（1200－200） ＝12000÷1000 ＝12（厘米） 12－10＝2（厘米） 答：水面上升的高度是2厘米。 【考点剖析】本题中没有注明铁块是否完全浸没，因此应该先假设其完全浸没，然后通过计算结果来判断其是否完全浸没。铁块完全浸没与否，需要使用两种不同的计算方法，所以判断其是否完全浸没至关重要。 20．（18-19五年级下·浙江宁波·期末）一个长方体玻璃缸，长12分米，宽9分米，高8分米，水深3分米。如果投入一块棱长为6分米的正方体实心铁块，这时水深多少分米？ 【答案】4.5分米 【思路引导】首先确定正方体是否完全浸入水中。如果正方体实心铁块完全浸没水中，则上升部分水的体积是正方体实心铁块的体积，即（6×6×6＝216）立方分米，水面上升高度是（216÷12÷9＝2）分米。放入铁块后，如果水面的高度大于或等于铁块的棱长，则正方体实心铁块完全浸没水中；如果水面的高度小于铁块的棱长，则正方体实心铁块没有完全浸没水中。再根据正方体的浸入水中部分的体积等于水面上升部分的体积，据此列方程解答。 【规范解答】6×6×6 ＝36×6 ＝216（立方分米） 216÷12÷9 ＝18÷9 ＝2（分米） 3＋2＝5（分米） 5＜6，正方体实心铁块没有完全浸没水中。 解：设这时水深x分米。 6×6x＝12×9×（x－3） 36x＝108（x－3） 36x＝108x－108×3 36x＝108x－324 108x－324＋324－36x＝36x＋324 72x＝324 72x÷72＝324÷72 x＝4.5 答：这时水深4.5分米。 【考点剖析】此题考查了不规则物体的体积计算，注意考虑正方体是否是完全浸入。 $$