专题08：商的近似数、循环小数-2025年新五年级数学暑假自学课（人教版）（解析版+学生版）

2025年新五年级数学暑假自学课（人教版） 第三单元：小数除法 专题08：商的近似数、循环小数 知识点精讲 知识点01：商的近似数 内容 准确数与近似数 （1）准确数：在日常生活和生产实际所遇到的数中，有时可以得到完全准确的数，他们精确，没有误差。 （2）近似数：由于实际中常常不需要用精确的数描述一个量，或不可能得到精确的数。 有效数字 一个近似数精确到哪一位，从左边第一个不是零的数算起，到这一位数字上，所有的数字，都叫做这个数的有效数字。 求商的近似数 一般先除到比需要保留的小数位数多一位，再按照“四舍五入”法取商的近似值。 易错点 小数末尾的“0”不能去掉。 【典型例题】47.88÷24＝1.995，商按“四舍五入”法精确到百分位应写作（    ）。 A．2.0 B．2.00 C．1.99 D．2.01 【变式训练1】做一套西服用布2.4m，30m布最多可以做（    ）套。 A．12.5 B．12 C．13 【变式训练2】一个三位小数四舍五入后是6.30，这个三位小数最大可能是 ，最小可能是 。 知识点02：循环小数 内容 循环小数 一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。 循环节 一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字。 有限小数 小数部分的位数是有限的小数，叫做有限小数。 无限小数 小数部分的位数是无限的小数，叫做无限小数。 【典型例题】31÷11的商是循环小数，用简便记法表示是（ ）。循环节是（ ）。 【变式训练1】在3.6，2.9，3.5252…，7.010010001…，4.323232，3.1415926…中，有限小数有（ ）个，循环小数的是：（ ）。 【变式训练2】1.666…用循环小数表示是 ，精确到百分位是 。 课后强化 一、选择题 1．下面的数是循环小数的是（    ）。 A．1.7474… B．15.010010001… C．0.7777 2．下面三个数中最大的是（    ）。 A． B． C． 3．下面各数中，（    ）是有限小数。 A．2.33333 B．1.5…… C．7.14545…… 4．下面各数中最小的数是（    ）。 A．10.0101 B． C．10.0 5．23÷3.3的商用循环小数可表示为（    ）。 A．6.969696 B． C．0.969 6．7.98÷4.1，商保留两位小数约是（    ）。 A．1.00 B．1.95 C．2.00 7．47.88÷24＝1.995，按四舍五入法精确到百分位应写作（    ）。 A．2.0 B．2.00 C．1.99 8．每个油桶最多可以装5.5千克，要装70千克油，至少需要（    ）个油桶。 A．12 B．13 C．14 二、填空题 9．A÷0.7＝B，B是一个两位小数，保留一位小数是2.0，B最大是（ ），最小是（ ）。 10．计算12除以15时，商的最高位在（ ）位上，商是（ ）位小数，保留整数约是（ ）。 11．把2.3838…用简便方法表示是（ ），保留一位小数是（ ）。 12．2.4÷0.28的结果保留一位小数约是（ ）。 13．4.8203203…用简便方法写作（ ），循环节是（ ）。 14．循环小数0.3685685…可以简写成（ ），精确到百分位约是（ ），这个循环小数的小数点后面第2021位上的数字是（ ）。 15．在0.30、0.、0.3、0.3031四个数中，最大的数是（ ），最小的数是（ ）。有限小数有（ ）个，无限小数有（ ）个。 16．一本书共有215页，如果每天看11页，第（ ）天可以看完。 17．亮亮用妈妈给的10元零花钱买0.8元一本的数学本，他最多可以买（ ）本。 18．李阿姨要将2.5kg橙汁分装到一些玻璃杯里，每个玻璃杯最多可以装0.4kg，需要准备（ ）个杯子。 三、解答题 19．在算式16÷27中，商的小数部分第200位上的数字是多少？商的小数部分前100位上的数字之和是多少？ 20．一个循环小数是5.3205205…，它的小数部分第200位上的数字是几？ 21．电影《独行月球》中可以看到独孤月跑跳“飞行”的神奇场景，那是因为月球上的引力比地球小得多。据测算月球上重1千克的物体到地球上约重6千克，独孤月在地球上重72.5千克，那么他在月球上重多少千克？（得数保留一位小数） 22．孙老师要用80元买一些文具作为年级运动会的奖品。他先用45.6元买了8本相册，剩下的钱准备用来买2.5元一支的笔，可以买多少支？ 23．暖心商店购进了一批油桶，每个油桶最多装油4.5千克，要装80千克的油，需要多少个这样的油桶？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年新五年级数学暑假自学课（人教版） 第三单元：小数除法 专题08：商的近似数、循环小数 知识点精讲 知识点01：商的近似数 内容 准确数与近似数 （1）准确数：在日常生活和生产实际所遇到的数中，有时可以得到完全准确的数，他们精确，没有误差。 （2）近似数：由于实际中常常不需要用精确的数描述一个量，或不可能得到精确的数。 有效数字 一个近似数精确到哪一位，从左边第一个不是零的数算起，到这一位数字上，所有的数字，都叫做这个数的有效数字。 求商的近似数 一般先除到比需要保留的小数位数多一位，再按照“四舍五入”法取商的近似值。 易错点 小数末尾的“0”不能去掉。 【典型例题】47.88÷24＝1.995，商按“四舍五入”法精确到百分位应写作（    ）。 A．2.0 B．2.00 C．1.99 D．2.01 【答案】B 【分析】根据题意，47.88÷24＝1.995的商按“四舍五入”法精确到百分位，也就是保留两位小数，要看下一位，即千分位上的数，根据“四舍五入”法取近似数。 【详解】47.88÷24＝1.995≈2.00 商按“四舍五入”法精确到百分位应写作2.00。 故答案为：B 【变式训练1】做一套西服用布2.4m，30m布最多可以做（    ）套。 A．12.5 B．12 C．13 【答案】B 【分析】根据题意，用布料的总长除以每一套西服所需要的长度，即用30除以2.4，根据实际情况，采用去尾法，如果有剩余的布料应该去掉。 【详解】30÷2.4＝12（套）……1.2（m） 所以30m布最多可以做12套。 故答案为：B 【变式训练2】一个三位小数四舍五入后是6.30，这个三位小数最大可能是 ，最小可能是 。 【答案】 6.304 6.295 【分析】取一个小数的近似数用四舍五入法：在取小数近似数的时候，如果尾数的最高位数字是4或者比4小，就把尾数去掉，如果尾数的最高位是5或者比5大，就把尾数舍去并且在它的前一位进“1”，据此分析即可。 【详解】由分析可得： 取一个数近似数，有两种情况，“四舍”得到的近似数比原数小，“五入”得到的近似数比原数大。 一个三位小数，保留两位小数是6.30，这个三位小数最大，那么就应该从“四舍”得到，千分位可以是1、2、3、4，其中4最大，这个三位小数最大是6.304； 这个三位小数最小，那么就应该从“五入”得到，千分位可以是5、6、7、8、9，其中5最小，即最小为6.295。 综上所述：一个三位小数四舍五入后是6.30，这个三位小数最大可能是6.304，最小可能是6.295。 知识点02：循环小数 内容 循环小数 一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。 循环节 一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字。 有限小数 小数部分的位数是有限的小数，叫做有限小数。 无限小数 小数部分的位数是无限的小数，叫做无限小数。 【典型例题】31÷11的商是循环小数，用简便记法表示是（ ）。循环节是（ ）。 【答案】 81 【分析】小数除以整数，按整数除法的方法去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐，如果有余数，要添“0”继续除。 一个无限小数，如果从小数部分的某一位起，都是由一个或几个数字依照一定的顺序连续不断地重复出现，这样的小数叫做 “循环小数”。重复出现的一个或几个数字，叫做“循环节”。记数时，在第一个循环节的第一个数字和最末一个数字上分别记上一个圆点（循环节只有一个数字的只记一个圆点）“· ”，表示这个循环小数的这几个（或一个）数字重复出现。 【详解】31÷11＝ 31÷11的商是循环小数，用简便记法表示是，循环节是81。 【变式训练1】在3.6，2.9，3.5252…，7.010010001…，4.323232，3.1415926…中，有限小数有（ ）个，循环小数的是：（ ）。 【答案】 3 3.5252… 【分析】一个小数的小数部分是有限的，这样的小数就是有限小数；一个小数的小数部分是无限的，这样的小数就是无限小数；从小数点后某一位开始不断地重复出现的一个或一节数字的无限小数，叫做循环小数。据此解答。 【详解】3.6，2.9，3.5252…，7.010010001…，4.323232，3.1415926…； 有限小数：3.6，2.9，4.323232，一共有3个； 循环小数：3.5252… 在3.6，2.9，3.5252…，7.010010001…，4.323232，3.1415926…中，有限小数有3个，循环小数是：3.5252…。 【变式训练2】1.666…用循环小数表示是 ，精确到百分位是 。 【答案】 1.67 【分析】循环小数记数时，在第一个循环节的第一个数字和最末一个数字上分别记上一个圆点（循环节只有一个数字的只记一个圆点）“· ”，表示这个循环小数的这几个（或一个）数字重复出现。 按照“四舍五入”的原则，精确到百分位，即保留百分位上的数，而百分位后面的数，也即千分位上的数，如果大于或等于5时，那么就要向前进一位，如果小于5，就舍去。 【详解】由分析可知： 1.666…用循环小数表示是，精确到百分位是1.67。 课后强化 一、选择题 1．下面的数是循环小数的是（    ）。 A．1.7474… B．15.010010001… C．0.7777 【答案】A 【分析】循环小数是从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字，依次不断地重复出现的小数，据此选择。 【详解】A．1.7474…是循环小数； B．15.010010001…不是循环小数； C．0.7777不是循环小数。 故答案为：A 2．下面三个数中最大的是（    ）。 A． B． C． 【答案】C 【分析】循环小数记数时，在第一个循环节的第一个数字和最末一个数字上分别记上一个圆点（循环节只有一个数字的只记一个圆点）“· ”，表示这个循环小数的这几个（或一个）数字重复出现。 比较小数的大小：（1）看它们的整数部分，整数部分大的那个数就大；（2）整数部分相同的，十分位上的数大的那个数就大；十分位上的数也相同的，百分位上的数大的那个数就大，依次往右进行比较，直到比出大小为止。 【详解】＞＞，最大的是。 故答案为：C 3．下面各数中，（    ）是有限小数。 A．2.33333 B．1.5…… C．7.14545…… 【答案】A 【分析】有限小数的小数部分位数是有限的、可数的。无限小数的小数部分位数是无限的、不可数的。据此解答。 【详解】由分析可知： 2.33333是有限小数，1.5……、是无限小数。 故答案为：A 4．下面各数中最小的数是（    ）。 A．10.0101 B． C．10.0 【答案】A 【分析】循环小数记数时，在第一个循环节的第一个数字和最末一个数字上分别记上一个圆点（循环节只有一个数字的只记一个圆点）“· ”，表示这个循环小数的这几个（或一个）数字重复出现。 比较小数的大小，先看它们的整数部分，整数大的那个数就大；如果整数部分相同，十分位大的那个数就大；如果十分位上的那个数也相同，百分位上的数大的那个数就大，依此类推。 【详解】＝10.0101… ＝10.0111… 所以10.0101＜＜，最小的数是10.0101。 故答案为：A 5．23÷3.3的商用循环小数可表示为（    ）。 A．6.969696 B． C．0.969 【答案】B 【分析】除数是小数的小数除法，先移动除数的小数点，使它变成整数；除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数的末尾用0补足）；然后按除数是整数的小数除法进行计算；被除数的数用完时，在被除数的末尾添“0”继续除；一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或多个数字依次不断重复出现，这样的数叫作循环小数；一个循环小数的小数部分依次不断重复出现的数字就是这个循环小数的循环节；写循环小数时，可以只写第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点。 【详解】23÷3.3＝ 23÷3.3的商用循环小数可表示为。 故答案为：B 6．7.98÷4.1，商保留两位小数约是（    ）。 A．1.00 B．1.95 C．2.00 【答案】B 【分析】根据小数除法的计算方法，求出7.98÷4.1的商，商保留两位小数，看千分位上的数字是否满5，然后运用“四舍五入”法求得近似数即可。 【详解】7.98÷4.1≈1.95 则7.98÷4.1，商保留两位小数约是1.95。 故答案为：B 7．47.88÷24＝1.995，按四舍五入法精确到百分位应写作（    ）。 A．2.0 B．2.00 C．1.99 【答案】B 【分析】精确到百分位看千分位，小于5直接舍去，大于或等于5向前一位进一，据此分析。 【详解】1.995≈2.00，47.88÷24＝1.995，按四舍五入法精确到百分位应写作2.00。 故答案为：B 8．每个油桶最多可以装5.5千克，要装70千克油，至少需要（    ）个油桶。 A．12 B．13 C．14 【答案】B 【分析】根据除法的意义，用70除以5.5进行计算，其结果根据实际情况运用“进一法”保留整数即可。 【详解】70÷5.5≈12.7≈13（个） 则至少需要13个油桶。 故答案为：B 二、填空题 9．A÷0.7＝B，B是一个两位小数，保留一位小数是2.0，B最大是（ ），最小是（ ）。 【答案】 2.04 1.95 【分析】由于B是一个两位小数，保留一位小数，则看小数点后的第二位，如果小数点后的第二位大于等于5，则进一，小于5，则舍去，要使B最大，那么采用四舍法才可以保证原来的小数最大，即最大是2.04；采用五入法保留小数，那么原小数最小是1.95，据此即可填空。 【详解】由分析可知： A÷0.7＝B，B是一个两位小数，保留一位小数是2.0，B最大是2.04，最小是1.95。 10．计算12除以15时，商的最高位在（ ）位上，商是（ ）位小数，保留整数约是（ ）。 【答案】 十分 一/1 1 【分析】小数除以整数，按整数除法的方法去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐，如果有余数，要添“0”继续除。 保留整数看十分位，小于5直接舍去，大于或等于5向前一位进一。 【详解】12÷15＝0.8≈1 计算12除以15时，商的最高位在十分位上，商是一位小数，保留整数约是1。 11．把2.3838…用简便方法表示是（ ），保留一位小数是（ ）。 【答案】 2.4 【分析】写循环小数时，可以只写第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点。保留一位小数，就要看到第二位小数，即百分位，采用“四舍五入”法。 【详解】把2.3838…用简便方法表示是，保留一位小数是2.4。 12．2.4÷0.28的结果保留一位小数约是（ ）。 【答案】8.6 【分析】除数是小数的小数除法，先移动除数的小数点，使它变成整数；除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数的末尾用0补足）；然后按除数是整数的小数除法进行计算。 除不尽时，要求得数保留几位小数，要除到它的下一位，再用四舍五入的方法取商的近似数。 【详解】2.4÷0.28≈8.6 2.4÷0.28的结果保留一位小数约是8.6。 13．4.8203203…用简便方法写作（ ），循环节是（ ）。 【答案】 203 【分析】根据循环节的含义：小数部分依次不断的重复出现的数字，叫做循环节；循环小数的简便写法：写出第一个循环节，在循环节的首位和末位的上面各记一个小圆点，据此解答即可。 【详解】4.8203203…该小数的循环节是203，用简便写法需要在2和3的上面记一个小圆点。 所以，4.8203203…用简便方法写作，循环节是203。 14．循环小数0.3685685…可以简写成（ ），精确到百分位约是（ ），这个循环小数的小数点后面第2021位上的数字是（ ）。 【答案】 0.37 6 【分析】简便写法：写循环小数时，可以只写第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点。 精确度百分位，就是保留两位小数，看千位上的数，如果千位上的数大于或等于5，则进一，小于5，则舍去； “周期问题”，用2021－1除以循环节的位数，如果能整除则是循环节的末位上的数字，如果有余数，余数是几，就从循环节的首尾数出几位，该位数字就是第2021位上的数字，据此解答。 【详解】0.3685685…＝ 0.3685685≈0.37 （2021－1）÷3 ＝2020÷3 ＝673……1 这个循环小数的小数点后面第2021位上的数字是6。 循环小数0.3685685…可以简写成，精确到百分位约是0.37，这个循环小数的小数点后面第2021位上的数字是6。 15．在0.30、0.、0.3、0.3031四个数中，最大的数是（ ），最小的数是（ ）。有限小数有（ ）个，无限小数有（ ）个。 【答案】 0.30 0.3 1 3 【分析】有限小数：是小数点后面只有有限个不全为“0”的数字的小数。无限小数：是小数点后面有无限多个不全为“0”的数字的小数。 循环小数记数时，在第一个循环节的第一个数字和最末一个数字上分别记上一个圆点（循环节只有一个数字的只记一个圆点）“· ”，表示这个循环小数的这几个（或一个）数字重复出现。 比较小数的大小：（1）看它们的整数部分，整数部分大的那个数就大；（2）整数部分相同的，十分位上的数大的那个数就大；十分位上的数也相同的，百分位上的数大的那个数就大，依次往右进行比较，直到比出大小为止。 【详解】0.30＝0.3033…、0.＝0.303303…、0.3＝0.30303…、0.3031 0.30＞0.＞0.3031＞0.3 在0.30、0.、0.3、0.3031四个数中，最大的数是0.30，最小的数是0.3。有限小数有0.3031，1个，无限小数有0.30、0.、0.3，3个。 16．一本书共有215页，如果每天看11页，第（ ）天可以看完。 【答案】20 【分析】已知一本书的总页数是215页，每天看11页，用总页数除以每天看的页数，即可求出看的天数，得数采用“进一法”取整数。 【详解】215÷11≈20（天） 第20天可以看完。 17．亮亮用妈妈给的10元零花钱买0.8元一本的数学本，他最多可以买（ ）本。 【答案】12 【分析】求最多买多少本就是求10里面最多有几个0.8，用除法计算，结果不是整数时要用“去尾法”保留整数；据此解答。 【详解】10÷0.8≈12（本） 他最多可以买12本。 18．李阿姨要将2.5kg橙汁分装到一些玻璃杯里，每个玻璃杯最多可以装0.4kg，需要准备（ ）个杯子。 【答案】7 【分析】有2.5kg橙汁，每个玻璃杯最多可以装0.4kg，根据题意用总kg数除以每个玻璃杯能装的kg数，可以算出需要的玻璃杯子数量，再根据实际情况进一即可。 【详解】由分析可得： 2.5÷0.4＝6.25（个） 结合实际情况，6.25个杯子需要进一，即需要7个杯子。 综上所述：李阿姨要将2.5kg橙汁分装到一些玻璃杯里，每个玻璃杯最多可以装0.4kg，需要准备7个杯子。 三、解答题 19．在算式16÷27中，商的小数部分第200位上的数字是多少？商的小数部分前100位上的数字之和是多少？ 【答案】9；533 【分析】根据除数是整数的小数除法，求出16÷27的商，找到循环小数的循环节的位数，然后用200除以循环节的个数，余数是几，就从循环节的第一位数几即可；3个数是一个周期，用100÷3＝33…⋯1，每个周期的数字加起来的和乘33再加上第一个数字即可。 【详解】16÷27＝0.592592⋯ 200÷3＝66⋯⋯2，100÷3＝33…⋯1， （5＋9＋2）×33＋5 ＝16×33＋5 ＝528＋5 ＝533 答：商的小数部分第200位上的数字是9，商的小数部分前100位上的数字之和是533。 20．一个循环小数是5.3205205…，它的小数部分第200位上的数字是几？ 【答案】2 【分析】这个循环小数的循环节是205，十分位的3不在循环节内。用200减去1，求出差，再将这个差除以3（每个循环节都有3位小数），求出商和余数。余数是几，第200位小数上的数字就是循环节的第几个数。 【详解】（200－1）÷3 ＝199÷3 ＝66（组）……1（个） 答：每个循环节的第一个数是2，所以5.3205205…的小数部分第200位上的数字是2。 21．电影《独行月球》中可以看到独孤月跑跳“飞行”的神奇场景，那是因为月球上的引力比地球小得多。据测算月球上重1千克的物体到地球上约重6千克，独孤月在地球上重72.5千克，那么他在月球上重多少千克？（得数保留一位小数） 【答案】12.1千克 【分析】地球上的重量÷月球上重1千克的物体到地球上的重量＝月球上的重量，据此列式解答。保留一位小数看百分位，小于5直接舍去，大于或等于5向前一位进一。 【详解】72.5÷6≈12.1（千克） 答：他在月球上重12.1千克。 22．孙老师要用80元买一些文具作为年级运动会的奖品。他先用45.6元买了8本相册，剩下的钱准备用来买2.5元一支的笔，可以买多少支？ 【答案】13支 【分析】由题意可知，用80减去45.6即可求出还剩下的钱数，再根据总价÷单价＝数量，即用剩下的钱数除以2.5即可，注意其结果不是整数时，要运用“去尾法”保留整数。 【详解】（80－45.6）÷2.5 ＝34.4÷2.5 ＝13.76 ≈13（支） 答：可以买13支。 23．暖心商店购进了一批油桶，每个油桶最多装油4.5千克，要装80千克的油，需要多少个这样的油桶？ 【答案】18个 【分析】求要装80千克油需要几个装4.5千克的油桶，就看80里面有几个4.5，用除法计算，算出的结果，如果不是整数，考虑到实际情况，要用进一法。 【详解】80÷4.5≈18（个） 答：需要18个这样的油桶。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$