3.2.1函数的单调性与最值【8个题型】讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2025年暑假新高一数学常考题型归纳 【3.2.1函数的单调性与最值】 总览 题型梳理 【知识点总览】 一、函数单调性的定义 1. 增函数与减函数的定义 增函数：设函数 的定义域为 ，如果对于定义域 内某个区间 上的任意两个自变量的值 ，当 时，都有 ，那么就说函数 在区间 上是增函数。 减函数：如果对于区间 上的任意两个自变量的值 ，当 时，都有 ，那么就说函数 在区间 上是减函数。 2. 严格单调性与非严格单调性 上述定义中，若 （或 ）为严格不等号，则称为严格增函数（或严格减函数）；若允许等号（如 ），则称为非严格增函数（或非严格减函数）。高一阶段通常以严格单调性为主。 二、单调区间的概念 如果函数 在区间 上是增函数或减函数，那么称函数 在区间 上具有单调性，区间 称为 的一个单调区间。 注意： 单调区间必须是定义域的子集； 区间端点的处理：若端点在定义域内，闭区间和开区间均可（如 或 ），但需根据函数在端点处的连续性判断（如分段函数可能需分开讨论）。 三、函数单调性的判定方法 1. 定义法（证明单调性的核心方法） 步骤： ① 设元：在区间 内任取 ，且 ； ② 作差：计算 ； ③ 变形：通过因式分解、通分、配方等方法将差式化简； ④ 定号：判断 的正负； ⑤ 结论：根据定义得出函数在区间 上的单调性。 2. 图像法（直观判断） 若函数图像在区间 上从左到右上升，则为增函数；若图像下降，则为减函数。 例：一次函数 （ 时增函数， 时减函数）；二次函数 的图像以对称轴为界，两侧单调性相反。 3. 复合函数单调性（“同增异减”原则） 设函数 由 和 复合而成，若内函数 与外函数 在对应区间上的单调性相同，则复合函数为增函数；若单调性相反，则复合函数为减函数。 例：，令 ，则 （外函数增）， 在 上减，在 上增，故复合函数在 上减，在 上增。 4. 常见函数的单调性（高一阶段重点） | 函数类型 | 表达式 | 单调性描述 | |----------------|----------------------|-------------------------------------| | 一次函数 | | 时在 上增； 时在 上减 | | 二次函数 | | 时，在 上减，在 上增； 时相反 | | 反比例函数 | （） | 时，在 和 上减； 时，在 和 上增 | 四、函数单调性的性质与应用 1. 性质 若 和 在区间 上均为增函数，则 在 上也为增函数； 若 在区间 上为增函数，，则 在 上为增函数；若 ，则 在 上为减函数； 互为反函数的两个函数单调性相同。 2. 应用场景 比较函数值大小：若 且 为增函数，则 ； 解抽象函数不等式：利用单调性去掉函数符号 ，如 可转化为 （若 为增函数）； 求函数最值：若函数在闭区间上单调，则最值在区间端点处取得（增函数最大值在右端点，最小值在左端点；减函数相反）。 五、易错点与注意事项 1. 单调区间的连续性：函数在多个不连续区间上可能具有单调性，但不能用“∪”连接区间（如反比例函数 的单调减区间是 和 ，不能写成 ）。 2. 分段函数的单调性：需分别判断各段的单调性，再考虑整体是否单调（注意分段点处的函数值大小关系）。 3. 定义法证明时的变形技巧：作差后常需因式分解（如二次函数）、通分（如分式函数）或配方（如二次函数），确保能明确差式的正负。 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：定义法证明函数的单调性】 例题精选 【例题1】求证：函数在上是减函数，在上是增函数 【例题2】判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义来证明. 【例题3】根据定义，研究函数在区间上的单调性． 相似练习 【相似题1】讨论函数在区间上的单调性． 【相似题2】已知函数，试判断在区间上的单调性，并加以证明. 【题型2：求函数的单调性】 例题精选 【例题1】函数的单调增区间是（   ） A． B． C． D． 【例题2】函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【例题3】函数的单调递增区间为 ． 相似练习 【相似题1】函数的单调减区间是 ． 【相似题2】已知函数，则下列说法正确的是 . （1） 函数在上是单调递增 （2） 函数在上是单调递增 （3） 当时，函数有最大值 （4） 当或时，函数有最小值 【相似题3】求函数的单调区间，并指出其值域 【题型3：由函数的单调性求参数的范围（+分段函数）】 例题精选 【例题1】（24-25高三上·福建漳州·阶段练习）已知函数是上的减函数，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【例题2】（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知，对都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例题3】多选题（24-25高一下·云南昭通·阶段练习）函数在区间上单调递增，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·重庆·期中）若函数满足对任意实数，都有成立，则 ，实数的取值范围是 【相似题2】（2025高三·全国·专题练习）已知定义在上的函数为单调函数，且，则 ． 【相似题3】（24-25高一上·广东湛江·阶段练习）已知命题：函数在上单调递减，若命题是真命题，则的取值范围是 . 【题型4：复合函数的单调性】 例题精选 【例题1】（24-25高一上·广东广州·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【例题2】（2025·广东茂名·一模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例题3】函数的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（2024高三·全国·专题练习）函数的单调增区间为（   ） A． B． C．和 D． 【相似题2】（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）函数的单调减区间是 ． 【相似题3】（2025高三·全国·专题练习）函数的单调递增区间为 ． 【题型5：利用函数的单调性求值域或最值】 例题精选 【例题1】多选题已知函数若的最小值为，则（    ） A．函数在上单调递减 B．函数在上单调递增 C． D．函数的最小值为 【例题2】（24-25高一上·上海杨浦·期末）已知，若函数存在最小值，则实数a的取值范围为 . 【例题3】（2025高三·全国·专题练习），，则的值域为 ． 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·全国·课前预习）已知函数，. (1)判断函数的单调性，并证明； (2)求函数的最大值和最小值. 【相似题2】（24-25高一上·安徽铜陵·阶段练习）已知函数， (1)用定义法判断在区间上的单调性 (2)求出该函数在区间上的最大值和最小值. 【相似题3】（23-24高一上·北京·期末）已知函数 ． (1)判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明. (2)求出函数在区间上的最大值和最小值. (3)画出函数图象并求出其值域 【题型6：由解析式判断函数的单调性】 例题精选 【例题1】多选题下列关于函数的说法正确的是（   ） A．函数在定义域内不具有单调性 B．函数无最小值 C．函数最大值为 D．恒成立 【例题2】（23-24高一上·河南新乡·阶段练习）函数的单调递增区间为 . 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·上海·阶段练习）函数的最大值为 . 【相似题2】（2025年东南大学强基计划招生数学试题）设是R上的单调函数，满足，求的值． 【题型7：根据单调性比较大小】 例题精选 【例题1】已知定义域为的函数，，，，都有，则（   ） A． B． C． D． 【例题2】（24-25高一上·宁夏银川·期中）函数为定义在 R 上的偶函数，且对任意都有 则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【例题3】（24-25高一上·上海·随堂练习）函数是实数集上的严格增函数，且，则（    ）． A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·上海·课后作业）函数在上是严格增函数，且，则（　　） A． B． C． D． 【相似题2】已知函数的定义域为，且函数在上单调递减，则与的大小关系为 ． 【相似题3】（2024高一·全国·专题练习）已知函数对于任意的，都有，则的大小关系为 【题型8：抽象函数的单调性（与解不等式）】 例题精选 【例题1】已知在定义域上是减函数，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例题2】（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）已知函数满足：，当.时，恒成立，且，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例题3】已知是定义在区间上的增函数，且，则的取值范围是 ． 相似练习 【相似题1】（24-25高二下·河北保定·阶段练习）已知函数在上满足，且当时，；当时，． (1)求的值； (2)判断并证明函数的单调性； (3)若，求不等式的解集． 【相似题2】（24-25高一上·广东广州·期中）已知函数是定义在区间上的增函数，满足． (1)求和的值 (2)解关于的不等式． 【相似题3】（24-25高一上·重庆·期末）已知函数满足对一切实数都有成立，且，当时有． (1)求，； (2)判断并证明在上的单调性； (3)解不等式． 【课后强化练习】 一、单选题 1．（23-24高一上·山西太原·阶段练习）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·山东日照·期中）已知函数定义域为，且，若对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·广西贵港·期中）已知函数在上具有单调性，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（22-23高一上·甘肃定西·期末）已知在区间上是单调减函数，则实数的取值范围为 ． 7．（24-25高二下·浙江温州·阶段练习）设，则的单调递减区间为 ． 8．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若函数的最小值为，则实数的取值范围 . 三、解答题 9．（24-25高一上·甘肃兰州·阶段练习）已知函数，. (1)用定义法判断函数的单调性； (2)求函数的最大值和最小值. 10．（24-25高一上·吉林松原·阶段练习）已知定义在区间上的函数满足，且当时，.若. (1)证明的单调性； (2)解关于的不等式. 11．（24-25高一上·广东清远·期中）已知函数 (1)用定义法证明函数在区间上是增函数； (2)若函数的定义域为，且，求实数的取值范围. 12．（24-25高一上·江苏宿迁·阶段练习）已知函数，. (1)判断函数的单调性，并证明： (2)解不等式：. 13．（24-25高一下·广东梅州·阶段练习）已知函数． (1)若在上具有单调性，求实数的取值范围； (2)当时，对任意,恒成立，求实数的取值范围． 14．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知 ，函数 (1)当 时，直接写出函数 的单调增区间（不需证明）; (2)当 时，求 在区间 上的最值; (3)设 ，函数 在上既有最大值又有最小值，请分别求出 的取值范围（用 表示）. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年暑假新高一数学常考题型归纳 【3.2.1函数的单调性与最值】 总览 题型梳理 【知识点总览】 一、函数单调性的定义 1. 增函数与减函数的定义 增函数：设函数 的定义域为 ，如果对于定义域 内某个区间 上的任意两个自变量的值 ，当 时，都有 ，那么就说函数 在区间 上是增函数。 减函数：如果对于区间 上的任意两个自变量的值 ，当 时，都有 ，那么就说函数 在区间 上是减函数。 2. 严格单调性与非严格单调性 上述定义中，若 （或 ）为严格不等号，则称为严格增函数（或严格减函数）；若允许等号（如 ），则称为非严格增函数（或非严格减函数）。高一阶段通常以严格单调性为主。 二、单调区间的概念 如果函数 在区间 上是增函数或减函数，那么称函数 在区间 上具有单调性，区间 称为 的一个单调区间。 注意： 单调区间必须是定义域的子集； 区间端点的处理：若端点在定义域内，闭区间和开区间均可（如 或 ），但需根据函数在端点处的连续性判断（如分段函数可能需分开讨论）。 三、函数单调性的判定方法 1. 定义法（证明单调性的核心方法） 步骤： ① 设元：在区间 内任取 ，且 ； ② 作差：计算 ； ③ 变形：通过因式分解、通分、配方等方法将差式化简； ④ 定号：判断 的正负； ⑤ 结论：根据定义得出函数在区间 上的单调性。 2. 图像法（直观判断） 若函数图像在区间 上从左到右上升，则为增函数；若图像下降，则为减函数。 例：一次函数 （ 时增函数， 时减函数）；二次函数 的图像以对称轴为界，两侧单调性相反。 3. 复合函数单调性（“同增异减”原则） 设函数 由 和 复合而成，若内函数 与外函数 在对应区间上的单调性相同，则复合函数为增函数；若单调性相反，则复合函数为减函数。 例：，令 ，则 （外函数增）， 在 上减，在 上增，故复合函数在 上减，在 上增。 4. 常见函数的单调性（高一阶段重点） | 函数类型 | 表达式 | 单调性描述 | |----------------|----------------------|-------------------------------------| | 一次函数 | | 时在 上增； 时在 上减 | | 二次函数 | | 时，在 上减，在 上增； 时相反 | | 反比例函数 | （） | 时，在 和 上减； 时，在 和 上增 | 四、函数单调性的性质与应用 1. 性质 若 和 在区间 上均为增函数，则 在 上也为增函数； 若 在区间 上为增函数，，则 在 上为增函数；若 ，则 在 上为减函数； 互为反函数的两个函数单调性相同。 2. 应用场景 比较函数值大小：若 且 为增函数，则 ； 解抽象函数不等式：利用单调性去掉函数符号 ，如 可转化为 （若 为增函数）； 求函数最值：若函数在闭区间上单调，则最值在区间端点处取得（增函数最大值在右端点，最小值在左端点；减函数相反）。 五、易错点与注意事项 1. 单调区间的连续性：函数在多个不连续区间上可能具有单调性，但不能用“∪”连接区间（如反比例函数 的单调减区间是 和 ，不能写成 ）。 2. 分段函数的单调性：需分别判断各段的单调性，再考虑整体是否单调（注意分段点处的函数值大小关系）。 3. 定义法证明时的变形技巧：作差后常需因式分解（如二次函数）、通分（如分式函数）或配方（如二次函数），确保能明确差式的正负。 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：定义法证明函数的单调性】 例题精选 【例题1】求证：函数在上是减函数，在上是增函数 【答案】证明见解析 【分析】根据函数单调性的定义，利用作差法，即可证明 【详解】对于任意的，且， . ， ，，. ，即. 函数在上是增函数. 对于任意的，且，有. ， ，，. ，即. 函数在上是减函数. 【例题2】判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义来证明. 【答案】在上是增函数，证明见解析 【分析】先利用特殊值法猜想的单调性，再利用函数单调性的定义，结合作差法即可得证. 【详解】对于， 令，得， 故猜想在上是增函数，证明如下： 任取，且， 则， 因为，所以，，， 所以，即， 因此在上是增函数. 【例题3】根据定义，研究函数在区间上的单调性． 【答案】单调递增 【分析】根据题意结合单调性的定义分析证明即可. 【详解】任取，则，，，所以 . 故在区间上恒成立，即. 所以函数在区间上单调递增． 相似练习 【相似题1】讨论函数在区间上的单调性． 【答案】答案见解析 【分析】利用作差法分和两种情况讨论即可. 【详解】任取，且， 则， 当时，，即， 函数在区间上单调递减； 当时，，即， 函数在区间上单调递增． 【相似题2】已知函数，试判断在区间上的单调性，并加以证明. 【答案】函数在上单调递减，证明见解析 【分析】函数在上单调递减，利用单调性的定义证明即可. 【详解】函数在上单调递减. 证明如下：任取，且， 则 . 因为， 所以，，， 所以，即. 所以函数在上是单调递减函数. 【题型2：求函数的单调性】 例题精选 【例题1】函数的单调增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将写成分段函数判断即可. 【详解】，故单调增区间是. 故选：C 【例题2】函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分段函数以及二次函数的单调性求解. 【详解】当时，， 则在单调递减，单调递增， 当时， 则在单调递增， 所以的减区间为， 故选：B. 【例题3】函数的单调递增区间为 ． 【答案】, 【分析】利用分段函数思想，来作出图象，即可得单调增区间. 【详解】， 画出函数图象，如图所示， 根据图象知，函数的单调递增区间为和． 故答案为：，． 相似练习 【相似题1】函数的单调减区间是 ． 【答案】 【分析】讨论、，结合二次函数的性质确定递减区间. 【详解】当时，， 所以，在上函数单调递增，在上函数单调递减， 当时，，即在上函数单调递增， 综上，函数的单调减区间为. 故答案为： 【相似题2】已知函数，则下列说法正确的是 . （1） 函数在上是单调递增 （2） 函数在上是单调递增 （3） 当时，函数有最大值 （4） 当或时，函数有最小值 【答案】（2）（4） 【分析】作出函数图象，结合图象分析即可得出答案. 【详解】，作出函数的图象如下： 由图象可知函数在上是单调递减，在上是单调递增， 故（1）错误，（2）正确； 由图象可知在或时，函数有最小值，没有最大值， 故（3）错误，（4）正确； 故答案为：（2）（4）. 【相似题3】求函数的单调区间，并指出其值域 【答案】单调递增区间为和，递减区间为和，值域为. 【分析】去绝对值，对函数进行分段，然后作出图像，根据函数图像确定单调区间及值域. 【详解】 即 图象如图所示 由图象知，函数在和上是增函数， 在和上是减函数,, 所以函数的单调递增区间为和， 递减区间为和， 值域为. 【题型3：由函数的单调性求参数的范围（+分段函数）】 例题精选 【例题1】（24-25高三上·福建漳州·阶段练习）已知函数是上的减函数，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分段函数在上的单调性可得出关于实数的不等式组，进而可求得实数的取值范围. 【详解】由于函数是定义在上的减函数， 所以，函数在区间上为减函数，函数在区间上为减函数，且有， 即，解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：A. 【例题2】（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知，对都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由变形得，构造函数,进而根据二次函数的单调性求参数. 【详解】由，得，则， 设函数，则对都有成立， 所以函数在区间上单调递增， 所以，解得，则. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是将变形为，从而构造函数. 【例题3】多选题（24-25高一下·云南昭通·阶段练习）函数在区间上单调递增，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据一次分式型函数的单调性，即可得到两参数的范围. 【详解】由在区间上单调递增，则，即，故B正确，A错误； 又在区间上单调递增，则，即，故D正确，C错误. 故选：BD. 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·重庆·期中）若函数满足对任意实数，都有成立，则 ，实数的取值范围是 【答案】 【分析】令即可求解，再根据已知可得函数是单调递增函数，利用分段函数的单调性的求法即可求解． 【详解】由已知可得：，又由已知可得函数是单调递增函数， 所以有：，解得， 故答案为：；． 【相似题2】（2025高三·全国·专题练习）已知定义在上的函数为单调函数，且，则 ． 【答案】 【分析】分析可知为常数，令， ，则，可得出，解出的值，可得出函数的解析式，代值计算可得的值. 【详解】因为函数为定义在上的单调函数， 则由，得为常数， 令， ，所以，，则， 即，整理可得，解得，所以，． 故答案为：. 【相似题3】（24-25高一上·广东湛江·阶段练习）已知命题：函数在上单调递减，若命题是真命题，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据二次函数和一次函数的单调性分类讨论求解即可. 【详解】当时，在上单调递减，符合题意； 当时，函数在上单调递减， 则，解得， 综上，的取值范围是. 故答案为： 【题型4：复合函数的单调性】 例题精选 【例题1】（24-25高一上·广东广州·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】现根据解析式有意义的条件求的定义域，然后在定义域内，利用复合函数的单调性法则求得结果. 【详解】要使函数有意义，则， 即，解得或， 函数定义域为. 令，则，在上单调递减， 对称轴为，开口向上， 在上单调递减，在上单调递增， 根据复合函数“同增异减”原则，可知的单调递减区间是. 故选：D. 【例题2】（2025·广东茂名·一模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性求解即可. 【详解】由，可得或， 即函数的定义域为， 又因为在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增， 由复合函数的单调性可知在区间上单调递增， . 故选：D. 【例题3】函数的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，求得函数的定义域，本题即求在定义域内的单调减区间，利用二次函数的性质可得在定义域 内的单调减区间． 【详解】令，求得，故函数的定义域为， 本题即求在内的减区间． 利用二次函数的性质开口向下，对称轴，可得在内的减区间为， 即函数的单调减区间为， 故选:B． 相似练习 【相似题1】（2024高三·全国·专题练习）函数的单调增区间为（   ） A． B． C．和 D． 【答案】C 【分析】求出原函数的定义域，利用复合函数法可得出原函数的单调递增区间. 【详解】由可得且， 所以，函数的定义域为， 因为开口向下，其对称轴为， 所以的减区间为和， 因为函数在、上均为减函数， 所以，函数的单调增区间为和． 故选：C. 【相似题2】（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）函数的单调减区间是 ． 【答案】 【分析】首先求函数的定义域，再求函数的单调递减区间，最后求交集，即可求解. 【详解】由，得：或， 所以函数的定义域为， 函数的单调递减区间是， 再和定义域求交集得. 故答案为： 【相似题3】（2025高三·全国·专题练习）函数的单调递增区间为 ． 【答案】， 【分析】首先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性计算可得. 【详解】令，解得且， 所以的定义域为， 又是一个复合函数，它由与复合而成． 由下表可知，的单调递增区间为，． 单调递减 单调递减 单调递增 单调递减 单调递减 单调递增 单调递增 单调递减 单调递减 单调递增 单调递减 单调递减 故答案为：， 【题型5：利用函数的单调性求值域或最值】 例题精选 【例题1】多选题已知函数若的最小值为，则（    ） A．函数在上单调递减 B．函数在上单调递增 C． D．函数的最小值为 【答案】ACD 【详解】当时，，当时，，由条件知（否则的最小值不是，所以函数在上单调递减，．又由条件知，解得，所以当时，函数在上单调递减，在上单调递增．由以上分析知A，C，D正确． 【例题2】（24-25高一上·上海杨浦·期末）已知，若函数存在最小值，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据分段函数解析式，首先由二次函数性质确定上的单调性和最值，再讨论参数a，结合的单调性及存在最小值，求参数范围. 【详解】由在上单调递减，在上单调递增，最小值为， 若，在上单调递增，其值域为， 此时不存在最小值，不符合； 若，则在上，此时存在最小值，满足； 若，在上单调递减，其值域为， 此时，要使函数存在最小值，只需，即，故； 综上，实数a的取值范围. 故答案为：. 【例题3】（2025高三·全国·专题练习），，则的值域为 ． 【答案】 【分析】化简函数解析式可得，令，通过换元法结合函数单调性可求函数值域. 【详解】由题意得，． 令，则，则可化为． ∵函数，在上均为增函数， ∴在上为增函数， ∵时，，时，， ∴的值域为． 故答案为：. 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·全国·课前预习）已知函数，. (1)判断函数的单调性，并证明； (2)求函数的最大值和最小值. 【答案】(1)在上是增函数，证明见解析 (2)最小值为，最大值为 【分析】（1）根据函数单调性的定义，利用作差法，即可证明； （2）根据函数的单调性求函数的最值. 【详解】（1）在上是增函数，证明如下： 任取且， . ， ，， ，即， 在上为增函数. （2）由（1）知，在上为增函数， 则，. 【相似题2】（24-25高一上·安徽铜陵·阶段练习）已知函数， (1)用定义法判断在区间上的单调性 (2)求出该函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)证明过程见解析； (2)最小值为，最大值为. 【分析】（1）利用定义法，设，再化简求得即可判断； （2）由的单调性即可判断最值. 【详解】（1），且， 则 因，则， 则，即， 则在区间上单调递增. （2）由（1）可知在区间上单调递增， 则的最小值为，最大值为. 【相似题3】（23-24高一上·北京·期末）已知函数 ． (1)判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明. (2)求出函数在区间上的最大值和最小值. (3)画出函数图象并求出其值域 【答案】(1)单调递增，证明见解析； (2)最大值为，最小值为； (3)作图见解析，. 【分析】（1）将的解析式变形为即可判断单调性，再根据定义法证明函数单调性的步骤即可证明。 （2）由（1）的结论即可利用单调性求出最大值和最小值. （3）利用图象变换即可画出大致图象，由即可求出值域. 【详解】（1）函数在区间上单调递增. 任取，则， 由，得，则， 即，因此， 所以函数在区间上单调递增. （2）由（1）知函数在区间上单调递增，则，， 所以函数在区间上的最大值为，最小值为. （3）函数的图象，可由反比例函数的图象向左平移一个单位，再向上平移2个单位得到，大致图象如下： 函数，而，则， 所以的值域为. 【题型6：由解析式判断函数的单调性】 例题精选 【例题1】多选题下列关于函数的说法正确的是（   ） A．函数在定义域内不具有单调性 B．函数无最小值 C．函数最大值为 D．恒成立 【答案】BCD 【详解】原函数可化为，，易知在上单调递减，且恒成立．故函数没有最小值，当时，． 【例题2】（23-24高一上·河南新乡·阶段练习）函数的单调递增区间为 . 【答案】 【分析】利用分离常数法，得，结合的范围可得答案. 【详解】， 由，得， 当时，单调递减，单调递增； 当时，单调递减，单调递增， 所以的单调增区间为． 故答案为：． 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·上海·阶段练习）函数的最大值为 . 【答案】 【分析】先求得题设函数的定义域，再分析得其单调性，从而得解. 【详解】对于，有，解得， 所以的定义域为， 又在上都是单调递增函数， 所以在上单调递增， 所以当时，取得最大值，为. 故答案为：. 【相似题2】（2025年东南大学强基计划招生数学试题）设是R上的单调函数，满足，求的值． 【答案】 【分析】设，构造函数赋值法计算得出或，结合函数值排除求解即可. 【详解】设，所以，所以， 所以，所以或， 当时，，是单调函数增函数，所以，，，符合题意； 当时，，是R上的单调函数，所以，，，不符合题意； 所以. 【题型7：根据单调性比较大小】 例题精选 【例题1】已知定义域为的函数，，，，都有，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知是上的减函数，结合单调性比较函数值的大小. 【详解】因为，，，则， 且，可得，即， 可知是上的减函数，且，所以． 故选：B. 【例题2】（24-25高一上·宁夏银川·期中）函数为定义在 R 上的偶函数，且对任意都有 则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数为定义在上的偶函数可得，然后利用的单调性可得答案. 【详解】因为函数为定义在上的偶函数， 所以， 因为对任意都有， 即有在上单调递减， 所以， 故选：D 【例题3】（24-25高一上·上海·随堂练习）函数是实数集上的严格增函数，且，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数单调性和不等式的性质求解. 【详解】因为，所以，， 又因为在R上严格增，所以，， 所以. 故选：A． 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·上海·课后作业）函数在上是严格增函数，且，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用严格增函数的性质，结合不等式性质解题即可. 【详解】由知且，由在上是严格增函数， 故，，故． 故选：A. 【相似题2】已知函数的定义域为，且函数在上单调递减，则与的大小关系为 ． 【答案】 【详解】因为，函数在区间上单调递减，所以． 【相似题3】（2024高一·全国·专题练习）已知函数对于任意的，都有，则的大小关系为 【答案】（或） 【分析】由函数单调递减的性质即可求解. 【详解】因为函数对于任意的，都有， 所以在区间上是减函数， 所以，所以. 故答案为：(或). 【题型8：抽象函数的单调性（与解不等式）】 例题精选 【例题1】已知在定义域上是减函数，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由解得． 【例题2】（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）已知函数满足：，当.时，恒成立，且，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】不妨设，令，变形得到，得到在R上单调递增，并根据得到，得到不等式，求出答案. 【详解】不妨设，， 故， 令，则，所以在R上单调递增， 因为，所以， ， 所以，解得. 故选：C 【例题3】已知是定义在区间上的增函数，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题意，得解得①．因为是定义在区间上的增函数，且，所以，解得②．综合①②得．所以的取值范围是． 相似练习 【相似题1】（24-25高二下·河北保定·阶段练习）已知函数在上满足，且当时，；当时，． (1)求的值； (2)判断并证明函数的单调性； (3)若，求不等式的解集． 【答案】(1)； (2)在R上单调递减，证明见解析； (3). 【分析】（1）令得，再令并结合已知确定的值； （2）由得，讨论、，并结合及已知即可证； （3）首先求得，再依据单调性解不等式求解集. 【详解】（1）令，则，故，可得， 令，则， 当，则，即，与题设不符， 所以； （2）在R上单调递增，证明如下： 当时，；当时，， 由（1）知， 由， 当，即，，， 所以，即在上单调递减， 当，则，，， 所以，即在上单调递减， 综上，结合，易知在R上单调递减，得证. （3）令，则，故，即， 所以，则， 由（2）知，，即，可得或， 所以不等式解集为. 【相似题2】（24-25高一上·广东广州·期中）已知函数是定义在区间上的增函数，满足． (1)求和的值 (2)解关于的不等式． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用赋值法直接求解即可； （2）转化不等式，根据函数单调性直接求解. 【详解】（1）由题知，是定义在区间上的增函数， 且， 令，则，， 令，则， 即，. （2）因为是定义在区间上的增函数， 且，， 所以，等价于， 所以，解得， 即该不等式解集为. 【相似题3】（24-25高一上·重庆·期末）已知函数满足对一切实数都有成立，且，当时有． (1)求，； (2)判断并证明在上的单调性； (3)解不等式． 【答案】(1)， (2)在上单调递减，证明见解析 (3) 【分析】（1）令，可得出的值，令可得出的值； （2）判断出函数为上的减函数，利用函数单调性的定义可证得函数为上的减函数； （3）分析可得出，将所求不等式变形为，解得，计算得出，则，再利用函数的单调性可得出关于实数的不等式（组），即得出原不等式的解集. 【详解】（1）因为函数满足对一切实数、都有成立， 令可得，可得， 令可得. （2）函数在上单调递减，证明如下： 设，则，又， 所以，可得， 所以当时，， 任取、且，则，， 则 ，即， 因此，函数在上单调递减. （3）由（2）可知，函数在上为单调递减函数， 令，可得，所以， 因为， 令， 由 得，即，解得， 可得， 因为，， 所以不等式等价于， 因为函数在上单调递减，则， 对于不等式，即显然成立， 对于不等式，即，解得， 因此，原不等式的解集为. 【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性化归为显性的不等式来求解，方法是： （1）把不等式转化为； （2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别. 【课后强化练习】 一、单选题 1．（23-24高一上·山西太原·阶段练习）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·山东日照·期中）已知函数定义域为，且，若对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·广西贵港·期中）已知函数在上具有单调性，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（22-23高一上·甘肃定西·期末）已知在区间上是单调减函数，则实数的取值范围为 ． 7．（24-25高二下·浙江温州·阶段练习）设，则的单调递减区间为 ． 8．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若函数的最小值为，则实数的取值范围 . 三、解答题 9．（24-25高一上·甘肃兰州·阶段练习）已知函数，. (1)用定义法判断函数的单调性； (2)求函数的最大值和最小值. 10．（24-25高一上·吉林松原·阶段练习）已知定义在区间上的函数满足，且当时，.若. (1)证明的单调性； (2)解关于的不等式. 11．（24-25高一上·广东清远·期中）已知函数 (1)用定义法证明函数在区间上是增函数； (2)若函数的定义域为，且，求实数的取值范围. 12．（24-25高一上·江苏宿迁·阶段练习）已知函数，. (1)判断函数的单调性，并证明： (2)解不等式：. 13．（24-25高一下·广东梅州·阶段练习）已知函数． (1)若在上具有单调性，求实数的取值范围； (2)当时，对任意,恒成立，求实数的取值范围． 14．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知 ，函数 (1)当 时，直接写出函数 的单调增区间（不需证明）; (2)当 时，求 在区间 上的最值; (3)设 ，函数 在上既有最大值又有最小值，请分别求出 的取值范围（用 表示）. 参考答案 题号 1 2 3 4 5 答案 A C B A B 1．A 【分析】根据二次函数的性质即可求解. 【详解】令． 又因为，所以， 即函数的值域是． 故选：A． 2．C 【详解】作出函数的图象，如图所示．由图象得的单调递增区间为和． 3．B 【分析】根据给定条件可得在上单调递增，再分类讨论即可求解． 【详解】函数的定义域为R， 当时，， 令函数，依题意，对任意的，恒成立， 因此函数在上单调递增， 当时，则，解得，因此； 当时，函数在单调递增，因此； 当时，则恒成立，因此， 实数a的取值范围是． 故选：B 4．A 【分析】作函数的图象，结合函数的单调性列不等式求的范围. 【详解】画函数的图象，如图， 所以要使函数在上单调递增， 则或， 解得或， 所以实数的取值范围为. 故选：A. 5．B 【分析】由对称轴与区间的关系构造不等式求解即可. 【详解】由题意二次函数对称轴为：， 要使得函数在上具有单调性， 需满足或， 得或， 则k的取值范围为． 故选：B 6． 【分析】根据给定的分段函数单调性，结合反比例函数、二次函数单调性列出不等式组求解. 【详解】依题意，，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 7． 【分析】将写成分段函数的形式，作出函数的图象，结合图象即可得解. 【详解】因为 所以，函数的图象如下： 由图象可知，函数的单调递减区间为 故答案为： 8． 【分析】利用基本不等式求出函数在上的最小值为，再利用二次函数的基本性质以及分段函数的最值可得出关于实数的不等式组，由此可求得实数的取值范围. 【详解】当时，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因为函数的最小值为，则，可得， 且有，即，解得， 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 9．(1)答案见解析 (2)最大值为4，最小值为 【分析】（1）根据函数的单调性的定义判断并证明. （2）根据单调性即可求解. 【详解】（1）任取， 函数， 则， ，故， 所以函数在上为减函数. （2）在上单调递减， ∴﹒ 10．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用函数单调性的定义证明函数的单调性. （2）借助函数的单调性，结合函数的定义域，把函数不等式转化成代数不等式求解. 【详解】（1）函数在上为增函数，下面用定义证明： 设任意， 则 因为，所以，所以. 即，所以函数在上为增函数. （2）因为，所以. 由. 所以所求不等式的解集为：. 11．(1)证明见解析 (2)或 【分析】（1）根据条件，利用函数单调性的定义，即可证明结果； （2）根据条件和（1）结果，得到不等式组，即可求解. 【详解】（1）任取，且，， 则 ， 又，，，则，， 所以，， 得到，即， 所以函数在区间上是增函数. （2）因为函数的定义域为， 且在区间上是增函数，由， 得到，解得或， 所以实数的取值范围为或. 12．(1)增函数，证明见解析 (2). 【分析】（1）任取、且，通过作差、因式分解、判断差值符号，可证得函数在上的单调性； （2）由已知条件可得出，结合（1）中的结论可解原不等式. 【详解】（1）任取、且，即， ， 因为，则，， ，即， 所以函数在区间上是增函数； （2）由（1）可知函数在区间上是增函数，且， 因此由可得. 因此，不等式的解集为. 13．(1) (2) 【分析】（1）求其对称轴，则或即可求得； （2）参变分离，求函数的值域即可. 【详解】（1）其对称轴为， 若在上具有单调性，则或，得或， 则实数的取值范围为. （2）在上恒成立， 则在上恒成立， 因在上单调递减，在上单调递增，则， 故，则数的取值范围为. 14．(1)和； (2)最大值是1，最小值是0； (3)答案见解析． 【分析】（1）由绝对值的定义去掉绝对值符号化简函数式后，结合二次函数知识可得单调区间； （2）由（1）可得函数在上的单调性，从而得最值； （3）根据和分类讨论作出函数图象，分析函数在开区间上既有最大值又有最小值时，最大值和最小值只有在和处取得，从而可得范围． 【详解】（1）时，， 所以增区间是和； （2）由（1）知在上递增，在上递减，在上递增， ，，又，， 所以在上的最大值是1，最小值是0； （3）， ①当时，函数的图象如图①所示， 因为函数 在上既有最大值又有最小值，是开区间， 所以最大值，最小值只能在和处取得，，， 由解得（负值舍去），， 所以，； ②当时，函数的图象如图②所示， 因为函数 在上既有最大值又有最小值，是开区间， 所以最大值，最小值只能在和处取得，，， 由解得（正值舍去），， 所以，． 综上，时，，；时，，． 【点睛】方法点睛：含有绝对值的函数，一般都是根据绝对值的定义分类讨论去掉绝对值符号化为不含绝对值的函数，然后结合相应函数的性质进行求解． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$